Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết Định lí Viète - Toán 9 Chân trời sáng tạo

    Tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 3: Định lí Viète hay, chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt Toán 9.

    1 123 12/10/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Định lí Viète

    1. Định lý Viète

    Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:

    S=x1+x2=−ba;

    P=x1.x2=ca.

    Ví dụ: Xét phương trình x2 + 5x – 6 = 0, ta thấy:

    ∆ = 52 – 4 . 1 . (–6) = 49 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

    Không cần giải cụ thể x1, x2, dựa vào định lý Viète ta có:

    S=x1+x2=−ba=−51=−5;

    P=x1.x2=ca=−61=−6.

    Nhận xét:

    – Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, nghiệm còn lại là x2=ca.

    – Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = –1, nghiệm còn lại là x2=−ca.

    Ví dụ: Không giải phương trình, hãy tìm các nghiệm của phương trình 3x2 – 2x – 1 = 0.

    Hướng dẫn giải

    Ta thấy các hệ số của phương trình có tổng 3 + (–2) + (–1) = 0.

    Suy ra phương trình có một nghiệm là x = 1, nghiệm còn lại của phương trình là x=ca=−13.

    2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

    Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình:

    x2 – Sx + P = 0.

    Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0.

    Ví dụ: Khi biết hai số có tổng S = 5 và tích P = 6, ta suy ra hai số đó là nghiệm của phương trình x2 – 5x + 6 = 0.

    Ta tính được Δ = (–5)2 – 4 . 1 . 6 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    x1=−b+Δ2a=−−5+12.1=3;

    x2=−b−Δ2a=−−5−12.1=2.

    Vậy hai số đó là 3 và 2.

    Sơ đồ tư duy Định lí Viète

    Lý thuyết Định lí Viète - Toán 9 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    Bài tập Định lí Viète

    Bài 1. Tổng và tích của hai nghiệm của phương trình 5x2 + 7x – 3 = 0 là

    A. 75 và 35.

    B. 75 và −35.

    C. −75 và 35.

    D. −75 và −35.

    Hướng dẫn giải

    Đáp án đúng là: D

    Áp dụng định lý Viète, ta có:

    S=x1+x2=−ba=−75;

    P=x1.x2=ca=−35;

    Bài 2. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – 5x + 3 = 0. Giá trị của biểu thức x12 + x22 là

    A. 16.

    B. 17.

    C. 18.

    D. 19.

    Hướng dẫn giải

    Đáp án đúng là: D

    Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

    S=x1+x2=−ba=−−51=5;

    P=x1.x2=ca=−31=−3.

    x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 52 – 2.(–3) = 19.

    Bài 3. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 25 và tích của chúng bằng 60.

    Hướng dẫn giải

    Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 – 25x + 60 = 0.

    Ta có: ∆ = 252 – 4 . 1 . 60 = 385 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    x1=−b+Δ2a=−−25+3852.1=25+3852;

    x1=−b+Δ2a=−−25−3852.1=25−3852.

    Vậy hai số cần tìm là 25+3852 và 25−3852.

    Bài 4. Cho phương trình –3x2 – 5x – 2 = 0. Với x1, x2 là nghiệm của phương trình, không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau

    M=x1+1x1+1x2+x2

    Hướng dẫn giải

    Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

    S=x1+x2=−ba=−−5−3=−53;

    P=x1.x2=ca=−2−3=23.

    Ta có: M=x1+1x1+1x2+x2 =x1+x2+1x1+1x2

    =x1+x2+x1+x2x1.x2 =−53+−5323 =−256.

    Bài 5. Cho phương trình x2 + 5 mx − 4 = 0. Tìm m để x1, x2 là nghiệm của phương trình và thỏa mãn: x12 + x22 + 6x1x2 = 9.

    Hướng dẫn giải

    Xét phương trình x2 + 5mx − 4 = 0 (*)

    Để phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi:

    Δ = (5m)2 − 4.1. (− 4) = 25m2 + 16 > 0.

    Mà m2 ≥ 0 với mọi m nên Δ = 25m2 + 16 > 0 với mọi m.

    Do đó, phương trình (*) có nghiệm với mọi m.

    Gọi hai nghiệm của phương trình là x1, x2.

    Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

    S=x1+x2=−5m1=−5m;

    P=x1.x2=ca=−41=−4.

    Mặt khác, ta có: x12 + x22 + 6x1x2 = 9

    x12 + 2x1x2 + x22 + 4x1x2 = 9

    (x1 + x2)2 + 4x1x2 = 9

    (−5m)2 + 4. (−4) = 9

    25m2 − 16 = 9

    25m2 = 25

    m2 = 1

    m = ± 1.

    Vậy m = 1 hoặc m = –1 thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Tham khảo các loạt bài Toán 9 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 123 12/10/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: