Lý thuyết Hình trụ - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Hình trụ

1. Hình trụ

Khi quay hình chữ nhật AA'O'O một vòng quanh cạnh OO' cố định ta được một hình trụ.

⦁ Cạnh OA, O'A' quét thành hai hình tròn có cùng bán kính gọi là hai đáy của của hình trụ; bán kính của đáy gọi là bán kinh đáy của hình trụ.

⦁ Cạnh AA' quét thành mặt xung quanh của hình trụ, mỗi vị tri của AA' được coi là một đường sinh.

⦁ Độ dài đoạn OO' gọi là chiều cao của hình trụ. Các đường sinh có độ dài bằng nhau và bằng chiều cao của hình trụ.

Ví dụ: Hình trụ dưới đây với bán kính đáy là 3 cm, chiều cao 8 cm:

2. Diện tích xung quanh của hình trụ

Diện tích xung quanh của hình trụ được tính theo công thức:

S_xq = 2πrh.

Trong đó: S_xq là diện tích xung quanh của hình trụ;

r là bán kính đáy của hình trụ;

h là chiều cao của hình trụ.

Chú ý: Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.

Ví dụ: Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của một hình trụ có bán kính đáy 2 cm và chiều cao 6 cm.

Hướng dẫn giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S_xq = 2πrh = 2π . 2 . 6 = 24π (cm²)

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

S­_tp­ = 2πrh + 2πr² = 24π + 2π.2² = 32π (cm²).

3. Thể tích của hình trụ

Thể tích của hình trụ được tính theo công thức:

V = S . h = πr²h.

Trong đó: V là thể tích của hình trụ;

r là bán kính đáy của hình trụ;

h là chiều cao của hình trụ.

Ví dụ: Tính thể tích của một hình trụ có bán kính đáy 5 cm và chiều cao 9 cm.

Hướng dẫn giải:

Thể tích hình trụ là:

V = πr²h = π. 5² . 9 = 225π (cm³).

Vậy thể tích hình trụ là 225π cm³.

Sơ đồ tư duy Hình trụ

Bài tập Hình trụ

Bài 1. Một hình trụ có diện tích xung quanh là 42π cm² và diện tích toàn phần là 60π cm². Tính thể tích của hình trụ đó.

A. 61 cm³.

B. 62 cm³.

C. 63 cm³.

D. 64 cm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có S_đáy = $\frac{S_{tp}-S_{xq}}{2}=\frac{60\pi -42\pi }{2}=9\pi$ (cm²).

Mà S_đáy = πr² hay 4π = πr² hay r = 3 (cm).

Ta có S_xq = 2πRh hay $h=\frac{42\pi }{2\pi r}=\frac{42}{2.3}=7$ (cm).

Thể tích của hình trụ đó là:

V = πr²h = π. 3² . 7 = 63π (cm³).

Vậy thể tích của hình trụ đó là 63π cm³.

Bài 2. Một hình trụ có chiều cao là 25cm và diện tích toàn phần là 1 200π cm². Thể tích của hình trụ đó là

A. 2 565π.

B. 5 562π.

C. 5 625π.

D. 6 525π.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi bán kính đáy hình trụ là r, chiều cao hình trụ là h.

Vì diện tích toàn phần của hình trụ là 1 200π cm² nên

S­_tp­ = 2πrh + 2πr² = 1 200π

Ta có: 2πr(h + r) = 1 200π

r(h + r) = 600

r(25 + r) = 600

r = 15

Bán kính đáy hình trụ là 15 cm.

Thể tích hình trụ là:

V = πr²h = π. 15² . 25 = 5 625π (cm³)

Vậy thể tích của hình trụ đó là là 5 625π cm³.

Bài 3. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ có bán kính đáy bằng 5 cm và chiều cao bằng 12 cm.

Hướng dẫn giải

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S_xq = 2πrh = 2π . 5 . 12 = 120π (cm²)

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

S­_tp­ = 2πRh + 2πr² = 120π + 2π . 5² = 170π (cm²).

Thể tích hình trụ là:

V = πr²h = π. 5² . 12 = 300π (cm³)

Vậy hình trụ có diện tích xung quanh là 120π cm², diện tích toàn phần là 170π cm² và thể tích là 300π cm³.

Bài 4. Từ một tấm tôn hình chữ nhật, kích thước 50 cm × 189 cm người ta cuộn tròn lại thành mặt xung quanh của một hình trụ cao 50 cm. Hãy tính:

a) Diện tích tôn để làm hai đáy;

b) Thể tích của hình trụ được tạo thành.

Hướng dẫn giải

a) Vì chiều cao của hình trụ là 50 cm nên chu vi hình tròn đáy là

$C=2\pi r=189$ nên $r=\frac{189}{2\pi }\approx 30$ (cm).

