Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán lớp 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn- Cánh diều

A. Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

– Khái niệm: Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là những số cho trước, a ≠ 0 hoặc b ≠ 0.

– Khái niệm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn:

Cho phương trình bậc nhất hai ẩn x, y: ax + by = c.

Nếu ax₀ + by₀ = c là một khẳng định đúng thì cặp số (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của phương trình ax + by = c.

Ví dụ 1. Các phương trình x = 1; 2y = –3; x – 2y = 3 là các phương trình bậc nhất hai ẩn x, y.

Ví dụ 2. Trong các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của phương trình x – 2y = 3?

a) (1; 2);

b) (–1; –2);

c) (3; 0).

Hướng dẫn giải

⦁ Thay x = 1 và y = 2, ta có: 1 – 2.2 = –3 ≠ 3.

Vậy (1; 2) không là nghiệm của phương trình đã cho.

⦁ Thay x = –1 và y = –2, ta có: –1 – 2.(–2) = 3.

Vậy (–1; –2) là một nghiệm của phương trình đã cho.

⦁ Thay x = 3 và y = 0, ta có: 3 – 2.0 = 3.

Vậy (3; 0) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Chú ý:

⦁ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình ax + by = c được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm (x₀; y₀) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (x₀; y₀).

⦁ Ta cũng áp dụng được quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân đã biết ở phương trình bậc nhất một ẩn để biến đổi phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nhận xét:

⦁ Mỗi nghiệm của phương trình ax + 0y = c hay ax = c với a ≠ 0, được biểu diễn bởi một điểm có tọa độ $\left(\frac{c}{a};y_0\right)$ (y₀ ∈ ℝ) nằm trên đường thẳng $d_1:x=\frac{c}{a}.$ Đường thẳng d₁ là đường thẳng đi qua điểm $\frac{c}{a}$ trên trục Ox và vuông góc với trục Ox (Hình vẽ):

⦁ Mỗi nghiệm của phương trình 0x + by = c hay by = c với a ≠ 0, được biểu diễn bởi một điểm có tọa độ $\left(x_0;\frac{c}{b}\right)$ (x₀ ∈ ℝ) nằm trên đường thẳng $d_2:y=\frac{c}{b}.$ Đường thẳng d₂ là đường thẳng đi qua điểm $\frac{c}{b}$ trên trục Oy và vuông góc với trục Oy (Hình vẽ):

⦁ Mỗi nghiệm của phương trình ax + by = c với a ≠ 0, b ≠ 0, được biểu diễn bởi một điểm nằm trên đường thẳng $d_3:y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}.$ Đường thẳng d₃ là đồ thị của hàm số $d_3:y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$ (Hình vẽ):

Ví dụ 2.

a) Mỗi nghiệm của phương trình x = 1 được biểu diễn bởi điểm (1; y₀) (y₀ ∈ ℝ) nằm trên đường thẳng d₁: x = 1. Đường thẳng d₁ là đường thẳng đi qua điểm 1 trên trục Ox và vuông góc với trục Ox (Hình a).

b) Mỗi nghiệm của phương trình y = –1 được biểu diễn bởi điểm (x₀; –1) (x₀ ∈ ℝ) nằm trên đường thẳng d₂: y = –1. Đường thẳng d₂ là đường thẳng đi qua điểm –1 trên trục Oy và vuông góc với trục Oy (Hình b).

c) Mỗi nghiệm của phương trình x – 2y = 3 được biểu diễn bởi một điểm nằm trên đường thẳng $d_3:y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}.$ Đường thẳng d₃ là đồ thị của hàm số $d_3:y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$ (Hình c).

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

– Khái niệm: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a^{\text{'}}x+b^{\text{'}}y=c^{\text{'}}\end{array}\right.\left(I\right),$ ở đó mỗi phương trình ax + by = c và a’x + b’y = c’ đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.

– Khái niệm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Nếu cặp số (x₀; y₀) là nghiệm của từng phương trình trong hệ (I) thì cặp số (x₀; y₀) được gọi là nghiệm của hệ (I).

– Khái niệm giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.

