Lý thuyết Phương trình bậc hai một ẩn - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Phương trình bậc hai một ẩn

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng ax² + bx + c = 0, trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.

Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? Xác định các hệ số a, b, c của mỗi phương trình bậc hai đó.

a) –x² + 3x + 5 = 0;

b) $4y^2-\sqrt{10}=0;$

c) t² + 8t = 0;

d) 0x² + 9 = 0;

e)${\left(\frac{2}{x}\right)}^2-6.\frac{2}{x}+1=0;$

f) x² + (2m + 1)x + m = 0 (với m là một số cho trước).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình –x² + 3x + 5 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x và có a = –1, b = 3, c = 5.

b) Phương trình $4y^2-\sqrt{10}=0$ là phương trình bậc hai ẩn y và có a = 4, b = 0,$c=-\sqrt{10}.$

c) Phương trình t² + 8t = 0 là phương trình bậc hai ẩn t và có a = 1, b = 8, c = 0.

d) Phương trình 0x² + 9 = 0 không là phương trình bậc hai vì a = 0.

e) Phương trình ${\left(\frac{2}{x}\right)}^2-6.\frac{2}{x}+1=0$ không là phương trình bậc hai vì không có dạng ax² + bx + c = 0 (với a ≠ 0).

f) Phương trình x² + (2m + 1)x + m = 0 (với m là một số cho trước) là phương trình bậc hai ẩn x và có a = 1, b = 2m + 1, c = m.

2. Giải phương trình

– Cho m, n là hai số thực. Ta có thể giải phương trình (x – n)² = m như sau:

⦁ Khi m > 0, ta có: (x – n)² = m

⦁ Khi m > 0, ta có: (x – n)² = m

$x-n=\sqrt{m}$hoặc $x-n=-\sqrt{m}$

$x=n+\sqrt{m}$hoặc $x=n-\sqrt{m}$

Như vậy, phương trình có hai nghiệm là $x_1=n+\sqrt{m}$và $x_2=n-\sqrt{m}.$

⦁ Khi m = 0, phương trình có nghiệm x₁ = x₂ = n (nghiệm kép).

⦁ Khi m < 0, phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2. Giải phương trình (x – 2)² = 7.

Hướng dẫn giải

Ta có: (x – 2)² = 7.

$x-2=\sqrt{7}$hoặc $x-2=-\sqrt{7}$

$x=2+\sqrt{7}$hoặc $x=2-\sqrt{7}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=2+\sqrt{7}.$và $x=2-\sqrt{7}.$

– Ta có thể giải phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) theo các bước sau:

Bước 1. Chia hai vế của phương trình cho a, ta được phương trình:

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$(1)

Bước 2. Viết lại số hạng $\frac{b}{a}x=2\cdot x\cdot \frac{b}{2a}$và thêm số hạng ${\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$vào hai vế của phương trình (1) rồi biến đổi để vế trái thành bình phương của một biểu thức:

$x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2+\frac{c}{a}={\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$

$x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2={\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}$

${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

Bước 3. Kí hiệu ∆ = b² – 4ac và gọi nó là biệt thức của phương trình (∆ là một chữ cái Hy Lạp, đọc là “đenta”). Khi đó, phương trình (1) viết được về dạng:

${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{\Delta }{4a^2}$(2)

Bước 4. Giải phương trình (2). Từ đó, kết luận nghiệm của phương trình đã cho.

– Tóm lại, ta có kết luận chung sau:

$➀$Xét phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức ∆ = b² – 4ac.

⦁ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}.$

⦁ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}.$

⦁ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

a) 2x² – 5x – 1 = 0;

b) $x^2-3x+\frac{9}{4}=0;$

c) –6x² + 8x – 7 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho có các hệ số a = 2; b = –5; c = –1.

Ta có ∆ = b² – 4ac = (–5)² – 4.2.(–1) = 33 > 0.

Vì ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{33}}{2\cdot 2}=\frac{5+\sqrt{33}}{4};x_2=\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{33}}{2\cdot 2}=\frac{5-\sqrt{33}}{4}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x_1=\frac{5+\sqrt{33}}{4};x_2=\frac{5-\sqrt{33}}{4}.$

b) Phương trình đã cho có các hệ số a = 1; b = –3; $c=\frac{9}{4}.$

Ta có $\Delta =b^2-4ac={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \frac{9}{4}=0.$

Vì ∆ = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{-3}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép là $x_1=x_2=\frac{3}{2}.$

c) Phương trình đã cho có các hệ số a = –6; b = 8; c = –7.

Ta có ∆ = b² – 4ac = 8² – 4.(–6).(–7) = –104 < 0.

Vì ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

$➁$Xét phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) với b = 2b’ và ∆’ = b’² – ac.

⦁ Nếu ∆’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b^{\text{'}}+\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a};x_2=\frac{-b^{\text{'}}-\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}.$

⦁ Nếu ∆’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b^{\text{'}}}{a}.$

⦁ Nếu ∆’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Công thức nghiệm vừa viết trên đây được gọi là công thức nghiệm thu gọn.

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

a) x² – 6x + 5 = 0;

b) –x² + 8x – 16 = 0;

c) 12x² + 3x – 3 = 7x² – x – 4.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho có các hệ số a = 1; b = –6; c = 5.

Do b = –6 nên b’ = –3.

Ta có ∆’ = b’² – ac = (–3)² – 1.5 = 4 > 0.

Vì ∆’ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{4}}{1}=\frac{3+2}{1}=5;$

$x_2=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{4}}{1}=\frac{3-2}{1}=1.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x₁ = 5; x₂ = 1.

b) Phương trình đã cho có các hệ số a = –1; b = 8; c = –16.

Do b = 8 nên b’ = 4.

Ta có ∆’ = b’² – ac = 4² – (–1).(–16) = 0.

Vì ∆’ = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-4}{-1}=4.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép x₁ = x₂ = 4.

c) Ta có: 12x² + 3x – 3 = 7x² – x – 4.

12x² – 7x² + 3x + x – 3 + 4 = 0.

5x² + 4x + 1 = 0(1)

Phương trình (1) có các hệ số a = 5; b = 4; c = 1.

Do b = 4 nên b’ = 2.

Ta có: ∆’ = b’² – ac = 2² – 5.1 = –1 < 0.

Vì ∆’ < 0 nên phương trình (1) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Ứng dụng của phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn giúp chúng ta giải quyết nhiều vấn đề trong toán học cũng như trong thực tiễn. Ta sẽ tìm hiểu qua một số ví dụ sau đây.

Ví dụ 5. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 160 m, diện tích 1500 m². Giả sử x (m) là chiều rộng của mảnh đất thỏa mãn 0 < x < 80 (m).

a) Lập phương trình bậc hai ẩn x biểu thị mối liên hệ giữa chiều rộng, chiều dài và diện tích của mảnh đất.

b) Tính chiều rộng của mảnh đất.

Hướng dẫn giải

a) Nửa chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là: 160 : 2 = 80(m).

Chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật đó là 80 – x (m).

Do chiều rộng nhỏ hơn chiều dài nên ta có:

0 < x < 80 – x hay 0 < 2x < 80, suy ra 0 < x < 40.

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là: x.(80 – x) (m²).

Theo bài, diện tích của mảnh đất hình chữ nhật là 1500 m² nên ta có phương trình:

(80 – x).x = 1500 hay –x² + 80x – 1500 = 0.(1)

b) Phương trình (1) có các hệ số a = –1; b = 80; c = –1500.

Do b = 80 nên b’ = 40.

Ta có: ∆’ = b’² – ac = 40² – (–1).(–1500) = 100 > 0.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-40+\sqrt{100}}{-1}=\frac{-40+10}{-1}=30;$

$x_2=\frac{-40-\sqrt{100}}{-1}=\frac{-40-10}{-1}=50$

Ta thấy chỉ có giá trị x₁ = 30 thỏa mãn điều kiện 0 < x < 40.

Vậy chiều rộng mảnh đất đã cho là 30 m.

