Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

1. Tính cạnh góc vuông theo cạnh huyền và tỉ số lượng giác của góc nhọn

Định lí: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin của góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

Trong hình vẽ trên, ta có:

⦁ AC = BC.sinB = BC.cosC;

⦁ AB = BC.sinC = BC.cosB.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 12 cm, $\hat{B}=40°.$ Tính AB, AC (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông tại A, có:

⦁ AB = BC.cosB = 12.cos40° ≈ 9,19 (cm);

⦁ AC = BC.sinB = 12.sin40° ≈ 7,71 (cm);

Vậy AB ≈ 9,19 cm và AC ≈ 7,71 cm.

Ví dụ 2. Một chiếc thang dài 4 m. Cần đặt chân thang cách chân tường bao nhiêu mét để tạo với mặt đất một góc “an toàn” là 65° (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

Đặt các điểm A, B, C như hình vẽ.

Tam giác ABC vuông tại B nên $AB=AC.\cos \widehat{BAC}=4.\cos 65°\approx 1,69$(m)

Vậy cần đặt chân thang cách chân tường khoảng 1,69 mét để tạo với mặt đất một góc “an toàn” là 65°.

2. Tính cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông còn lại và tỉ số lượng giác của góc nhọn

Định lí: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang của góc đối hoặc nhân với côtang của góc kề.

Trong hình vẽ trên, ta có:

⦁ AC = AB.tanB = AB.cotC;

⦁ AB = AC.tanC = AC.cotB.

Ví dụ 3.Một cái cây có bóng trên mặt đất dài 7,5 m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 42°. Tính chiều cao của cái cây đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

Gọi AB là chiều cao của cái cây, AC là bóng của cái cây đó.

Tam giác ABC vuông tại A: AB = AC.tanC = 7,5.tan42° ≈ 6,75 (m)

Vậy chiều cao của cái cây đó khoảng 6,75 m.

3. Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để giải tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, nếu cho biết độ dài hai cạnh hoặc độ dài một cạnh và số đo một góc nhọn thì ta sẽ tìm được tất cả độ dài các cạnh và số đo các góc còn lại của tam giác đó. Bài toán đặt ra như thế gọi là bài toán “giải tam giác vuông”.

Lưu ý rằng, trong kết quả của các ví dụ sau đây, nếu không nói gì thêm thì ta làm tròn đến hàng đơn vị của độ (với số đo góc) và đến hàng phần mười của centimét (với số đo độ dài).

Ta sẽ tìm hiểu bài toán giải tam giác vuông qua những ví dụ cụ thể sau đây.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 26 cm, AB = 10 cm. Tính số đo các góc $\hat{B},\hat{C}$ và độ dài cạnh AC.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

⦁ $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}$. Suy ra $\hat{B}\approx 67°;$

⦁ $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}$. Suy ra $\hat{C}\approx 23°.$

Tam giác ABC vuông tại A: BC² = AB² + AC² (Định lí Pythagore)

Suy ra AC² = BC² – AB² = 26² – 10² = 576

Do đó AC = 24 (cm).

Vậy $\hat{B}\approx 67°$; $\hat{C}\approx 23°$và AC = 24 cm.

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 21 cm; $\hat{C}=38°.$ Tính:

a) AC, BC.

b) Số đo $\hat{B}$.

c) Độ dài đoạn thẳng BD với BD là phân giác của góc ABC.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

⦁ AC = AB.cotC = 21.cot38° ≈ 26,9 (cm);

⦁ AB = BC.sinC hay $BC=\frac{AB}{\sin C}=\frac{21}{\sin 38°}\approx 34,1$ (cm).

Vậy AC ≈ 26,9 cm và BC ≈ 34,1 cm.

b) Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°).

Suy ra $\widehat{ABC}=90°-\widehat{ACB}=90°-38°=52°$.

c) Ta có BD là phân giác của nên .

Tam giác ABD vuông tại A nên $\widehat{ABD}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{52°}{2}=26°$.

Suy ra $AB=BD.\cos \widehat{ABD}$(cm)

Vậy BD ≈ 23,4 cm.

Sơ đồ tư duy Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài tập Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài 1. Cho tam giác MNP vuông tại N. Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. MN = MP.sinP;

B. MN = MP.cosP;

C. MN = MP.tanP;

D. MN = MP.cotP.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam giác MNP vuông tại N nên MN = MP.sinP.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 20 cm, $\hat{C}=60°$. Độ dài các cạnh AB, BC lần lượt là

A. $20\sqrt{3}$cm và 40 cm;

B. $20\sqrt{3}$cm và $40\sqrt{3}$ cm;

C. 20 cm và 40 cm;

D. 20 cm và $20\sqrt{3}$cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

⦁AB = AC.tanC = 20.tan60° = $20\sqrt{3}$cm;

⦁AC = BC.cosC, suy ra $BC=\frac{AC}{\cos C}=\frac{20}{\cos 60°}=40$ cm.

