Lý thuyết Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

1. Hệ thức giữa cạnh huyền và góc của tam giác vuông

Định lý: Trong một tam giác vuông:

• Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

• Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông còn lại nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

• Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$b=a.\sin B=a.\cos C;$$c=a.\sin C=a.\cos B;$

$b=c.\tan B=c.\cot C;$$c=b.\tan C=b.\cot B.$

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 20 cm và góc $\widehat{C}=22°.$ Tính AB, AC (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{C}=22°$, ta có:

$AC=BC.\cos C=20.\cos 22°\approx 18,54$ (cm)

$AB=BC.\sin C=20.\sin 22°\approx 7,49$ (cm)

Vậy AB = 7,49 cm, AC = 18,54 cm.

2. Giải tam giác vuông

Giải một tam giác vuông là tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác đó.

Ví dụ: Giải các tam giác vuông sau. Làm tròn kết quả độ dài đến hàng đơn vị và số đo góc đến độ.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{12}$ suy ra $\widehat{C}\approx 25°,$$\widehat{B}\approx 90°-25°=65°.$

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

$AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{{12}^2-5^2}=\sqrt{144-25}=\sqrt{119}\approx 11.$

Vậy $\widehat{A}=90°;\widehat{B}\approx 65°;\widehat{C}\approx 25°,AC\approx 11.$

b) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\widehat{B}=90°-35°=55°,$$AC=AB.\cot C=9.\cot 35°\approx 13.$

$\sin C=\frac{AB}{BC}$ nên $BC=\frac{AB}{\sin C}=\frac{9}{\sin 35°}\approx 16.$

Vậy $\widehat{A}=90°;\widehat{B}=55°;AC\approx 13,BC\approx 16.$

Sơ đồ tư duy Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

Bài tập Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

Bài 1. Cho tam giác DEF có $\widehat{E}=60°,$$\widehat{F}=42°,$ đường cao DS = 12 cm (như hình vẽ)

Độ dài của cạnh EF của tam giác DEF (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) bằng

A. 25,6 cm;

B. 19,8 cm;

C. 20,2 cm;

D. 18,6 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác DEF có DS là đường cao, ta có: $\widehat{DSE}=\widehat{DSF}=90°.$

Suy ra tam giác DES vuông tại S và tam giác DFS vuông tại S.

Xét tam giác DES vuông tại S, ta có:

$\tan E=\frac{DS}{ES}$ nên $ES=\frac{DS}{\tan E}=\frac{12}{\tan 60°}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\approx 6,9$ cm.

Xét tam giác DES vuông tại S, ta có:

$\tan F=\frac{DS}{FS}$ nên $FS=\frac{DS}{\tan F}=\frac{12}{\tan 42°}\approx 13,3$ cm.

Mà EF = ES + FS = 6,9 + 13,3 = 20,2 cm.

Vậy độ dài cạnh EF là 20,2 cm.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, $\widehat{B}=30°.$ Độ dài hai cạnh còn lại là:

A. $AC=\frac{5\sqrt{3}}{3}$ cm; $BC=\frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm;

B. $AC=\frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm; $BC=\frac{5\sqrt{3}}{3}$ cm;

C. $AC=5\sqrt{3}$ cm; $BC=10\sqrt{3}$ cm;

D. $AC=\frac{10}{3}$ cm; $BC=\frac{5}{3}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\tan B=\frac{AC}{AB}$ nên $AC=AB.\tan B=5.\tan 30°=\frac{5\sqrt{3}}{3}$ cm.

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=5^2+{\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{100}{3}$.

Suy ra $BC=\sqrt{\frac{100}{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và góc B = α. Tìm giá trị α sao cho BH = 3CH.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

Đặt AH = h.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

BH = AH.cot B = h.cot α.

Xét tam giác ACH vuông tại H, ta có:

CH = AH.cot C = AH.tan B = h.tan α.

BH = 3CH suy ra $\frac{BH}{CH}=\frac{h.\cot \alpha }{h.\tan \alpha }=\frac{\frac{1}{\tan \alpha }}{\tan \alpha }=\frac{1}{{\tan }^2\alpha }=3$

Do đó $\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30°.$

Vậy α = 30°.

