Lý thuyết Hình cầu - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Hình cầu

1. Hình cầu

Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định ta được một hình cầu tâm O, bán kính R.

Khi đó, nửa đường tròn quét thành mặt cầu. Ta cũng gọi O và R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Đoạn thẳng đi qua tâm của hình cầu với hai đầu mút nằm trên mặt cầu gọi là đường kính của hình cầu (hay mặt cầu).

Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng thì phần chung của mặt cầu và mặt phẳng (còn gọi là mặt cắt) là một hình tròn.

Ví dụ: Hình cầu dưới đây có tâm O, đường kính AB, bán kính OA = OB.

Khi cắt hình cầu bởi mặt phẳng đi qua AB (như hình vẽ) ta được một hình tròn.

2. Diện tích của mặt cầu

Diện tích của mặt cầu được tính bằng công thức:

S = 4πR².

Trong đó: S là diện tích mặt cầu;

R là bán kính.

Ví dụ: Tính diện tích mặt cầu có bán kính 3 cm.

Hướng dẫn giải:

Diện tích của mặt cầu có bán kính 3 cm là:

S = 4πR² = 4π . 3² = 36π (cm²)

3. Thể tích của hình cầu

Thể tích của hình cầu được tính bằng công thức:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

Trong đó: V là thể tích của hình cầu;

R là bán kính.

Ví dụ: Tính thể tích mặt cầu có bán kính 6 cm.

Hướng dẫn giải:

Thể tích tích của mặt cầu có bán kính 6 cm là:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {.6}^3=432\pi$ (cm³).

Sơ đồ tư duy Hình cầu

Bài tập Hình cầu

Bài 1. Một hình cầu có số đo thể tích (tính bằng m³) bằng số đo diện tích mặt cầu (tính bằng m²). Bán kính hình cầu đó là

A. 2 m.

B. 3 m.

C. 4 m.

D. 5 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi bán kính hình cầu là R (m).

Vì số đo thể tích bằng số đo diện tích mặt cầu nên ta có:

$\frac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^2$ nên R = 3 (m).

Vậy bán kính hình cầu đó là 3 m.

Bài 2. Một hình cầu có thể tích bằng 972π cm³. Diện tích của mặt cầu đó là

A. 234π cm².

B. 432π cm².

C. 324π cm².

D. 243π cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thể tích của hình cầu đó là:

$\frac{4}{3}\pi R^3=972\pi$ hay nên R = 9 (cm)

Diện tích của mặt cầu đó là:

S = 4πR² = 4π . 9² = 324π (cm²)

Bài 3. Một hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của một hình nón. Biết đường sinh của hình nón bằng 12 cm và diện tích xung quanh của hình nón bằng diện tích mặt cầu. Tính thể tích hình cầu.

Hướng dẫn giải

Gọi bán kính hình cầu cũng như bán kính đáy hình nón là R.

Diện tích xung quanh hình nón là: πRl = 12πR

Diện tích mặt cầu là: 4πR²

Vì diện tích xung quanh hình nón bằng diện tích mặt cầu nên:

12πR = 4πR² nên R = 3 (cm).

Thể tích hình cầu là:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {.3}^3=36\pi$ (cm³)

Vậy thể tích hình cầu đó là 36π cm³.

Bài 4. Một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Biết diện tích toàn phần hình trụ là 384π cm². Tính thể tích hình cầu.

Hướng dẫn giải

Gọi bán kính hình cầu là R thì bán kính đáy hình trụ là R và chiều cao hình trụ là 2R.

Vì diện tích toàn phần hình trụ là 384π cm² nên ta có:

2πR(2R + R) = 384π hay 6πR² = 384π nên R = 8 (cm).

Thể tích hình cầu là:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {.8}^3=\frac{2048}{3}\pi$ (cm³)

Vậy thể tích hình cầu đó là $\frac{2048}{3}\pi$ cm³.

