Lý thuyết Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

1. Khái niệm đường tròn

Khái niệm đường tròn:Trong mặt phẳng, đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp các điểm cách điểm O một khoảng bằng R (R > 0), kí hiệu là (O; R).

Chú ý:

⦁ Một đường tròn hoàn toàn xác định khi biết tâm và bán kính (hình vẽ trên).

⦁ Khi không quan tâm đến bán kính của đường tròn (O; R), ta cũng có thể kí hiệu đường tròn là (O).

Vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn:

⦁ Khi điểm M thuộc (nằm trên) đường tròn (O), ta còn nói đường tròn (O) đi qua điểm M, thì OM = R và ngược lại (Hình a).

⦁ Khi điểm M nằm bên trong (nằm trong/ ở trong) đường tròn (O), thì OM < R và ngược lại (Hình b).

⦁ Khi điểm M nằm bên ngoài (nằm ngoài/ ở ngoài) đường tròn (O), thì OM > R và ngược lại (Hình c).

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O; R) và các điểm A, B, C (như hình vẽ).

Khi đó ta có:

⦁ OA = R. Do đó điểm A thuộc đường tròn (O; R).

⦁ OB < OA hay OB < R. Do đó điểm B nằm trong đường tròn (O; R).

⦁ OC > OA hay OC > R. Do đó điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R).

2. Liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn

Khái niệm dây (dây cung) của đường tròn: Đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt thuộc đường tròn được gọi là dây (hay dây cung) của đường tròn.

Chú ý: Dây đi qua tâm là đường kính của đường tròn. Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

Ví dụ 2.

Trong hình vẽ trên, ta có:

– MN là một dây (hay còn gọi là dây cung) của đường tròn (O).

– AB là một dây cung đi qua tâm O của đường tròn (O) nên AB là đường kính của đường tròn (O).

Ví dụ 3. Bạn Hoa căng ba đoạn chỉ AB, CD và EF có độ dài lần lượt là 24 cm, 20 cm và 30 cm trên một khung thêu hình tròn bán kính 15 cm (như hình vẽ).

Trong ba dây đã cho, dây nào đi qua tâm của khung thêu đã cho? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Theo đề, ta có AB = 24 cm, CD = 20 cm và EF = 30 cm.

Đường kính của khung thêu bằng 2R = 2.15 = 30 (cm).

Ta có AB = 24 cm < 30 cm và CD = 20 cm < 30 cm.

Suy ra AB và CD không đi qua tâm của khung thêu hình tròn đã cho.

Vì độ dài EF bằng đường kính khung thêu (EF = 30 cm) nên EF đi qua tâm của khung thêu đã cho.

3. Tính đối xứng của đường tròn

3.1. Tâm đối xứng của đường tròn

⦁Điểm đối xứng của một điểm tùy ý trên đường tròn qua tâm của đường tròn cũng nằm trên đường tròn đó.

⦁Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

Ví dụ 4. Cho điểm M nằm trên đường tròn (O; R). Tìm điểm N đối xứng với điểm M qua tâm O của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Vì O là tâm đối xứng của đường tròn (O; R) nên điểm N đối xứng với điểm M qua tâm O vừa nằm trên đường tròn (O; R), vừa thuộc đường thẳng OM.

Vậy N là giao điểm (khác M) của đường thẳng OM với đường tròn (O).

3.2. Trục đối xứng của đường tròn

⦁Điểm đối xứng của một điểm tùy ý trên đường tròn qua một đường thẳng đi qua tâm của đường tròn cũng nằm trên đường tròn đó.

⦁Đường tròn là hình có trục đối xứng. Mỗi đường thẳng đi qua tâm là một trục đối xứng của đường tròn đó.

Ví dụ 5. Cho điểm H nằm trên đường tròn (O) đường kính AB (H ≠ A, B). Tìm điểm K đối xứng với điểm H qua đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải

Vì AB là đường kính của đường tròn (O) nên O ∈ AB.

Khi đó AB là một trục đối xứng của đường tròn (O).

Suy ra điểm K đối xứng với điểm H qua đường thẳng AB vừa thuộc đường tròn (O), vừa thuộc đường vuông góc hạ từ H xuống AB.

Vậy điểm K là giao điểm (khác H) của đường thẳng đi qua H và vuông góc với AB với đường tròn (O).

4. Vị trí tương đối của hai đường tròn

4.1. Hai đường tròn cắt nhau

Hai đường tròn có đúng hai điểm chung được gọi là hai đường tròn cắt nhau.Mỗi điểm chung của hai đường tròn cắt nhau được gọi là một giao điểm của hai đường tròn đó.

Ở hình vẽ trên, hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai giao điểm là A và B.

Nhận xét:Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) với R ≥ r. Nếu hai đường tròn đó cắt nhau thì R – r < OO’ < R + r. Điều ngược lại cũng đúng.

4.2. Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Hai đường tròn có đúng một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau (tại điểm chung đó).Điểm chung của hai đường tròn tiếp xúc nhau được gọi là tiếp điểm.

Ta có hai trường hợp về hai đường tròn tiếp xúc nhau: hai đường tròn tiếp xúc ngoài (Hình a), hai đường tròn tiếp xúc trong (Hình b).

Nhận xét:Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r).

⦁ Nếu hai đường tròn đó tiếp xúc ngoài (Hình a) thì tiếp điểm A nằm giữa O, O’ và OO’ = R + r. Điều ngược lại cũng đúng.

⦁ Giả sử R > r. Nếu hai đường tròn đó tiếp xúc trong (Hình b) thì điểm O’ nằm giữa O, A và OO’ = R – r. Điều ngược lại cũng đúng.

4.3. Hai đường tròn không giao nhau

Hai đường tròn không có điểm chung được gọi là hai đường tròn không giao nhau.

Ta có hai trường hợp về hai đường tròn không giao nhau: hai đường tròn ở ngoài nhau (Hình a); đường tròn (O) đựng đường tròn (O’) (Hình b, c).

Nhận xét:Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r).

⦁ Nếu hai đường tròn ở ngoài nhau (Hình a) thì OO’ > R + r. Điều ngược lại cũng đúng.

⦁ Giả sử R > r. Nếu đường tròn (O) đựng đường tròn (O’) (Hình b, c) thì OO’ < R – r. Điều ngược lại cũng đúng.

Chú ý: Ta có thể nhận biết vị trí tương đối của hai đường tròn (O; R), (O’; r) (R ≥ r) thông qua hệ thức giữa OO’ với R và r được tóm tắt trong bảng sau:

Ví dụ 6. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’). Xét vị trí tương đối củahai đường tròn đó trong mỗi trường hợp sau:

a) R = 12 cm; r = 8 cm và OO’ = 22 cm;

b) R = 2 cm; R’ = 1 cm và OO’ = 3 cm.

c) R = 7 cm;R’ = 4 cm và OO’ = 3 cm.

d) R = 10 cm; R’ = 6 cm và OO’ = 9 cm.

e) R = 11 cm; R’ = 5 cm và OO’ = 4 cm.

Hướng dẫn giải

a) Vì R + R’ = 12 + 8 = 20 (cm) và 20 cm < 22 cm nên R + R’ < OO’.

Vậy hai đường tròn (O; 12 cm) và (O’; 8 cm) ở ngoài nhau.

b) Ta thấy: R + R’ = 2 + 1 = 3 (cm).Suy ra R + R’ = OO’.

Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc ngoài với nhau.

c) Ta thấy: R – R’ = 7 – 4 = 3 (cm).Suy ra R – R’ = OO’.

Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc trong với nhau.

d) Ta thấy: R – R’ = 10 – 6 = 4 (cm); R + R’ = 10 + 6 = 16 (cm)

Mà 4 cm < 9 cm < 16 cm hay R – R’ < OO’ < R + R’.

Vậy hai đường tròn (O; 10 cm) và (O’; 6 cm) cắt nhau.

e) Ta thấy: R – R’ = 11 – 5 = 6 (cm) và 4 cm < 6 cm nên OO’ < R – R’.

Vậy đường tròn (O; 11 cm) đựng đường tròn (O’; 5 cm).

Sơ đồ tư duy Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Bài tập Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Bài 1. Cho đường tròn (O; 5 cm) và hai điểm A, B. Biết rằng $OA=2\sqrt{2}$ cm và OB = 5 cm. Khi đó:

A. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O);

B. Điểm A nằm trên (O), điểm B nằm trong (O);

C. Điểm A nằm ngoài (O), điểm B nằm trên (O);

D. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm ngoài (O).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn (O) có bán kính R = 5 cm.

Vì $2\sqrt{2}$ cm < 5 cm nên OA < R, do đó điểm A nằm trong đường tròn (O).

Vì OB = R = 5 cm nên điểm B nằm trên đường tròn (O).

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 2. Đường tròn có bao nhiêu trục đối xứng?

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mỗi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của đường tròn đó.

Vậy đường tròn có vô số trục đối xứng.

Bài 3. Cho hai đường tròn (O; 9 cm), (O’; 8 cm) với OO’ = 17 cm. Kết luận nào sau đây đúng về vị trí tương đối của hai đường tròn?

A. Hai đường tròn ở ngoài nhau;

B. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài;

C. Hai đường tròn tiếp xúc trong;

D. Hai đường tròn cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O), (O’) lần lượt là R = 9 cm và r = 8 cm.

Vì R + r = 9 + 8 = 17 (cm) nên OO’ = R + r.

Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc ngoài.

Bài 4. Cho đường tròn (O), đường kính BC. Chứng minh rằng với điểm A bất kì (khác B và C) nằm trên đường tròn (O), ta đều có BC < AB + AC < 2BC.

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác ABC, ta có: BC < AB + AC (1)

Đường tròn (O), có: AB là dây cung, BC là đường kính nên AB < BC.

Chứng minh tương tự, ta được AC < BC.

Khi đó AB + AC < BC + BC = 2BC (2)

Từ (1), (2), ta có: BC < AB + AC < 2BC.

Bài 5. Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d đi qua O và điểm A thuộc (O) nhưng không thuộc d. Gọi B là điểm đối xứng với A qua d; C và D lần lượt là điểm đối xứng với A và B qua O.

a) Ba điểm B, C và D có thuộc (O) không? Vì sao?

b) Chứng minh rằng AB // CD.

c) Chứng minh rằng C và D đối xứng với nhau qua d.

Hướng dẫn giải

a) ⦁Ta có B là điểm đối xứng với A thuộc (O) qua d, mà d đi qua O nên điểm B cũng nằm trên (O).

⦁Ta có C là điểm đối xứng với A thuộc (O) qua O nên C thuộc (O).

⦁Ta có D là điểm đối xứng với Bthuộc (O) qua O nên C thuộc (O).

Vậy ba điểm B, C và D thuộc (O).

b) Xét ∆OAB và ∆OCD, có:

OA = OC = R (do A, C cùng thuộc (O));

OB = OD = R (do B, D cùng thuộc (O));

$\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (đối đỉnh).

Do đó ∆OAB = ∆OCD (c.g.c).

Suy ra $\widehat{OBA}=\widehat{ODC}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

c) Ta có AB // CD (câu b) và d ⊥ AB (do A và B đối xứng với nhau qua d) nên d ⊥ CD.

Tam giác OCD cân tại O (do OC = OD = R) có d là đường cao nên d cũng là đường trung trực của tam giác OCD.

Vậy C và D đối xứng với nhau qua d.

Bài 6. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) trong mỗi trường hợp sau:

a) OO’ = 20; R = 8; R’ = 4.

b) OO’ = 15; R = 8; R’ = 7.

c) OO’ = 6; R = 9; R’ = 4.

d) OO’ = 1; R = 7; R’ = 5.

e) OO’ = 4; R = 6;R’ = 2.

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy: R + R’ = 8 + 4 < 20 nên R + R’ < OO’.

Vậy hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) ở ngoài nhau.

b) Ta thấy: R + R’ = 8 + 7 = 15 nên R + R’ = OO’.

Vậy hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài.

c) Ta thấy: 9 – 4 < 6 < 9 + 4 nên R – R’ < OO’ < R + R’.

Vậy hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau.

d) Ta thấy: R – R’ = 7 – 5 > 1 nên R – R’ > OO’.

Vậy đường tròn (O; R) đựng đường tròn (O’; R’).

e) Ta thấy: R – R’ = 6 – 2 = 4 nên R – R’ = OO’.

Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc trong với nhau.

Bài 7. Mô tả vị trí tương đối giữa mỗi cặp đường viền cồng chiêng trong hình chụp bộ cồng chiêng Tây Nguyên ở hình dưới đây.

Hướng dẫn giải

Cặp đường tròn mô tảđường viền ở cặp cồng chiêng trong Hình a) không có điểm chung nên cặp đường tròn này không giao nhau.

Cặp đường tròn mô tảđường viền ở cặp cồng chiêng trong Hình b) có một điểm chung và không có cồng chiêng nào treo trước cồng chiêng còn lại nên cặp đường tròn này tiếp xúc ngoài với nhau.

Cặp đường tròn mô tả đường viền ở cặp cồng chiêng trong Hình c) có hai điểm chung nên cặp đường tròn này cắt nhau tại hai điểm phân biệt.