– Để giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Lập phương trình bậc hai

⦁ Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số

⦁ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

⦁ Lập phương trình bậc hai biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2. Giải phương trình bậc hai

Bước 3. Kết luận

⦁ Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn

⦁ Đưa ra câu trả lời cho bài toán.

Ví dụ 6. Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 54 km. Biết rằng xe thứ nhất đi nhanh hơn xe thứ hai là 15 km/h nên đã đến thành phố B sớm hơn xe thứ hai 18 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Hướng dẫn giải

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe thứ hai (x > 0).

Khi đó, vận tốc của xe thứ nhất là x + 15 (km/h).

Thời gian xe thứ hai đi từ thành phố A đến thành phố B là $\frac{54}{x}$(giờ).

Thời gian xe thứ nhất đi từ thành phố A đến thành phố B là $\frac{54}{x+15}$(giờ).

Vì xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai 18 phút = $\frac{3}{10}$giờ nên ta có phương trình:

$\frac{54}{x}-\frac{54}{x+15}=\frac{3}{10}.$

Giải phương trình :

$\frac{54}{x}-\frac{54}{x+15}=\frac{3}{10}$

$\frac{18}{x}-\frac{18}{x+15}=\frac{1}{10}$

$\frac{18\cdot 10\left(x+15\right)}{10x\left(x+15\right)}-\frac{18\cdot 10x}{10x\left(x+15\right)}=\frac{1\cdot x\left(x+15\right)}{10x\left(x+15\right)}$

18.10(x + 15) – 18.10x = x.(x + 15)

180x + 2 700 – 180x = x² + 15x

2 700 = x² + 15x

x² + 15x – 2700 = 0(1)

Phương trình (1) có các hệ số a = 1; b = 15; c = –2700.

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 15² – 4.1.(–2700) = 11 025 > 0.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-15+\sqrt{11025}}{2\cdot 1}=\frac{-15+105}{2}=45;$

$x_2=\frac{-15-\sqrt{11025}}{2\cdot 1}=\frac{-15-105}{2}=-60.$

Ta thấy x₁ = 45 thỏa mãn điều kiện x > 0.

Vận vận tốc của xe thứ hai là 45 km/h; vận tốc của xe thứ nhất là 45 + 15 = 60 km/h.

4. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Ta có thể tìm nghiệm (đúng hoặc gần đúng) của phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng máy tính cầm tay. Mỗi loại máy tính khác nhau có thể có hệ thống phím, chức năng và cách sử dụng khác nhau. Tuy nhiên, chúng đều có quy tắc chung là phải mở chương trình giải phương trình bậc hai một ẩn rồi mới nhập dữ liệu. Chẳng hạn, ấn liên tiếp các phím

Ví dụ. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn (làm tròn kết quả đến hàng phần mười):

$9x^2+\sqrt{2}x-3\sqrt{5}=0.$

Hướng dẫn giải

Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra (kết quả gần đúng): x₁ = 0,7883402059.

Ấn tiếp phím ta thấy trên màn hình hiện ra (kết quả gần đúng) x₂ = –0,9454750461.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x₁ ≈ 0,8 và x₂ ≈ –0,9.

Bài tập Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 1. Phương trình (x + 3)² = 25 có nghiệm là

A. x = 8;

B. x = –2;

C. x = 2 và x = –8;

D. x = –8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: (x + 3)² = 25.

$x+3=\sqrt{25}$hoặc $x+3=-\sqrt{25}$

x + 3 = 5 hoặc x + 3 = –5

x = 2 hoặc x = –8.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 và x = –8.

Do đó ta chọn phương án C.

Bài 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn?

A. t³ – 7t + 9 = 0;

B. –11x² = 0;

C. $\frac{x^2+2x+3}{x}=0;$

D. 0y² + 2y = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình ở phương án A không là phương trình bậc hai vì có chứa t³.

Phương trình ở phương án B là phương trình bậc hai ẩn x và có a = –11; b = c = 0.

Phương trình ở phương án C không là phương trình bậc hai vì có chứa ẩn x dưới mẫu thức.

