Lý thuyết Đường tròn - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Đường tròn

1. Khái niệm đường tròn

Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm tất cả các điểm cách điểm O một khoảng bằng R, kí hiệu (O; R).

Chú ý:

• Khi không cần chú ý đến bán kính, đường tròn (O; R) còn được kí hiệu là (O).

• Cho đường tròn (O; R) và điểm M. Khi đó:

+ Nếu OM = R thì điểm M nằm trên đường tròn hay M thuộc đường tròn.

+ Nếu OM < R thì điểm M nằm trong đường tròn.

+ Nếu OM > R thì điểm M nằm ngoài đường tròn.

Ví dụ: Hãy gọi tên, xác định tâm và bán kính của đường tròn sau.

Hướng dẫn giải

Hình trên là đường tròn (A; R) có tâm A và bán kính R.

2. Tính đối xứng của đường tròn

• Nếu điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta nói hai điểm A và B đối xứng nhau qua O.

• Nếu đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì ta nói hai điểm A và B đối xứng nhau qua d.

• Cho điểm A thuộc đường tròn (O). Ta thấy điểm đối xứng với A qua O cũng thuộc (O); điểm đối xứng với A qua đường thẳng d đi qua O cũng thuộc (O). Khi đó ta nói O là tâm đối xứng của (O), d là trục đối xứng của (O).

• Đường tròn là hình có tâm đối xứng; tâm đối xứng là tâm của đường tròn.

• Đường tròn là hình có trục đối xứng. Mọi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn đều là trục đối xứng của nó.

Ví dụ: Cho đường tròn (O).

a) Tìm tâm đối xứng của (O);

b) Vẽ hai trục đối xứng của (O).

Hướng dẫn giải

a) Tâm O là tâm đối xứng của (O).

b) Vẽ hai đường thẳng a và b đi qua tâm O. Ta có a và b đều là trục đối xứng của (O).

3. Đường kính và dây cung của đường tròn

• Cho hai điểm M, N cùng thuộc một đường tròn. Đoạn thẳng MN gọi là dây cung hoặc dây. Đường kính là một dây đi qua tâm.

• Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.

Ví dụ: Cho đường tròn (O) có các dây cung MN, PQ. Biết MN đi qua tâm O, PQ không đi qua O. So sánh độ dài MN, PQ.

Hướng dẫn giải

Trong đường tròn (O), MN đi qua tâm O nên MN là đường kính, PQ là dây cung không đi qua O. Suy ra PQ < MN.

4. Vị trí tương đối của hai đường tròn

• Hai đường tròn không có điểm chung gọi là hai đường tròn không giao nhau. Hai đường tròn không giao nhau có thể ở ngoài nhau hoặc đường tròn này đựng đường tròn kia.

• Hai đường tròn chỉ có một điểm chung gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm. Hai đường tròn tiếp xúc có thể tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong.

• Hai đường tròn có đúng hai điểm chung gọi là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm chung gọi là hai giao điểm. Đoạn thẳng nối hai điểm chung được gọi là dây chung.

• Cho hai đường tròn phân biệt (O; R) và $\left(O^{\text{'}};R^{\text{'}}\right)$ với $R\ge R^{\text{'}}.$ Ta có:

+ Nếu OO' > R + R' thì hai đường tròn (O; R) và (O'; R') ở ngoài nhau.

+ Nếu OO' < R - R' thì đường tròn (O; R) đựng đường tròn (O'; R')

+ Nếu OO' = R + R' thì hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài.

+ Nếu OO' = R - R' thì hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc trong.

+ Nếu R - R' < OO' < R + R' thì hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau.

Chú ý:

• Nếu OO' = 0 thì O trùng với O' Hai đường tròn có tâm trùng nhau gọi là hai đường tròn đồng tâm.

Nhận xét:

• Bảng tóm tắt vị trí tương đối của hai đường tròn phân biệt (O; R) và (O'; R') với $R\ge R^{\text{'}}:$

Ví dụ: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O; R) và (O'; R') trong mỗi trường hợp sau:

a) OO' = 15; R = 7; R' = 5

b) OO' = 0; R = 4; R' = 3

Hướng dẫn giải

a) Ta có 15 > 7 + 5 nên OO' > R + R' suy ra hai đường tròn (O; R) và (O'; R') ở ngoài nhau.

b) Ta có 0 < 4 – 3 nên OO' < R - R' suy ra đường tròn (O; R) đựng đường tròn (O'; R')

Sơ đồ tư duy Đường tròn

Bài tập Đường tròn

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Xác định tâm và bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AM=\frac{BC}{2}.$

Suy ra $MA=MB=MC=\frac{BC}{2}.$

Vậy đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC có tâm là điểm M và bán kính $R=\frac{BC}{2}.$

Bài 2. Cho đường tròn (O), bán kính 8 cm và ba điểm A, B, C thỏa mãn OA = 5 cm, OB = 3 cm, OC = 8 cm. Hãy cho biết mỗi điểm A, B, C nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn (O) có bán kính R = 8 cm.

+ Ta có OA = 5 cm < R suy ra điểm A nằm trong đường tròn (O).

+ Ta có OB = 3 cm < R suy ra điểm B nằm trong đường tròn (O).

+ Ta có OC = 8 cm = R suy ra điểm C nằm trên đường tròn (O).

Bài 3. Cho hai đường tròn (O; 3 cm) và (A; 2 cm) cắt nhau tại B, C, điểm A nằm trên đường tròn tâm O.

a) Vẽ đường tròn (B; 3 cm);

b) Đường tròn (B; 3 cm) có đi qua hai điểm O và A không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

b) Đường tròn (O) và đường tròn (A) cắt nhau tại B, C suy ra điểm B nằm trên đường tròn (O) và đường tròn (A). Do đó bán kính của đường tròn (O) là OB = 3 cm.

Xét đường tròn (B) có bán kính là 3 cm mà OB = 3 cm, suy ra đường tròn (B) có đi qua điểm O.

Ta có điểm B nằm trên đường tròn (A) nên AB = 2 cm.

Vì AB < 3 cm suy ra điểm A nằm trong đường tròn (B). Do đó đường tròn (B) không đi qua điểm A.

Bài 4. Xác định vị trí tương đối của (O; R) và (O'; R') trong mỗi trường hợp sau:

a) OO' = 3; R = 7; R' = 2

b) OO'= 10; R = 9;R' = 3

Hướng dẫn giải

a) Ta có 3 < 7 – 2 nên suy ra đường tròn (O; R) đựng đường tròn (O'; R')

b) Ta có 9 – 3 < 10 < 9 + 3 nên R - R' < OO' < R + R' suy ra hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau.