Giải phương trình sau $\frac{x}{2 x - 3} + \frac{x}{2 x + 2} = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 3)}$

Lý thuyết Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai – Toán lớp 9 Kết nối tri thức

Tính $\sqrt{(21 - 12 \sqrt{3})} - \sqrt{(13 - 4 \sqrt{3})}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: √(21 - 12√3) - √(13 - 4√3))
= √(9 - 12√3 + 12) - √(12 - 4√3 + 1)
= √(3 - 2√3)^2 - √(2√3 - 1)^2
= 2√3 - 3 - 2√3 + 1 = -2

*Phương pháp giải:

Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẩu của biểu thức lấy căn; trục căn thức ở mẫu).

*Lý thuyết:

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Nếu a là một số và b là một số không âm thì $\sqrt{a^{2} . b} = | a | \sqrt{b}$ .

Với những căn thức bậc hai mà biểu thức dưới dấu căn có mẫu, ta thường khử mẫu của biểu thức lấy căn (biến đổi căn thức bậc hai đó thành một biểu thức mà trong căn thức không còn mẫu).

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Phép đưa thừa số vào trong dấu căn

- Nếu a và b là hai số không âm thì $a \sqrt{b} = \sqrt{a^{2} b}$ .

- Nếu a là số âm và b là số không âm thì $a \sqrt{b} = - \sqrt{a^{2} b}$ .

3. Trục căn thức ở mẫu

Cách trục căn thức ở mẫu

- Với các biểu thức A, B và B > 0, ta có $\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A \sqrt{B}}{B}$ .

- Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0, A \neq B^{2}$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} + B} = \frac{C (\sqrt{A} - B)}{A - B^{2}}; \frac{C}{\sqrt{A} - B} = \frac{C (\sqrt{A} + B)}{A - B^{2}}$ .

- Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0, B \geq 0, A \neq B$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} - \sqrt{B})}{A - B}; \frac{C}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} + \sqrt{B})}{A - B}$ .

4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẩu của biểu thức lấy căn; trục căn thức ở mẫu).

Xem thêm

50 Bài tập Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức Toán 9 mới nhất

Câu 3:

50 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai Toán 9 mới nhất

Thu gọn biểu thức sau: $\frac{1}{2} x^{2} y - \frac{1}{3} y^{2} - (- \frac{2}{5} x y^{2}) + \frac{2}{5} y^{2}$ ta được

A: $\frac{9}{10} x y^{2} + \frac{1}{15} y^{2}$

B: $- \frac{9}{10} x y^{2} - \frac{1}{15} y^{2}$

C: $\frac{9}{10} x y^{2} - \frac{1}{15} y^{2}$

D: $- \frac{9}{10} x y^{2} + \frac{1}{15} y^{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là A

Lời giải

*Phương pháp giải:

Nhóm các phân số có cùng hằng số với nhau rồi thực hiện phép cộng trừ phân số

*Lý thuyết:

1. Biểu thức số

- Các số được nối với nhau bởi dấu các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa tạo thành một biểu thức.

Chẳng hạn: 3 + 7 – 2; 4. 5: 2; 2. (5 + 8) là những biểu thức.

Những biểu thức như trên còn được gọi là biểu thức số.

2. Biểu thức đại số

Biểu thức bao gồm các số và các chữ (đại diện cho số) được nối với nhau bởi các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa được gọi là biểu thức đại số.

Trong biểu thức đại số:

- Những chữ đại diện cho một số tùy ý gọi là biến số;

- Những chữ đại diện cho một số xác định gọi là hằng số;

3. Giá trị của biểu thức đại số

Để tính giá trị của một biểu thức đại số ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Thay chữ bởi giá trị số đã cho (chú ý các trường hợp phải đặt số trong dấu ngoặc);

- Bước 2: Thực hiện các phép tính (chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính: thực hiện phép lũy thừa, rồi đến phép nhân chia, sau đó là phép cộng trừ).

Xem thêm

Lý thuyết Biểu thức số, biểu thức đại số – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

Câu 4:

50 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai Toán 9 mới nhất

Cho biểu thức: $M = (\frac{2 + x}{2 - x} - \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - \frac{2 - x}{2 + x}) v ớ i (x k h á c 0; x k h á c \pm 2)$ .

Rút gọn biểu thức M

Xem đáp án

Lời giải

$M = (\frac{2 + x}{2 - x} - \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - \frac{2 - x}{2 + x}) : \frac{3 x - x^{2}}{2 x^{2} - x^{3}} = (\frac{{(2 + x)}^{2} + 4 x^{2} - {(2 - x)}^{2}}{(2 - x) (2 + x)}) : \frac{x (3 - x)}{x^{2} (2 - x)}$

$= \frac{4 x^{2} + 8 x}{(2 - x) (2 + x)} : \frac{3 - x}{x (2 - x)}$

$= \frac{4 x (x + 2)}{(2 - x) (2 + x)} . \frac{x (2 - x)}{3 - x}$

$= \frac{4 x^{2}}{3 - x}$

*Phương pháp giải:

Nhóm các phân số có cùng hằng số với nhau rồi thực hiện phép cộng trừ phân số

*Lý thuyết:

1. Biểu thức số

- Các số được nối với nhau bởi dấu các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa tạo thành một biểu thức.

Chẳng hạn: 3 + 7 – 2; 4. 5: 2; 2. (5 + 8) là những biểu thức.

Những biểu thức như trên còn được gọi là biểu thức số.

2. Biểu thức đại số

Biểu thức bao gồm các số và các chữ (đại diện cho số) được nối với nhau bởi các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa được gọi là biểu thức đại số.

Trong biểu thức đại số:

- Những chữ đại diện cho một số tùy ý gọi là biến số;

- Những chữ đại diện cho một số xác định gọi là hằng số;

3. Giá trị của biểu thức đại số

Để tính giá trị của một biểu thức đại số ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Thay chữ bởi giá trị số đã cho (chú ý các trường hợp phải đặt số trong dấu ngoặc);

- Bước 2: Thực hiện các phép tính (chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính: thực hiện phép lũy thừa, rồi đến phép nhân chia, sau đó là phép cộng trừ).

Xem thêm

Lý thuyết Biểu thức số, biểu thức đại số – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

Câu 5:

Tính ${(- 2)}^{4 x + 2} = \frac{1}{64}$

Xem đáp án

Lời giải

${(- 2)}^{4 x + 2} = \frac{1}{64} {(- 2)}^{4 x + 2} = {(- 2)}^{- 4} 4 x + 2 = - 4 x = - \frac{3}{2}$

*Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính luỹ thừa

*Lý thuyết:

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

aⁿ = a.a.a… a (n thừa số a)

Với a ≠ 0, ta có: a⁰ = 1 và $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

Trong biểu thức a^m ; ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

– Chú ý:

0⁰ và 0^–n không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

2. Phương trình xⁿ = b.

Đồ thị của hàm số y = x^{2k + 1} có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x³ và đồ thị hàm số y = x^2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x⁴.

Từ đó, ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình xⁿ = b như sau:

a) Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Trường hợp n chẵn:

Với b < 0, phương trình vô nghiệm.

Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.

Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối nhau.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án ) - Toán 12

Câu 6:

Lý thuyết Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Tìm x:

a) ${(2 x - 1)}^{2} - 25 = 0$

b) $x^{2} + 5 x + 6 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có:

*Phương pháp giảI:

Sử dụng hằng đẳng thức để phân tích rồi thực hiện

a) $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$

b) Sử dụng phương pháp tách

*Lý thuyết:

1. Hằng đẳng thức

Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong đẳng thức bằng các số tùy ý.

Ví dụ: $a + b = b + a; a (a + 2) = a^{2} + 2 a$ là những hằng đẳng thức.

$a^{2} - 1 = 3 a; a (a - 1) = 2 a$ không phải là những hằng đẳng thức.

2. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương là gì?

$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$

Ví dụ: $101^{2} - 99^{2} = (101 - 99) (101 + 99) = 2.200 = 400$

3. Bình phương của một tổng

${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

Ví dụ: $101^{2} = (100 + 1)^{2} = 100^{2} + 2.100.1 + 1^{2} = 10201$

4. Bình phương của một hiệu

${(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

Ví dụ: $99^{2} = (100 - 1)^{2} = 100^{2} - 2.100.1 + 1^{2} = 9801$

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án ) - Toán 8

Câu 7:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới + Bài Tập) – Toán 8

Tìm x biết: ${(3 x - 1)}^{10} = {(3 x - 1)}^{20}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: ${(3 x - 1)}^{10} = {(3 x - 1)}^{20} \Rightarrow {(3 x - 1)}^{20} - {(3 x - 1)}^{10} = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(3 x - 1)}^{10} [{(3 x - 1)}^{10} - 1] = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} 3 x - 1 = 0 \\ {(3 x - 1)}^{10} = 1 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{3} \\ 3 x - 1 = 1 \\ 3 x - 1 = - 1 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{3} \\ x = \frac{2}{3} \\ x = 0 \end{array} \end{array}$

*Phương pháp giải:

Chuyển vế đặt nhân tử chúng rồi thực hiện phép tính

Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

*Lý thuyết:

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Khi áp dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần lưu ý:

- Trước tiên nhận xét xem các hạng tử của đa thức có chứa nhân tử chung không, nếu có thì áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung.

- Nếu không thì ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức sau đây để phân tích đa thức thành nhân tử:

1) (A + B)² = A² + 2AB + B²

2) (A – B)² = A² – 2AB + B²

3) A² – B² = (A – B)(A + B)

4) (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

5) (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³

6) A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

7) A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp (có đáp án ) - Toán 8

Câu 8:

Lý thuyết Phép nhân đa thức – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Tìm x biết

$(3 x - 5) (5 - 3 x) + 9 {(x + 1)}^{2} = 30$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Nhóm thành hằng đẳng thức rồi thực hiện nhân đa thức

*Lý thuyết:

1. Nhân đơn thức với đa thức

+ Nhân hai đơn thức như thế nào?

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai phần biến với nhau.

Ví dụ: $(- 3 x^{2} y) (4 x y) = [(- 3.4)] . (x^{2} . x) . (y . y) = - 12. x^{3} . y^{2}$

+ Nhân đơn thức với đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} 3 x^{2} y (2 x^{2} y - x y + 3 y^{2}) \\ = (3 x^{2} y) . (2 x^{2} y) - (3 x^{2} y) . (x y) + (3 x^{2} y) . (3 y^{2}) \\ = 3.2. (x^{2} . x^{2}) (y . y) - 3. (x^{2} . x) . (y . y) + 3.3. x^{2} . (y . y^{2}) \\ = 6 x^{4} y^{2} - 3 x^{3} . y^{2} + 9 x^{2} y^{3} \end{array}$

2. Nhân đa thức với đa thức

+ Nhân hai đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Phép nhân đa thức cũng có các tính chất tương tự phép nhân các số.

+ Giao hoán: A.B = B.A

+ Kết hợp: (A.B).C = A.(B.C)

+ Phân phối của phép nhân đối với phép cộng: (A + B).C = AB + AC

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Nhân đa thức với đa thức (có đáp án ) – Toán 8

$\Leftrightarrow - (9 x^{2} - 30 x + 25) + 9 (x^{2} + 2 x + 1) = 30$ ⇔48x=46⇔x= $\frac{23}{24}$

Câu 9:

50 bài tập về công thức cộng, trừ hai phân thức (có đáp án ) – Toán 8

Thực hiện phép tính $(\frac{4}{15} + \frac{3}{5}) \div \frac{5}{6} + (\frac{11}{15} - \frac{8}{5}) \div \frac{5}{6}$

Xem đáp án

Lời giải

$(\frac{4}{15} + \frac{3}{5}) : \frac{5}{6} + (\frac{11}{15} - \frac{8}{5}) : \frac{5}{6}$

$= (\frac{4}{15} + \frac{3}{5} + \frac{11}{15} - \frac{8}{5}) : \frac{5}{6}$

$= 1 + (- 1) : \frac{5}{6}$
$= 0 : \frac{5}{6}$

$= 0$

*Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung ra ngoài rồi thực hiện phép tính

*Lý thuyết:

1. Phép cộng các phân thức đại số

a) Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức (tương tự như cộng hai phân số cùng mẫu).

Với A, B, C là các đa thức, $B \neq 0$ ta có:

$\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{A + C}{B}$

b) Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu thức

Bước 1: Quy đồng mẫu thức

Bước 2: Cộng hai phân thức cùng mẫu vừa tìm được.

Với A, B, C, D là các đa thức, $B, D \neq 0$ ta có:

$\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A . D}{B . D} + \frac{C . B}{D . B} = \frac{A . D + C . B}{B . D}$

c) Tính chất của phép cộng

Cho ba phân thức $\frac{A}{B}; \frac{C}{D}; \frac{E}{F}$ với $(B; D; F \neq 0)$

+ Tính giao hoán: $\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{C}{D} + \frac{A}{B}$

+ Tính kết hợp: $(\frac{A}{B} + \frac{C}{D}) + \frac{E}{F} = \frac{A}{B} + (\frac{C}{D} + \frac{E}{F})$

+ Cộng với 0: $\frac{A}{B} + 0 = 0 + \frac{A}{B} = \frac{A}{B}$ .

2. Phép trừ các phân thức đại số

a) Phân thức đối

- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

- Phân thức $\frac{- A}{B}$ là phân thức đối của $\frac{A}{B}$ với $(B \neq 0)$ và ngược lại phân thức $\frac{A}{B}$ là phân thức đối của phân thức $\frac{- A}{B}$ .

Ta có: $\frac{- A}{B} + \frac{A}{B} = 0$ .

Như vậy: $- \frac{A}{B} = \frac{- A}{B}$ và $- \frac{- A}{B} = \frac{A}{B}$ .

b) Quy tắc trừ hai phân thức đại số

Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ ta lấy phân thức $\frac{A}{B}$ cộng với phân thức đối của $\frac{C}{D}$ :

$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + (\frac{- C}{D})$ với $(B; D \neq 0)$ .

Xem thêm

Lý thuyết Phép cộng và phép trừ phân thức đại số – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Câu 10:

Giải thích làm sao từ ${(4 x - 5)}^{2} - 9 x^{2} = 0 s a n g (4 x - 5 - 3 x) (4 x - 5 + 3 x) = 0$

Xem đáp án

Lời giải
(4x-5)2-9x2=0
⇒(4x-5)2-(3x)2=0
⇒(4x-5-3x)(4x-5+3x)=0
PHương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2 = (A – B)(A + B).
*Lý thuyết:
1. Bình phương của một tổng
Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
2. Bình phương của một hiệu.
Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2.
3. Hiệu hai bình phương
Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A2 – B2 = (A – B)(A + B).
Xem thêm
Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm + Bài Tập) – Toán 8  TOP 40 câu Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án ) - Toán 8  

Câu 11:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm + Bài Tập) – Toán 8

Giải các phương trình sau: ${(5 x^{2} - 2 x + 10)}^{2} = {(3 x^{2} + 10 x - 8)}^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

(5x² – 2x + 10)² = (3x² + 10x – 8)²

⇔ (5x² – 2x + 10)² – (3x² + 10x – 8)² = 0

⇔ [(5x² – 2x + 10) + (3x² + 10x – 8)] . [(5x² – 2x + 10) – (3x² + 10x – 8)] = 0

⇔ (8x² + 8x + 2)(2x² – 12x + 18) = 0

⇔ 4(4x² + 4x + 1)(x² – 6x + 9) = 0

⇔ 4(2x + 1)²(x – 3)² = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} {(2 x + 1)}^{2} = 0 \\ {(x - 3)}^{2} = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x + 1 = 0 \\ x - 3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{- 1}{2} \\ x = 3 \end{array}$

Vậy $x \in \{\frac{- 1}{2}; 3\}$ .

PHương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức A² – B² = (A – B)(A + B).

Nhóm nhân tử chung rồi thực hiện phép tính

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án ) - Toán 8

Câu 12:

50 bài tập về cách chia đa thức một biến đã sắp xếp (có đáp án ) – Toán 8

Tìm x biết (5x⁴- 3x³) : 2x³= $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

- Muốn chia đa thức một biến A cho đa thức một biến B $\neq$ 0, trước hết ta phải sắp xếp các đa thức này theo lũy thừa giảm dần của cùng một biến và thực hiện phép chia như phép chia các số tự nhiên

- Với A và B là hai đa thức tùy ý cùng một biến số (B $\neq$ 0), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R.

Trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.

R $\neq$ 0 thì phép chia A cho B là phép chia có dư.

Q được gọi là đa thức thương, R được gọi là dư trong phép chia A cho B

Lý thuyết Phép chia đa thức một biến – Toán lớp 7 Kết nối tri thức

Câu 13:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm + Bài Tập) – Toán 8

Phân tích đa thức thành nhân tử:

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

^{= ${(a^{2} + 5 a + 5)}^{2} - 1 - 3$}

^{= ${(a^{2} + 5 a + 5)}^{2} - 4$}

PHương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức A² – B² = (A – B)(A + B).

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án ) - Toán 8

Câu 14:

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức ( + Bài tập)

Chứng minh :(a+b)(b+c)(c+a)≥89(a+b+c)(ab+bc+ca)

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng BĐT AM-GM với 3 số a, b, c ta luôn có:

$a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ , dấu bằng xảy ra khi a = b.

$b + c \geq 2 \sqrt{b c}$ , dấu bằng xảy ra khi b = c.

$a + c \geq 2 \sqrt{a c}$ , dấu bằng xảy ra khi a = c.

$\Rightarrow (a + b) (b + c) (c + a) \geq 2 \sqrt{b c} .2 \sqrt{a b} .2 \sqrt{a c} = 8 a b c$

Lại có:

$(a + b) (b + c) (c + a) + a b c = (a + b + c) (a b + b c + c a) \leq (\frac{1}{8} + 1) (a + b) (b + c) (c + a)$

$\Leftrightarrow (a + b + c) (a b + b c + c a) \leq \frac{9}{8} (a + b) (b + c) (c + a)$

$\Leftrightarrow (a + b) (b + c) (c + a) \geq \frac{8}{9} (a + b + c) (a b + b c + c a) (đ p c m)$

Dấu ''='' xảy ra khi $a = b = c$ .

Vậy ta có BĐT cần Chứng minh.

*Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức cosi

*Lý thuyết:

1. Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức Cô-si là một trong những bất đẳng thức cổ điển. Tên chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, nhiều người gọi là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean). Do nhà toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), người đã đưa ra một cách chừng mình đặc sắc nên nhiều người hay gọi là bất đẳng thức Cauchy.

2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x₁, x₂, x₃ ,…, x_n là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: $\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 2: x₁ + x₂ +...+x_n $\geq n . \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 3: ${(\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n})}^{n} \geq x_{1} . x_{2} . . . x_{n}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x₁ = x₂ =....= x_n

Cho x₁, x₂, x₃ ,…, x_n là các số thực dương ta có:

Dạng 1:_{$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}} \geq \frac{n^{2}}{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}$}

Dạng 2: (x₁ + x₂ + ... + xn) $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}}) \geq n^{2}$

b) Các bất đẳng thức côsi đặc biệt

c) Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cô si

d) Chú ý khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM

Khi áp dụng bất đẳng thức cô si thì các số phải là những số không âm
Bất đẳng thức côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích
Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau
Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng

Xem thêm

Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) và hệ quả (2025) chi tiết nhất

Câu 15:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm + Bài Tập) – Toán 8

Cho a+b+c=0

Chứng minh: ${(a b + b c + c a)}^{2} = a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}$

Xem đáp án

Lời giải:

*Phương pháp giải:

Áp dụng bình phương một tổng (A + B)² = A² + 2AB + B².

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án ) - Toán 8

Câu 16:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2024) đầy đủ, chi tiết nhất

Chứng minh rằng: $\frac{\cos x + \sin x}{\cos^{3} x} = \tan^{3} x + \tan^{2} x + \tan x + 1$

Xem đáp án

Lời giải:

*Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác cơ bản

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 17:

50 bài tập về Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay (có đáp án ) - Toán 9

Tìm giá trị của m sao cho hệ phương trình có nghiệm suy nhất sao cho x+y nhỏ nhất: $\{\begin{cases} (m - 1) x - y & = m + 1 \\ x + (m - 1) y & = 2 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải:

*Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất sau đó giải hệ phương trình tìm nghiệm (x;y) theo tham số m.

Bước 2: Thế x và y vừa tìm được vào biểu thức điều kiện, sau đó giải tìm m.

Bước 3: Kết luận.

*Lý thuyết:

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng $\{\begin{cases} a x + b y = c (1) \\ a' x + b' y = c' (2) \end{cases}$

Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước, x và y gọi là ẩn số.

- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm

chung của hai đường thẳng ?: ax + by = c và d’: a’x + b’y= c’.

Trường hợp: $d \cap d' = A (x_{0}; y_{0})$ ⇔ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x₀; y₀)

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ $\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$

Xem thêm

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (mới + Bài Tập) – Toán 9

Câu 18:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm + Bài Tập) – Toán 8

Chứng minh với mọi n thuộc z thì

(n-1).(n+1)-(n-7).(n-5) chia hết cho 12

Xem đáp án

Lời giải

(n-1).(n+1)-(n-7).(n-5)

=n²-1-(n²-5n-7n+35)

=n²-1-n²+5n-7n-35

=-2n-36

Vậy với N thuộc Z thì (n-1).(n+1)-(n-7).(n-5) chia hết cho 12

*Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức A² – B² = (A – B)(A + B) và thực hiện phép nhân đa thức

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án ) - Toán 8

Câu 19:

Lý thuyết Nhân đa thức với đa thức (năm + Bài Tập) – Toán 8

Cho biểu thức sau B= (n-1) ( n+6) - ( n+1) ( n-6)

Chứng minh rằng B chia hết cho 10 với mọi n thuộc z

Xem đáp án

Lời giải

B= (n-1) (n+6) -(n+1) (n-6)

= $n^{2}$ +5n+6 -( $n^{2}$ -5n-6)

= $n^{2}$ +5n+6 - $n^{2}$ +5n+6

=10n

Vậy B chia hết cho 10 với mọi n thuộc Z

*Phương pháp giải:

Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức

*Lý thuyết:

Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Tổng quát: Với A, B, C, D là các đơn thức, ta có:

(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD.

Nhận xét: Tích của hai đa thức là một đa thức.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Nhân đa thức với đa thức (có đáp án ) – Toán 8

Câu 20:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8

Tìm x, (x − 13)(x + 8) + 3x(x − 13) = 0

Xem đáp án

* Lời giải

$(x - 13) (x + 8) + 3 x (x - 13) = 0$

$\Rightarrow (x - 13) (x + 8 + 3 x) = 0$

$\Rightarrow (x - 13) (4 x + 8) = 0$

$\Rightarrow x - 13 = 0; 4 x + 8 = 0$

$\Rightarrow x = 13; 4 x = - 8$

$\Rightarrow x = 13; x = - 2$

Vậy $x = 13; x = - 2$ .

*Phương pháp giải:

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung

*Lý thuyết:

* Phân tích đa thức thành nhân tử:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung:

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^{3} + x$ thành nhân tử: $x^{3} + x = x . x^{2} + x = x (x^{2} + 1)$

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm nhân tử:

Ví dụ: Phân tích đa thức $x y + 3 z + x z + 3 y$ thành nhân tử:

$x y + 3 z + x z + 3 y = (x y + x z) + (3 z + 3 y) = x (y + z) + 3 (z + y) = (x + 3) (y + z)$

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức như thế nào?

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^{2} - 8 x + 16$ thành nhân tử: $x^{2} - 8 x + 16 = x^{2} - 2. x .4 + 4^{2} = (x - 4)^{2}$

Xem thêm

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới + Bài Tập) – Toán 8

Câu 21:

Thực hiện phép tính $(x + \frac{1}{4}) (x - \frac{1}{4}) (16 x - 1)$

Xem đáp án

27/06/2024

 Lời giải
Ta có:  
   (x+14)(x-14)(16x-1)
=[x2-(14)2](16x-1)
=(x2-116)(16x-1)
=x2(16x-1)-116(16x-1)
=16x3-x2-x+116
PHương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2 = (A – B)(A + B).
Rồi nhân đa thức với đa thức 
*Lý thuyết:
1. Bình phương của một tổng
Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
2. Bình phương của một hiệu.
Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2.
3. Hiệu hai bình phương
Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A2 – B2 = (A – B)(A + B).
Xem thêm
Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm + Bài Tập) – Toán 8 
TOP 40 câu Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án ) - Toán 8 
 
 
 

Câu 22:

Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán lớp 9 Cánh diều

Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn (x+y)⁴=40x+41

Xem đáp án

Lời giải

Do x, y là số nguyên dương nên 40x < 41x; 41 , khi đó ta có:

( x + y )⁴ = 40x + 41 < 41x + 41y = 41( x + y )

Suy ra ( x + y )⁴ < 41( x + y )

$\Leftrightarrow {(x + y)}^{3} < 41 < 64 = 4^{3}$

${(x + y)}^{4} \geq 81$

( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra

*Phương pháp giải:

- Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là phương trình có dạng: ax + by = c

trong đó a, b, c là các số cho trước, $a \neq 0; b \neq 0$ .

- Nếu số thực $x_{0}; y_{0}$ thỏa mãn $a x_{0} + b y_{0} = c$ thì cặp số $(x_{0}; y_{0})$ được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm $(x_{0}; y_{0})$ của phương trình ax + by = c được biểu diễn bởi điểm có tọa độ $(x_{0}; y_{0})$ .

*Lý thuyết:

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

– Khái niệm: Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là những số cho trước, a ≠ 0 hoặc b ≠ 0.

– Khái niệm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn:

Cho phương trình bậc nhất hai ẩn x, y: ax + by = c.

Nếu ax₀ + by₀ = c là một khẳng định đúng thì cặp số (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của phương trình ax + by = c.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

– Khái niệm: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\{\begin{cases} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{cases} (I),$ ở đó mỗi phương trình ax + by = c và a’x + b’y = c’ đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.

– Khái niệm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Nếu cặp số (x₀; y₀) là nghiệm của từng phương trình trong hệ (I) thì cặp số (x₀; y₀) được gọi là nghiệm của hệ (I).

– Khái niệm giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình

Xem thêm

50 bài tập về Phương trình bậc nhất hai ẩn và tập nghiệm (có đáp án) - Toán 9

Câu 23:

Giải phương trình sau $\frac{x}{2 x - 3} + \frac{x}{2 x + 2} = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 3)}$

Xem đáp án

Lời giải

Dkxd:x≠−1;x≠3x2(x−3)+x2x+2=2x(x+1)(x−3)⇒x(x+1)+x(x−3)2(x−3)(x+1)=2x(x+1)(x−3)⇒x2+x+x2−3x2(x−3)(x+1)=4x2(x+1)(x−3)⇒2x2−2x=4x⇒x2−3x=0⇒x(x−3)=0⇒[x=0(tm)x=3(ktm)Vậyx=04x−35−6x−27=5x+43+3⇒21(4x−3)−15(6x−2)−35(5x+4)−3.105105=0⇒84x−62−90x+30−175x−140−315=0⇒−181x−487=0⇒x=−497181
*Phương pháp giải:
Quy đồng vế trái cùng mẫu vế phải rồi khử mẫu 2 vế thực hiện phép tính
*Lý thuyết:
1. Khái niệm
Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức ban đầu thành những phân thức mới với mẫu thức giống nhau.
2. Các bước quy đồng mẫu thức
a) Các bước tìm mẫu thức chung
Bước 1: Phân tích từng mẫu thức thành nhân tử
Bước 2: Chọn ra các nhân tử chung và nhân tử riêng của từng mẫu thức
Bước 3: Nhân các nhân tử chung và các nhân tử riêng có số mũ lớn nhất lại với nhau ta được mẫu thức chung.
b) Các bước quy đồng mẫu thức
Để quy đồng mẫu thức ta làm các bước sau đây
Bước 1: Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung
Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức
Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng
Xem thêm
50 bài tập về công thức quy đồng mẫu thức (có đáp án ) - Toán 8 
Lý thuyết Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức (mới  + Bài Tập) – Toán 8  

Câu 24:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Phân tích đa thức: $(x^{2} + 3 x - 4) (x^{2} + x - 6) - 24$

Xem đáp án

Lời giải

$(x^{2} + 3 x - 4) . (x^{2} + x - 6) - 24$

$= (x^{2} + 4 x - x - 4) . (x^{2} + 3 x - 2 x - 6) - 24$

$= [x . (x + 4) - 1 . (x + 4)] . [x . (x + 3) - 2 . (x + 3)] - 24$

$= (x - 1) . (x + 4) . (x - 2) . (x + 3) - 24$

$= [(x - 1) . (x + 3)] . [(x - 2) . (x + 4)] - 24$

$= (x^{2} + 3 x - x - 3) . (x^{2} + 4 x - 2 x - 8) - 24$

$= (x^{2} + 2 x - 3) . (x^{2} + 2 x - 8) - 24$

Ta đặt: $x^{2} + 2 x - 3 = t$ ta được:

$= t . (t - 5) - 24$

$= t^{2} - 5 t - 24$

$= t^{2} - 8 t + 3 t - 24$

$= t . (t - 8) + 3 . (t - 8)$

$= (t + 3) . (t - 8)$

$= (x^{2} + 2 x - 3 + 3) . (x^{2} + 2 x - 3 - 8)$

$= (x^{2} + 2 x) . (x^{2} + 2 x - 11)$

$= x . (x + 2) . (x^{2} + 2 x - 11) .$

*Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp thêm bớt và đặt nhân tử chung để làm bài

*Lý thuyết:

Phân tích đa thức thành nhân tử:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung:

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^{3} + x$ thành nhân tử: $x^{3} + x = x . x^{2} + x = x (x^{2} + 1)$

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm nhân tử:

Ví dụ: Phân tích đa thức $x y + 3 z + x z + 3 y$ thành nhân tử:

$x y + 3 z + x z + 3 y = (x y + x z) + (3 z + 3 y) = x (y + z) + 3 (z + y) = (x + 3) (y + z)$

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức như thế nào?

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^{2} - 8 x + 16$ thành nhân tử: $x^{2} - 8 x + 16 = x^{2} - 2. x .4 + 4^{2} = (x - 4)^{2}$

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8

Câu 25:

Công thức giải phương trình bậc hai chi tiết nhất

Giải phương trình $(x^{2} + x + 1) (x^{2} + x + 2) = 12$

Xem đáp án

Lời giải:

*Phương pháp giải:

Giải phương trình tích: Cho phương trình A(x).B(x)...C(x) = 0 (1), trong đó A(x).B(x)...C(x) là các phương trình ẩn x.

Bước 1: Biến đổi tương đương A(x).B(x)...C(x) = 0

Bước 2: Lần lượt giải các phương trình A(x) = 0; B(x) = 0;... C(x) = 0.

Bước 3: Kết luận.

*Lý thuyết:

- Phương trình bậc hai có dạng ${ax}^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ )

- Cách giải và biện luận phương trình bậc hai:

+ Với $Δ = b^{2} - 4 a c$

Nếu $Δ > 0$ thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ , $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

Nếu $Δ = 0$ thì phương trình bậc hai có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}$

Nếu $Δ < 0$ thì phương trình bậc hai vô nghiệm.

+ Với $Δ' = b'^{2} - a c$ với $b' = \frac{b}{2}$

Nếu $Δ' > 0$ thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b' + \sqrt{Δ'}}{a}$ , $x_{2} = \frac{- b' - \sqrt{Δ'}}{a}$

Nếu $Δ' = 0$ thì phương trình bậc hai có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = \frac{- b'}{a}$

Nếu $Δ' < 0$ thì phương trình bậc hai vô nghiệm.

- Đối với các phương trình quy về phương trình bậc hai ta có thể dùng các phép biến đổi như nhân đa thức, quy đồng mẫu số, chuyển vế, lấy nhân tử chung … để đưa phương trình đã cho về dạng ${ax}^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ).

Xem thêm

50 bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình (có đáp án) và cách giải

Câu 26:

$(x^{2} - \frac{1}{3}) (x^{4} + \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{9})$

Xem đáp án

Lời giải

(x2-13)(x4+13x2+19)
=(x2-13)[(x2)2+13.x2+(13)2]
=(x2)3-(13)3
=x6-127
*Phương pháp giải:
Áp dụng công thức lập phương 1 hiệu (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3 AB2 – B3
*Lý thuyết:
1. Lập phương của một tổng
Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất cộng ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai cộng lập phương số thứ hai.
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
2. Lập phương của một hiệu
Lập phương của một hiệu bằng lập phương số thứ nhất trừ ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai trừ lập phương số thứ hai.
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3 AB2 – B3
Xem thêm
Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm  + Bài Tập) – Toán 8  200 bài tập về những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án 2025) và cách giải 

Câu 27:

Phân tích đa thức thành nhân tử : ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3} - y^{6}$

Xem đáp án

Lời giải
(x2-2x+1)3-y6
=(x-1)6-y6
=[(x-1)3-y3][(x-1)3+y3]
=(x-1-y)(x2+xy+y)(x-1+y)(x2-xy+y)
*Phương pháp giải:
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức 
Áp dụng công thức lập phương 1 hiệu (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3 AB2 – B3
*Lý thuyết:
* Phân tích đa thức thành nhân tử:
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung:
Ví dụ: Phân tích đa thức x3+x thành nhân tử: x3+x=x.x2+x=x(x2+1)
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm nhân tử:
Ví dụ: Phân tích đa thức xy+3z+xz+3y thành nhân tử:
xy+3z+xz+3y=(xy+xz)+(3z+3y)=x(y+z)+3(z+y)=(x+3)(y+z)
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức như thế nào?
Ví dụ: Phân tích đa thức x2−8x+16 thành nhân tử: x2−8x+16=x2−2.x.4+42=(x−4)2
Xem thêm
TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8 
Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới  + Bài Tập) – Toán 8 
 

Câu 28:

Lý thuyết Nguyên hàm (mới + Bài Tập) – Toán 12

Tính nguyên hàm của hàm số $\frac{{(x - 1)}^{2017}}{{(x + 1)}^{2019}}$ dx

Xem đáp án

Lời giải:

Ta thấy rằng

$(\frac{x - 1}{x + 1})^{'} = \frac{x + 1 - (x - 1)}{(x + 1)^{2}} = \frac{2}{(x + 1)^{2}}$

Khi đó, ta có

$\int \frac{(x - 1)^{2017}}{(x + 1)^{2019}} d x = \int {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2017} . \frac{1}{(x + 1)^{2}} d x$

$= \frac{1}{2} \int {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2017} . \frac{2}{(x + 1)^{2}} d x$

$= \frac{1}{2} \int {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2017} . (\frac{x - 1}{x + 1})^{'} d x$

Đặt $t = \frac{x - 1}{x + 1}$ , khi đó ta có

$d t = (\frac{x - 1}{x + 1})^{'} d x$

Vậy nguyên hàm ban đầu trở thành

$\frac{1}{2} \int t^{2017} d t = \frac{1}{2} \frac{t^{2018}}{2018} + c$

$= \frac{t^{2018}}{4036} + c$

$= \frac{1}{4036} . {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2018} + c$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nguyên hàm

*Lý thuyết:

1. Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R).

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi $x \in K$ .

- Định lí 1.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó $F (x) + C; C \in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: $\int_{}^{} f (x) d x = F (x) + C$

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

2. Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

$\int f' (x) d x = f (x) + C$

Ví dụ 3.

$\int ( 4^{x})' d x$ $= \int 4^{x} . \ln 4. d x = 4^{x} + C$

- Tính chất 2.

$\int k f (x) d x = k . \int f (x) d x$ (k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

$\int [f (x) \pm g (x)] d x$ $= \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{2} + 2 \sin x$ trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ .

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Nguyên hàm (có đáp án ) - Toán 12

Câu 29:

50 bài tập về công thức quy đồng mẫu thức (có đáp án ) - Toán 8

Giải phương trình: $\frac{x + 1}{x - 2} - \frac{5}{x + 2} = \frac{12}{x^{2} - 4} + 1$

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện xác định: x ≠ ±2.

$\frac{x + 1}{x - 2} - \frac{5}{x + 2} = \frac{12}{x^{2} - 4} + 1$

$\Leftrightarrow \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2} - 4} - \frac{5 (x - 2)}{x^{2} - 4} = \frac{12}{x^{2} - 4} + \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$

⇔ x² + 3x + 2 – 5x + 10 = 8 + x²

⇔ 12 – 2x = 8

⇔ x = 2 (không thỏa mãn)

Vậy phương trình vô nghiệm.

*Phương pháp giải:

Quy đồng vế trái cùng mẫu vế phải rồi khử mẫu 2 vế thực hiện phép tính

*Lý thuyết:

1. Khái niệm

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức ban đầu thành những phân thức mới với mẫu thức giống nhau.

2. Các bước quy đồng mẫu thức

a) Các bước tìm mẫu thức chung

Bước 1: Phân tích từng mẫu thức thành nhân tử

Bước 2: Chọn ra các nhân tử chung và nhân tử riêng của từng mẫu thức

Bước 3: Nhân các nhân tử chung và các nhân tử riêng có số mũ lớn nhất lại với nhau ta được mẫu thức chung.

b) Các bước quy đồng mẫu thức

Để quy đồng mẫu thức ta làm các bước sau đây

Bước 1: Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng

Xem thêm

Lý thuyết Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức (mới + Bài Tập) – Toán 8

Câu 30:

Phân tích đa thức thành nhân tử ${(x - 2)}^{3} + {(5 - 2 x)}^{3} = 0$

Xem đáp án

Lời giải

(x-2)3+(5-2x)3=0
⇔x3-6x2+12x-8+125-150x+60x2-8x3=0
⇔(x3-8x3)-(6x2-60x2)+(12x-150x)-(8-125)=0
⇔-7x3+54x2-138x+117=0
⇔-(7x3-54x2+138x-117)=0
⇔7x3-54x2+138x-117=0
⇔7x3-21x2-33x2+99x+39x-117=0
⇔7x2.(x-3)-33x.(x-3)+39.(x-3)=0
⇔(x-3).(7x2-33x+39)=0
mà:7x2-33x+39=7.(x2-337x+397)=7.(x2-2.x.3314+1089196+3196)=7.(x-3314)2+328>0
⇒x-3=0
⇔x=3
*Phương pháp giải:
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức
Áp dụng công thức lập phương 1 hiệu (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3 AB2 – B3
*Lý thuyết:
* Phân tích đa thức thành nhân tử:
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung:
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm nhân tử:
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức như thế nào
Xem thêm
TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8 
Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới  + Bài Tập) – Toán 8 

Câu 31:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8

Thực hiện phép chia $(x^{3} + 2 x^{2} - 22 x + 21) \div (x - 3)$

Xem đáp án

Lời giải

$(x^{3} + 2 x^{2} - 22 x + 21) : (x - 3)$

$=$ $\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 22 x + 21}{x - 3}$

$=$ $\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 5 x^{2} - 15 x - 7 x + 21}{x - 3}$

$=$ $\frac{x^{2} (x - 3) + 5 x (x - 3) - 7 (x - 3)}{x - 3}$

$=$ $\frac{(x - 3) (x^{2} + 5 x - 7)}{x - 3}$

$=$ $x^{2} + 5 x - 7$

*Phương pháp giải:

Phân tích đa thức ở trên tử rồi khử mẫu

*Lý thuyết

* Phân tích đa thức thành nhân tử:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung:

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^{3} + x$ thành nhân tử: $x^{3} + x = x . x^{2} + x = x (x^{2} + 1)$

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm nhân tử:

Ví dụ: Phân tích đa thức $x y + 3 z + x z + 3 y$ thành nhân tử:

$x y + 3 z + x z + 3 y = (x y + x z) + (3 z + 3 y) = x (y + z) + 3 (z + y) = (x + 3) (y + z)$

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức như thế nào?

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^{2} - 8 x + 16$ thành nhân tử: $x^{2} - 8 x + 16 = x^{2} - 2. x .4 + 4^{2} = (x - 4)^{2}$

Xem thêm

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới + Bài Tập) – Toán 8

Câu 32:

Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất

a; (44 . 52 . 60) : (11 . 13 . 15)

b; 123 . 456456 - 456 . 123123

c, 341 . 67 + 341 . 16 + 659 . 83

d; (98 . 7676 - 9898 . 76) : (2001 . 2002 . 2003....2010)

Xem đáp án

Lời giải

a) (44.52.60) : (11.13.15)

= (11 . 4 . 13 . 4 . 15 . 4) : (11 . 13 . 15)

= (4 . 4 . 4) . (11 . 13 . 15) : (11 . 13 . 15)

= 64 . 1

= 64

b) 123 . 456456 - 456 . 123123
= 123 . 1001 . 456 - 456 . 1001 . 123
= 0
c) 341 . 67 + 341 . 16 + 659 . 83
= 341 (67 + 16) + 659 . 83
= 341 . 83 + 659 . 83
= 83 (341 + 659)
= 83 . 1000
= 83 000
d) (98 . 7676 - 9898 . 76) : ( 2001 . 2002 . 2003 .... 2010)
= (98. 101 . 76  - 98 . 101 . 76) : (2001 . 2002 . 2003 ...... 2010)
= 0 : (2001 . 2002 . 2003 ..... 2010)
= 0
*Phương pháp giải:
 Tách phép nhân thành đa thức có cùng với số chia
*Lý thuyết:
1. Phép cộng và phép nhân
Phép cộng (+) và phép nhân (×) các số tự nhiên đã được biết đến ở tiểu học.
Chú ý: Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số ta có thể không viết dấu nhân ở giữa các thừa số; dấu “×” trong tích các số cũng có thể thay bằng dấu “.”.
2. Tính chất của phép cộng và phép nhân số tự nhiên
Với a, b, c là các số tự nhiên, ta có:
− Tính chất giao hoán:
a + b = b + a
a . b = b . a
− Tính chất kết hợp:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a . b) . c = a . (b . c)
− Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
a . (b + c) = a . b + a . c
− Tính chất cộng với số 0, nhân với số 1:
a + 0 = a
a . 1 = a.
Xem thêm
Lý thuyết Thứ tự thực hiên các phép tính chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều
Tính một cách hợp lí 

Câu 33:

Lý thuyết Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (mới + Bài Tập) – Toán 9

Rút gọn biểu thức sau

A= $\sqrt{125} - \sqrt{45} + 3 \sqrt{20} - \sqrt{320}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

- Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

- Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thứa và khai phương thì thứ tự thực hiện: khai căn trước rồi đến lũy thừa, sau đó đến nhân, chia, cộng, trừ.

*Lý thuyết:

1. Khái niệm số vô tỉ

Số vô tỉ có thể viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Kí hiệu của số vô tỉ là I

2. Khái niệm căn bậc hai

- Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho $x^{2} = a$

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau là $\sqrt{a}$ và $- \sqrt{a}$ .

- Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

- Số âm không có căn bậc hai.

3. Công thức căn bậc hai

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Căn bậc hai (có đáp án ) – Toán 9

Câu 34:

Lý thuyết Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (mới + Bài Tập) – Toán 9

Tính $\sqrt{(7 + 4 \sqrt{3})} - \sqrt{9 + 4 \sqrt{5}} - \sqrt{21 - 8 \sqrt{5}}$

Xem đáp án

Lời giải

√(7+4√3)- √(9+4√5) - √(21-8√5)
= √[(2 + √3)^2] + √[(2 + √5)^2] - √[(4 - √5)^2]
= | 2 +√3| + |2 + √5| - |4 - √5|
= 2 + √3 + 2 + √5 - (4 - √5)
= 2√5 + √3

*Phương pháp giải:

- Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

- Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thứa và khai phương thì thứ tự thực hiện: khai căn trước rồi đến lũy thừa, sau đó đến nhân, chia, cộng, trừ.

*Lý thuyết:

1. Khái niệm số vô tỉ

Số vô tỉ có thể viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Kí hiệu của số vô tỉ là I

2. Khái niệm căn bậc hai

- Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho $x^{2} = a$

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau là $\sqrt{a}$ và $- \sqrt{a}$ .

- Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

- Số âm không có căn bậc hai.

3. Công thức căn bậc hai

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Căn bậc hai (có đáp án ) – Toán 9

Câu 35:

Lý thuyết Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (mới + Bài Tập) – Toán 9

Tính A= $\sqrt{75} - 3 \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{192}$

Xem đáp án

Lời giải

A= √75 - 3√12 + √27 - √192

= √5².3 - 3√2².3 + √3².3 - √8².3

= 5√3 - 6√3 + 3√3 - 8√3
= -6√3 

*Phương pháp giải:

- Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

- Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thứa và khai phương thì thứ tự thực hiện: khai căn trước rồi đến lũy thừa, sau đó đến nhân, chia, cộng, trừ.

*Lý thuyết:

1. Khái niệm số vô tỉ

Số vô tỉ có thể viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Kí hiệu của số vô tỉ là I

2. Khái niệm căn bậc hai

- Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho $x^{2} = a$

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau là $\sqrt{a}$ và $- \sqrt{a}$ .

- Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

- Số âm không có căn bậc hai.

3. Công thức căn bậc hai

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Căn bậc hai (có đáp án ) – Toán 9

Câu 36:

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ và cách giải – Toán lớp 7

$\sqrt{x . x}$ bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$\sqrt{x . x} = \sqrt{x^{2}} = |x| = x n ế u x \geq 0 h o ặ c = - x n ế u x < 0$

*Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất:

$\forall x \in Z : |x| \geq 0; |x| = |- x|; |x| \geq x$

*Lý thuyết:

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x, kí hiệu |x| là khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 trên trục số.

Dạng 3.1: Tính toán các số hữu tỉ có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

1. Phương pháp giải:

- Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ:

- Tính chất hay sử dụng của giá trị tuyệt đối:

$\forall x \in Z : |x| \geq 0; |x| = |- x|; |x| \geq x$

Dạng 3.2: Tìm một số chưa biết trong biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

1. Phương pháp giải:

- Áp dụng định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.

- Quy tắc chuyển vế.

- Tính chất hay sử dụng của giá trị tuyệt đối:

$\forall x \in Z : |x| \geq 0; |x| = |- x|; |x| \geq x$

Xem thêm

TOP 15 câu Trắc nghiệm Toán lớp 7 (Chân trời sáng tạo ) có đáp án: Số thực. Giá trị tuyệt đối của một số thực

Câu 37:

35 Bài tập Bảng đơn vị đo thời gian lớp 5 (có đáp án)

Tính 0.5 phút=...giây ,1,2 giờ =...phút

Xem đáp án

Lời giải:

0,5 phút = 1/2 phút = 60/2 = 30 giây

1 giờ = 60 phút

0,2 giờ = 60 : 0,2 = 12

*Phương pháp giải:

Áp dụng:

1 giờ = 60 phút

1 phút = 60 giây

*Lý thuyết:

1 thế kỉ = 100 năm

1 tuần lễ = 7 ngày

1 năm = 12 tháng

1 ngày = 24 giờ

1 năm = 365 ngày

1 giờ = 60 phút

1 năm nhuận = 366 ngày

1 phút = 60 giây

Cứ 4 năm lại có 1 năm nhuận.

Tháng một, tháng ba, tháng năm, tháng bảy, tháng tám, tháng mười, tháng mười hai có 31 ngày.

Tháng tư, tháng sáu, tháng chín, tháng mười một có 30 ngày.

Tháng hai có 28 ngày (vào năm nhuận có 29 ngày)

Xem thêm

Lý thuyết Bảng đơn vị đo thời gian(mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Câu 38:

50 bài toán về công thức lũy thừa, logarit và cách giải (có đáp án ) – Toán 12

Rút gọn biểu thức $\frac{0, 8^{5}}{0, 4^{6}}$ ta được giá trị nào dưới đây?

A. 20

B. 40

C. 60

D. 80

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Lời giải

Ta có: $\frac{0, 8^{5}}{0, 4^{6}} = \frac{0, 8^{5}}{0, 4^{5} .0, 4} = \frac{0, 8^{5}}{0, 4^{5}} . \frac{1}{0, 4}$

$= {(\frac{0, 8}{0, 4})}^{5} . \frac{1}{0, 4} = 2^{5} . \frac{1}{0, 4} = \frac{32}{0, 4} = 80$

*Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất luỹ thừa

*Lý thuyết:

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

$a^{n} = a . a .... a,$ (n thừa số)

Ở đây $n \in ℤ^{+}, n > 1$ . Quy ước $a^{1} = a$

$(a \neq 0) : a^{0} = 1, a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ với $n \in ℤ^{+}$

+ Số căn bậc n

Với n lẻ và $b \in ℝ$ : Có một căn bậc n của b là $\sqrt[n]{b}$ .

Với n chẵn

b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.

b > 0: Có hai bậc n của b là $\pm \sqrt[n]{b}$ .

+ Tính chất căn bậc n

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

+ Lũy thừa số mũ hữu tỷ:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}, (a > 0)$

+ Lũy thừa số thực

$a^{α} = \lim_{n \to \infty} a^{r_{n}}$ ( $α$ là số vô tỉ, r_n là số hữu tỉ và lim r_{n =} $α$ )

+ Tính chất

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Xem thêm

Câu 39:

Lý thuyết Tập hợp các số nguyên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

0 có thuộc tập hợp Z không?

Xem đáp án

Lời giải:

Số $0 \in Z$

*Phương pháp giải:

Khẳng định tập hợp Z gồm hai bộ phận là các số nguyên dương và các số nguyên âm là sai.

Vì tập hợp Z là tập hợp bao gồm các số nguyên âm, các số nguyên dương và số 0.

*Chú ý: 0 không phải số nguyên âm, cũng không phải số nguyên dương.

*Lý thuyết:

+ Số tự nhiên khác 0 còn được gọi là số nguyên dương.

+ Các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương tạo thành tập hợp các số nguyên.

+ Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là $ℤ$

Ví dụ:

+ Các số nguyên dương: 4, 6, 10 000, …

+ Tập hợp các số nguyên $ℤ$ = {…, – 2, – 1, 0, 1, 2, …}

Chú ý:

+ Số 0 không phải số nguyên âm, cũng không phải số nguyên dương.

+ Các số nguyên dương 1, 2, 3,... đều mang dấu “+" nên còn được viết là + 1, + 2, + 3,.

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Tập hợp và các phép toán trên tập hợp (Kết nối tri thức ) có đáp án | Toán 10

Câu 40:

Phân tích đa thức thành nhân tử

$0.125 {(a + 1)}^{3} - 1$

Xem đáp án

Lời giải
a)0,125(a+1)3−1
=[0,5(a+1)]3−13
=(0,5a+0,5)3−13
=(0,5a−0,5)[(0,5a−0,5)2+0,5a+1,5]
*Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức
*Lý thuyết:
Phân tích đa thức thành nhân tử:
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung:
Ví dụ: Phân tích đa thức x3+x thành nhân tử: x3+x=x.x2+x=x(x2+1)
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm nhân tử:
Ví dụ: Phân tích đa thức xy+3z+xz+3y thành nhân tử:
xy+3z+xz+3y=(xy+xz)+(3z+3y)=x(y+z)+3(z+y)=(x+3)(y+z)
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức như thế nào?
Ví dụ: Phân tích đa thức x2−8x+16 thành nhân tử: x2−8x+16=x2−2.x.4+42=(x−4)2
Xem thêm
Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử – Toán lớp 8 Kết nối tri thức  TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8 

Câu 41:

Tính bằng cách thuận tiện nhất

Tính bằng cách thuận tiện nhất:

1+2+3+4+...+9

Xem đáp án

Lời giải

1 + 2 + 3 + 4 +...+ 9

= ( 1 + 9 ) + ( 2 + 8 ) + ( 3 + 7 ) + ( 4 + 6 ) +5

=10 + 10 + 10 + 10 + 5

= 45

*Phương pháp giải:

Nhóm hoặc tách các số trong biểu thức thành từng nhóm có tổng hoặc hiệu là các số tròn chục, trong trăm, tròn nghìn,...

*Lý thuyết:

Cách 1: Nhóm hoặc tách các số trong biểu thức thành từng nhóm có tổng hoặc hiệu là các số tròn chục, trong trăm, tròn nghìn,...

Cách 2: Vận dụng các tính chất của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia

- Nhân một số với một tổng : a x (b + c) = a x b + a x c

Cách 3 : Vận dụng các tính chất của các số đặc biệt

0 nhân với số nào cũng bằng 0 : 0 x m = m x 0 = 0

0 chia cho số nào cũng bằng 0 : 0 : m = 0

1 nhân với số nào cũng bằng chính nó : 1 x m = m x 1 = m

Chia một số cho 1 bằng chính số đó : m : 1 = m

Cách 4 : Tính thuận tiện với biểu thức có phân số

Đầu tiên, nhóm các phân số trong biểu thức thành từng nhóm riêng biệt có tổng ( hoặc hiệu ) bằng 1 hoặc 0.

Sau đó vận dụng tính chất của 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc ở mẫu số nhằm tạo ra thừa số giống nhau ở cả mẫu và tử số rồi thực hiện rút gọn biểu thức.

Phép cộng của các số giống nhau sẽ được biểu diễn bằng phép nhân.

Xem thêm

Câu 42:

Tính bằng cách thuận tiện nhất

Tính

S= $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + . . . . . . . + \frac{1}{45}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + ... + \frac{1}{45}$
$= 2 \times (\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + ... + \frac{1}{90})$
$= 2 \times (\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6} + ... + \frac{1}{9 \times 10})$
$= 2 \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{9} - \frac{1}{10})$
$= 2 \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{10})$
$= 2 \times (\frac{5}{10} - \frac{1}{10})$

$= 2 \times \frac{2}{5}$
$= \frac{4}{5}$

*Phương pháp giải:

Vận dụng các tính chất của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia

- Nhân một số với một tổng : a x (b + c) = a x b + a x c

*Lý thuyết:

Cách 1: Nhóm hoặc tách các số trong biểu thức thành từng nhóm có tổng hoặc hiệu là các số tròn chục, trong trăm, tròn nghìn,...

Cách 2: Vận dụng các tính chất của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia

- Nhân một số với một tổng : a x (b + c) = a x b + a x c

Cách 3 : Vận dụng các tính chất của các số đặc biệt

0 nhân với số nào cũng bằng 0 : 0 x m = m x 0 = 0

0 chia cho số nào cũng bằng 0 : 0 : m = 0

1 nhân với số nào cũng bằng chính nó : 1 x m = m x 1 = m

Chia một số cho 1 bằng chính số đó : m : 1 = m

Cách 4 : Tính thuận tiện với biểu thức có phân số

Đầu tiên, nhóm các phân số trong biểu thức thành từng nhóm riêng biệt có tổng ( hoặc hiệu ) bằng 1 hoặc 0.

Sau đó vận dụng tính chất của 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc ở mẫu số nhằm tạo ra thừa số giống nhau ở cả mẫu và tử số rồi thực hiện rút gọn biểu thức.

Phép cộng của các số giống nhau sẽ được biểu diễn bằng phép nhân.

Xem thêm

Câu 43:

Chuyên đề Dãy số tự nhiên, dãy số theo quy luật lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Tính

1+2-3+4+5-6+7+8-9+..............+28+29-30 =

Xem đáp án

Lời giải:

1 + 2 - 3 + 4 + 5 - 6 + 7 + 8 - 9 + ..... + 28 + 29 - 30

= (1 + 2 - 3) + (4 + 5 - 6) + (7 + 8 - 9) + ... + (28 + 29) - 30

= 0 +( 3 + 6 + ...+ 27 )

Đặt (3 + 6 + ... + 27) là A . Ta có

Số số hạng của A là: (27 - 3) : 3 + 1 = 9

Tổng của A = (3 + 27) x 9 : 2 = 135

=> 1 + 2 - 3 + 4 + 5 - 6 + 7 + 8 - 9 + .... + 28 + 29 - 30 = 0 + (3 + 6 + ... + 27) = 0 + 135 = 135

*Phương pháp giải:

Thu gọn về dãy số hơn kém nhau 3 đơn vị rồi sử dụng công thức tính tổng dãy số

*Lý thuyết:

Tính số các số hạng có trong dãy = (Số hạng lớn nhất của dãy - số hạng bé nhất của dãy) : khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Tính tổng của dãy = (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2

Xem thêm

50 bài tập Dãy số tự nhiên lớp 4 và cách giải

Câu 44:

50 bài tập về phân thức đại số (có đáp án ) – Toán 8

Phương trình $\frac{3 x - 5}{x - 1} - \frac{2 x - 5}{x - 2} = 1$ có số nghiệm là

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là A

Lời giải

*Phương pháp giải:

Quy đồng khử mẫu đưa về phép tính giải tìm nghiệm

*Lý thuyết:

1. Phép cộng các phân thức đại số

a) Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức (tương tự như cộng hai phân số cùng mẫu).

b) Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu thức

Bước 1: Quy đồng mẫu thức

Bước 2: Cộng hai phân thức cùng mẫu vừa tìm được.

c) Tính chất của phép cộng

Cho ba phân thức $\frac{A}{B}; \frac{C}{D}; \frac{E}{F}$ với $(B; D; F \neq 0)$

+ Tính giao hoán: $\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{C}{D} + \frac{A}{B}$

+ Tính kết hợp: $(\frac{A}{B} + \frac{C}{D}) + \frac{E}{F} = \frac{A}{B} + (\frac{C}{D} + \frac{E}{F})$

+ Cộng với 0: $\frac{A}{B} + 0 = 0 + \frac{A}{B} = \frac{A}{B}$ .

2. Phép trừ các phân thức đại số

a) Phân thức đối

- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

- Phân thức $\frac{- A}{B}$ là phân thức đối của $\frac{A}{B}$ với $(B \neq 0)$ và ngược lại phân thức $\frac{A}{B}$ là phân thức đối của phân thức $\frac{- A}{B}$ . Ta có: $\frac{- A}{B} + \frac{A}{B} = 0$ .

Như vậy: $- \frac{A}{B} = \frac{- A}{B}$ và $- \frac{- A}{B} = \frac{A}{B}$ .

b) Quy tắc trừ hai phân thức đại số

Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ ta lấy phân thức $\frac{A}{B}$ cộng với phân thức đối của $\frac{C}{D}$ :

$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + (\frac{- C}{D})$ với $(B; D \neq 0)$ .

3. Phép nhân các phân thức đại số

a) Quy tắc nhân phân thức

Muốn nhân hai phân thức ta nhân tử thức với tử thức và mẫu thức với mẫu thức

$\frac{A}{B} . \frac{C}{D} = \frac{A C}{B D}$ với $(B; D \neq 0)$ .

b) Tính chất của phép nhân:

Cho ba phân thức $\frac{A}{B}; \frac{C}{D}; \frac{E}{F}$ với $(B; D; F \neq 0)$

- Tính giao hoán: $\frac{A}{B} . \frac{C}{D} = \frac{C}{D} . \frac{A}{B}$

- Tính kết hợp: $(\frac{A}{B} . \frac{C}{D}) . \frac{E}{F} = \frac{A}{B} . (\frac{C}{D} . \frac{E}{F})$

- Tính phân phối: $(\frac{A}{B} + \frac{C}{D}) . \frac{E}{F} = \frac{A}{B} . \frac{E}{F} + \frac{C}{D} . \frac{E}{F}$

4. Phép chia các phân thức đại số

a) Hai phân thức nghịch đảo

- Hai phân thức nghịch đảo là hai phân thức mà tích của chúng bằng 1.

- Nếu $\frac{A}{B}$ là một phân thức khác 0 thì $\frac{A}{B} . \frac{B}{A} = 1$ , do đó:

+ Phân thức nghịch đảo của $\frac{A}{B}$ là $\frac{B}{A}$ .

+ Phân thức nghịch đảo của $\frac{B}{A}$ là $\frac{A}{B}$ .

b) Quy tắc chia hai phân thức.

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ $(\frac{C}{D} \neq 0)$ , ta nhân phân thức $\frac{A}{B}$ với nghịch đảo của phân thức $\frac{C}{D}$

Tức là $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} . \frac{D}{C} = \frac{A D}{B C}$ $(\frac{C}{D} \neq 0)$ .

Chú ý: Thứ tự thực hiện các phép tính về phân thức cũng giống như thứ tự thực hiện các phép tính về số.

Xem thêm

Lý thuyết Phân thức đại số – Toán lớp 8 Cánh diều

Câu 45:

50 bài tập về phân thức đại số (có đáp án ) – Toán 8

Giải phương trình:

$\frac{1}{2 x - 1} + \frac{3}{12 x - 8} = \frac{2}{3 x - 2}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{1}{2 x - 1} + \frac{3}{12 x - 8} = \frac{2}{3 x - 2} (x \neq \frac{2}{3}; x \neq \frac{1}{2})$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2 x - 1} + \frac{3}{4 (3 x - 2)} = \frac{2}{3 x - 2}$

$\Leftrightarrow \frac{4 (3 x - 2)}{4 (2 x - 1) (3 x - 2)} + \frac{3 (2 x - 1)}{4 (3 x - 2) (2 x - 1)} = \frac{8 (2 x - 1)}{4 (3 x - 2) (2 x - 1)}$

$\Rightarrow 4 (3 x - 2) + 3 (2 x - 1) = 8 (2 x - 1)$

$\Leftrightarrow 12 x - 8 + 6 x - 3 = 16 x - 8$

$\Leftrightarrow 18 x - 11 = 16 x - 8$

$\Leftrightarrow 18 x - 16 x = - 8 + 11$

$\Leftrightarrow 2 x = 3$

$\Leftrightarrow x = \frac{3}{2} (tm)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = {\frac{3}{2}}$

*Phương pháp giải:

Quy đồng khử mẫu đưa về phép tính giải tìm nghiệm

*Lý thuyết:

1. Phép cộng các phân thức đại số

a) Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức (tương tự như cộng hai phân số cùng mẫu).

b) Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu thức

Bước 1: Quy đồng mẫu thức

Bước 2: Cộng hai phân thức cùng mẫu vừa tìm được.

c) Tính chất của phép cộng

Cho ba phân thức $\frac{A}{B}; \frac{C}{D}; \frac{E}{F}$ với $(B; D; F \neq 0)$

+ Tính giao hoán: $\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{C}{D} + \frac{A}{B}$

+ Tính kết hợp: $(\frac{A}{B} + \frac{C}{D}) + \frac{E}{F} = \frac{A}{B} + (\frac{C}{D} + \frac{E}{F})$

+ Cộng với 0: $\frac{A}{B} + 0 = 0 + \frac{A}{B} = \frac{A}{B}$ .

2. Phép trừ các phân thức đại số

a) Phân thức đối

- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

- Phân thức $\frac{- A}{B}$ là phân thức đối của $\frac{A}{B}$ với $(B \neq 0)$ và ngược lại phân thức $\frac{A}{B}$ là phân thức đối của phân thức $\frac{- A}{B}$ . Ta có: $\frac{- A}{B} + \frac{A}{B} = 0$ .

Như vậy: $- \frac{A}{B} = \frac{- A}{B}$ và $- \frac{- A}{B} = \frac{A}{B}$ .

b) Quy tắc trừ hai phân thức đại số

Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ ta lấy phân thức $\frac{A}{B}$ cộng với phân thức đối của $\frac{C}{D}$ :

$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + (\frac{- C}{D})$ với $(B; D \neq 0)$ .

3. Phép nhân các phân thức đại số

a) Quy tắc nhân phân thức

Muốn nhân hai phân thức ta nhân tử thức với tử thức và mẫu thức với mẫu thức

$\frac{A}{B} . \frac{C}{D} = \frac{A C}{B D}$ với $(B; D \neq 0)$ .

b) Tính chất của phép nhân:

Cho ba phân thức $\frac{A}{B}; \frac{C}{D}; \frac{E}{F}$ với $(B; D; F \neq 0)$

- Tính giao hoán: $\frac{A}{B} . \frac{C}{D} = \frac{C}{D} . \frac{A}{B}$

- Tính kết hợp: $(\frac{A}{B} . \frac{C}{D}) . \frac{E}{F} = \frac{A}{B} . (\frac{C}{D} . \frac{E}{F})$

- Tính phân phối: $(\frac{A}{B} + \frac{C}{D}) . \frac{E}{F} = \frac{A}{B} . \frac{E}{F} + \frac{C}{D} . \frac{E}{F}$

4. Phép chia các phân thức đại số

a) Hai phân thức nghịch đảo

- Hai phân thức nghịch đảo là hai phân thức mà tích của chúng bằng 1.

- Nếu $\frac{A}{B}$ là một phân thức khác 0 thì $\frac{A}{B} . \frac{B}{A} = 1$ , do đó:

+ Phân thức nghịch đảo của $\frac{A}{B}$ là $\frac{B}{A}$ .

+ Phân thức nghịch đảo của $\frac{B}{A}$ là $\frac{A}{B}$ .

b) Quy tắc chia hai phân thức.

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ $(\frac{C}{D} \neq 0)$ , ta nhân phân thức $\frac{A}{B}$ với nghịch đảo của phân thức $\frac{C}{D}$

Tức là $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} . \frac{D}{C} = \frac{A D}{B C}$ $(\frac{C}{D} \neq 0)$ .

Chú ý: Thứ tự thực hiện các phép tính về phân thức cũng giống như thứ tự thực hiện các phép tính về số.

Xem thêm

Lý thuyết Phân thức đại số – Toán lớp 8 Cánh diều

Câu 46:

Công thức lượng giác và cách giải bài tập chi tiết nhất

Rút gọn biểu thức: A= $\frac{1 + c o s x + c o s 2 x + c o s 3 x}{2 c o s^{2} x + c o s x - 1}$

Xem đáp án

Lời giải

$A = \frac{1 + \cos x + \cos 2 x + \cos 3 x}{2 \cos^{2} x + \cos x - 1}$

$A = \frac{(1 + \cos 2 x) + (\cos x + \cos 3 x)}{(2 \cos^{2} x - 1) + \cos x}$

$A = \frac{2 \cos^{2} x + 2 \cos 2 x . \cos x}{\cos 2 x + \cos x}$

$A = \frac{2 \cos x (\cos x + \cos 2 x)}{\cos 2 x + \cos x}$

$A = 2 \cos x$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nhân đôi

*Lý thuyết:

* Công thức nhân đôi:

* Công thức hạ bậc:

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức) có đáp án - Toán 11

Câu 47:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác đầy đủ, chi tiết nhất

Rút gọn biểu thức: $\frac{1 + c o t x}{1 - c o t x} - \frac{2 + c o t^{2} x}{(\tan x - 1) (\tan^{2} x + 1)}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{1 + \cot x}{1 - \cot x} - \frac{2 + 2 \cot^{2} x}{(\tan x - 1) (\tan^{2} x + 1)} \\ = \frac{1 + \frac{\cos x}{\sin x}}{1 - \frac{\cos x}{\sin x}} - \frac{2 + 2. \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}}{(\frac{\sin x}{\cos x} - 1) . (\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} + 1)} \\ = \frac{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}}{\frac{\sin x - \cos x}{\sin x}} - \frac{2. (1 + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x})}{\frac{\sin x - \cos x}{\cos x} . \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\cos^{2} x}} \\ = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} - \frac{2. \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin^{2} x}}{\frac{\sin x - \cos x}{\cos x} . \frac{1}{\cos^{2} x}} \\ = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} - \frac{2}{\sin^{2} x} : \frac{\sin x - \cos x}{\cos^{3} x} \\ = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} - \frac{2 \cos^{3} x}{\sin^{2} x . (\sin x - \cos x)} \\ = \frac{\sin^{2} x . (\sin x + \cos x) - 2 \cos^{3} x}{\sin^{2} x . (\sin x - \cos x)} \\ = \frac{(\sin^{3} x - \sin^{2} x . \cos x) + (2 \sin^{2} x . \cos x - 2 \cos^{3} x)}{\sin^{2} x . (\sin x - \cos x)} \\ = \frac{\sin^{2} x . (\sin x - \cos x) + 2 \cos x . (\sin^{2} x - \cos^{2} x)}{\sin^{2} x . (\sin x - \cos x)} \\ = \frac{(\sin x - \cos x) . (\sin^{2} x + 2. \cos x . (\sin x + \cos x))}{\sin^{2} x . (\sin x - \cos x)} \\ = \frac{\sin^{2} x + 2 \cos x . \sin x + 2 \cos^{2} x}{\sin^{2} x} \\ = 1 + 2. \frac{\cos x}{\sin x} + 2. \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} \\ = 1 + 2 \cot x + 2 \cot^{2} x \end{array}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác cơ bản và nâng cao

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Công thức nhân ba

$\sin (3 x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (3 x) = 4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$

Công thức nhân bốn

$8 \cos^{4} (a) - 8 \cos^{2} (a) + 1 = 8 \sin^{4} (a) - 8 \sin^{2} (a) + 1$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 48:

Cách tính thể tích của các hình lớp 5 (chi tiết) và bài tập vận dụng

1 $d m^{3}$ =....lít

Xem đáp án

Lời giải:

1 dm3=1 lít

*Phương pháp giải:

Nắm chắc bảng quy đổi đơn vị

*Lý thuyết:

1 dm3=1 lít

1 dm3=1000cm3

1 dm3=0.001m3

1 dm3=1.000.000mm3

Xem thêm

35 Bài tập Thể tích hình hộp chữ nhật và hình lập phương lớp 5 (có đáp án)

Câu 49:

Lý thuyết Năng lượng và công – Vật lí 10 Cánh diều

Một mét khối không gian có từ trường đều B = 0,1T thì có năng lượng:

A: 0,04J

B: 0,004J

C: 400J

D: 4000J

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Lời giải

*Phương pháp giải:

Năng lượng điện trường tích trữ trong tụ điện và có biểu thức là

*Lý thuyết:

Xét một mạch dao động điện từ LC đang hoạt động ổn định. Trong mạch dao động LC có năng lượng điện từ bao gồm năng lượng điện trường và năng lượng từ trường.

1. Năng lượng điện trường tích trữ trong tụ điện và có biểu thức là

* Ta có:

* Gọi ω’, T’, f’, φ’ lần lượt là tần số góc, chu kì, pha ban đầu của năng lượng điện trường ta có: ω’ = 2ω; T’ = T/2; f’ = 2f, φ’ = 2φ.

2. Năng lượng từ trường tích trữ trong cuộn cảm và có biểu thức là

* Ta có:

* Gọi ω’, T’, f’, φ’ lần lượt là tần số góc, chu kì, pha ban đầu của năng lượng từ trường ta có: ω’ = 2ω; T’ = T/2; f’ = 2f, φ’ = 2φ +- π => W_L ngược pha với W_C.

3. Năng lượng điện từ trong mạch LC bằng tổng của năng lượng điện trường và năng lượng từ trường: W = W_C + W_L

Xem thêm

TOP 15 câu Trắc nghiệm Năng lượng và công có đáp án - Vật lí lớp 10 Cánh diều

Câu 50:

50 bài tập Tính vận tốc của một chuyển động đều lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Một người đi xe máy trên quãng đường AB dai 120km. Trong 1,5 giờ đầu người đó đi với vận tốc 35km/giờ. Quãng đường còn lại người đó muốn đi trong thời gian 1,2 giờ thì vận tốc phải là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải:

Trong 1,5 giờ đầu người đó đi được là:

1,5 x 35 = 52,5 (km)

Quãng đường còn lại phải đi là:

120 - 52,5 = 67,5 (km)

Vậy người đó muốn đi hết quãng đường còn lại trong 1,2 giờ thì vận tốc phải đạt là:

67,5 : 1,2 = 56,25 (km/giờ)

Đáp số: 56,25 km/h

*Phương pháp giải:

Tính độ dài quãng đường đi đưovj trong 1,5 giờ đầu

Tính quãng đường còn lại

Áp dụng công thức quãng đường tính vận tốc

*Lý thuyết:

Muốn tính vận tốc, ta lấy quãng đường chia cho thời gian.

Đơn vị vận tốc có thể là km/ giờ, m/ phút, m/ giây…. Đơn vị vận tốc thường dùng là km/ giờ và m/ giây.

Dạng 1: Tìm vận tốc khi biết quãng đường và thời gian

Phương pháp: Muốn tính vận tốc, ta lấy quãng đường chia cho thời gian.

Lưu ý: Các đơn vị của vận tốc, quãng đường và thời gian phải tương ứng với nhau, nếu chưa tương ứng thì phải đổi để tương ứng với nhau theo yêu cầu của đề bài.

Dạng 2: Tìm vận tốc khi biết quãng đường, thời gian xuất phát, thời gian đến và thời gian nghỉ (nếu có)

Phương pháp:

Thời gian đi = Thời gian đến – thời gian xuất phát – thời gian nghỉ (nếu có).

Tính vận tốc: Ta lấy quãng đường chia cho thời gian đi.

Dạng 3: So sánh hai vận tốc khi biết quãng đường và thời gian

Phương pháp: Áp dụng quy tắc để tính vận tốc của từng đối tượng rồi so sánh kết quả với nhau.

Dạng 4: Tính vận tốc trung bình khi một vật chuyển động trên nhiều quãng đường

Phương pháp:

Vận tốc trung bình = Tổng quãng đường : Tổng thời gian.

Xem thêm

Công thức tính vận tốc tức thời và cách giải các dạng bài tập chi tiết nhất

Câu 51:

35 Bài tập Bảng đơn vị đo thời gian lớp 5 (có đáp án)

Viết phân số thích hợp vào chỗ chấm:

1 phút = ... giờ

6 phút = ... giờ

12 phút = ... giờ

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng:

1 giờ = 60 phút

1 phút = 60 giây

*Lý thuyết:

1 thế kỉ = 100 năm

1 tuần lễ = 7 ngày

1 năm = 12 tháng

1 ngày = 24 giờ

1 năm = 365 ngày

1 giờ = 60 phút

1 năm nhuận = 366 ngày

1 phút = 60 giây

Cứ 4 năm lại có 1 năm nhuận.

Tháng một, tháng ba, tháng năm, tháng bảy, tháng tám, tháng mười, tháng mười hai có 31 ngày.

Tháng tư, tháng sáu, tháng chín, tháng mười một có 30 ngày.

Tháng hai có 28 ngày (vào năm nhuận có 29 ngày)

Xem thêm

Lý thuyết Bảng đơn vị đo thời gian(mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Câu 52:

Cứ 1 tạ hạt tươi đem phơi khô thì khối lượng hạt đó giảm đi 15 kg. Hỏi có 200 kg hạt tươi đó đem đem phơi khô thì được bao nhiêu ki-lô-gam hạt khô?

Xem đáp án

Lời giải

Đổi 1 tạ = 100 kg

cứ 100 kg hạt tươi đem phơi khô thì thu được số kg hạt khô là :

100 – 15 = 85 (kg)

vì 200 kg gấp 2 lần 100 kg nên

Số kg hạt khô thu được từ 200 kg hạt tươi là :

85 × 2 = 170 (kg)

Đáp số: 170 kg.

*Phương pháp giải:

Tính số kg hạt khô thu được từ 100kg hạt tươi

Tính số kg hạt khô thu được từ 200kg hạt tươi

*Lý thuyết:

1. Phép cộng hai số tự nhiên

a + b = c

(số hạng) + (số hạng) = (tổng)

2. Tính chất của phép cộng các số tự nhiên

+ Phép cộng các số tự nhiên có các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0.

Tính chất	Phát biểu	Kí hiệu
Giao hoán	Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.	a + b = b + a
Kết hợp	Muốn cộng một tổng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.	(a + b) + c = a + (b + c)
Cộng với số 0	Bất kì số nào cộng với số 0 cũng bằng chính nó.	a + 0 = 0 + a = a

+ Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a + b + c có thể được tính theo một trong hai cách sau: a + b + c = (a + b) + c hoặc a + b + c = a + (b + c).

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều 2) có đáp án - Toán 6

Lý thuyết Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 53:

35 Bài tập Hàng và lớp. Triệu và lớp triệu lớp 4 (có đáp án)

Số 1 tỉ, 200 triệu, 5 nghìn, 16 trăm viết như thế nào?

Xem đáp án

Lời giải:

1 tỉ: 1000000000

200 triệu: 200000000

16 trăm: 1600

*Phương pháp giải:

*Lý thuyết:

1. Hàng và lớp

Hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm hợp thành lớp đơn vị.

Hàng nghìn, hàng chục nghìn, hàng trăm nghìn hợp thành lớp nghìn.

2. So sánh các số có nhiều chữ số

Xem thêm

Lý thuyết Hàng và lớp. So sánh các số có nhiều chữ số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 54:

35 Bài tập Phép chia số thập phân lớp 5 (có đáp án)

Đặt tính rồi tính
1,65 : 0,35 87,5 : 1,75

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Muốn chia một số thập phân cho một số thập phân ta làm như sau:

- Đếm xem có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của số chia thì chuyển dấu phẩy ở số bị chia sang bên phải bấy nhiêu chữ số.

*Lý thuyết:

1. Chia một số thập phân cho một số thập phân

Quy tắc: Muốn chia một số thập phân cho một số thập phân ta làm như sau:

- Đếm xem có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của số chia thì chuyển dấu phẩy ở số bị chia sang bên phải bấy nhiêu chữ số.

- Bỏ dấu phẩy ở số chia rồi thực hiện phép chia như chia cho số tự nhiên.

Chú ý: Khi chuyển dấu phẩy sang phải mà không đủ chữ số, ta thấy thiếu bao nhiêu chữ số thì thêm vào đó bấy nhiêu chữ số 0

2. Chia một số thập phân cho 0,1; 0,01; 0,001; …

Quy tắc: Muốn chia một số thập phân cho 0,1; 0,01; 0,001;... ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên phải một, hai, ba, … chữ số.

Nhận xét: Khi chia một số thập phân cho 0,1; 0,01; 0,001;... ta được kết quả bằng với việc nhân số thập phân đó với 10; 100; 1000;…

Xem thêm

Lý thuyết Chia một số thập phân cho một số thập phân (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Câu 55:

Tính nhanh: 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99.

Xem đáp án

Lời giải

Đặt A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99.

Suy ra 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 98.99.3.

= 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ... + 98.99.(100 – 97).

= 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + ... + 98.99.100 – 97.98.99.

= 98.99.100

Suy ra A = 98.99.100 : 3 = 98.33.100 = 323 400.

Vậy A = 323 400.

*Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 56:

Tính nhanh : $\frac{1}{1985} + \frac{1}{2 \times 1986} + \frac{1}{3 \times 1987} + . . . . . . + \frac{1}{16 \times 2000}$

Xem đáp án

Lời giải
A=11.1985+12.1986+13.1987+...................................+116.2000
1984A=19841.1985+19842.1986+19843.1987+..........................+198416.2000
1984A=1-1985+12-11986+13-11987+...................................+116-12000
1984A=1-12000
1984A=19992000
A=19993968000
*Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
*Lý thuyết:
1. Tính chất của phép cộng
+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi
a + b = b + a
+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
2. Tính chất của phép trừ
+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại
a – (b + c) = (a – b) - c
+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại
(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a
3. Tính chất của phép nhân
+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.
a x b = b x a
+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba
a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)
+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.
a x 1 = 1 x a = a
+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.
a x (b + c) = a x b + a x c
+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau
a x (b – c) = a x b – a x c
4. Tính chất của phép chia
+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.
(a + b) : c = a : c + b : c
+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau
(a – b) : c = a : c – b : c
+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.
a : (b x c) = a : b : c = a : c : b
+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.
(a x b) : c = a : c x b = b : c x a
+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó
a : 1 = a
Xem thêm
Cách tính nhanh lớp 4 
TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6 
 

Câu 57:

Công thức tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn chi tiết nhất - Toán lớp 11

Tính tổng $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + . . . . . + \frac{1}{999 \times 1000}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng: $\frac{1}{k \times (k + 1)} = \frac{(k + 1) - k}{k (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$

*Lý thuyết:

1. Tổng hợp lý thuyết

Công thức khai triển nhị thức Niu – tơn:

2. Các công thức

Phương pháp tìm tổng các hệ số trong khai triển

Xét khai triển tổng quát: (với a,b là các hệ số; x,y là biến)

${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} {(a x)}^{n - k} {(b y)}^{k}$

$= C_{n}^{0} a^{n} x^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b . x^{n - 1} y$ $+ C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} . x^{n - 2} y^{2} + ...$ $+ C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} . x y^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n} y^{n}$

Tổng các hệ số trong khai triển là:

$S = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b +$ $C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + ... + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

Ta chọn biến x = 1; y = 1 thay vào khai triển: $S = {(a + b)}^{n}$

(Chú ý: tùy thuộc vào khai triển đề bài cho, có thể xét khai triển với chỉ 1 biến x)

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Cấp số cộng (có đáp án ) – Toán 11

Câu 58:

Các dạng tìm x lớp 6 và cách giải

Tìm x, biết:

$\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + . . . + \frac{1}{x . (x + 2)} = \frac{20}{41}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Nhân 2 vào biểu thức tách ra và tính như bình thường

*Lý thuyết:

Phương pháp giải tìm X dựa vào tính chất các phép toán và đặt nhân tử chung là một phương pháp giải phương trình bậc nhất hoặc phương trình bậc hai bằng cách sử dụng tính chất của các phép toán cộng, trừ, nhân và chia, cũng như bằng cách đặt một nhân tử chung cho các số hạng trong một phương trình. Để trình bày phương pháp này, hãy xem xét hai ví dụ: một ví dụ với phương trình bậc nhất và một ví dụ với phương trình bậc hai.

Xem thêm

Chuyên đề Tìm X lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Câu 59:

Tính: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + . . . . . . . + \frac{1}{1999 \times 2000}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 60:

Lý thuyết Ôn tập: Khái niệm về phân số. Tính chất cơ bản của phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Tính $\frac{1}{10} + \frac{1}{40} + \frac{1}{88} + \frac{1}{154} + \frac{1}{138} + \frac{1}{340}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải;

- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

*Lý thuyết;

1. Khái niệm phân số

- Phân số bao gồm tử số và mẫu số, trong đó tử số là một số tự nhiên viết trên dấu gạch ngang, mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới dấu gạch ngang.

- Cách đọc phân số: Khi đọc phân số ta đọc tử số trước rồi đọc “phần” sau đó đọc đến mẫu số.

Ví dụ: Phân số $\frac{1}{8}$ được đọc là một phần tám

- Có thể dùng phân số để ghi kết quả của phép chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0. Phân số đó cũng được gọi là thương của phép chia đã cho.

Ví dụ: $3 : 5 = \frac{3}{5}$

- Mọi số tự nhiên đều có thể viết thành phân số có mẫu số là 1.

Ví dụ: $6 = \frac{6}{1}; 18 = \frac{18}{1}; ...$

- Số 1 có thể viết thành phân số có tử số và mẫu số bằng nhau và khác 0.

Ví dụ: $1 = \frac{6}{6}; 1 = \frac{56}{56}; ...$

- Số 0 có thể viết thành phân số có tử số là 0 và mẫu số khác 0.

Ví dụ: $0 = \frac{0}{8}; 0 = \frac{0}{445}; ...$

2. Tính chất cơ bản của phân số

- Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

- Nếu chia hết cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

Xem thêm

TOP 31 câu Trắc nghiệm Hai bài toán về phân số (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán6

Câu 61:

Lý thuyết Ôn tập: Khái niệm về phân số. Tính chất cơ bản của phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Chứng minh: $\frac{1}{2} < \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + . . . + \frac{1}{9801} + \frac{1}{10000} < \frac{37}{50}$

Xem đáp án

Lời giải:

*Phương pháp giải:

Áp dụng 2 phân số đối nhau cộng vào bằng 0

*Lý thuyết:

1. Khái niệm phân số

- Phân số bao gồm tử số và mẫu số, trong đó tử số là một số tự nhiên viết trên dấu gạch ngang, mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới dấu gạch ngang.

- Cách đọc phân số: Khi đọc phân số ta đọc tử số trước rồi đọc “phần” sau đó đọc đến mẫu số.

Ví dụ: Phân số $\frac{1}{8}$ được đọc là một phần tám

- Có thể dùng phân số để ghi kết quả của phép chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0. Phân số đó cũng được gọi là thương của phép chia đã cho.

Ví dụ: $3 : 5 = \frac{3}{5}$

- Mọi số tự nhiên đều có thể viết thành phân số có mẫu số là 1.

Ví dụ: $6 = \frac{6}{1}; 18 = \frac{18}{1}; ...$

- Số 1 có thể viết thành phân số có tử số và mẫu số bằng nhau và khác 0.

Ví dụ: $1 = \frac{6}{6}; 1 = \frac{56}{56}; ...$

- Số 0 có thể viết thành phân số có tử số là 0 và mẫu số khác 0.

Ví dụ: $0 = \frac{0}{8}; 0 = \frac{0}{445}; ...$

2. Tính chất cơ bản của phân số

- Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

- Nếu chia hết cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

Xem thêm

TOP 31 câu Trắc nghiệm Hai bài toán về phân số (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán 6

Câu 62:

Lý thuyết Phép nhân đa thức – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Nhân đa thức với đa thức:

1) $\frac{1}{2} (x - 6 y) (- x - y)$

2) $\frac{- 2}{5}$ (3x-y)(x-2y)

Xem đáp án

Lời giải:

1)  12(x-6y)(-x-y)
=(12x-3y)(-x-y)
=12x(-x)-12xy+3xy+3y⋅y
=-12x2-12xy+3xy+3y2
=-12x2+52xy+3y2
2)  -25(3x-y)(x-2y)
=(-65x+25y)(x-2y)
=-65x⋅x+65⋅2xy+25xy-45y⋅y
=-65x2+125xy+25xy-45y2
=-65x2+145xy-45y2

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân đa thức

+ Giao hoán: A.B = B.A

+ Kết hợp: (A.B).C = A.(B.C)

+ Phân phối của phép nhân đối với phép cộng: (A + B).C = AB + AC

*Lý thuyết:

1. Nhân đơn thức với đa thức

+ Nhân hai đơn thức như thế nào?

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai phần biến với nhau.

Ví dụ: $(- 3 x^{2} y) (4 x y) = [(- 3.4)] . (x^{2} . x) . (y . y) = - 12. x^{3} . y^{2}$

+ Nhân đơn thức với đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} 3 x^{2} y (2 x^{2} y - x y + 3 y^{2}) \\ = (3 x^{2} y) . (2 x^{2} y) - (3 x^{2} y) . (x y) + (3 x^{2} y) . (3 y^{2}) \\ = 3.2. (x^{2} . x^{2}) (y . y) - 3. (x^{2} . x) . (y . y) + 3.3. x^{2} . (y . y^{2}) \\ = 6 x^{4} y^{2} - 3 x^{3} . y^{2} + 9 x^{2} y^{3} \end{array}$

2. Nhân đa thức với đa thức

+ Nhân hai đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Phép nhân đa thức cũng có các tính chất tương tự phép nhân các số.

+ Giao hoán: A.B = B.A

+ Kết hợp: (A.B).C = A.(B.C)

+ Phân phối của phép nhân đối với phép cộng: (A + B).C = AB + AC

Xem thêm

50 Bài tập Nhân đa thức với đa thức Toán 8 mới nhất

Câu 63:

Chuyên đề dạy thêm Toán 6 Chân trời sáng tạo (có đáp án)

Chứng minh $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + . . . . + \frac{1}{2022^{2}} < 1$

Xem đáp án

Lời giải:

Ta có: $\frac{1}{2^{2}} < \frac{1}{1.2}; \frac{1}{3^{2}} < \frac{1}{2.3}; \frac{1}{4^{2}} < \frac{1}{3.4}; . . .; \frac{1}{2021^{2}} < \frac{1}{2020.2021}$

Đặt $A = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{2022^{2}}$

$\Rightarrow A = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{2022^{2}} < \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{2020.2021} \Rightarrow A < 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2020} - \frac{1}{2021} \Rightarrow A < 1 - \frac{1}{2021} \Rightarrow A < \frac{2020}{2021}$

Vì 2020 < 2021 nên $\frac{2020}{2021} < 1$

Do đó $A < \frac{2020}{2021} < 1$ .

Vậy $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{2022^{2}} < 1$ (đpcm).

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tách tích thành hiệu

*Lý thuyết:

1. Phép nhân phân số

a) Quy tắc nhân hai phân số

- Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu với nhau.

$\frac{a}{b} . \frac{c}{d} = \frac{a . c}{b . d}$ với b ≠ 0 và d ≠ 0.

b) Tính chất của phép nhân phân số

- Tính chất giao hoán: $\frac{a}{b} . \frac{c}{d} = \frac{c}{d} . \frac{a}{b}$ ;

- Tính chất kết hợp: $(\frac{a}{b} . \frac{c}{d}) . \frac{p}{q} = \frac{a}{b} . (\frac{c}{d} . \frac{p}{q})$ ;

- Nhân với số 1” $\frac{a}{b} .1 = 1. \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ ;

- Nhân với số 0: $\frac{a}{b} .1 = 1. \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ ;

- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $\frac{a}{b} . (\frac{c}{d} + \frac{p}{q}) = \frac{a}{b} . \frac{c}{d} + \frac{a}{b} . \frac{p}{q}$ ;

- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ: $\frac{a}{b} . (\frac{c}{d} - \frac{p}{q}) = \frac{a}{b} . \frac{c}{d} - \frac{a}{b} . \frac{p}{q}$ .

Xem thêm

Trắc nghiệm Toán lớp 6 có đáp án – Kết nối tri thức

Câu 64:

Lý thuyết Cách ghi số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Cho S= $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + . . . . . + \frac{1}{2024^{2}}$

Xem đáp án

Lời giải

$S = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{2024^{2}}$

Ta có:

$S > \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{4.5} + ... + \frac{1}{2024.2025}$

$S > \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{2024} - \frac{1}{2025}$

$S > \frac{1}{2} - \frac{1}{2025} > 0$ $(1)$

Lại có:

$S < \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{2023.2024}$

$S < \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}$

$S < 1 - \frac{1}{2024} < 1$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $0 < S < 1$

Vậy, $S$ không phải là số tự nhiên

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tách tích thành hiệu

*Lý thuyết:

1. Tập hợp $ℕ$ và $ℕ *$

Các số 0; 1; 2; 3; 4; ... là các số tự nhiên.

Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là ℕ , tức là ℕ = {0; 1; 2; 3; ...}.

Tập hợp các số tự nhiên khác 0 được kí hiệu là ℕ* , tức là = ℕ* {1; 2; 3; ...}

Tập hợp $ℕ$ bỏ đi số 0 thì được $ℕ *$ .

Khi cho một số tự nhiên x ∈ ℕ* thì ta hiểu x là số tự nhiên khác 0.

Xem thêm

TOP 31 câu Trắc nghiệm Tập hợp số tự nhiên. Ghi số tự nhiên có đáp án - Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

Câu 65:

Tính $\frac{1}{2} - \frac{43}{101} + \frac{- 1}{3} - \frac{1}{6}$

Xem đáp án

Lời giải

1/2-43/101+(-1/3)-1/6

=1/2-43/101-1/3-1/6
=(1/2-1/3-1/6)-43/101
=(3/6-2/6-1/6)-43/101
=0-43/101
=-43/101
*Phương pháp giải:
 Nhóm 2 phân số cộng với nhau bằng 0 rồi trừ đi phân số còn lại
*Lý thuyết:
1. Cộng, trừ các phân số cùng mẫu số
Quy tắc: Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân số cùng mẫu số ta cộng (hoặc trừ) hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.
Lưu ý: Sau khi làm phép tính cộng (hoặc trừ) hai phân số, nếu thu được phân số chưa tối giản thì ta phải rút gọn thành phân số tối giản.
2. Cộng, trừ các phân số khác mẫu số
Quy tắc: Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân số khác mẫu số ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi cộng (hoặc trừ) hai phân số đã quy đồng.
3. Tính chất của phép cộng phân số
+) Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các phân số trong một tổng thì tổng của chúng không thay đổi.
+ Tính chất kết hợp: Khi cộng một tổng hai phân số với phân số thứ ba thì ta có thể cộng phân số thứ nhất với tổng của hai phân số còn lại.
+ Cộng với số 0: Phân số nào cộng với 0 cũng bằng chính phân số đó.
Lưu ý: ta thường áp dụng các tính chất của phép cộng phân số trong các bài tính nhanh.
xem thêm
35 Bài tập Ôn tập phép cộng, phép trừ hai phân số lớp 5 (có đáp án) 
Lý thuyết Ôn tập: Phép cộng và phép trừ hai phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5  

Câu 66:

35 Bài tập Ôn tập phép cộng, phép trừ hai phân số lớp 5 (có đáp án)

Tìm x

$\frac{1}{2} x + 2 \frac{1}{2} = 3 \frac{1}{2} x - \frac{3}{4}$

Xem đáp án

Lời giải

\frac{1}{2} x + 2 \frac{1}{2} = 3 \frac{1}{2} x - \frac{3}{4}

\begin{array}{l} (\frac{1}{2} - 3 \frac{1}{2}) x = - \frac{3}{4} - \frac{5}{4} \\ - 3 x = - 2 \\ x = \frac{2}{3} \end{array}

*Phương pháp giải:

Đưa phân số chứa biến x về bêntrái không chứa tham số x về bên phải rồi thực hiện trừ phân số

*Lý thuyết:

1. Cộng, trừ các phân số cùng mẫu số

Quy tắc: Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân số cùng mẫu số ta cộng (hoặc trừ) hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

Lưu ý: Sau khi làm phép tính cộng (hoặc trừ) hai phân số, nếu thu được phân số chưa tối giản thì ta phải rút gọn thành phân số tối giản.

2. Cộng, trừ các phân số khác mẫu số

Quy tắc: Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân số khác mẫu số ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi cộng (hoặc trừ) hai phân số đã quy đồng.

3. Tính chất của phép cộng phân số

+) Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các phân số trong một tổng thì tổng của chúng không thay đổi.

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng một tổng hai phân số với phân số thứ ba thì ta có thể cộng phân số thứ nhất với tổng của hai phân số còn lại.

+ Cộng với số 0: Phân số nào cộng với 0 cũng bằng chính phân số đó.

Lưu ý: ta thường áp dụng các tính chất của phép cộng phân số trong các bài tính nhanh.

xem thêm

Lý thuyết Ôn tập: Phép cộng và phép trừ hai phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Câu 67:

Tìm x: $\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (x - 2) = \frac{3}{4} - 2 x$

Xem đáp án

Lời giải
12x+12(x-2)=34-2x
⇒12x+12.x-12.2=34-2x
⇒12x+12x-1=34-2x
⇒12x+12x+2x=34+1
⇒(12+12+2)x=34+44
⇒3x=74
⇒x=74:3
⇒x=74.13
⇒x=712
Vậy x=712
*Phương pháp giải:
Đưa phân số chứa biến x về  bêntrái  không chứa tham số x về bên phải rồi thực hiện cộng phân số rồi tìm x
*Lý thuyết:
1. Cộng, trừ các phân số cùng mẫu số
Quy tắc: Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân số cùng mẫu số ta cộng (hoặc trừ) hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.
Lưu ý: Sau khi làm phép tính cộng (hoặc trừ) hai phân số, nếu thu được phân số chưa tối giản thì ta phải rút gọn thành phân số tối giản.
2. Cộng, trừ các phân số khác mẫu số
Quy tắc: Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân số khác mẫu số ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi cộng (hoặc trừ) hai phân số đã quy đồng.
3. Tính chất của phép cộng phân số
+) Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các phân số trong một tổng thì tổng của chúng không thay đổi.
+ Tính chất kết hợp: Khi cộng một tổng hai phân số với phân số thứ ba thì ta có thể cộng phân số thứ nhất với tổng của hai phân số còn lại.
+ Cộng với số 0: Phân số nào cộng với 0 cũng bằng chính phân số đó.
Lưu ý: ta thường áp dụng các tính chất của phép cộng phân số trong các bài tính nhanh.
xem thêm
35 Bài tập Ôn tập phép cộng, phép trừ hai phân số lớp 5 (có đáp án) 
 Lý thuyết Ôn tập: Phép cộng và phép trừ hai phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5 
 

Câu 68:

Tính C= $\frac{1}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{3}{3^{3}} + \frac{4}{3^{4}} + . . . + \frac{2020}{3^{2020}}$

Xem đáp án

Lời giải:

*Phương pháp giải:

- Nếu tử số và mẫu số của phân số đều ở dưới dạng tích của nhiều thừa số, ta có thể rút gọn bằng cách gạch bỏ các thừa số giống nhau ở cả trên tử số và mẫu số. Sau khi gạch bỏ ta tính tích các thừa số còn lại.

