Lý thuyết Tính chất của phép khai phương - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 3: Tính chất của phép khai phương hay, chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt Toán 9.

1 796 05/08/2025

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Tính chất của phép khai phương

1. Căn thức bậc hai của một bình phương

• Với mọi số thực a, ta có $\sqrt{a^{2}} = |a| .$

• Với biểu thức A bất kì, ta có $\sqrt{A^{2}} = |A|,$ nghĩa là

+ $\sqrt{A^{2}} = A$ khi A ≥ 0 (tức là khi A nhận giá trị không âm)

+ $\sqrt{A^{2}} = - A$ khi A < 0 (tức là khi A nhận giá trị âm)

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{(2 - \sqrt{3})}^{2}};$

b) $\sqrt{{(2 n - \sqrt{7})}^{2}}$ với n > 5;

c) $\sqrt{a^{4}}$ với a < 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{{(2 - \sqrt{3})}^{2}} = |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$ (vì $2 - \sqrt{3} > 0$ ).

b) Ta có: $\sqrt{{(2 n - \sqrt{7})}^{2}} = |2 n - \sqrt{7}|$

Với n > 5, suy ra $2 n - \sqrt{7} > 10 - \sqrt{7} > 0.$

Do đó, $\sqrt{{(2 n - \sqrt{7})}^{2}} = 2 n - \sqrt{7} .$

c) Ta có: $\sqrt{a^{4}} = \sqrt{{(a^{2})}^{2}} = |a^{2}| = a^{2}$ (do a² ≥ 0).

2. Căn thức bậc hai của một tích

• Với hai số thực a và b không âm, ta có:

$\sqrt{a . b} = \sqrt{a} . \sqrt{b} .$

• Với hai biểu thức A và B nhận giá trị không âm, ta có:

$\sqrt{A . B} = \sqrt{A} . \sqrt{B} .$

Ví dụ: Tính:

a) $\sqrt{10} . \sqrt{8};$

b) $\sqrt{1, 6} . \sqrt{3} . \sqrt{5} .$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{10} . \sqrt{8} = \sqrt{10.8} = \sqrt{180} = \sqrt{6^{2} .5} = 6 \sqrt{5} .$

b) Ta có: $\sqrt{1, 6} . \sqrt{3} . \sqrt{5} = \sqrt{1, 6.3.5} = \sqrt{24} = \sqrt{2^{2} .6} = 2 \sqrt{6} .$

• Với số thực a bất kì và b không âm, ta có

$\sqrt{a^{2} b} = |a| \sqrt{b} .$

+ Biến đổi này được gọi là đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Ngược lại, ta có biến đổi đưa thừa số vào trong dấu căn:

+ Nếu a ≥ 0 thì $a \sqrt{b} = \sqrt{a^{2} b} .$

+ Nếu a < 0 thì $a \sqrt{b} = - \sqrt{a^{2} b} .$

Nhận xét: Tổng quát hơn, với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0, ta có $\sqrt{A^{2} B} = |A| \sqrt{B} .$

Ví dụ: Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai:

a) $5 \sqrt{3}$

b) $- 2 \sqrt{7};$

c) $b \sqrt{\frac{3}{b}}$ với b > 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $5 \sqrt{3} = \sqrt{5^{2} .3} = \sqrt{75} .$

b) Ta có: $- 2 \sqrt{7} = - \sqrt{2^{2} .7} = - \sqrt{28} .$

c) Ta có: $b \sqrt{\frac{3}{b}} = \sqrt{b^{2} . \frac{3}{b}} = \sqrt{3 b}$ (vì b > 0).

3. Căn thức bậc hai của một thương

• Với số thực a không âm và số thực b dương, ta có

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} .$

• Với biểu thức A nhận giá trị không âm và biểu thức B nhận giá trị dương, ta có

$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} .$

Ví dụ: Tính:

a) $\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{5}};$

b) $\sqrt{16} : \sqrt{8};$

c) $\sqrt{0, 7} : \sqrt{1, 4} .$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{60}{5}} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} .$

b) Ta có: $\sqrt{16} : \sqrt{8} = \sqrt{\frac{16}{8}} = \sqrt{2} .$

c) Ta có: $\sqrt{0, 7} : \sqrt{1, 4} = \sqrt{\frac{0, 7}{1, 4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Sơ đồ tư duy Tính chất của phép khai phương

