Lý thuyết Hàm số và đồ thị của hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Hàm số và đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0)

1. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

– Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) xác định với mọi giá trị $x\in ℝ$ nên tập xác định của hàm số là $D=ℝ$.

Ví dụ: Các hàm số sau đây có dạng y = ax2 (a ≠ 0): y = 5x2; y = –3x2; $y=\frac{1}{3}{x}^2$ ; …

2. Bảng giá trị của hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Để lập bảng giá trị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0), ta lần lượt cho x nhận các giá trị x1, x2, x3,... (x1, x2, x3,... tăng dần) và tính các giá trị tương ứng của y rồi ghi vào bảng như sau:

Ví dụ: Dưới đây là bảng giá trị của hàm số y = 3x2 với các giá trị x lần lượt bằng –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3:

3. Đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Đồ thị của hàm số số y = ax2 (a ≠ 0) là một đường cong đi qua gốc toạ độ, nhận trục tung làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol đỉnh O.

• Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

• Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

Chú ý: Để vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0), ta thực hiện các bước sau:

– Lập bảng giá trị của hàm số với một số giá trị của x (thường lấy 5 giá trị gồm 0 và hai cặp giá trị đối nhau).

– Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đánh dấu các điểm (x; y) trong bảng giá trị (gồm điểm (0; 0) và hai cặp điểm đối xứng nhau qua trục Oy).

– Vẽ đường parabol đi qua các điểm vừa được đánh dấu.

Vì đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) luôn đi qua gốc toạ độ O và nhận trục Oy làm trục đối xứng nên khi vẽ đồ thị hàm số, ta chỉ cần tìm một số điểm bên phái trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng qua trục Oy.

Ví dụ: Để vẽ đồ thị của hàm số y = 2x2 ta lập bảng giá trị của hàm số:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(–1; 2); B(1; 2); O(0; 0); C(–1,5; 4,5); D(1,5; 4,5).

Đồ thị của hàm số y = 2x2 là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như sau:

Sơ đồ tư duy Hàm số và đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Bài tập Hàm số và đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Bài 1. Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào nằm dưới trục hoành?

A. y = x².

B. y = 2x².

C. $y=\frac{1}{2}{x}^2$.

D. y = –x².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đồ thị hàm số y = –x² nằm dưới trục hoành vì a = –1 < 0.

Bài 2. Điểm cao nhất của đồ thị của hàm số số y = ax² (a < 0) có hoành độ là

A. –1.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Khi a < 0 thì đồ thị của hàm số số y = ax² nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. Tọa độ của điểm O là (0; 0).

Bài 3. Lập bảng giá trị của hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^2$ với các giá trị x lần lượt bằng –2; –1; 2; 5; 8

Hướng dẫn giải

Bảng giá trị của hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^2$:

Bài 4. Vẽ đồ thị của hàm số y = 3x².

Hướng dẫn giải

Bảng giá trị của hàm số:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm $A\left(-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$; $B\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$; O(0; 0); C(–1; 3); D(1; 3).

Đồ thị của hàm số y = 3x² là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như sau:

Bài 5. Vẽ đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{3}{x}^2$.

Hướng dẫn giải

Bảng giá trị của hàm số:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm $A\left(-1;-\frac{1}{3}\right)$; $B\left(1;-\frac{1}{3}\right)$; O(0; 0); C(–3; –3); D(3; –3).

Đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{3}{x}^2$ là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như sau:

Bài 6. Viết công thức tính diện tích của hình vuông cạnh 2a. Lập bảng giá trị diện tích của hình lập phương với các giá trị a lần lượt là 1; 2; 3.

Hướng dẫn giải

Diện tích hình vuông là $S={\left(2a\right)}^2=4a^2$.

Bảng giá trị của hàm số:

Trắc nghiệm: Hàm số và đồ thị của hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)

I. Nhận biết

Câu 1. Hàm số y = ax² (a ≠ 0) xác định với

A. mọi giá trị x ∈ ℝ.

B. mọi giá trị x ∈ ℤ.

C. mọi giá trị x ∈ ℕ.

D. mọi giá trị x ∈ ℕ*.

Câu 3. Kết luận nào sau đây là sai khi nói về đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0)?

A. Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

B. Với a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành và O(0; 0) là điểm cao nhất của đồ thị.

C. Với a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành và O(0; 0) là điểm cao nhất của đồ thị.

D. Với a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành và O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thị.

Câu 4.Điểm đối xứng với điểm (x; y)qua trục Oy là

A. (0; 0).

B. (–x; y).

C. (–x; y).

D. (x; –y).

Câu 5. Cho đồ thị của một hàm số bậc hai sau:

Hệ số của đồ thị hàm số bậc hai này là

A. a = –1.

B. a = 1.

C. a < 0.

D. a > 0.

II. Thông hiểu

Câu 6.Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = 3x²?

A. (–1; –3).

B. (4; 12).

C. (–2; –6).

D. (1; 3).

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y = (m + 2)x² có đồ thị đi qua điểm (–1; 3). Khi đó giá trị của m tương ứng là

A. m = –1.

B. m = 1.

C. m = 0.

D. m = 2.

Câu 8. Để vẽ được đồ thị hàm số $y=\frac{-1}{4}{x}^2$ cần xác định các điểm nào sau đây?

A. (–4; –4); (–2; –1); (0; 0); (2; –1); (4; –4).

B. (–4; 4); (–2; –1); (0; 0); (2; –1); (4; –4).

C. (–4; –4); (–2; 1); (0; 0); (2; –1); (4; –4).

D. (–4; –4); (2; –1); (0; 0); (2; 1); (4; –4).

Câu 9. Cho hàm số y = –2x² có đồ thị là (P). Tọa độ các điểm thuộc (P) có tung độ bằng –6 là

A. (√3; –6); (–√3; –6).

B. (–6; √3); (–6; –√3).

C. (√3; –6).

D. (–72; –6).

III. Vận dụng

Câu 10. Cho hàm số y = x² có đồ thị là (P). Đường thẳng đi qua hai điểm thuộc (P) có hoành độ bằng –1 và 2 là

A. y = –x + 2.

B. y = x + 2.

C. y = –x – 2.

D. y = x – 2.