Lý thuyết Góc ở tâm. Góc nội tiếp - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Góc ở tâm. Góc nội tiếp

1. Góc ở tâm

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Ở hình vẽ dưới đây, góc AOB là góc ở tâm.

Nhận xét: Đường kính chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần được gọi là nửa đường tròn.

Ví dụ 1.Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O) như hình dưới.

Trong các góc AOB, BOC, ABC, AOC, BAC, ACB, ABO, CBO, góc nào là góc ở tâm? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Ta có:$\widehat{AOB},\widehat{BOC},\widehat{AOC}$ là góc ở tâm vì có đỉnh trùng với tâm của đường tròn (O).

Ta có: $\widehat{ABC},\widehat{BAC},\widehat{ACB},\widehat{ABO},\widehat{CBO}$ không là góc ở tâm vì có đỉnh không trùng với tâm của đường tròn (O).

2. Cung. Số đo cung

2.1. Cung

⦁ Phần đường tròn nối liền hai điểm A, B trên đường tròn được gọi là một cung (hay cung tròn) AB, kí hiệu $\stackrel{⏜}{AB}.$

⦁ Cho hình vẽ:

– Cung nằm bên trong góc ở tâm AOB được gọi là cung nhỏ, kí hiệu là $\stackrel{⏜}{AmB}.$Ta còn nói $\stackrel{⏜}{AmB}$là cung bị chắn bởi góc AOB hay góc AOB chắn cung nhỏ AmB.

– Cung nằm bên ngoài góc ở tâm AOB được gọi là cung lớn, kí hiệu là $\stackrel{⏜}{AnB}.$

– Nếu có điểm C (khác A và B) thuộc $\stackrel{⏜}{AmB}$ thì ta cũng nói cung này là <$\stackrel{⏜}{ACB}.$

– Nếu có điểm D (khác A và B) thuộc $\stackrel{⏜}{AnB}$ thì ta cũng nói cung này là $\stackrel{⏜}{ADB}.$

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) và các điểm A, B, C (như hình vẽ).

a) Các cung $\stackrel{⏜}{ABC},\stackrel{⏜}{AnD}$ bị chắn bởi góc ở tâm nào?

b) Các góc ở tâm $\widehat{BOC},\widehat{COD}$ chắn cung nào?

Hướng dẫn giải

a) $\stackrel{⏜}{ABC}$bị chắn bởi góc ở tâm $\widehat{AOC};$$\stackrel{⏜}{AnD}$ bị chắn bởi góc ở tâm $\widehat{AOD}.$

b) Góc ở tâm $\widehat{BOC}$ chắn $\stackrel{⏜}{BmC};$ Góc ở tâm $\widehat{COD}$ chắn cung nhỏ CD.

2.2. Số đo của cung

Mỗi cung có một số đo:

⦁ Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

⦁ Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).

⦁ Số đo của nửa đường tròn bằng 180°.

⦁ Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ$\stackrel{⏜}{AB}.$

Ta quy ước: Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có “cung không” với số đo 0° và cung cả đường tròn có số đo 360°.

Nhận xét:

⦁ Góc ở tâm chắn một cung mà cung đó là nửa đường tròn thì có số đo bằng 180°.

⦁ Trong Hình a, ta có: sđ$\stackrel{⏜}{AmB}=\widehat{AOB};$ sđ$\stackrel{⏜}{AnB}=360°-$sđ$\stackrel{⏜}{AmB}=360°-\widehat{AOB}.$

⦁ Cho C là một điểm nằm trên cung AB (Hình b), khi đó ta nói: Điểm C chia cung AB thành hai cung AC và CB.

⦁ Ta có thể chứng minh được rằng nếu C là một điểm nằm trên cung AB (Hình b) thì

$sđ\stackrel{⏜}{ACB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{CB}.$

Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) đường kính BC. Lấy điểm A nằm trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A. Tính:

a) sđ$\stackrel{⏜}{AB}$, sđ$\stackrel{⏜}{AC}.$ Từ đó suy ra $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{AC}.$

b) sđ$\stackrel{⏜}{ACB},$sđ$\stackrel{⏜}{ABC}\text{.}$

c) sđ$\stackrel{⏜}{BAC}.$

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn (O) có BC là đường kính nên O là trung điểm BC.

Tam giác ABC vuông cân tại A có AO là đường trung tuyến nên AO cũng là đường cao của tam giác ABC.

