Lý thuyết Góc ở tâm, góc nội tiếp - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Góc ở tâm, góc nội tiếp

1. Góc ở tâm

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O). Xác định các góc ở tâm của đường tròn.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

Trong hình vẽ trên, đường tròn (O) có các góc ở tâm là $\widehat{AOB},\widehat{BOC},\widehat{AOC}.$

2. Cung, số đo cung

Cung:

• Mỗi phần đường tròn giới hạn bởi hai điểm A, B trên đường tròn gọi là một cung AB, kí hiệu là $\stackrel{⏜}{AB}.$

Chú ý:

• Trong hình trên, ta nói góc ở tâm $\widehat{AOB}$ chắn cung AnB hay cung AnB bị chắn bởi góc ở tâm $\widehat{AOB}.$

Khi $0°<\widehat{AOB}<180°,$ để phân biệt hai cung có chung các mút là A và B, ta gọi $\stackrel{⏜}{AnB}$ (cung nằm trong góc $\widehat{AOB}$ ) là cung nhỏ và $\stackrel{⏜}{AmB}$ là cung lớn.

• Khi AB là đường kính thì gọi cung AB là cung nửa đường tròn.

• Khi nói “góc ở tâm $\widehat{AOB}$ chắn cung AB” thì ta hiểu là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB.

• Nếu EF là đường kính thì mỗi cung EF là một nửa đường tròn. Góc bẹt $\widehat{\text{EOF}}$ chắn nửa đường tròn.

Số đo cung:

• Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ có chung hai đầu mút với cung lớn.

• Số đo của cung nửa đường tròn bằng 180°.

• Số đo của cung AB được kí hiệu là $sđ\stackrel{⏜}{AB}.$

• Trên đường tròn (O), cho B là một điểm nằm trên cung AC. Ta nói điểm B chia cung AC thành hai cung $\stackrel{⏜}{AB},$$\stackrel{⏜}{BC}.$ Ta có: $sđ\stackrel{⏜}{AC}=sđ\stackrel{⏜}{AB}+sđ\stackrel{⏜}{BC}.$

Chú ý:

• Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 180°, cung lớn có số đo lớn hơn 180°. Cung nửa đường tròn có số đo 180°.

• Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có cung không với số đo 0° và cung cả đường tròn có số đo 360°.

• Một cung có số đo n° thường được gọi tắt là cung n°.

• Trong một đường tròn, hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

Ví dụ: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết $\widehat{AMB}=40°.$

a) Tính $\widehat{AMO}$ và $\widehat{AOM};$

b) Tính số đo cung $\stackrel{⏜}{AB}$ nhỏ và $\stackrel{⏜}{AB}$ lớn.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

a) Xét đường tròn (O) có MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M. Suy ra OM là tia phân giác của góc (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra $\widehat{AMO}=20°,$$\widehat{AOM}=70°$ (hai góc phụ nhau trong ∆AMO).

b) Ta có: $sđ\stackrel{⏜}{AmB}=\widehat{AOB}=140°$ suy ra $sđ\stackrel{⏜}{AnB}=220°.$

3. Góc nội tiếp

Nhận biết góc nội tiếp:

• Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Ví dụ: Tìm góc nội tiếp chắn cung AC của đường tròn (O) trong hình sau:

Hướng dẫn giải

Trong hình trên, $\widehat{ABC}$ là góc nội tiếp chắn $\stackrel{⏜}{AC}$ của đường tròn (O).

Số đo góc nội tiếp:

Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Chú ý: Trong một đường tròn:

• Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

• Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90° có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Ví dụ: Cho (O; R) và dây cung $MN=R\sqrt{3}.$ Kẻ OK vuông góc với MN tại K. Tính số đo các góc $\widehat{MOK}$ và $\widehat{MON}.$

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

Xét đường tròn (O) có OM = ON = R suy ra ∆OMN là tam giác cân.

