Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn- Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bước 1. Từ một phương trình của hệ, ta biểu diễn ẩn này theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để nhận được một phương trình một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ.

Ví dụ 1. Giải phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 2x-y=3\end{array}\right.$ bằng phương pháp thế.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 2x-y=3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=y+3\\ 2(y+3)-y=3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=y+3\\ y=-3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-3\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (0; −3).

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bước 1. Nhân hai vế của mỗi phương trình với mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2. Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ để được một phương trình một ẩn và giải phương trình đó.

Bước 3. Thế giá trị của ẩn tìm được ở Bước 2 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn còn lại. Kết luận hệ của nghiệm.

Ví dụ 2. Giải phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=25\\ x-y=5\end{array}\right.$bằng phương pháp cộng đại số.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x+y=25\\ x-y=5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x+y+(x-y)=25+5\\ x+y-(x-y)=25-5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2x=30\\ 2y=20\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=15\\ y=10\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (15; 10).

3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bước 1. Lập hệ phương trình

− Chọn hai ẩn biểu thị hai đại lượng chưa biết và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn.

− Biểu diễn các đại lượng liên quan theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

− Lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải hệ phương trình nhận được.

Bước 3. Kiểm tra nghiệm tìm được ở Bước 2 có thỏa mãn điều kiện của ẩn hay không, rồi trả lời bài toán.

Ví dụ 3. Một khách du lịch đi trên ôtô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường dài 640km. Hỏi vận tốc của tàu hỏa và ôtô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô 5km?

Hướng dẫn giải

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe ôtô (x > 0);

y (km/h) là vận tốc của tàu hỏa (y > 0).

Quãng đường đi được bằng ôtô là: 4x (km).

Quãng đường đi được tàu hỏa là: 7y (km).

Tổng quãng đường đi được là 640km nên ta có: 4x + 7y = 640 (km) (1)

Mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô 5km nên ta có: y − x = 5 (km) (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}4x+7y=640\\ y-x=5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}4x+7y=640\\ y=x+5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}4x+7(x+5)=640\\ y=x+5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}11x=605\\ y=x+5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=55\\ y=60\end{array}\right.$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc của ôtô là 55 km/h và vận tốc của tàu hỏa là 60km/h.

B. Bài tập Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1. Giải các hệ phương trình:

a) $\left\{\begin{array}{l}8x-4y=-12\\ -8x+9y=3;\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}12x+18y=-24\\ -2x-3y=4;\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}\left(x+1\right)\left(y-1\right)=xy-1\\ \left(x-3\right)(y-3)=xy-3.\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

a) Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 5y = –9 hay $y=-\frac{9}{5}.$

Thế $y=-\frac{9}{5}$vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có $2x+\frac{9}{5}=–3$hay $2x=-\frac{24}{5},$ suy ra $x=-\frac{12}{5}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left(-\frac{12}{5};-\frac{9}{5}\right).$

b) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 6, ta được hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{l}12x+18y=-24\\ -12x-18y=24.\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được phương trình:

0x + 0y = 0, hay 0x = 0. Phương trình này có vô số nghiệm x ∈ ℝ.

Từ phương trình thứ hai ta có 3y = –2x – 4, suy ra $y=-\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm$\left\{\begin{array}{l}x\in ℝ\\ y=-\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}.\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}\left(x+1\right)\left(y-1\right)=xy-1\\ \left(x-3\right)(y-3)=xy-3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}xy-x+y-1=xy-1\\ xy-3x-3y+9=xy-3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-x+y=0\\ -3x-3y=-12\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y=4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=y\\ x+x=4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=y\\ 2x=4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; 2).

Bài 2. Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2; 1) và B(4; –2).

Hướng dẫn giải

• Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2; 1) nên

1 = a . 2 + b hay 2a + b = 1.(1)

• Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm B(4; –2) nên

–2 = a . 4 + b hay 4a + b = –2.(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2a+b=1\\ 4a+b=-2\end{array}\right.$(I)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ (I), ta được –2a = 3. Suy ra $a=-\frac{3}{2}$

Thay $a=-\frac{3}{2}$ vào phương trình thứ nhất của hệ (I), ta được

$2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)+b=1$hay –3 + b = 1 nên b = 4.

Vậy $a=-\frac{3}{2}$; b = 4.

Bài 3. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong 18 giờ thì đầy bể. Nếu vòi 1 chảy trong 4 giờ, vòi 2 chảy trong 7 giờ thì chỉ được $\frac{1}{3}$ bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu sẽ đầy bể?

Hướng dẫn giải

Gọi x (bể) là phần nước của bể vòi một chảy được trong 1 giờ (x > 0)

y (bể) là phần nước của bể vòi hai chảy dược trong 1 giờ (y > 0)

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong 18 giờ thì đầy bể nên

18x + 18y = 1.(1)

Vòi 1 chảy trong 4 giờ, vòi 2 chảy trong 7 giờ thì chỉ được $\frac{1}{3}$ bể nên

4x + 7y = $\frac{1}{3}$.(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}18x+18y=1\\ 4x+7y=\frac{1}{3}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}18x+18y=1\\ x=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-7y\right)\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\frac{18}{4}\left(\frac{1}{3}-7y\right)+18y=1\\ x=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-7y\right)\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\frac{-27}{2}y=-\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-7y\right)\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{27}\\ x=\frac{1}{54}\end{array}\right.$(thỏa mãn điều kiện)

Ta có vòi 1 mỗi giờ chảy được $\frac{1}{54}$ bể suy ra vòi 1 chảy một mình 54 giờ thì đầy bể,

vòi 2 mỗi giờ chảy được $\frac{1}{27}$ bể suy ra vòi 2 chảy một mình 27 giờ thì đầy bể.

Vậy vòi 1 chảy một mình 54 giờ thì đầy bể, vòi 2 chảy một mình trong 27 giờ thì đầy bể.

Bài 4. Giải các hệ phương trình:

a) $\left\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 2x-5y=1;\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}5x+6y=6\\ 5x+2y=2;\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}5x-4y=3\\ 2x+y=4.\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

a) $\left\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 2x-5y=1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=5-2y\\ 2(5-2y)-5y=1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=5-2y\\ -9y=-9\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (3; 1).

b) $\left\{\begin{array}{l}5x+6y=6\\ 5x+2y=2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5x+6y-(5x+2y)=6-2\\ x=\frac{2-2y}{5}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}4y=4\\ x=\frac{2-2y}{5}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=1\\ x=0\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (0; 1).

c) $\left\{\begin{array}{l}5x-4y=3\\ 2x+y=4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5x-4\left(4-2x\right)=3\\ y=4-2x\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5x-16+8x=3\\ y=4-2x\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}13x=19\\ y=4-2x\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{19}{13}\\ y=\frac{14}{13}\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(\frac{19}{13};\frac{14}{13}\right)$