Lý thuyết Hình nón - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Hình nón

1. Hình nón

Khi quay tam giác vuông SOB một vòng quanh cạnh góc vuông SO cố định ta được một hình nón.

⦁ S gọi là đỉnh của hình nón.

⦁ Cạnh OB quét thành hình tròn gọi là đáy của hình nón. Bán kính của đáy gọi là bán kính đáy của hình nón.

⦁ Cạnh SB quét thành mặt xung quanh của hình nón. Mỗi vị trí của SB là một đường sinh. ⦁ Độ dài SO là chiều cao của hình nón.

Chú ý: Độ dài đường sinh l của hình nón có bán kính đáy r và chiều cao h được tính bởi công thức: $l=\sqrt{{\text{r}}^2+{\mathrm{h}}^2}$.

Ví dụ: Tính độ dài đường sinh của một hình nón có bán kính đáy bằng 7 cm, chiều cao bằng 24 cm như sau:

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Pythagore ta tính được độ dài đường sinh hình nón:

$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{7^2+{24}^2}=25$ (cm).

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là 25 cm.

2. Diện tích xung quanh của hình nón

Diện tích xung quanh của hình nón được tính theo công thức:

S_xq = πrl.

Trong đó: S_xq là diện tích xung quanh của hình nón;

r là bán kính đáy của hình nón;

l là độ dài đường sinh của hình nón.

Chú ý: Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy.

Ví dụ: Tính diện tích xung quanh của một hình nón có bán kính đáy bằng 6 cm, chiều cao bằng 8 cm.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Pythagore ta tính được độ dài đường sinh hình nón:

$l=\sqrt{{\text{r}}^2+{\text{h}}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (cm)

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = πrl = π . 6 . 10 = 60π (cm²).

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là 60π cm².

3. Thể tích của hình nón

Thể tích của hình nón được tính bằng công thức:

$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$.

Trong đó: V là thể tích của hình nón;

r là bán kính đáy của hình nón;

h là chiều cao của hình nón.

Ví dụ: Tính thể tích của một hình nón có bán kính đáy bằng 3 cm, chiều cao bằng 10 cm.

Hướng dẫn giải:

Thể tích V của hình nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.3}^2.10=30\pi$ (cm³).

Vậy thể tích V của hình nón là 30π cm³.

Sơ đồ tư duy Hình nón

Bài tập Hình nón

Bài 1. Một hình nón có chiều cao bằng 24cm và thể tích bằng 800π cm³. Diện tích toàn phần của hình nón này là

A. 180π.

B. 240π.

C. 360π.

D. 480π.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi R là bán kính đáy và h là chiều cao của hình nón.

Thể tích hình nón bằng 800π cm³ nên ta có:

$\frac{1}{3}\pi R^{2}h=800\pi$

$\frac{1}{3}\pi R^2.24=800\pi$

R² = 100

R = 10 (cm)

Bán kính đáy hình nón là 10 cm.

Đường sinh của hình nón này là:

$l=\sqrt{{\mathrm{R}}^2+{\text{h}}^2}=\sqrt{{10}^2+{24}^2}=26$ (cm)

Diện tích toàn phần của hình nón là:

S_tp = πRl + πR² = π . 10 . 26 + π.10² = 360π (cm²)

Bài 2. Một hình nón có diện tích đáy bằng 144π cm² và diện tích toàn phần bằng 588π cm². Thể tích hình nón này là

A. 1230 cm³.

B. 1320 cm³.

C. 1680 cm³.

D. 1860 cm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi R là bán kính đáy hình nón và l là đường sinh của nó.

Ta có $\pi R^2=144\pi$ hay R² = 144

Suy ra R = 12 (cm).

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = 588π – 144π = 444π (cm²)

Suy ra πRl = 444π, khi đó $l=\frac{444\text{π}}{12\text{π}}=37$ (cm)

Chiều cao của hình nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.12}^2.35=1680\pi$ (cm³).

Vậy thể tích hình nón là 1 680 cm³.

Bài 3. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của một hình nón có bán kính đáy là 5 cm và chiều cao là 12 cm.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Pythagore ta tính được độ dài đường sinh hình nón là:

$l=\sqrt{{\text{r}}^2+{\text{h}}^2}=\sqrt{5^2+{12}^2}=13$ (cm)

Diện tích xung quanh của hình nón:

S_xq = πrl = π . 5 . 13 = 65π (cm²)

Diện tích toàn phần của hình nón:

S_tp = πrl + πr² = π . 5 . 13 + π.5² = 90π (cm²)

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là 65π cm² và diện tích toàn phần của hình nón là 90π cm².

Bài 4. Một hình nón có bán kính đáy bằng 6 cm, chiều cao bằng trung bình cộng của bán kính đáy và đường sinh. Chứng minh rằng hình nón này có số đo diện tích toàn phần (tính bằng cm²) đúng bằng số đo thể tích (tính bằng cm³).

Hướng dẫn giải

Gọi R là bán kính đáy, h là chiều cao và l là đường sinh của hình nón.

Ta có R = 6cm; $\text{h}=\frac{\text{R}+l}{2}$ hay l = 2h – 6

Mặt khác $l=\sqrt{{\text{R}}^2+{\text{h}}^2}$

$2h-6=\sqrt{6^2+h^2}$

(2h – 6)² = h² + 36

3h² – 24h = 0

h = 8

Chiều cao của hình nón là 8 cm.

Độ dài đường sinh là: 2 . 8 – 6 = 10 (cm).

Diện tích toàn phần của hình nón là:

S_tp = πRl + πR² = π . 6 . 10 + π.6² = 96π (cm²)

Thể tích của hình nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.6}^2.8=96\pi$ (cm³).

Vậy số đo diện tích toàn phần tính bằng cm² đúng bằng số đo thể tích tính bằng cm³.

Bài 5. Một chiếc cốc hình nón đựng rượu đến $\frac{1}{3}$ chiều cao của cốc. Biết thể tích của rượu trong cốc là 2 cm³. Tính thể tích của cốc.

Hướng dẫn giải

Phần rượu trong cốc có dạng hình nón.

Gọi r là bán kính đáy của phần rượu hình nón trong cốc.

Suy ra bán kính miệng cốc là 3r (định lí Thalès).

Thể tích phần rượu trong cốc là: $V_1=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Thể tích của cốc là: $V_2=\frac{1}{3}\pi {\left(3r\right)}^2.\left(3h\right)=9\pi r^{2}h$

Do đó $\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}h}{9\pi r^{2}h}=\frac{1}{27}$.

Suy ra $\frac{2}{V_2}=\frac{1}{27}$ hay V₂ = 2 . 27 = 54 (cm³).

Vậy thể tích của cốc là 54 cm³.