Lý thuyết Tiếp tuyến của đường tròn - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Tiếp tuyến của đường tròn

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Định nghĩa

Nếu đường thẳng a và đường tròn (O):

• Không có điểm chung thì ta nói a và (O) không giao nhau.

• Có duy nhất một điểm chung C thì ta nói a tiếp xúc với (O) tại C, khi đó a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C và C là tiếp điểm.

• Có hai điểm chung A, B thì ta nói a cắt (O), a là cát tuyến của đường tròn (O) và A, B là hai giao điểm.

Nhận xét: Cho đường tròn (O; R). Gọi d là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a. Ta có kết quả sau:

• Đường thẳng a và đường tròn (O; R) không giao nhau khi d > R.

• Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O; R) khi d = R.

• Đường thẳng a cắt đường tròn (O; R) khi d < R.

Ví dụ: Cho đường thẳng d và một điểm A cách d một khoảng d = 5 cm. Xác định vị trí tương đối của d với các đường tròn sau:

a) Đường tròn (O; 2 cm);

b) Đường tròn (O; 6 cm).

Hướng dẫn giải

a) Ta có d = 5 cm, R = 2 cm. Vì d > R nên d và đường tròn (O; 2 cm) không giao nhau.

b) Ta có d = 5 cm, R = 6 cm. Vì d < R nên d cắt đường tròn (O; 6 cm) tại hai điểm.

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn khi nó đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.

Chú ý: Ta có các tính chất của tiếp tuyến như sau:

• Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

• Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến luôn bằng bán kính của đường tròn đó.

Ví dụ: Cho đường tròn (I; 1 cm) và điểm A nằm trên (I). Nêu cách dựng tiếp tuyến d với (I) tại A.

Hướng dẫn giải

Ta vẽ đường thẳng d vuông góc với bán kính IA tại điểm A, khi đó d là tiếp tuyến với (I) tại A.

3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

• Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Ví dụ: Tìm giá trị của x trong hình sau:

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn (O) có OA, OB là bán kính, OA ⊥ AM, OB ⊥ BM.

Suy ra AM, BM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Ta có AM = BM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó 13 = 2x – 5, suy ra $x=\frac{13+5}{2}=9.$

Vậy x = 9.

Sơ đồ tư duy Tiếp tuyến của đường tròn

Bài tập Tiếp tuyến của đường tròn

Bài 1. Trong hình sau, AB = 6, BC = 6, AC = 10 và BC là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Ta có: AB = 6, BC = 8, AC = 10 suy ra AC² = AB² + BC² nên tam giác ABC vuông tại B hay $\widehat{ABC}=90°.$ Suy ra AB ⊥ BC.

Mà O ∈ BC nên AB ⊥ BO.

Vậy AB đi qua B (B ∈ (O)) và AB ⊥ BO = R nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 2. Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn tâm O với B, C là tiếp điểm.

a) Chứng minh AO là đường trung trực của BC;

b) Kẻ đường kính CD của (O). Chứng minh BD song song với AO;

c) Kẻ OM vuông góc với OB (M thuộc AC). Chứng minh MO = MA.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) suy ra AC = AB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra A thuộc đường trung trực của BC.

Mặt khác OA = OB (cùng bằng bán kính) suy ra O thuộc đường trung trực của BC.

Do đó AO là đường trung trực của BC.

b) Vì BO là đường trung tuyến của ∆DBC, $BO=\frac{1}{2}CD.$

Suy ra ∆DBC vuông tại B hay BD ⊥ BC.

Mặt khác AO ⊥ BC (do AO là trung trực của BC) suy ra AO // BD.

c) Vì OM ⊥ OB suy ra $\widehat{MOA}+\widehat{AOB}=90°.$ (1)

Ta có $\widehat{MAO}=\widehat{BAO}$ (vì A là giao điểm của hai tiếp tuyến chung của (O)).

Vì $\widehat{OAB}+\widehat{AOB}=90°$ suy ra $\widehat{MAO}+\widehat{AOB}=90°.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{MAO}=\widehat{MOA}$ suy ra ∆AMO cân tại M hay MA = MO.

Bài 3. Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là tiếp điểm) sao cho $\widehat{AMO}=30°.$

a) Chứng minh MO = 2R;

b) Tính AB theo R.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

a) Xét ∆OAM có

Ta có $\sin \widehat{AMO}=\frac{OA}{OM}=\sin 30°=\frac{1}{2}$ suy ra OM = 2R.

b) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) suy ra MA = MB.

Mà MO là tia phân giác của góc $\widehat{AMB}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra ∆MAB cân tại M, $\widehat{AMB}=2\widehat{AMO}=60°.$

Do đó AMB là tam giác đều, suy ra AB = AM.

Xét ∆OAM có $\widehat{OAM}=90°$ suy ra AM² = OM² – OA² (theo định lí Pythagore).

Vậy $AM=R\sqrt{3}=AB.$