Ví dụ 3. Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: $\left\{\begin{array}{l}x-y=20\\ 10x-7y=24.\end{array}\right.$

Trong các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình đã cho?

a) (0; –20);

b) $\left(-\frac{116}{3};-\frac{176}{3}\right).$

Hướng dẫn giải

a) Thay x = 0 và y = –20 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

0 – (–20) = 20;

10.0 – 7.(–20) = 140 ≠ 24.

Do đó cặp số (0; –20) không là nghiệm của phương trình thứ hai trong hệ.

Vậy cặp số (0; –20) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

b) Thay $x=-\frac{116}{3}$ và $y=-\frac{176}{3}$ vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

$-\frac{116}{3}–\left(–\frac{176}{3}\right)=20;$

$10\cdot \left(-\frac{116}{3}\right)–7\cdot \left(–\frac{176}{3}\right)=24.$

Suy ra cặp số $\left(-\frac{116}{3};-\frac{176}{3}\right)$ là nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Vậy cặp số $\left(-\frac{116}{3};-\frac{176}{3}\right)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

B. Sơ đồ tư duy Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

C. Bài tập Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1. Đường thẳng d trong hình vẽ dưới đây biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn nào?

A. –2x + 0y = 0.

B. y = –2.

C. 0x + 2y = –4.

D. 2x + 0y = –4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d trong hình vẽ là đường thẳng đi qua điểm –2 trên trục Ox và vuông góc với trục Ox nên đường thẳng d biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình x = –2.

⦁ Xét phương án A: ta có phương trình –2x + 0y = 0, hay x = 0 (loại).

⦁ Xét phương án B: ta có phương trình y = –2 (loại).

⦁ Xét phương án C: ta có phương trình 0x + 2y = –4, hay y = –2 (loại).

⦁ Xét phương án D: ta có phương trình 2x + 0y = –4, hay x = –2.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 2. Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}4x-5y=3\\ 3x-y=16\end{array}\right.?$

A. (–1; 3).

B. (2; 1).

C. (7; 5).

D. (5; –1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

⦁ Thay x = –1 và y = 3 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

4.(–1) – 5.3 = –19 ≠ 3;

3.(–1) – 3 = –6 ≠ 16.

Do đó cặp số (–1; 3) không là nghiệm của mỗi phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (–1; 3) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

⦁ Thay x = 2 và y = 1 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

4.2 – 5.1 = 3;

3.2 – 1 = 5 ≠ 16.

Do đó cặp số (2; 1) không là nghiệm của phương trình thứ hai trong hệ.

Vậy cặp số (2; 1) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

⦁ Thay x = 7 và y = 5 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

4.7 – 5.5 = 3;

3.7 – 5 = 16.

Suy ra cặp số (7; 5) là nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (7; 5) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

⦁ Thay x = 5 và y = –1 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

4.5 – 5.(–1) = 25 ≠ 3;

3.5 – (–1) = 16.

Do đó cặp số (5; –1) không là nghiệm của phương trình thứ nhất trong hệ.

Vậy cặp số (5; –1) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ta chọn phương án C.

Bài 3. Xét trò ném đồng xu vào trong vòng tròn như hình vẽ dưới đây:

– Lượt chơi thứ nhất (ném đồng xu 2 lần): một đồng xu rơi vào phần trong (hình tròn màu trắng), một đồng xu rơi vào phần ngoài (hình vành khăn màu đen); tổng số điểm đạt được là 17 (điểm).

– Lượt chơi thứ hai (ném đồng xu 5 lần): hai đồng xu rơi vào phần trong, ba đồng xu rơi vào phần ngoài; tổng số điểm đạt được là 41 (điểm).

Gọi x, y lần lượt là số điểm ấn định cho phần trong và phần ngoài.

a) Viết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

b) Cặp số (10; 7) có phải là nghiệm của hệ phương trình ở câu a hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) – Lượt chơi thứ nhất có một đồng xu rơi vào phần trong và một đồng xu rơi vào phần ngoài, đạt được 17 điểm nên ta có phương trình: x + y = 17.