Vậy $AB=20\sqrt{3}$ cm, BC = 40 cm. Ta chọn phương án A.

Bài 3. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, $\hat{C}=50°$. Biết AB = 2, $AD=\frac{6}{5}$. Diện tích (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) của hình thang ABCD là

A. S_ABCD ≈ 2 (đvdt);

B. S_ABCD ≈ 3 (đvdt);

C. S_ABCD ≈ 4 (đvdt);

D. S_ABCD ≈ $\frac{5}{2}$(đvdt).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Kẻ BE ⊥ CD tại E.

Ta có $\widehat{BAD}=\widehat{ADE}=\widehat{BED}=90°$ nên tứ giác ABED là hình chữ nhật.

Do đó $BE=AD=\frac{6}{5}$ và DE = AB = 2.

Tam giác BEC vuông tại E nên $\tan \widehat{BCE}=\frac{BE}{EC}$.

Suy ra $EC=\frac{BE}{\tan \widehat{BCE}}=\frac{\frac{6}{5}}{\tan 50°}\approx 1$.

Do đó DC = DE + EC ≈ 2 + 1 = 3.

Diện tích hình thang vuông ABCD là:

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot \left(AB+CD\right)\approx \frac{1}{2}\cdot \frac{6}{5}\cdot \left(2+3\right)=3$ (đvdt).

Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A, $\hat{B}=65°,$ đường cao CH = $\frac{18}{5}$. Giải tam giác ABC (làm tròn đến hàng phần mười củađơn vị độ dài).

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=65°$.

Tam giác ABC, có: $\widehat{BAC}+\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=180°$(tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{BAC}=180°-\left(\widehat{ACB}+\widehat{ABC}\right)=180°-\left(65°+65°\right)=50°$.

Tam giác BCH vuông tại H nên $\sin \widehat{CBH}=\frac{CH}{BC}$.

Suy ra $BC=\frac{CH}{\sin \widehat{CBH}}=\frac{\frac{18}{5}}{\sin 65°}\approx 4,0$.

Tam giác AHC vuông tại H nên $\sin \widehat{HAC}=\frac{CH}{AC}$.

Suy ra $AC=\frac{CH}{\sin \widehat{HAC}}=\frac{\frac{18}{5}}{\sin 50°}\approx 4,7.$

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC ≈ 4,7.

Vậy AB = AC ≈ 4,7; BC ≈ 4; $\widehat{ACB}=65°$ và $\widehat{BAC}=50°$.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H ∈ BC).

a) Cho BC = 12; CH = 9. Tính số đo $\widehat{ABC}$.

b) Lấy điểm D nằm giữa hai điểm A và C. Kẻ AK ⊥ BD. Chứng minh rằng BK.BD = BH.BC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có BH = BC – CH = 12 – 9 = 3.

Xét ∆ABH và ∆CBA, có:

$\widehat{AHB}=\widehat{BAC}=90°$;

$\widehat{ABC}$ chung.

Do đó ∆ABH ᔕ ∆CBA (g.g).

Suy ra $\frac{AB}{CB}=\frac{BH}{BA}$.

Khi đó AB² = BC.BH = 12.3 = 36.

Vì vậy AB = 6.

Tam giác ABC vuông tại A nên $\cos \widehat{ABC}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

Suy ra $\widehat{ABC}=60°$.

b) Xét ∆ABK và ∆DBA, có:

$\widehat{AKB}=\widehat{BAD}=90°$;

$\widehat{ABD}$ chung.

Do đó ∆ABK ᔕ ∆DBA (g.g)

Suy ra $\frac{AB}{DB}=\frac{BK}{BA}$ nên AB² = BD.BK.

Mà AB² = BC.BH (câu a)

Vậy BK.BD = BH.BC.

Bài 6. Một cần cẩu đang nâng một khối gỗ trên sông. Biết tay cẩu có chiều dài là 16 m và nghiêng một góc 35° so với phương nằm ngang (như hình vẽ).Tính chiều dài của đoạn dây cáp (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Dựa vào hình vẽ, ta thấy:

⦁ Tay cẩu là đoạn AB có độ dài là 16 m;

⦁ Tay cẩu nghiêng một góc 35° so với phương nằm ngang, tức là $\widehat{BAC}=35°.$

⦁ Chiều dài đoạn dây cáp là đoạn BC.

Tam giác ABC vuông tại C nên:

$BC=AB\cdot \sin \widehat{BAC}=16\cdot \sin 35°\approx 9,2$ (m).

Vậy chiều dài của đoạn dây cáp bằng khoảng 9,2 m.