Lý thuyết Tính chất của phép khai phương - Toán 9 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Bài tập Tính chất của phép khai phương

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{7^{2} .5};$

b) $\sqrt{100 a^{2}}$ với a < 0;

c) $\sqrt{6 b} . \sqrt{24 b} - 4 b$ với b ≥ 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{7^{2} .5} = 7 \sqrt{5} .$

b) Ta có: $\sqrt{100 a^{2}} = \sqrt{{(10 a)}^{2}} = |10 a| = - 10 a$ với a < 0.

c) Với b ≥ 0, ta có:

$\sqrt{6 b} . \sqrt{24 b} - 4 b = \sqrt{6 b .24 b} - 4 b = \sqrt{144 b^{2}} - 4 b$

$= \sqrt{{(12 b)}^{2}} - 4 b = |12 b| - 4 b = 12 b - 4 b = 8 b$

Bài 2. Cho hình chữ nhật có chiều rộng a (cm), chiều dài b (cm) và diện tích S (cm²).

a) Tìm S, biết $a = \sqrt{6},$ $b = \sqrt{48};$

b) Tìm a, biết $S = 5 \sqrt{6},$ $b = \sqrt{3} .$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: S = a.b

$= \sqrt{6} . \sqrt{48}$ $= \sqrt{6.48}$

= $\sqrt{288}$ $= 12 \sqrt{2}$

Vậy $S = 12 \sqrt{2}$ cm².

b) Ta có: a = S : b

$= 5 \sqrt{6} : \sqrt{3}$

$= 5 \sqrt{\frac{6}{3}}$ $= 5 \sqrt{2}$

Vậy $a = 5 \sqrt{2}$ cm

Bài 3. Tính:

Tính chất của phép khai phương (Lý thuyết Toán lớp 9) | Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{{(- 9)}^{2}} = |- 9| = 9.$

b) Ta có: $\sqrt{{(- \frac{6}{7})}^{2}} = |- \frac{6}{7}| = \frac{6}{7} .$

c) Ta có: ${(- \sqrt{3})}^{2} - \sqrt{36} = 3 - 6 = - 3.$

d) ${(\sqrt{\frac{4}{9}})}^{2} . \sqrt{0, 81} = \frac{4}{9} .0, 9 = \frac{4}{9} . \frac{9}{10} = \frac{2}{5} .$

Trắc nghiệm: Tính chất của phép khai phương

I. Nhận biết

Câu 1. Với hai số thực a, b không âm thì $\sqrt{a . b}$ bằng

A. ab.

B. $\sqrt{a} . b$ .

C. $\sqrt{a} . \sqrt{b}$ .

D. $a . \sqrt{b}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Tính chất căn bậc hai của một tích

Với hai số thực a, b không âm thì $\sqrt{a . b} = \sqrt{a} . \sqrt{b}$ .

Câu 2. Biểu thức $\sqrt{3} . \sqrt{16} . \sqrt{14}$ bằng

A. $\sqrt{3} . 16 . \sqrt{14}$ .

B. $\sqrt{3} . 4 \sqrt{14}$ .

C. $\sqrt{3.16.14}$ .

D. $- \sqrt{3} . 16 . \sqrt{14}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có $\sqrt{3} . \sqrt{16} . \sqrt{14} = \sqrt{3.16.14}$ .

Câu 3. Biểu thức $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ bằng với biểu thức

A. $\sqrt{\frac{3}{7}}$ .

B. $\frac{3}{\sqrt{7}}$ .

C. $\frac{\sqrt{3}}{7}$ .

D. $\frac{3}{7}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{3}{7}}$ .

Câu 4. Biểu thức $\sqrt{\frac{x + 1}{x + 2}}$ với x ≥ 0 bằng với biểu thức nào sau đây?

A. $- \frac{x + 1}{\sqrt{x + 2}}$ .

B. $- \frac{x + 1}{\sqrt{x + 2}}$ .

C. $\frac{x + 1}{\sqrt{x + 2}}$ .

D. $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 2}}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Với x ≥ 0, áp dụng tính chất căn bậc hai của một thương, ta có:

$\sqrt{\frac{x + 1}{x + 2}} = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 2}}$ .