Bài 5. Một chiếc thuyền thúng có dạng nửa hình cầu, có khối lượng 45kg, người chèo thuyền khối lượng 65kg. Biết đường kính của thuyền là 1,2m và trên thuyền có thêm 2,4 tạ cá, hỏi nước có ngập đến mép thuyền không? Biết khối lượng riêng của nước là

1 kg/dm³ và nếu khối lượng riêng của thuyền nhỏ hơn khối lượng riêng của nước thì nước không ngập đến mép thuyền và ngược lại.

Hướng dẫn giải

Bán kính của thuyền thúng là:

1,2 : 2 = 0,6 (m) = 6 (dm).

Thể tích của thuyền là:

$V=\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {.6}^3=144\pi$ (dm³) ≈ 425 (dm³)

Tổng khối lượng của thuyền, người và cá là:

45 + 65 + 240 = 350 (kg)

Khối lượng riêng của thuyền là:

350 : 452 = 0,8 (kg/dm³)

Khối lượng riêng của nước là 1 kg/dm³.

Vậy khối lượng riêng của thuyền nhỏ hơn khối lượng riêng của nước nên nước không ngập đến mép thuyền.

Trắc nghiệm: Hình cầu

I. Nhận biết

Câu 1. Hình cầu tâm O bán kính R được tạo ra khi quay

A. tam giác vuông quanh cạnh góc vuông.

B. hình chữ nhật quanh một cạnh của nó.

C. nửa đường tròn tâm O bán kính R quanh đường kính của nó.

D. nửa hình tròn tâm O bán kính R quanh đường kính của nó.

Câu 2. Cho hình vẽ dưới đây.

Bán kính hình cầu bằng

A. √10 cm.

B. 5 cm.

C. 10 cm.

D. 20 cm.

Câu 3. Khi cắt hình cầu tâm O bán kính R bởi một mặt phẳng bất kỳ thì mặt cắt thu được luôn là một

A. hình vuông.

B. hình chữ nhật.

C. hình tam giác.

D. hình tròn.

Câu 4. Mặt cầu bán kính R có diện tích là

A. $S=\frac{4}{3}\pi R^3$.

B. $S=4\pi R^3$.

C. $S=4\pi R^2$.

D. $S=\pi R^2$.

Câu 5. Hình cầu bán kính có thể tích bằng

A. $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

B. $V=4\pi R^3$.

C. $V=4\pi R^2$.

D. $V=\pi R^2$.

II. Thông hiểu

Câu 6. Hình cầu tâm O bán kính R có diện tích bề mặt bằng 4π m² thì có bán kính R là

A. R = 3 m.

B. R = 2 m.

C. R = 1 m.

D. R = 4 m.

Câu 7. Một mặt cầu có đường kính d = 30 cm. Diện tích mặt cầu đó bằng

A. 225 cm².

B. 225π cm².

C. 900 cm².

D. 900π cm².

Câu 8. Cho hình cầu có đường kính của đường tròn lớn là 50 dm. Thể tích hình cầu đó bằng

A. 15625π dm³.

B. $\frac{15625\pi }{3}$ dm³.

C. 62500π dm³.

D. $\frac{62500\pi }{3}$ dm³.

Câu 9. Một quả bóng bi-a có dạng hình cầu, biết đường kính của nó bằng 61 mm. Độ dài đường tròn lớn của quả bóng bi-a (lấy π ≈ 3,14) khoảng

A. 191,54 mm.

B. 95,77 mm.

C. 182,65 mm.

D. 150,68 mm.

III. Vận dụng

Câu 10. Một tháp nước có bể chứa là một hình cầu, bán kính phía trong đo được là 6m. Người ta dự tínhlượng nước đựng đầy trong tháp đó đủ dùng cho một khu dân cư trong một ngày. Cho biết khu dân cư đócó 6520 người. Hỏi người ta đã dự tính mức bình quân mỗi người dùng bao nhiêu lít nước trong một ngày (lấy π ≈ 3,14)?

A. 140 lít.

B. 139 lít.

C. 138 lít.

D. 141lít.