Do đó AO ⊥ BC tại O hay $\widehat{AOB}=\widehat{AOC}=90°.$

Ta thấy $\stackrel{⏜}{AB},\stackrel{⏜}{AC}$là các cung nhỏ bị chắn bởi các góc ở tâm theo thứ tự là $\widehat{AOB},\widehat{AOC}$.

Do đó sđ$\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}=90°$ và sđ$\stackrel{⏜}{AC}=\widehat{AOC}=90°.$

Vì sđ$\stackrel{⏜}{AB}=$sđ$\stackrel{⏜}{AC}=90°$nên $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{AC}.$

b) Vì $\stackrel{⏜}{ACB}$là cung lớn có chung hai mút A, B với cung nhỏ AB nên:

$sđ\stackrel{⏜}{ACB}=360°-sđ\stackrel{⏜}{AB}=360°-90°=270°.$

Tương tự như vậy, ta có: $sđ\stackrel{⏜}{ABC}=360°-sđ\stackrel{⏜}{AC}=360°-90°=270°.$

Vậy $sđ\stackrel{⏜}{ACB}=sđ\stackrel{⏜}{ABC}=270°.$

c) Ta có $\widehat{BOC}$là góc ở tâm chắn nửa đường tròn (O) nên $\widehat{BOC}=180°.$

Vậy sđ$\stackrel{⏜}{BAC}=180°.$

Chú ý:

⦁ So sánh hai cung trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

+ Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau;

+ Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

Hai cung AB và CD bằng nhau được kí hiệu là $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{CD}.$

Cung EG nhỏ hơn cung HK được kí hiệu là $\stackrel{⏜}{EG}<\stackrel{⏜}{HK}.$Trong trường hợp này, ta cũng nói cung HK lớn hơn cung EG và kí hiệu là $\stackrel{⏜}{HK}>\stackrel{⏜}{EG}.$

⦁ Cho điểm A thuộc đường tròn (O) và số thực α với 0 < α < 360. Sử dụng thước thẳng và thước đo độ, ta vẽ điểm B thuộc đường tròn (O) như sau:

+ Nếu 0 < α ≤ 180 thì ta vẽ theo chiều quay của kim đồng hồ góc ở tâm AOB có số đo bằng α°. Khi đó sđ$\stackrel{⏜}{AmB}=\alpha °$(Hình a).

+ Nếu 180 < α < 360 thì ta vẽ theo ngược chiều quay của kim đồng hồ góc ở tâm AOB có số đo bằng 360° – α°. Khi đó sđ$\stackrel{⏜}{AnB}$ = 360° – α°, sđ$\stackrel{⏜}{AmB}$ = α° (Hình b).

360° – α°.

3. Góc nội tiếp

Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Cung nằm bên trong được gọi là cung bị chắn.

Ví dụ 4.

Trong hình bên, ta có:

⦁ $\widehat{AIB}$ là góc nội tiếp vì có đỉnh I thuộc đường tròn và hai cạnh IA, IB chứa hai dây cung của đường tròn đó; $\widehat{AIB}$ chắn cung nhỏ AB.

⦁ $\widehat{IAB}$ là góc nội tiếp vì có đỉnh A thuộc đường tròn và hai cạnh AI, AB chứa hai dây cung của đường tròn đó; $\widehat{IAB}$ chắn cung nhỏ IB.

⦁ $\widehat{IBA}$ là góc nội tiếp vì có đỉnh B thuộc đường tròn và hai cạnh BI, BA chứa hai dây cung của đường tròn đó; $\widehat{IBA}$ chắn cung nhỏ IA.

Định lí: Mỗi góc ở tâm có số đo gấp hai lần số đo góc nội tiếp cùng chắn một cung.

Nhận xét: Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.

Hệ quả:

⦁ Trong một đường tròn, góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.

⦁ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng 90°.