– Lượt chơi thứ hai có hai đồng xu rơi vào phần trong, ba đồng xu rơi vào phần ngoài, đạt được 41 điểm nên ta có phương trình: 2x + 3y = 41.

Vậy hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng là: $\left\{\begin{array}{l}x+y=17\\ 2x+3y=41.\end{array}\right.$

b) Thay x = 10 và y = 7 vào mỗi phương trình trong hệ ở câu a, ta có:

10 + 7 = 17;

2.10 + 3.7 = 41.

Suy ra cặp số (10; 7) là nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (10; 7) là nghiệm của hệ phương trình ở câu a.

Bài 4. Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8?

A. (–2; 1).

B. (0; 2).

C. (–1; 0).

D. (4; 3).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình 5x + 4y = 8:

⦁ Thay x = –2 và y = 1, ta có: 5.(–2) + 4.1 = –2 ≠ 8.

⦁ Thay x = 0 và y = 2, ta có: 5.0 + 4.2 = 8.

⦁ Thay x = –1 và y = 0, ta có: 5.(–1) + 4.0 = –5 ≠ 8.

⦁ Thay x = 4 và y = 3, ta có: 5.4 + 4.3 = 32 ≠ 8.

Vậy (0; 2) là nghiệm của phương trình đã cho.

Trắc nghiệm: Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

I. Nhận biết

Câu 1. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn

A. $2x+3y=-5.$

B. $0x-7y=1.$

C. $0x+0y=2.$

D. $4x-0y=11.$

Câu 2. Hệ số a, b, c tương ứng của phương trình bậc nhất hai ẩn $2x-4y=-1$ là

A. $a=\mathrm{2,}b=-\mathrm{4,}c=1.$

B. $a=\mathrm{2,}b=\mathrm{4,}c=-1.$

C. $a=-\mathrm{4,}b=\mathrm{2,}c=-1.$

D. $a=\mathrm{2,}b=-\mathrm{4,}c=-1.$

Câu 3. Cặp số $\left(-2;3\right)$ là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. $2x+y=2.$

B. $2x-y=-7.$

C. $x-3y=-10.$

D. $x-y=1.$

Câu 4. Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình nào là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $\left\{\begin{array}{l}-x+4y=0\\ 3x-2y=10.\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-5y^2=2\\ 3y=4.\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}0x+0y=-5\\ 4x-7y=-8.\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}2x=-7\\ x+\frac{1}{y}=6.\end{array}\right.$

Câu 5. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y=2\\ -x+4y=9\end{array}\right.,$ cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình đã cho?

A. $\left(17;-11\right).$

B. $\left(\frac{17}{3};\frac{11}{3}\right).$

C. $\left(\frac{11}{3};\frac{17}{3}\right).$

D. $\left(-11;0\right).$

II. Thông hiểu

Câu 6. Tất cả các nghiệm của phương trình $4x+2y-6=0$được biểu diễn bởi đường thẳng nào sau đây?

A. $y=2x-3.$

B. $y=-2x+3.$

C. $y=3x+2.$

D. $y=4x-6.$

Câu 7. Với giá trị nào của $y_0$ để cặp số $\left(1;y_0\right)$ là nghiệm của phương trình $-5x+2y=15?$

A. -2

B. 5

C. -10

D. 10

Câu 8. Điểm $H\left(-2;5\right)$ thuộc đường thẳng nào sau đây?

A. $\left(d_1\right):-5x+2y=11.$

B. $\left(d_2\right):-5x+2y=20.$

C. $\left(d_3\right):5x-2y=11.$

D. $\left(d_4\right):5x+2y=-15.$

Câu 9. Hai điểm $P\left(2;8\right),Q\left(-1;26\right)$ cùng thuộc đường thẳng nào sau đây?

A. $d_1:y=-6x+20.$

B. $d_2:y=-6x+22.$

C. $d_3:y=6x-20.$

D. $d_4:y=3x+5.$

III. Vận dụng

Câu 10. Cho phương trình $3x+\left(m^2+m\right)y=6$ có nghiệm (-2; 6). Có bao nhiêu giá trị thỏa mãn điều kiện trên?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.