Phương trình ở phương án D không là phương trình bậc hai vì a = 0.

Bài 3. Để tìm nghiệm của phương trình $\frac{1}{2}{x}^2-x+\sqrt{3}=0$ bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, ta ấn liên tiếp các phím

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4. Không cần giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 11x² – 13x – 5 = 0;

b) $\frac{5}{8}{x}^2+28x+\frac{1568}{5}=0;$

c) $\sqrt{7}{x}^2+5\sqrt{3}x+16\sqrt{7}=0.$

Hướng dẫn giải

a) Phương trình 11x² – 13x – 5 = 0 có các hệ số a = 11; b = –13; c = –5.

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (–13)² – 4.11.(–5) = 389 > 0.

Vậy phương trình 11x² – 13x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình $\frac{5}{8}{x}^2+28x+\frac{1568}{5}=0$ có các hệ số $a=\frac{5}{8};b=28;c=\frac{1568}{5}.$

Do b = 28 nên b’ = 14.

Ta có: ${\Delta }^{\text{'}}={b^{\text{'}}}^2-ac={14}^2-\frac{5}{8}\cdot \frac{1568}{5}=0.$

Vậy phương trình $\frac{5}{8}{x}^2+28x+\frac{1568}{5}=0$ có một nghiệm (nghiệm kép).

c) Phương trình $\sqrt{7}{x}^2+5\sqrt{3}x+16\sqrt{7}=0$có các hệ số $a=\sqrt{7};b=5\sqrt{3};c=16\sqrt{7}.$

Ta có: $\Delta =b^2-4ac={\left(5\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot \sqrt{7}\cdot 16\sqrt{7}=-373<0.$

Vậy phương trình $\sqrt{7}{x}^2+5\sqrt{3}x+16\sqrt{7}=0$vô nghiệm.

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a) –7x² + 16x + 15 = 0;

b) 9x² + 60x + 100 = 0;

c) $x^2-6\sqrt{3}x+27=0;$

d) $x^2-\left(4+\sqrt{5}\right)x+4\sqrt{5}=0;$

e) x(x – 2) = 15;

f) (2x + 7)² – 9x = 3.

g) x(4x + 3) = –x² + 8.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình –7x² + 16x + 15 = 0 có các hệ số a = –7; b = 16; c = 15.

Do b = 16 nên b’ = 8.

Ta có: ∆’ = b’² – ac = 8² – (–7).15 = 169 > 0 và $\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}=\sqrt{169}=13.$

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-8+13}{-7}=-\frac{5}{7};x_2=\frac{-8-13}{-7}=3.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $x_1=-\frac{5}{7};x_2=3.$

b) Phương trình 9x² + 60x + 100 = 0 có các hệ số a = 9; b = 60; c = 100.

Do b = 60 nên b’ = 30.

Ta có: ∆’ = b’² – ac = 30² – 9.100 = 0.

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{30}{9}=-\frac{10}{3}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép là $x_1=x_2=-\frac{10}{3}.$

c) Phương trình $x^2-6\sqrt{3}x+27=0$ có các hệ số $a=1;b=-6\sqrt{3};c=27.$

Do $b=-6\sqrt{3}$ nên $b^{\text{'}}=-3\sqrt{3}.$

Ta có: ${\Delta }^{\text{'}}={b^{\text{'}}}^2-ac={\left(-3\sqrt{3}\right)}^2-1\cdot 27=0.$

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{3\sqrt{3}}{1}=3\sqrt{3}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép là $x_1=x_2=3\sqrt{3}.$

d) Phương trình $x^2-\left(4+\sqrt{5}\right)x+4\sqrt{5}=0$ có các hệ số $a=1;b=-\left(4+\sqrt{5}\right);c=4\sqrt{5}.$

Ta có: $\Delta =b^2-4ac={\left(-\left(4+\sqrt{5}\right)\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4\sqrt{5}=21-8\sqrt{5}={\left(4-\sqrt{5}\right)}^2>0$ và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{{\left(4-\sqrt{5}\right)}^2}=4-\sqrt{5}.$

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{4+\sqrt{5}+\left(4-\sqrt{5}\right)}{2\cdot 1}=4;$

$x_2=\frac{4+\sqrt{5}-\left(4-\sqrt{5}\right)}{2\cdot 1}=\sqrt{5}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $x_1=4;x_2=\sqrt{5}.$

e) Ta có: x(x – 2) = 15 hay x² – 2x – 15 = 0.

