Lý thuyết Định lí Viète - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Định lí Viète

1. Định lý Viète

Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:

$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$;

$P=x_1.x_2=\frac{c}{a}$.

Ví dụ: Xét phương trình x² + 5x – 6 = 0, ta thấy:

∆ = 5² – 4 . 1 . (–6) = 49 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Không cần giải cụ thể x₁, x₂, dựa vào định lý Viète ta có:

$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{5}{1}=-5$;

$P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{-6}{1}=-6$.

Nhận xét:

– Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1, nghiệm còn lại là $x_2=\frac{c}{a}$.

– Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = –1, nghiệm còn lại là $x_2=-\frac{c}{a}$.

Ví dụ: Không giải phương trình, hãy tìm các nghiệm của phương trình 3x² – 2x – 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta thấy các hệ số của phương trình có tổng 3 + (–2) + (–1) = 0.

Suy ra phương trình có một nghiệm là x = 1, nghiệm còn lại của phương trình là $x=\frac{c}{a}=\frac{-1}{3}.$

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình:

x² – Sx + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là S² – 4P ≥ 0.

Ví dụ: Khi biết hai số có tổng S = 5 và tích P = 6, ta suy ra hai số đó là nghiệm của phương trình x² – 5x + 6 = 0.

Ta tính được Δ = (–5)² – 4 . 1 . 6 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{1}}{2.1}=3$;

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{1}}{2.1}=2$.

Vậy hai số đó là 3 và 2.

Sơ đồ tư duy Định lí Viète

Bài tập Định lí Viète

Bài 1. Tổng và tích của hai nghiệm của phương trình 5x² + 7x – 3 = 0 là

A. $\frac{7}{5}$ và $\frac{3}{5}$.

B. $\frac{7}{5}$ và $-\frac{3}{5}$.

C. $-\frac{7}{5}$ và $\frac{3}{5}$.

D. $-\frac{7}{5}$ và $-\frac{3}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lý Viète, ta có:

$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{7}{5}$;

$P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=-\frac{3}{5}$;

Bài 2. Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² – 5x + 3 = 0. Giá trị của biểu thức x₁² + x₂² là

A. 16.

B. 17.

C. 18.

D. 19.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5$;

$P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=-\frac{3}{1}=-3$.

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 5² – 2.(–3) = 19.

Bài 3. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 25 và tích của chúng bằng 60.

Hướng dẫn giải

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x² – 25x + 60 = 0.

Ta có: ∆ = 25² – 4 . 1 . 60 = 385 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\left(-25\right)+\sqrt{385}}{2.1}=\frac{25+\sqrt{385}}{2}$;

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\left(-25\right)-\sqrt{385}}{2.1}=\frac{25-\sqrt{385}}{2}$.

Vậy hai số cần tìm là $\frac{25+\sqrt{385}}{2}$ và $\frac{25-\sqrt{385}}{2}$.

Bài 4. Cho phương trình –3x² – 5x – 2 = 0. Với x₁, x₂ là nghiệm của phương trình, không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau

$M=x_1+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+x_2$

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{-3}=-\frac{5}{3}$;

$P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$.

Ta có: $M=x_1+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+x_2$ $=x_1+x_2+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$

$=\left(x_1+x_2\right)+\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}$ $=-\frac{5}{3}+\frac{-\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}}$ $=-\frac{25}{6}$.

Bài 5. Cho phương trình x² + 5 mx − 4 = 0. Tìm m để x₁, x₂ là nghiệm của phương trình và thỏa mãn: x₁² + x₂² + 6x₁x₂ = 9.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình x² + 5mx − 4 = 0 (*)

Để phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi:

Δ = (5m)² − 4.1. (− 4) = 25m² + 16 > 0.

Mà m² ≥ 0 với mọi m nên Δ = 25m² + 16 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình (*) có nghiệm với mọi m.

Gọi hai nghiệm của phương trình là x₁, x₂.

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

$S=x_1+x_2=-\frac{5m}{1}=-5m$;

$P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4$.

Mặt khác, ta có: x₁² + x₂² + 6x₁x₂ = 9

x₁² + 2x₁x₂ + x₂² + 4x₁x₂ = 9

(x₁ + x₂)² + 4x₁x₂ = 9

(−5m)² + 4. (−4) = 9

25m² − 16 = 9

25m² = 25

m² = 1

m = ± 1.

Vậy m = 1 hoặc m = –1 thì phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trắc nghiệm: Định lí Viète

I. Nhận biết

Câu 1. Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁; x₂ thì

A. $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{a}{c}\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=-\frac{c}{a}\end{array}\right.$

Câu 2. Cho phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Nếu a + b + c = 0 thì nghiệm của phương trình là

A. x₁ = 1; x₂ = $\frac{-c}{a}$.

B. x₁ = 1; x₂ = $\frac{c}{a}$.

C. x₁ = –1; x₂ = $\frac{c}{a}$.

D. x₁ = –1; x₂ = $\frac{-c}{a}$.

Câu 3. Cho phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Nếu a – b + c = 0 thì nghiệm của phương trình là

A. x₁ = 1; x₂ = $\frac{-c}{a}$.

B. x₁ = –1; x₂ = $\frac{c}{a}$.

C. x₁ = –1; x₂ = $\frac{-c}{a}$.

D. x₁ = 1; x₂ = $\frac{c}{a}$.

Câu 4. Hai số x₁; x₂ có tổng là S và tích là P (điều kiện S² – 4P ≥ 0). Khi đó x₁; x₂ là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. x² + Sx + P = 0.

B. x² – Sx + P = 0.

C. x² + Sx – P = 0.

D. x² – Sx – P = 0.

Câu 5. Gọi là hai nghiệm của phương trình x² – 3x + 2 = 0 khi đó ta có

A. x₁ + x₂ = 3; x₁x₂ = 2.

B. x₁ + x₂ = –3; x₁x₂ = 2.

C. x₁ + x₂ = 3; x₁x₂ = –2.

D. x₁ + x₂ = –3; x₁x₂ = –2.

II. Thông hiểu

Câu 6.Nghiệm của phương trình x² – 3x + 2 = 0 là

A. x₁ = 1; x₂ = 2.

B. x₁ = –1; x₂ = 2.

C. x₁ = 1; x₂ = –2.

D. x₁ = –1; x₂ = –2.

Câu 7. Phương trình √2x² + x – √2 + 1 = 0 có nghiệm là bao nhiêu?

A. x₁ = –1; x₂ = $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$.

B. x₁ = 1; x₂ = $\frac{-\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$.

C. x₁ = –1; x₂ = $\frac{-\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$.

D. x₁ = 1; x₂ = $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$.

Câu 8. Hai số có S = x₁ + x₂ = –6; P = x₁x₂ = –8 là nghiệm của phương trình nào?

A. x² + 6x – 8 = 0.

B. x² – 6x – 8 = 0.

C. x² + 6x + 8 = 0.

D. –x² + 6x – 8 = 0.

Câu 9. Phương trình nào đưới đây có hai nghiệm 3 + √2 và 3 – √2?

A. x² + 6x + 7 = 0.

B. x² – 6x + 7 = 0.

C. x² – 7x + 6 = 0.

D. x² + 7x + 6 = 0.

III. Vận dụng

Câu 10. Để phương trình x² + 2x + m = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn 3x₁ + 2x₂ = 1 thì giá trị m là bao nhiêu?

A. m = –35.

B. m = 35.

C. $m=\frac{3}{5}$.

D. $m=-\frac{3}{5}$.