∆OMN cân có OK vừa là đường cao vừa là đường trung trực.

Suy ra $MK=NK=\frac{MN}{2}=\frac{R\sqrt{3}}{2}.$

Xét ∆OKM có $\sin \widehat{MOK}=\frac{MK}{OM}=\frac{\frac{R\sqrt{3}}{2}}{R}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ suy ra $\widehat{MOK}=60°.$

OK là tia phân giác của ∆OMN nên $\widehat{MOK}=\widehat{NOK}=\frac{1}{2}\widehat{MON}.$

Suy ra $\widehat{MON}=120°.$

Sơ đồ tư duy Góc ở tâm, góc nội tiếp

Bài tập Góc ở tâm, góc nội tiếp

Bài 1. Nếu tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn. Chọn khẳng định sai.

A.$\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180°;$

B. $\widehat{ABD}=\widehat{ACD};$

C. Tổng 4 góc là 360°;

D. $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét đường tròn (O) có:

$\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180°$ (tổng hai góc đối)

$\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{AD}$ )

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°$ (tổng 4 góc trong tứ giác).

Bài 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ góc ở tâm $\widehat{AOC}=50°$ với C nằm trên (O). Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB.

a) Tính số đo cung nhỏ BE;

b) Tính số đo cung $\stackrel{⏜}{CBE}.$ Từ đó suy ra ba điểm C, O, E thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

a) Xét đường tròn (O) có: AB ⊥ CD và AB là đường kính.

Suy ra AB cắt CD tại trung điểm CD mà DE // AB nên DE ⊥ CD.

Do đó ∆CDE vuông tại D mà C, D, E đều nằm trên đường tròn (O).

Suy ra CE là đường kính của đường tròn (O).

Ta có: AB cắt CE tại O suy ra $\widehat{AOC}=\widehat{BOE}=50°$ (hai góc đối đỉnh).

Vậy $sđ\stackrel{⏜}{BE}=\widehat{BOE}=50°$.

b) Vì CE là đường kính nên $sđ\stackrel{⏜}{CBE}=180°$.

Suy ra ba điểm C, O, E thẳng hàng.

Bài 3. Xác định số đo các cung $\stackrel{⏜}{AB},$$\stackrel{⏜}{BC},$$\stackrel{⏜}{CA}$trong mỗi hình vẽ sau.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABC, ta có:

$\widehat{BAC}=180°-\widehat{CBA}-\widehat{ACB}=180°-60°-40°=80°.$

• $sđ\stackrel{⏜}{BC}=2\widehat{BAC}=2.80°=160°$ (vì $\stackrel{⏜}{BC}$ và $\widehat{BAC}$ cùng chắn cung BC).

• $sđ\stackrel{⏜}{AB}=2\widehat{ACB}=2.40°=80°$ (vì $\stackrel{⏜}{AB}$ và $\widehat{ACB}$ cùng chắn cung AB).

• $sđ\stackrel{⏜}{AC}=2\widehat{ABC}=2.60°=120°$ (vì $\stackrel{⏜}{AC}$ và $\widehat{ABC}$ cùng chắn cung AC).

b) Ta có $sđ\stackrel{⏜}{BC}$ và góc ở tâm $\widehat{BOC}$ cùng chắn cung BC suy ra $sđ\stackrel{⏜}{BC}=\widehat{BOC}=140°.$

Xét ∆OAB có OA = OB = R suy ra ∆OAB cân tại O.

Mặt khác $\widehat{OBA}=40°$ nên $\widehat{AOB}=180°-2\widehat{OBA}=180°-2.40°=100°.$

Ta có $sđ\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}=100°$ (vì $\stackrel{⏜}{AB}$ và $\widehat{AOB}$ cùng chắn cung AB).

Suy ra $sđ\stackrel{⏜}{AC}=360°-sđ\stackrel{⏜}{AB}-sđ\stackrel{⏜}{BC}=360°-100°-140°=120°.$