Lý thuyết Xác suất của biến cố - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Xác suất của biến cố

1. Kết quả đồng khả năng

Trong một phép thử ngẫu nhiên, hai kết quả được gọi là đồng khả năng nếu chúng có khả năng xảy ra như nhau.

Chú ý:

− Trong phép thử tung đồng xu (hoặc gieo xúc xắc), nếu có giả thiết đồng xu, xúc xắc là cân đối và đồng chất thì các mặt của đồng xu hay xúc xắc sẽ có cùng khả năng xuất hiện.

− Trong phép thử lấy vật (quả bóng, viên bi,…) nếu có giả thiết các vật có cùng kích thước và khối lượng thì mỗi vật đều có cùng khả năng được lựa chọn.

Ví dụ: Các kết quả của một phép thử sau có cùng khả năng xảy ra không? Tại sao?

a) Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất.

b) Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ một hộp có 10 viên bi giống nhau được đánh số từ 1 đến 10.

c) Lấy ngẫu nhiên 1 tấm thẻ từ một hộp chứa 2 tấm thẻ ghi số 5 và 5 tấm thẻ ghi số 2 và xem số của nó.

Hướng dẫn giải:

a) Các kết quả của phép thử có cùng khả năng xảy ra vì khả năng gieo ra mặt sấp và ngửa là như nhau.

b) Các kết quả của phép thử có cùng khả năng xảy ra vì các viên bi giống nhau nên khả năng được lựa chọn của các viên bi là như nhau.

c) Các kết quả của phép thử không cùng khả năng xảy ra vì không thể khẳng định các thẻ lấy ra có cùng khối lượng, kích thước.

2. Xác suất của biến cố

Giả sử có một phép thử có không gian mẫu Ω gồm hữu hạn các kết quả đồng khả năng và A là một biến cố.

Xác suất của biến cố A, ký hiệu P(A), được xác định bởi công thức: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}.$

Trong đó: n(A) là số các kết quả thuận lợi cho A;

n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra.

Chú ý:

− Để tính xác suất của biến cố A, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Xác định n(Ω) là số kết quả có thể xảy ra.

• Bước 2: Kiểm tra tính đồng khả năng của các kết quả.

• Bước 3: Kiểm đếm số các kết quả thuận lợi theo biến cố A.

• Bước 4: Tính xác suất của biến cố A bằng công thức.

Ví dụ: Một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm 12 phần bằng nhau và ghi các số 1; 2; 3; ...; 12. Quay chiếc đĩa một lần và ghi lại số mà chiếc kim trên đĩa chỉ vào. Tính xác suất của biến cố: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số nguyên tố”.

Hướng dẫn giải:

Không gian mẫu của phép thử là Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố là: 2; 3; 5; 7; 11.

Xác suất của biến cố là $P\left(A\right)=\frac{5}{12}.$

Sơ đồ tư duy Xác suất của biến cố

Bài tập Xác suất của biến cố

Bài 1. Kết quả của phép thử nào sau đây không có đồng khả năng xảy ra?

A. Rút ngẫu nhiên 1 tấm thẻ từ 10 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 10.

B. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh từ danh sách lớp.

C. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ một hộp chứa 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 8 viên bi trắng rồi quan sát màu của nó, biết rằng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng.

D. Các phép thử đều có đồng khả năng xảy ra.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

• Phép thử A: Do các tấm thẻ là cùng loại nên có cùng khả năng được chọn. Các kết quả của phép thử là đồng khả năng.

• Phép thử B: Do mỗi học sinh có những điều kiện trạng thái khác nhau nên các kết quả của phép thử là không đồng khả năng.

• Phép thử C: Do mỗi viên bi đều có khối lượng và kích thước nên có cùng khả năng được chọn. Các kết quả của phép thử là đồng khả năng.

Bài 2. Một hộp có 20 viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân viết lên các viên bi đó các số 1, 2, 3, ..., 20; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau. Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp”. Xác suất biến cố: “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1” là:

A. $\frac{1}{20}.$

B. $\frac{3}{20}.$

C. $\frac{5}{20}$.

D. $\frac{7}{20}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Không gian mẫu của phép thử là:

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20}.

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố là: 1; 8; 15.

Vậy xác suất của biến cố là $P\left(A\right)=\frac{3}{20}$.

Bài 3. Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên lớn hơn 499 và nhỏ hơn 1 000.

a) Có tất cả bao nhiêu kết quả có thể xảy ra trong phép thử trên?

b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

A: “Số tự nhiên viết ra chia hết cho 100”;

B: “Số tự nhiên viết ra là lập phương của một số tự nhiên”.

Hướng dẫn giải

a) Số kết quả có thể xảy ra là: (999 – 500) : 1 + 1 = 500 (kết quả).

b) Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 500; 600; 700; 800; 900.

Do đó $P\left(A\right)=\frac{5}{500}=\frac{1}{100}$.

Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố B là: 512; 729.

Do đó $P\left(B\right)=\frac{2}{500}=\frac{1}{250}$.

Bài 4. Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, ..., 52; hai thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất các biến cố sau:

a) A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số nhỏ hơn 27”.

b) B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số lớn hơn 19 và nhỏ hơn 51”.

Hướng dẫn giải

a) Không gian mẫu của phép thử là Ω = {1; 2; 3; …; 52}.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 1; 2; 3; …; 26 nên có 26 kết quả thuận lợi cho biến cố A.

Vậy $P\left(A\right)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$.

b) Kết quả thuận lợi cho biến cố B là: 20; 21; 22; …; 50.

Có (50 – 20) : 1 + 1 = 31 (kết quả thuận lợi cho biến cố).

Vậy $P\left(B\right)=\frac{31}{52}$.

Bài 5. Nhóm học sinh tình nguyện khối 9 của một trường trung học cơ sở có 6 bạn, trong đó có 3 bạn nam là: Trung (lớp 9A); Quý (lớp 9A); Việt (lớp 9C) và 3 bạn nữ là: An (lớp 9A); Châu (lớp 9B); Hương (lớp 9D). Chọn ngẫu nhiên một bạn trong nhóm đó để tham gia hoạt động tình nguyện của trường.

a) Liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra trong phép thử trên. Có tất cả bao nhiêu kết quả có thể xảy ra.

b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

A: “Bạn được chọn là bạn nữ”;

B: “Bạn được chọn thuộc lớp 9A”.

Hướng dẫn giải

a) Các kết quả có thể xảy ra là: Trung, Quý, Việt, An, Châu, Hương.

b) Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: An, Châu, Hương.

Do đó $P\left(A\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố B là: Trung, Quý, An.

Do đó $P\left(B\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.