Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn- Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

– Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức có dạng

ax + b = c,

trong đó a, b, c là các số đã biết (gọi là hệ số), a và b không đồng thời bằng 0.

Ví dụ 1.

• x + 7y = –1 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 1, b = 7, c = –1.

• 0x – 0y = 6 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì a = 0 và b = 0.

–Nếu giá trị của vế trái tại x = x₀ và y = y₀ bằng vế phải thì cặp số (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của phương trình.

Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

Ví dụ 2. Trong các cặp số (0; 5), (1; 1), (–2; 1), cặp số nào là nghiệm của mỗi phương trình 2x + 5y = 7?

Hướng dẫn giải

a) Cặp số (0; 5) khôngphải là nghiệm của phương trình 2x + 5y = 7 vì 2 . 0 + 5 . 5 = 25≠ 7.

Cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 2x + 5y = 7 vì 2 . 1 + 5 . 1 = 2 + 5 = 7.

Cặp số (–2; 1) không phải là nghiệm của phương trình 2x + 5y = 7 vì 2 . (–2) + 5 . 1 = 1 ≠ 7.

Vậy trong các cặp số đã cho thì có cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 2x + 5y = 7.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

– Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng:

$\left(\mathrm{I}\right)\left\{\begin{array}{l}\text{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\left(1\right)\\ ax+{\mathrm{b}}^{\text{'}}\mathrm{y}={\mathrm{c}}^{\text{'}}.\left(2\right)\end{array}\right.$

Trong đó, a, b, c, a', b', c' là các số đã biết (gọi là hệ số), a và b không đồng thời bằng 0, a' và b' không đồng thời bằng 0.

Ví dụ 3. Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+3y=0\\ 4x-3y=-4\end{array}\right.$là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 1, b = 3, c = 0, a' = 4, b' = –3, c' = –4.

–Nếu (x₀; y₀) là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2) thì (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của hệ (I).

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.

Ví dụ 4. Cho hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}x+3y=3\\ 2x+y=-4.\end{array}\right.$

Trong hai cặp số (1; 2) và (–3; 2), cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình đã cho?

Hướng dẫn giải

• Cặp số (0; 2) không phải là nghiệm của hệ phương trình đã cho vì $\left\{\begin{array}{l}1+3\cdot 2=7\left(\ne 3\right)\\ 2\cdot 1+2=4\left(\ne -4\right).\end{array}\right.$

• Cặp số (–3; 2) là nghiệm của hệ phương trình đã cho vì $\left\{\begin{array}{l}-3+3\cdot 2=3\\ 2\cdot \left(-3\right)+2=-4.\end{array}\right.$

Vậy trong hai cặp số (0; 2) và (–5; 3), cặp số (–5; 3) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

B. Bài tập Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1. Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) 2x – y = 3;

b) x + 0y = −2.

Hướng dẫn giải

a) Viết lại phương trình thành y = 2x – 3.

Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d: y = 2x – 3 (như hình vẽ).

b) Viết lại phương trình thành x = −2.

Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d vuông góc với Ox tại điểm M(−2; 0).

Bài 2. Để chuẩn bị cho buổi liên hoan của gia đình, cô Lan mua hai loại thực phẩm là thịt lợn và cá chép. Giá tiền thịt lợn là 120 nghìn đồng/kg, giá tiền cá chép là 50 nghìn đồng/kg. Cô Lan đã chi 290 nghìn để mua 3 kg hai loại thực phẩm trên. Gọi x và y lần lượt là số kilôgam thịt lợn và cá chép mà cô Lan đã mua.

a) Viết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

b) Cặp số (2; 1) có phải là nghiệm của hệ phương trình ở câu a hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) Cô Lanđã mua 3 kg hai loại thực phẩm (thịt lợn và cá chép) nên ta có phương trình: x + y = 3. (1)

Số tiền cô Lan đã chi để mua x kilôgam thịt lợn là 120x (nghìn đồng).

Số tiền cô Lan đã chi để mua y kilôgam cá chép là 50y (nghìn đồng).

Theo bài, cô Lan đã chi 295 nghìn để mua hai loại thực phẩm trên nên ta có phương trình: 120x + 50y = 290. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng: $\left\{\begin{array}{l}x+y=3\\ 120x+50y=290.\end{array}\right.$

b) Thay x = 2 và y = 1 vào mỗi phương trình trong hệ$\left\{\begin{array}{l}x+y=3\\ 120x+50y=290\end{array}\right.$ta có:

2 + 1 = 3;

120. 2 + 50. 1 = 240 + 50 = 290.

Do đó, cặp số (2; 1) là nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (2; 1) là nghiệm của hệ phương trình ở câu a.

Bài 3. Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình nào là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $\left\{\begin{array}{l}x-\frac{1}{2}y=1\\ 4x+y=2;\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}2x+3y=-1\\ 0x+0y=7;\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}x-y=2\\ 0x+\sqrt{3}y=-1.\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

a) Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-\frac{1}{2}y=1\\ 4x+y=2;\end{array}\right.$là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 1,$b=-\frac{1}{2},$c = 1, a' = 4, b' = 1, c' = 2.

b) Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y=-1\\ 0x+0y=7;\end{array}\right.$không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vì a' = b' = 0.

c) Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}x-y=2\\ 0x+\sqrt{3}y=-1.\end{array}\right.$là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn với $a=\frac{1}{3},$b = –1, c = 2, a' = 0, $b\text{'}=\sqrt{3},$ c' = –1.