Ví dụ 5. Cho hình vẽ bên. Biết $\widehat{AOB}=140°.$

a) Tính $\widehat{ACB},\widehat{ADB}.$

b) Tính sđ$\stackrel{⏜}{BCA}.$Từ đó tính $\widehat{BEA}.$

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn (O), có $\widehat{AOB}$và $\widehat{ACB}$lần lượt là góc ở tâm vàgóc nội tiếp cùng chắn cung AB.Suy ra $\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}\cdot 140°=70°.$

Tương tự, ta có$\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}\cdot 140°=70°.$

Vậy$\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=70°.$

b) Xét đường tròn (O), có:

$sđ\stackrel{⏜}{BCA}=360°-sđ\stackrel{⏜}{BEA}=360°-\widehat{AOB}=360°-140°=220°.$

Vì $\widehat{BEA}$là góc nội tiếp chắn cung BCA nên $\widehat{BEA}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{BCA}=\frac{1}{2}.220°=110°.$

Vậy $sđ\stackrel{⏜}{BCA}=220°$và $\widehat{BEA}=110°.$

Nhận xét:Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Sơ đồ tư duy Góc ở tâm. Góc nội tiếp

Bài tập Góc ở tâm. Góc nội tiếp

Bài 1. Góc ở tâm là góc

A. có đỉnh nằm trên đường tròn;

B. có hai cạnh là hai dây của đường tròn;

C. có đỉnh nằm trên bán kính của đường tròn;

D. có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 2. Hình nào sau đây biểu diễn góc nội tiếp?

A. Hình 1;

B. Hình 2;

C. Hình 3;

D. Hình 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hình 1 biểu diễn góc ở tâm $\widehat{AOB}$ vì có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

Hình 2 biểu diễn góc nội tiếp $\widehat{DEF}$ vì có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh DE, DF chứa hai dây cung của đường tròn.

Hình 3, Hình 4 không phải là góc nội tiếp vì có đỉnh không nằm trên đường tròn.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 3. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo là

A. 60°;

B. 90°;

C. 120°;

D. 180°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo là 90°.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A có $\hat{A}<90°.$ Vẽ đường tròn đường kính AB cắt BC tại D, cắt AC tại E. Chứng minh rằng:

a) Tam giác DBE cân.

b) $\widehat{CBE}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}.$

Hướng dẫn giải

Vì D, E nằm trên đường tròn đường kính AB nên $\widehat{ADB},\widehat{AEB}$ là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó $\widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90°.$

Suy ra AD ⊥ BC và BE ⊥ AC.

Tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên AD cũng là đường trung tuyến của tam giác.

Do đó D là trung điểm BC nên $DB=DC=\frac{1}{2}BC.$

Tam giác BEC vuông tại C có ED là đường trung tuyếnứng với cạnh huyền BC nên $ED=\frac{1}{2}BC.$

Suy ra DE = DB = DC.

Vậy tam giác BDE cân tại D.

b) Tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên AD cũng là đường phân giác của tam giác ABC, do đó $\widehat{CAD}=\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}.$

Mà $\widehat{DBE}=\widehat{DAE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE của đường tròn đường kính AB)

Do đó $\widehat{DBE}=\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}.$

Vậy$\widehat{CBE}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}.$

Bài 5. Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Lấy một điểm M trên cung nhỏ AC rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến này cắt đường thẳng CD tại S. Chứng minh rằng $\widehat{MSD}=2\widehat{MBA}.$

Hướng dẫn giải

Vì SM là tiếp tuyến của (O) tại M nên $\widehat{OMS}=90°.$

Tam giác OMS vuông tại M, có: $\widehat{O_1}+\widehat{OSM}=90°$ (hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°).

Mà $\widehat{O_1}+\widehat{O_2}=90°$ (do AB ⊥ CD) nên $\widehat{OSM}=\widehat{O_2}.$ (1)

Mặt khác, $\widehat{O_2}$ và $\widehat{MBA}$ lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AM của đường tròn (O) nên $\widehat{MBA}=\frac{1}{2}\widehat{O_2}$ hay$\widehat{O_2}=2\widehat{MBA}.$ (2)

Từ (1), (2), ta có$\widehat{MSD}=2\widehat{MBA}.$

Bài 6. Xác định số đo cung nhỏ AB trong hình ngôi sao năm cánh sau biết các đỉnh của ngôi sao chia đường tròn thành các cung bằng nhau:

Hướng dẫn giải

Vì số đo của cung cả đường tròn gấp năm lần số đo cung nhỏ AB và cung cả đường tròn có số đo bằng 360° nên sđ$\stackrel{⏜}{AB}=\frac{1}{5}\cdot 360°=72°.$

Vậy số đo cung nhỏ AB trong hình ngôi sao năm cánh đã cho bằng 72°.