Câu 5. Với số thực a không âm và số thực b dương thì $\sqrt{\frac{a}{b}}$ bằng

A. $\frac{a}{b}$ .

B. $\frac{\sqrt{a}}{b}$ .

C. $\frac{a}{\sqrt{b}}$ .

D. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Theo tính chất căn thức bậc hai của một thương:

Với số thực a không âm và số thực b dương, ta có $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ .

II. Thông hiểu

Câu 6. Giá trị của biểu thức $(\sqrt{\frac{2}{3}} + \sqrt{\frac{50}{3}} - \sqrt{24}) . \sqrt{6}$ là

A. –1.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

$(\sqrt{\frac{2}{3}} + \sqrt{\frac{50}{3}} - \sqrt{24}) . \sqrt{6}$

$= \sqrt{\frac{2}{3}} . \sqrt{6} + \sqrt{\frac{50}{3}} . \sqrt{6} - \sqrt{24} . \sqrt{6}$

$= \sqrt{\frac{2}{3} . 6} + \sqrt{\frac{50}{3} . 6} - \sqrt{24.6}$

$= \sqrt{4} + \sqrt{100} - \sqrt{144}$

= 2 + 10 – 12 = 0.

Câu 7. Giá trị biểu thức $\sqrt{3 - \sqrt{5}} . \sqrt{8}$ là

A. $\sqrt{5} - 1$ .

B. $1 - \sqrt{5}$ .

C. $2 \sqrt{5} - 2$ .

D. $2 - 2 \sqrt{5}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

$\sqrt{3 - \sqrt{5}} . \sqrt{8} = \sqrt{(3 - \sqrt{5}) . 8}$

$= \sqrt{24 - 8 \sqrt{5}} = \sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - 2.2 \sqrt{5} . 2 + 4^{2}}$

$= \sqrt{{(2 \sqrt{5} - 2)}^{2}} = 2 \sqrt{5} - 2$ .

Câu 8. Giá trị biểu thức $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{15}}{\sqrt{8} - \sqrt{12}}$ là

A. $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

B. $\frac{2}{\sqrt{5}}$ .

C. $\sqrt{5}$ .

D. 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{15}}{\sqrt{8} - \sqrt{12}} = \frac{\sqrt{5.2} - \sqrt{5.3}}{\sqrt{4.2} - \sqrt{4.3}}$

$= \frac{\sqrt{5} (\sqrt{2} - \sqrt{3})}{\sqrt{4} (\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Câu 9. Giá trị của biểu thức $(1 + \sqrt{\frac{3}{5}}) (1 - \sqrt{\frac{3}{5}})$ là $\frac{a}{b}$ . Khi đó tích ab bằng

A. 10.

B. 15.

C. 20.

D. 25.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

$(1 + \sqrt{\frac{3}{5}}) (1 - \sqrt{\frac{3}{5}})$

$= 1^{2} - {(\sqrt{\frac{3}{5}})}^{2}$

$= 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ .

Suy ra a = 2, b = 5.

Vậy ab = 2.5 = 10.

III. Vận dụng

Câu 10. Khi một quả bóng rổ được thả xuống, nó sẽ nảy trở lại, nhưng do tiêu hao năng lượng nên nó không đạt được chiều cao như lúc bắt đầu. Hệ số phục hồi của quả bóng rổ được tính theo công thức

$C_{R} = \sqrt{\frac{h}{H}}$ .

Trong đó H là độ cao mà quả bóng được thả rơi;

h là độ cao mà quả bóng bật lại.

Một quả bóng rổ rơi từ độ cao 3,24m và bật lại độ cao 2,25m Hệ số phục hồi của quả bóng là

A. $\frac{3}{4}$ .

B. $\frac{4}{5}$ .

C. $\frac{5}{6}$ .

D. $\frac{6}{7}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Thay H = 3,24 m và h = 2,25 m, ta được:

$C_{R} = \sqrt{\frac{h}{H}} = \sqrt{\frac{2, 25}{3, 24}} = \sqrt{\frac{225}{324}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{324}} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$ .

Vậy hệ số phục hồi của quả bóng là $C_{R} = \frac{5}{6}$ .

1 796 05/08/2025

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3