Lý thuyết Bất đẳng thức– Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức- Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Bất đẳng thức

1. Khái niệm bất đẳng thức

Hệ thức dạng a > b (hay a < b, a ≥ b, a ≤ b), được gọi là bất đẳng thức và a được gọi là vế trái, b được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Ví dụ 1.Hãy chỉ ra bất đẳng thức diễn tả số x nhỏ hơn hoặc bằng 5. Vế trái, vế phải của bất đẳng thức đó là gì?

Hướng dẫn giải

Để diễn tả số số a nhỏ hơn hoặc bằng 5, ta có bất đẳng thức x ≤ 5. Khi đó x là vế trái, 5 là vế phải của bất đẳng thức.

2. Tính chất của bất đẳng thức

2.1. Tính chất bắc cầu

Cho ba số a, b, c. Nếu a > b và b > c thì a > c (tính chất bắc cầu).

Ví dụ 2. Nếu u > 6 và 6 > v thì theo tính chất bắc cầu, ta suy ra u > v.

Chú ý: Tính chất bắc cầu vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥ , ≤ .

Ví dụ 3. So sánh hai số a và b, biết a ≥ 3,5 và b ≤ 3,5.

Hướng dẫn giải

Ta có b ≤ 3,5 hay 3,5 ≥ b.

Do a ≥ 3,5 và 3,5 ≥ b nên theo tính chất bắc cầu, ta suy ra a ≥ b.

2.2. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Cho ba số a, b và c. Nếu a > b thì a + c > b + c.

Chú ý: Tính chất này vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥ , ≤ .

Ví dụ 4. Cho hai số m và n thỏa mãn m ≤ n. Chứng tỏ m + 5 ≤ n + 7.

Hướng dẫn giải

Cộng 5 vào hai vế của bất đẳng thức m ≤ n, ta được:

m + 5 ≤ n + 5. (1)

Cộng n vào hai vế của bất đẳng thức 5 ≤ 7, ta được:

5 + n ≤ 7 + n hay n + 5 ≤ n + 7. (2)

Từ (1) và (2) suy ra m + 5 ≤ n + 7 (tính chất bắc cầu).

2.3. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

• Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

• Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

• Cho ba số a, b và c và a > b.

− Nếu c > 0 thì a . c > b . c;

− Nếu c < 0 thì a . c < b . c.

Chú ý: Tính chất này vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥ , ≤.

Ví dụ 5. Cho hai số a, b thỏa mãn a² > b² > 0. Chứng tỏ −3a² < −2b².

Hướng dẫn giải

Nhân hai vế của bất đẳng thức a² > b² với (−3), ta được:

−3a² < −3b². (1)

Vì b² > 0 nên khi nhân hai vế của bất đẳng thức −3 < −2 với b² ta được:

−3b² < −2b². (2)

Từ (1) và (2) suy ra −3a² < −2b² (tính chất bắc cầu).

B. Sơ đồ tư duy Bất đẳng thức

C. Bài tập Bất đẳng thức

Bài 1. Hệ thức nào sau đây là bất đẳng thức?

A. x + 6 = 0.

B. y² + 1 ≥ 0.

C. x² – 7x + 6 = 0.

D. 3x = y.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

• Các hệ thức x + 6 = 0; x² – 7x + 6 = 0; 3x = y là đẳng thức.

• Hệ thức y² ≥ 0 là bất đẳng thức.

Bài 2. Cho các số thực x, y, z biết x < y. Khẳng định nào sau đây sai?

A. x + z < y + z.

B. x – z < y – z.

C. xz < yz nếu z dương.

D. xz < yz nếu z âm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với x < y thì xz < yz nếu z âm.

Bài 3. Hãy chỉ ra các bất đẳng thức diễn tả mỗi khẳng định sau:

a) a nhỏ hơn 7;

b) b lớn hơn –1;

c) m lớn hơn hoặc bằng 8;

d) n nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

a) Bất đẳng thức diễn tả a nhỏ hơn 7 là: a < 7.

b) Bất đẳng thức diễn tả b lớn hơn –1là: b > –1.

c) Bất đẳng thức diễn tả m lớn hơn hoặc bằng 8 là: m ≥ 8.

d) Bất đẳng thức diễn tả n nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{2}$ là: $n\le \frac{1}{2}$

Bài 4. Hãy cho biết các bất đẳng thức được tạo thành khi:

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức a > 2 với −3;

b) Cộng hai vế của bất đẳng thức 2a² ≥ b – 1 với 7;

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức a < 1 với (–2), rồi tiếp tục cộng với 5;

Hướng dẫn giải

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức a > 2 với −3 ta được:

a – 3> 2 – 3

a – 3> –1.

Vậy bất đẳng thức được tạo thành là a – 3> –1.

b) Cộng hai vế của bất đẳng thức 2a² ≥ b – 1 với 7 ta được:

2a² + 7≤ b – 1 + 7

2a² + 7≤ b + 6.

Vậy bất đẳng thức được tạo thành là 2a² + 7≤ b + 6.

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức a < 1 với (–2), rồi tiếp tục cộng với 5 ta được:

–2a > (–2) . 1

–2a + 5 > (–2) . 1 + 5

–2a + 5 > 3.

Vậy bất đẳng thức được tạo thành là –2a + 5 > 3.

Bài 5. Cho hai số m, n thỏa mãn m < n. Chứng tỏ:

a) m – 5 < n – 4;

b) 3m + n < 4n;

c) –5m – 2 > –5m – 2.

Hướng dẫn giải

a) Trừ hai vế của bất đẳng thức m < n cho 5, ta được:

m – 5 < n – 5. (1)

Cộng hai vế của bất đẳng thức –5 < –4 cho n, ta được:

–5 + n < –4 + n hay n – 5 < n – 4. (2)

Từ (1) và (2) suy ra m – 5 < n – 4 (điều phải chứng minh).

b) Nhân hai vế của bất đẳng thức m < n cho 3, ta được: 3m < 3n.

Cộng hai vế của bất đẳng thức 3m < 3n cho n, ta được:

3m + n < 4n; (điều phải chứng minh).

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức m < n cho (–5), ta được: –2m > –2n.

Cộng hai vế của bất đẳng thức –2m > –2n cho (–2), ta được:

–5m – 2 > –5m – 2 (điều phải chứng minh).

Bài 6. Bất đẳng thức m ≥ 7 có thể được phát biểu là

A. m lớn hơn 7.

B. m nhỏ hơn 7.

C. m không nhỏ hơn 7.

D. m không lớn hơn 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bất đẳng thứcm ≥ 7 có thể được phát biểu là m lớn hơn hoặc bằng 7 hay m không nhỏ hơn 7.