Lý thuyết Hình trụ - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Hình trụ

1. Hình trụ

Khi quay hình chữ nhật AA'O'O một vòng quanh cạnh OO' cố định ta được một hình trụ.

⦁ Cạnh OA, O'A' quét thành hai hình tròn có cùng bán kính gọi là hai đáy của của hình trụ; bán kính của đáy gọi là bán kinh đáy của hình trụ.

⦁ Cạnh AA' quét thành mặt xung quanh của hình trụ, mỗi vị tri của AA' được coi là một đường sinh.

⦁ Độ dài đoạn OO' gọi là chiều cao của hình trụ. Các đường sinh có độ dài bằng nhau và bằng chiều cao của hình trụ.

Ví dụ: Hình trụ dưới đây với bán kính đáy là 3 cm, chiều cao 8 cm:

2. Diện tích xung quanh của hình trụ

Diện tích xung quanh của hình trụ được tính theo công thức:

S_xq = 2πrh.

Trong đó: S_xq là diện tích xung quanh của hình trụ;

r là bán kính đáy của hình trụ;

h là chiều cao của hình trụ.

Chú ý: Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.

Ví dụ: Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của một hình trụ có bán kính đáy 2 cm và chiều cao 6 cm.

Hướng dẫn giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S_xq = 2πrh = 2π . 2 . 6 = 24π (cm²)

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

S­_tp­ = 2πrh + 2πr² = 24π + 2π.2² = 32π (cm²).

3. Thể tích của hình trụ

Thể tích của hình trụ được tính theo công thức:

V = S . h = πr²h.

Trong đó: V là thể tích của hình trụ;

r là bán kính đáy của hình trụ;

h là chiều cao của hình trụ.

Ví dụ: Tính thể tích của một hình trụ có bán kính đáy 5 cm và chiều cao 9 cm.

Hướng dẫn giải:

Thể tích hình trụ là:

V = πr²h = π. 5² . 9 = 225π (cm³).

Vậy thể tích hình trụ là 225π cm³.

Sơ đồ tư duy Hình trụ

Bài tập Hình trụ

Bài 1. Một hình trụ có diện tích xung quanh là 42π cm² và diện tích toàn phần là 60π cm². Tính thể tích của hình trụ đó.

A. 61 cm³.

B. 62 cm³.

C. 63 cm³.

D. 64 cm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có S_đáy = $\frac{S_{tp}-S_{xq}}{2}=\frac{60\pi -42\pi }{2}=9\pi$ (cm²).

Mà S_đáy = πr² hay 4π = πr² hay r = 3 (cm).

Ta có S_xq = 2πRh hay $h=\frac{42\pi }{2\pi r}=\frac{42}{2.3}=7$ (cm).

Thể tích của hình trụ đó là:

V = πr²h = π. 3² . 7 = 63π (cm³).

Vậy thể tích của hình trụ đó là 63π cm³.

Bài 2. Một hình trụ có chiều cao là 25cm và diện tích toàn phần là 1 200π cm². Thể tích của hình trụ đó là

A. 2 565π.

B. 5 562π.

C. 5 625π.

D. 6 525π.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi bán kính đáy hình trụ là r, chiều cao hình trụ là h.

Vì diện tích toàn phần của hình trụ là 1 200π cm² nên

S­_tp­ = 2πrh + 2πr² = 1 200π

Ta có: 2πr(h + r) = 1 200π

r(h + r) = 600

r(25 + r) = 600

r = 15

Bán kính đáy hình trụ là 15 cm.

Thể tích hình trụ là:

V = πr²h = π. 15² . 25 = 5 625π (cm³)

Vậy thể tích của hình trụ đó là là 5 625π cm³.

Bài 3. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ có bán kính đáy bằng 5 cm và chiều cao bằng 12 cm.

Hướng dẫn giải

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S_xq = 2πrh = 2π . 5 . 12 = 120π (cm²)

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

S­_tp­ = 2πRh + 2πr² = 120π + 2π . 5² = 170π (cm²).

Thể tích hình trụ là:

V = πr²h = π. 5² . 12 = 300π (cm³)

Vậy hình trụ có diện tích xung quanh là 120π cm², diện tích toàn phần là 170π cm² và thể tích là 300π cm³.

Bài 4. Từ một tấm tôn hình chữ nhật, kích thước 50 cm × 189 cm người ta cuộn tròn lại thành mặt xung quanh của một hình trụ cao 50 cm. Hãy tính:

a) Diện tích tôn để làm hai đáy;

b) Thể tích của hình trụ được tạo thành.

Hướng dẫn giải

a) Vì chiều cao của hình trụ là 50 cm nên chu vi hình tròn đáy là

$C=2\pi r=189$ nên $r=\frac{189}{2\pi }\approx 30$ (cm).

Diện tích tôn để làm hai đáy là:

S = 2πr² = 2π . 30² = 1 800π ≈ 5 654,87 (cm²).

Vậy diện tích tôn để làm hai đáy khoảng 5 654,87 cm².

b) Thể tích hình trụ được tạo thành là:

V = πr²h = π. 30² . 50 = 45 000π (cm³)

Vậy thể tích hình trụ được tạo thành là 45 000π cm³.

Bài 5. Một hình trụ có diện tích toàn phần bằng 432π cm² và chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy. Chứng minh rằng thể tích bằng 3 lần diện tích xung quanh.

Hướng dẫn giải

Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là R (cm) và h (cm).

Vì chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy nên h = 5R.

Diện tích toàn phần bằng 432π cm² nên ta có:

2πR(h + R) = 432π

2πR(5R + R) = 432π

12πR² = 432π

R² = 36

R = 6 (cm)

Khi đó ta có h = 6 . 5 = 30 (cm)

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S_xq = 2πRh = 2π . 6 . 30 = 360π (cm²)

Thể tích hình trụ là:

V = πR²h = π. 6² . 30 = 1 080π (cm³)

Ta thấy: $\frac{V}{S_{xq}}=\frac{1080\pi }{360\pi }=3$.

Vậy thể tích hình trụ gấp 3 lần diện tích xung quanh.