Lý thuyết Tứ giác nội tiếp - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Tứ giác nội tiếp

1. Định nghĩa tứ giác nội tiếp

− Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

− Đường tròn đi qua bốn đỉnh của tứ giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

Ví dụ: Trong hình dưới đây, tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

2. Tính chất

− Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180°.

Ví dụ: Xét hình vẽ dưới đây:

Vì ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên $\widehat{A}+\widehat{C}=180°$; $\widehat{B}+\widehat{D}=180°$.

3. Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông

− Hình chữ nhật, hình vuông là các tứ giác nội tiếp.

− Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông có tâm là giao điểm của hai đường chéo và có bán kính bằng nửa đường chéo.

Ví dụ: Trong hình bên dưới, hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O) và hình vuông MNPQ nội tiếp đường tròn (I).

− Bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Sơ đồ tư duy Tứ giác nội tiếp

Bài tập Tứ giác nội tiếp

Bài 1. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (hình 1). Chọn khẳng định sai?

A. $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}$.

B. $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180°$.

C. $\widehat{DCB}=\widehat{BAx}$.

D. $\widehat{BCA}=\widehat{BAx}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên:

$\widehat{BDC}=\widehat{BAC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

$\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180°$ (tổng hai góc đối bằng $180°$ )

$\widehat{DCB}=\widehat{BAx}$ (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó)

Vậy phương án A, B, C đúng.

Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Chọn câu sai:

A. $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180°$.

B. $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$.

C. $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°$.

D. $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên:

$\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180°$ (Tổng hai góc đối nhau)

$\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°$ (tổng 4 góc trong tứ giác)

Vậy đáp án cần chọn là D.

Bài 3. Trong hình vẽ dưới đây, cho $\widehat{AOC}=140°$.

a) Tính các góc $\widehat{ABC},\widehat{ADC}$ của tứ giác ABCD.

b) Tính $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\widehat{ABC}=\frac{\widehat{AOC}}{2}=\frac{140°}{2}=70°$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AC)

$\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180°$ (tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn)

Do đó $\widehat{ADC}=180°-70°=110°.$

Vậy $\widehat{ADC}=110°$

b) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180°$.

Bài 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo các góc còn lại của tứ giác đó trong trường hợp sau: $\widehat{A}=45°$ và $\widehat{B}=155°$.

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên $\widehat{A}+\widehat{C}=180°$; $\widehat{B}+\widehat{D}=180°$.

Do đó $\widehat{C}=180°-\widehat{A}=180°-45°=135°$;

$\widehat{D}=180°-\widehat{B}=180°-155°=25°$.

Vậy $\widehat{C}=135°$ và $\widehat{D}=25°$.

Bài 5. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M và $\widehat{BAD}=70°$. Tính số đo $\widehat{BCM}$.

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD nội tiếp nên ta có: $\widehat{DAB}+\widehat{BCD}=180°$

Suy ra $\widehat{BCD}=180°-70°=110°$

Mà $\widehat{BCD}+\widehat{BCM}=180°$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{BCM}=180°-110°=70°$.

Vậy $\widehat{BCM}=70°$.

Trắc nghiệm: Tứ giác nội tiếp

I. Nhận biết

Câu 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}$.

B. $\widehat{BAC}=\widehat{BAx}$.

C. $\widehat{DCB}=\widehat{BAx}$.

D. $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180°$.

Câu 2. Trong các hình dưới đây.

Trong các hình trên, tứ giác trong hình nào là tứ giác nội tiếp?

A. Hình 1.

B. Hình 2.

C. Hình 3.

D. Hình 4.

Câu 3. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF, Bx của nửa kia đường tròn (O) (với F là tiếp điểm). Tia AF cắt tia Bx của nửa đường tròn tại D. Khi đó tứ giác OBDF là

A. Hình thang.

B. Tứ giác nội tiếp.

C. Hình thang cân.

D. Hình bình hành.

Câu 4. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M và $\widehat{BAD}=70°$thì số đo góc BCM là

A. 110^o.

B. 30^o.

C. 70^o.

D. 55^o.

Câu 5. Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trong các tứ giác sau, tứ giác nội tiếp là

A. AHBC.

B. BCDE.

C. BCDA.

D. Không có tứ giác nào là tứ giác nội tiếp.

II. Thông hiểu

Câu 6. Cho đường tròn (O) có AB là đường kính. Trên tia đối của tia lấy điểm AB nằm ngoài đường tròn. Lấy điểm M bất kì nằm trên đường tròn (O). Gọi P là giao điểm của MB và đường vuông góc với AB tại C. Chọn khẳng định đúng.

A. Tứ giác PMAC là tứ giác nội tiếp.

B. Tam giác BCM vuông.

C. Tam giác BCP có CM là đường trung tuyến.

D. Không có khẳng định nào đúng.

Câu 7. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (khác với điểm A). Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. Tứ giác OACM là tứ giác nội tiếp.

B. Tứ giác OBDM là tứ giác nội tiếp.

C. Tứ giác ACDB là hình thang vuông.

D. Tứ giác ACDB là tứ giác nội tiếp.

Câu 8. Cho tứ giác ABCD có số đo các góc A, B, C, D tương ứng. Trường hợp nào sau đây thì tứ giác ABCD có thể là tứ giác nội tiếp?

A. 50^o; 60^o; 130^o; 140^o.

B. 65^o; 85^o; 115^o; 95^o.

C. 82^o; 90^o; 98^o; 100^o.

D. Không có trường hợp nào.

Câu 9.Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB tại E, kẻ HF vuông góc với AC tại F. Chọn câu đúng:

A. Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp.

B. Tứ giác BEFC không nội tiếp.

C. Tứ giác AFHE là hình vuông.

D. Tứ giác AFHE không nội tiếp.

III. Vận dụng

Câu 10. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK ⊥ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Tích AH.AB bằng

A. 4AO².

B. AD.BD.

C. BD².

D. AD².