Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn– Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn- Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn, nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn

1.1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0), vớia, b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn (ẩn x).

Ví dụ 1.

• Bất phương trình 3x + 2024 < 0 là phương trình bậc nhất một ẩn với a = 3 ≠ 0; b = 2024

• Bất phương trình 0x + 2 < 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì a = 0.

• Bất phương trình −5x + 1 ≤ 0 là phương trình bậc nhất một ẩn với a = −5 ≠ 0; b = 0.

• Bất phương trình x⁴ ≥ 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì vì x⁴có bậc là 4.

1.2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn

Với bất phương trình bậc nhất có ẩn là x, số x₀ được gọi là một nghiệm của bất phương trình nếu ta thay x = x₀ thì nhận được một khẳng định đúng.

Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Ví dụ 2. Trong hai giá trị x = –2 và x = 4, giá trị nào là nghiệm của bất phương trình 2x – 3 ≥ 0.

Hướng dẫn giải

• Thay x = –2 vào bất phương trình 2x – 3 ≥ 0, ta được 2 . (–2) – 3 ≥ 0 là khẳng định sai.

Do đó, x = –2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

• Thay x = 4 vào bất phương trình 2x – 3 ≥ 0, ta được 2 . 4 – 3 ≥ 0 là khẳng định đúng.

Do đó, x = 4 là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy trong hai giá trị đã cho thì x = 4 là nghiệm của bất phương trình 2x – 3 ≥ 0.

2. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Xét bất phương trình ax + b > 0 (a ≠ 0).

–Cộng hai vế của bất phương trình với −b, ta được bất phương trình: ax > −b.

–Nhân hai vế của bất phương trình nhận được với $\frac{1}{a}$

+ Nếu a > 0 thì nhận được nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x>-\frac{b}{a}.$

+ Nếu a < 0 thì nhận được nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x<-\frac{b}{a}.$

Với các bất phương trình ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0, ta thực hiện các bước giải tương tự.

Ví dụ 3. Giải bất phương trình: 3x + 7 < 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: 3x + 7 < 0

3x < –7

$x<-\frac{7}{3}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x<-\frac{7}{3}.$

Chú ý: Bằng cách sử dụng các tính chất của bất đẳng thức, ta có thể giải một số bất phương trình đưa được về bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 4. Giải bất phương trình: 2x – 5 < –6 – x.

Hướng dẫn giải

Ta có: 2x – 5 < –6 – x

2x + x < –6 + 5

3x < –1

$x<-\frac{1}{3}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x<-\frac{1}{3}.$

B. Sơ đồ tư duy Bất phương trình bậc nhất một ẩn

C. Bài tập Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Nghiệm của bất phương trình 5 - 2x ≥ 0 là

A. $x\ge \frac{5}{2}.$

B. $x\ge -\frac{5}{2}.$

C. $x\le -\frac{5}{2}.$

D. $x\le \frac{5}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: 5 - 2x ≥ 0

5 ≥ 2x

2x ≤ 5

$x\le \frac{5}{2}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{5}{2}.$

Bài 2. Tìm x sao cho:

a) Giá trị của biểu thức 2x + 6 là số dương;

b) Giá trị của biểu thức 4x – 1 là số không âm.

Hướng dẫn giải

a) Giá trị của biểu thức 2x + 6 là số dương. Ta có:

2x + 6 > 0

2x > –6

x > –3.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > –3.

b) Giá trị của biểu thức 4x – 1 là số không âm. Ta có:

4x – 1≤ 0

4x ≤1

$x\le \frac{1}{4}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{1}{4}.$

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

a) –3x + 2 ≥ 3;

b) 3 + 2x > 7 – 5x;

c) $\frac{2}{3}\left(2x+3\right)<7-4x$

Hướng dẫn giải

a) Ta có –3x + 2 ≥ 3

–3x ≥ 1

$x\le \frac{1}{-3}$

$x\le \frac{-1}{3}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{-1}{3}.$

b)Ta có: 3 + 2x > 7 – 5x

2x + 5x > 7 – 3

7x > 4

$x>\frac{4}{7}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x>\frac{4}{7}$

c) Ta có:$\frac{2}{3}\left(x+6\right)<5-2x$

$\frac{2}{3}x+4<5-2x$

$\frac{2}{3}x+2x<5-4$

$\frac{8}{3}x<1$

$x<\frac{3}{8}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x<\frac{3}{8}$.

Bài 4. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. x + 2y > 0.

B. 2x² + 5 < 0.

C.−5x + 1 ≤ 0.

D.0x – 8 < 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Bất phương trình x + 2y > 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì xuất hiện hai ẩn x và y.

• Bất phương trình 2x² + 5 < 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì vì 2x²có bậc là 2.

• Bất phương trình −5x + 1 ≤ 0 là phương trình bậc nhất một ẩn với a = −5 ≠ 0; b = 1.

• Bất phương trình 0x – 8 < 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì a = 0.

Trắc nghiệm: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

I. Nhận biết

Câu 1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng:

A. ax + b = 0.

B. ax + b > 0.

C. ax + by = 0.

D. ax + b ≤ 0.

Câu 2. Vế phải của bất phương trình 2x + 3 > 55 là:

A. 2x + 3.

B. 2x.

C. 55.

D. 2.

Câu 3. Vế trái của bất phương trình 3x – 22 < 0 là

A. 3x.

B. 22.

C. 3x – 22.

D. 0.

Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng là:

A. Số x₀ là một nghiệm của bất phương trình A(x) < B(x) nếu A(x₀) < B(x₀).

B. Số x₀ là một nghiệm của bất phương trình A(x) < B(x) nếu A(x₀) > B(x₀).

C. Số x₀ là một nghiệm của bất phương trình A(x) ≤ B(x) nếu A(x₀) > B(x₀).

D. Số x₀ là một nghiệm của bất phương trình A(x) ≥ B(x) nếu A(x₀) < B(x₀).

Câu 5. Bất phương trình bậc nhất một ẩn ax + b > 0 với a ≠ 0 có nghiệm là

A. $x<-\frac{b}{a}$ với a < 0.

B. $x<-\frac{b}{a}$ với a > 0.

C. $x<\frac{b}{a}$ với a < 0.

D. $x<\frac{b}{a}$ với a > 0.

II. Thông hiểu

Câu 6. Nghiệm của bất phương trình ax – 8 > 0 là

A. x > 3.

B. x > 4.

C. x < 3.

D. x < 4.

Câu 7. Nghiệm của bất phương trình 9 – 3x ≤ 0 là

A. x ≥ 3.

B. x ≥ 4.

C. x ≤ 3.

D. x ≤ 4.

Câu 8. Nghiệm của bất phương trình $5-\frac{1}{3}x<1$ là

A. x > 12.

B. x < 12.

C. x > 9.

D. x < 9.

Câu 9. Nghiệm của bất phương trình –x – 3 > –10 + 2x là $x<\frac{a}{b}$. Giá trị của biểu thức a + b bằng

A. 10.

B. 9.

C. –4.

D. 4.

III. Vận dụng

Câu 10. Nghiệm của bất phương trình $\frac{x+2004}{2005}+\frac{x+2005}{2006}<\frac{x+2006}{2007}+\frac{x+2007}{2008}$ là

A. x < 1.

B. x < 2.

C. x > 1.

D. x > 2.