Diện tích tôn để làm hai đáy là:

S = 2πr² = 2π . 30² = 1 800π ≈ 5 654,87 (cm²).

Vậy diện tích tôn để làm hai đáy khoảng 5 654,87 cm².

b) Thể tích hình trụ được tạo thành là:

V = πr²h = π. 30² . 50 = 45 000π (cm³)

Vậy thể tích hình trụ được tạo thành là 45 000π cm³.

Bài 5. Một hình trụ có diện tích toàn phần bằng 432π cm² và chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy. Chứng minh rằng thể tích bằng 3 lần diện tích xung quanh.

Hướng dẫn giải

Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là R (cm) và h (cm).

Vì chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy nên h = 5R.

Diện tích toàn phần bằng 432π cm² nên ta có:

2πR(h + R) = 432π

2πR(5R + R) = 432π

12πR² = 432π

R² = 36

R = 6 (cm)

Khi đó ta có h = 6 . 5 = 30 (cm)

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S_xq = 2πRh = 2π . 6 . 30 = 360π (cm²)

Thể tích hình trụ là:

V = πR²h = π. 6² . 30 = 1 080π (cm³)

Ta thấy: $\frac{V}{S_{xq}}=\frac{1080\pi }{360\pi }=3$.

Vậy thể tích hình trụ gấp 3 lần diện tích xung quanh.

Trắc nghiệm: Hình trụ

I. Nhận biết

Câu 1. Hình chữ nhật có chiều dài 8 cm, chiều rộng 6 cm. Quay hình chữ nhật đó một vòng quanh chiều dài của nó ta được một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r.

Kết luận nào sau đây là đúng?

A. r = 8 cm; h = 6 cm.

B. r = 4 cm; h = 3 cm.

C. r = 3 cm; h = 4 cm.

D. r = 6 cm; h = 8 cm.

Câu 2. Một ống nước có dạng hình trụ (như hình vẽ).

Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Chiều cao của hình trụ là 20 cm và bán kính đáy là 10 cm.

B. Chiều cao của hình trụ là 50 cm và bán kính đáy là 20 cm.

C. Chiều cao của hình trụ là 100 cm và bán kính đáy là 10 cm.

D. Chiều cao của hình trụ là 100 cm và bán kính đáy là 20 cm.

Câu 3. Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ (T). Thể tích V của hình trụ (T) có công thức là

A. $V=\frac{4}{3}\pi r^{2}h$.

B. $V=\frac{2}{3}\pi r^{2}h$.

C. $V=\pi r^{2}h$.

D. $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$.

Câu 4. Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ (T). Diện tích xung quanh S_xq của hình trụ (T) có công thức là

A. S_xq = 2πrl.

B. S_xq = πrl.

C. S_xq = πr²l.

D. S_xq = πrh.

Câu 5. Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ (T). Diện tích toàn phần S_tq của hình trụ (T) có công thức là

A. S_tp = πrl + πr².

B. S_tp = 2πrh + 2πr².

C. S_tp = πrh + πr².

D. S_tp = πrl + 2πr².

II. Thông hiểu

Câu 6. Một hình trụ có đường kính đáy 2 dm, đường sinh 14 dm. Thể tích của hình trụ đó bằng

A. 14π dm³.

B. 56π dm³.

C. 28π dm³.

D. 7π dm³.

Câu 7. Cho hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng Quay hình chữ nhật đó một vòng quanh chiều dài của nó ta được một hình trụ có diện tích xung quanh bằng

A. 6π cm³.

B. 12 cm³.

C. 12π cm³.

D. 18π cm³.

Câu 8. Cho hình chữ nhật MNPQ có MN = 16 cm, NP = 12 cm. Khi quay hình chữ nhật đã cho một vòng quanh cạnh MN ta được một hình trụ có diện tích toàn phần (lấy π ≈ 3,14)khoảng

A. 2813,44 cm².

B. 1055,04 cm².

C. 2110,08 cm².

D. 1205,76 cm².

Câu 9. Cho hình chữ nhật có chiều dài 10 cm, chiều rộng 7 cm. Quay hình chữ nhật đó một vòng quanh chiều dài của nó ta được một hình trụ có thể tích bằng

A. 700π cm³.

B. 490π cm³.

C. 980π cm³.

D. $\frac{490\pi }{3}$ cm³.

III. Vận dụng

Câu 10. Một hộp sữa ông Thọ có dạng hình trụ (đã bỏ nắp) có chiều cao h = 12 cm và đường kính đáy d = 8 cm. Diện tích toàn phần của hộp sữa là

A. 96π (cm²).

B. 110π (cm²).

C. 112π (cm²).

D. 128π (cm²).