Phương trình x² – 2x – 15 = 0 có các hệ số a = 1; b = –2; c = –15.

Do b = –2 nên b’ = –1.

Ta có: ∆’ = b’² – ac = (–1)² – 1.(–15) = 16 > 0 và $\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}=\sqrt{16}=4.$

Do đó, phương trình x² – 2x – 15 = 0 có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-1\right)+4}{1}=5;x_2=\frac{-\left(-1\right)-4}{1}=-3.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x = 5 và x = –3.

f) Ta có: (2x + 7)² – 9x = 3

4x² + 28x + 49 – 9x – 3 = 0

4x² + 19x + 46 = 0.

Phương trình 4x² + 19x + 46 = 0 có các hệ số a = 4; b = 19; c = 46.

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 19² – 4.4.46 = –375 < 0.

Do đó phương trình 4x² + 19x + 46 = 0 vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

g) Ta có: x(4x + 3) = –x² + 8

4x² + 3x + x² – 8 = 0

5x² + 3x – 8 = 0.

Phương trình 5x² + 3x – 8 = 0 có các hệ số a = 5; b = 3; c = –8.

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 3² – 4.5.(–8) = 169 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{169}=13.$

Do đó, phương trình 5x² + 3x – 8 = 0 có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-3+13}{2\cdot 5}=1;x_2=\frac{-3-13}{2\cdot 5}=-\frac{8}{5}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $x_1=1;x_2=-\frac{8}{5}.$

Bài 6. Một công ty vận tải cần điều một số xe tải để chở 1 026 tấn hàng. Khi đến kho hàng thì có 2 xe bị hỏng nên để chở hết số hàng thì mỗi xe còn lại phải chở thêm 1,5 tấn so với dự định ban đầu. Hỏi số xe dự định điều đến chở hàng là bao nhiêu? Biết rằng khối lượng hàng chở ở mỗi xe là như nhau và công ty vận tải điều đi không quá 50 xe tải.

Hướng dẫn giải

Gọi x là số xe công ty vận tải dự định điều đi để chở hàng (0 < x ≤ 50 và x ∈ ℕ).

Khi đó, số tấn hàng mỗi xe phải chở là $\frac{1026}{x}$ (tấn hàng).

Vì có 2 xe bị hỏng nên số xe hàng còn lại là x – 2 (xe) và số tấn hàng mỗi xe phải chở là $\frac{1026}{x-2}$ (tấn hàng).

Lúc này, mỗi xe còn lại phải chở thêm 1,5 tấn so với dự định ban đầu nên ta có phương trình: $\frac{1026}{x-2}=\frac{1026}{x}+1,5.$

Giải phương trình:

$\frac{1026}{x-2}=\frac{1026}{x}+1,5$

$\frac{1026x}{x\left(x-2\right)}=\frac{1026\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)x}+\frac{1,5\cdot x\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}$

1 026x = 1 026(x – 2) + 1,5.x(x – 2)

1 026x = 1 026x – 2 052 + 1,5x² – 3x

1,5x² – 3x – 2 052 = 0

x² – 2x – 1 368 = 0.

Phương trình (1) có các hệ số a = 1; b = –2; c = –1 368.

Do b = –2 nên b’ = –1.

Ta có: ∆’ = b’² – ac = (–1)² – 1.(–1 368) = 1 369 > 0 và $\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}=\sqrt{1369}=37.$

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{1+37}{1}=38;x_2=\frac{1-37}{1}=-36.$

Ta thấy chỉ có giá trị x₁ = 38 thỏa mãn điều kiện 0 < x ≤ 50 và x ∈ ℕ.

Vậy số xe dự định được điều đến chở hàng là 38 chiếc xe.