Bài 4. Một cầu trượt ở công viên có độ dốc là 28° và độ cao là 1,8 m. Tìm độ dài của mặt cầu trượt.

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABC vuông tại A.

Khi đó, độ dài mặt cầu trượt là:

$AB=\frac{1,8}{\sin 28°}\approx 3,83$ (m).

Vậy độ dài của mặt cầu trượt khoảng 3,83 m.

Trắc nghiệm: Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

I. Nhận biết

Câu 1. Cho hình vẽ dưới đây.

Hệ thức nào sau đây đúng?

A. c = a.cotB

B. c = a.sinB

C. c = a.tanB

D. c = a.cosB

Câu 2. Bài toán “giải tam giác vuông” là

A. Bài toán tìm tất cả độ dài các cạnh và số đo các góc còn lại của tam giác đó.

B. Bài toán tìm ít nhất độ dài một cạnh và tất cả số đo các góc còn lại của tam giác đó.

C. Bài toán tìm tất cả độ dài các cạnh và số đo của một góc bất kì của tam giác đó.

D. Bài toán tìm độ dài một cạnh và số đo của một góc của tam giác đó.

Câu 3. Cho hình vẽ dưới đây.

Hệ thức nào sau đây đúng?

A. c = b.cotB.

B. b = a.tanC.

C. b = c.tanC.

D. c = a.tanB.

Câu 4. Một khúc sông rộng khoảng 250 m. Một con đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320 m mới sang được bờ bên kia. Giả sử dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc α(hình vẽ).

Khi đó để tính giá trị của α, cách đơn giản nhất là sử dụng tỉ số lượng giác nào của góc nhọn α?

A. sin.

B. côsin.

C. tang.

D. côtang.

Câu 5. Tại một thời điểm trong ngày, các tia nắng mặt trời tạo với phương ngang một góc bằng 35^o, khi đó cột AH có bóng trên mặt đất là đoạn BH dài 10,4 m.

Trong các hệ thức sau, hệ thức nào là đúng?

A. AH = 10,4.sin35^o.

B. AH = 10,4.cos35^o.

C. AH = 10,4.tan35^o.

D. AH = 10,4.cot35^o.

II. Thông hiểu

Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 20 cm, $\hat{C}$ = 60^o Độ dài cạnh bằng

A. 40 (cm).

B. 40√3 (cm).

C. 20√3 (cm).

D. 20 (cm).

Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 12 cm, $\hat{B}$ = 40^o.Kết quả nào sau đây là đúng?

A. AC ≈ 9,19 cm; $\hat{C}$ = 50^o.

B. AC ≈ 7,71 cm; $\hat{C}$ = 50^o.

C. AC ≈ 9,1 cm; $\hat{C}$ = 50^o.

D. AC ≈ 7,8 cm; $\hat{C}$ = 50^o.

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, $\tan B=\frac{5}{12}$.Kết quả nào sau đây là đúng?

A. AC = 5 cm; BC = 13 cm.

B. AC = 13 cm; BC = 5 cm.

C. AC = 6,5 cm; BC = 2,5 cm.

D. AC = 2,5 cm; BC = 6,5 cm.

Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, Ac = 7 cm.Kết quả nào sau đây là đúng?

A. $BC=\sqrt{74}cm;\hat{C}\approx {35}^{o}32\text{'}$

B. $BC=\sqrt{74}cm;\hat{C}\approx {54}^{o}28\text{'}$

C. $BC=2\sqrt{6}cm;\hat{C}\approx {35}^{o}32\text{'}$

D. $BC=2\sqrt{6}cm;\hat{C}\approx {54}^{o}28\text{'}$

III. Vận dụng

Câu 10. Cho tam giác ABC nhọn có AB = 3,5; AC = 4; $\hat{A}$ = 40^o và BH là đường cao. Diện tích tam giác ABC gần nhất với

A. 5 (đvdt).

B. 4,5 (đvdt).

C. 3 (đvdt).

D. 3,5 (đvdt).