- Nếu cả tử số và mẫu số của phân số đều ở dạng tích của nhiều thừa số, nhưng không có thừa số chung, ta có thể biến đổi các thừa số đó thành tích của các thừa số nhỏ hơn để rút gọn.

*Lý thuyết:

- Rút gọn phân số là cách làm đưa phân số đã cho thành phân số tối giản. Phân số mới vẫn bằng phân số đã cho.

- Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không chia hết cho số tự nhiên nào khác 1.

- Cách rút gọn phân số:

+ Xét xem cả tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

+ Chia cả tử số và mẫu số cho số đó.

+ Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

Dạng 1: Rút gọn rồi tìm các phân số bằng nhau

1. Phương pháp giải

- Đối với dạng toán này, chúng ta cần rút gọn phân số đã cho theo các bước trên rồi tiến hành so sánh các phân số tối giản. Nếu các phân số tối giản bằng nhau thì các phân số đã cho bằng nhau.

Dạng 1: Rút gọn rồi tìm các phân số bằng nhau

1. Phương pháp giải

- Đối với dạng toán này, chúng ta cần rút gọn phân số đã cho theo các bước trên rồi tiến hành so sánh các phân số tối giản. Nếu các phân số tối giản bằng nhau thì các phân số đã cho bằng nhau.

Dạng 3: Rút gọn các thừa số giống nhau để tính nhanh

1. Lý thuyết

- Nếu tử số và mẫu số của phân số đều ở dưới dạng tích của nhiều thừa số, ta có thể rút gọn bằng cách gạch bỏ các thừa số giống nhau ở cả trên tử số và mẫu số. Sau khi gạch bỏ ta tính tích các thừa số còn lại.

- Nếu cả tử số và mẫu số của phân số đều ở dạng tích của nhiều thừa số, nhưng không có thừa số chung, ta có thể biến đổi các thừa số đó thành tích của các thừa số nhỏ hơn để rút gọn.

Xem thêm

50 bài tập Rút gọn phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 69:

$\frac{1}{3}$ của 100=?

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{1}{3}$ của $100$ là

$100 . \frac{1}{3} = \frac{100}{3}$

Vậy $\frac{1}{3}$ của $100$ là $\frac{100}{3}$ .

*Phương pháp giải:

Đặt tính rồi nhân như nhân các số tự nhiên.

*Lý thuyết:

Muốn nhân một số thập phân với một số tự nhiên ta làm như sau:

• Đặt tính rồi nhân như nhân các số tự nhiên.

• Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ra ở tích bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 70:

$\frac{1}{3}$ của 40 =?

Xem đáp án

Lời giải

$Ta có phép tính :$

$40$ $\times$ $\frac{1}{3}$ $=$ $\frac{40}{3}$

$40$ $:$ $3$ $\times$ $1$ $=$ $\frac{40}{3}$ $.$

$Vậy$ $\frac{1}{3}$ $của$ $40$ $là$ $\frac{40}{3}$ $.$ $.$

*Phương pháp giải:
Đặt tính rồi nhân như nhân các số tự nhiên.
*Lý thuyết:
Muốn nhân một số thập phân với một số tự nhiên ta làm như sau:
• Đặt tính rồi nhân như nhân các số tự nhiên.
• Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ra ở tích bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.
Xem thêm
35 Bài tập Phép nhân phân số lớp 4 (có đáp án) 
Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều 

Câu 71:

35 Bài tập Bảng đơn vị đo thời gian lớp 5 (có đáp án)

\frac{1}{3}

ngày = .….giờ

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{1}{3}$ ngày = 8 giờ;

*Phương pháp giải:

Do 1 ngày có 24 giờ nên ta thưc hiện 1/3 của 24

*Lý thuyết:

1 thế kỉ = 100 năm

1 tuần lễ = 7 ngày

1 năm = 12 tháng

1 ngày = 24 giờ

1 năm = 365 ngày

1 giờ = 60 phút

1 năm nhuận = 366 ngày

1 phút = 60 giây

Cứ 4 năm lại có 1 năm nhuận.

Tháng một, tháng ba, tháng năm, tháng bảy, tháng tám, tháng mười, tháng mười hai có 31 ngày.

Tháng tư, tháng sáu, tháng chín, tháng mười một có 30 ngày.

Tháng hai có 28 ngày (vào năm nhuận có 29 ngày)

Xem thêm

Lý thuyết Bảng đơn vị đo thời gian(mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Câu 72:

Cho $D = \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{50^{2}}$

Chứng minh rằng: $\frac{1}{4} < D < \frac{4}{9}$

Xem đáp án

Lời giải
Ta có
142<13.4=13-14
.....
1502<149.50=149-150
⇒D=132+142+.....+1502<132+13-14+...+149-150=13-150+19<13+19=49(1)
∗ Ta có :
132>13.4=13-14
 
142>14.5=14-15
......
1502>150.51=150-151
⇒D=132+142+...+1502>13-14+14-15+..+150-151=13-151=1651>1664=14(2)
Từ (1) và (2)→14<D<49 ( đpcm ) 
*Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tách tích thành hiệu
*Lý thuyết:
1. Phép nhân phân số
a) Quy tắc nhân hai phân số
- Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu với nhau.
ab.cd=a.cb.d với b ≠ 0 và d ≠ 0.
b) Tính chất của phép nhân phân số
- Tính chất giao hoán: ab.cd=cd.ab;
- Tính chất kết hợp: ab.cd.pq=ab.cd.pq;
- Nhân với số 1” ab.1=1.ab=ab;
- Nhân với số 0: ab.1=1.ab=ab;
- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: ab.cd+pq=ab.cd+ab.pq;
- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ: ab.cd−pq=ab.cd−ab.pq.
Xem thêm
Chuyên đề dạy thêm Toán 6 Chân trời sáng tạo (có đáp án)  
Trắc nghiệm Toán lớp 6 có đáp án – Kết nối tri thức 
 
 
 
 

Câu 73:

Tìm x: $\frac{1}{3 x} - \frac{1}{4 x} = \frac{1}{x^{2}}$

Xem đáp án

Lời giải
ĐKXĐ: x≠0
13x-14x=1x2
⇔4x12x2-3x12x2=1212x2
⇒4x-3x=12
⇔x=12 (thỏa mãn)
Vậy S={12}
*Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
Bước 2: Quy đồng, khử mẫu, rút gọn đưa về dạng phương trình bậc hai.
Bước 3: Giải phương trình bậc hai.
Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận.
*Lý thuyết:
- Quy đồng mẫu các phân số nghĩa là ta quy đồng mẫu số của các phân số đã cho để đưa các phân số đó về cùng một mẫu số.
- Khi quy đồng mẫu số của hai phân số ta có thể làm như sau:
+ Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai.
+ Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ nhất.
1/ Dạng 1: Các mẫu số không chia hết cho nhau
1. Lý thuyết
- Đối với các phân số mà không có mẫu số nào chia hết cho mẫu số còn lại thì ta thực hiện theo đúng quy tắc quy đồng mẫu số đã trình bày ở phía trên.
 Dạng 2: Một mẫu số chia hết cho các mẫu số còn lại
1. Lý thuyết
-Trong các phân số mà có một mẫu số chia hết cho các mẫu số còn lại thì ta làm như sau:
+ Giữ nguyên phân số có mẫu số lớn nhất.
+ Lấy mẫu số đó làm mẫu số chung cho các phân số còn lại.
+ Lấy mẫu số chung chia cho mẫu số của phân số còn lại. Được bao nhiêu nhân cả tử số và mẫu số với số đó. Ta được phân số mới đã quy đồng.
Xem thêm
50 bài tập Quy đồng mẫu số các phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải  Lý thuyết Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức (mới + Bài Tập) – Toán 8  

Câu 74:

Lý thuyết Các phép tính trong tập hợp số tự nhiên – Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

Thực hiện phép tính: $(\frac{1}{4.9} + \frac{1}{9.14} + . . . . . + \frac{1}{44.49}) (\frac{1 - 5 - 7 - 9 - . . . - 49}{89})$

Xem đáp án

Lời giải

$(\frac{1}{4.9} + \frac{1}{9.14} + \frac{1}{14.19} + ... + \frac{1}{44.49}) . \frac{1 - 3 - 5 - 7 - ... - 49}{89}$

$= \frac{1}{5} (\frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{14} + ... + \frac{1}{44} - \frac{1}{49}) . \frac{1 - (3 + 5 + 7 + ... + 49)}{89}$

$= \frac{1}{5} (\frac{1}{4} - \frac{1}{49}) . \frac{1 - \frac{(3 + 49) . [(49 - 3) : 2 + 1]}{2}}{89}$

$= \frac{1}{5} . \frac{45}{196} . \frac{1 - 624}{89}$

$= \frac{9}{196} . \frac{- 623}{89}$

$= \frac{- 9}{28}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất kết hợp: a . (b + c) = a . b + a . c

*Lý thuyết:

1. Phép cộng và phép nhân

Phép cộng (+) và phép nhân (×) các số tự nhiên đã được biết đến ở tiểu học.

Chú ý: Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số ta có thể không viết dấu nhân ở giữa các thừa số; dấu “×” trong tích các số cũng có thể thay bằng dấu “.”.

2. Tính chất của phép cộng và phép nhân số tự nhiên

Với a, b, c là các số tự nhiên, ta có:

− Tính chất giao hoán:

a + b = b + a

a . b = b . a

− Tính chất kết hợp:

(a + b) + c = a + (b + c)

(a . b) . c = a . (b . c)

− Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

a . (b + c) = a . b + a . c

− Tính chất cộng với số 0, nhân với số 1:

a + 0 = a

a . 1 = a.

3. Phép trừ và phép chia

Ở Tiểu học ta đã biết cách tìm x trong phép toán b + x = a; trong đó a, b, x là các số tự nhiên, a ≥ b.

Nếu có số tự nhiên x thỏa mãn b + x = a, ta có phép trừ a – b = x và gọi x là hiệu quả của phép trừ số a cho số b, a là số bị trừ, b là số trừ.

Tương tự với a, b là các số tự nhiên, b ≠ 0, nếu có số tự nhiên x thỏa mãn bx = a, ta có phép chia a : b = x và gọi a là số bị chia, b là số chia, x là thương của phép chia số a cho số b.

Chú ý: Phép nhân cũng có tính chất phân phối đối với phép trừ:

a . (b − c) = a . b – a . c (b > c)

Xem thêm

TOP 28 câu hỏi Trắc nghiệm Thứ tự thực hiện phép tính có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 75:

Tính nhanh giá trị của biểu thức sau : $\frac{1}{6} + \frac{2}{15} + \frac{4}{45} + \frac{2}{99} + \frac{9}{220} + \frac{10}{600}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{1}{6}$ + $\frac{2}{15}$ + $\frac{4}{45}$ + $\frac{2}{99}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{10}{600}$

= $\frac{1}{2.3}$ + $\frac{2}{3.5}$ + $\frac{4}{5.9}$ + $\frac{2}{9.11}$ + $\frac{9}{11.20}$ + $\frac{10}{20.30}$

= $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{5}$ - $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{9}$ - $\frac{1}{11}$ + $\frac{1}{11}$ - $\frac{1}{20}$ + $\frac{1}{20}$ - $\frac{1}{30}$

= $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{30}$

= $\frac{15}{30}$ - $\frac{1}{30}$

= $\frac{7}{15}$

*Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tách tích thành hiệu
*Lý thuyết:
1. Phép nhân phân số
a) Quy tắc nhân hai phân số
- Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu với nhau.
ab.cd=a.cb.d với b ≠ 0 và d ≠ 0.
b) Tính chất của phép nhân phân số
- Tính chất giao hoán: ab.cd=cd.ab;
- Tính chất kết hợp: ab.cd.pq=ab.cd.pq;
- Nhân với số 1” ab.1=1.ab=ab;
- Nhân với số 0: ab.1=1.ab=ab;
- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: ab.cd+pq=ab.cd+ab.pq;
- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ: ab.cd−pq=ab.cd−ab.pq.
Xem thêm
Chuyên đề dạy thêm Toán 6 Chân trời sáng tạo (có đáp án)  
Trắc nghiệm Toán lớp 6 có đáp án – Kết nối tri thức 
 
 
 

Câu 76:

Chuyên đề dạy thêm Toán 6 Chân trời sáng tạo (có đáp án)

Tính nhanh: $\frac{1}{69} - \frac{1}{69 \times 68} - \frac{1}{68 \times 67} - . . . . - \frac{1}{3 \times 2} - \frac{2}{2 \times 1}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tách tích thành hiệu

*Lý thuyết:

1. Phép nhân phân số

a) Quy tắc nhân hai phân số

- Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu với nhau.

$\frac{a}{b} . \frac{c}{d} = \frac{a . c}{b . d}$ với b ≠ 0 và d ≠ 0.

b) Tính chất của phép nhân phân số

- Tính chất giao hoán: $\frac{a}{b} . \frac{c}{d} = \frac{c}{d} . \frac{a}{b}$ ;

- Tính chất kết hợp: $(\frac{a}{b} . \frac{c}{d}) . \frac{p}{q} = \frac{a}{b} . (\frac{c}{d} . \frac{p}{q})$ ;

- Nhân với số 1” $\frac{a}{b} .1 = 1. \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ ;

- Nhân với số 0: $\frac{a}{b} .1 = 1. \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ ;

- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $\frac{a}{b} . (\frac{c}{d} + \frac{p}{q}) = \frac{a}{b} . \frac{c}{d} + \frac{a}{b} . \frac{p}{q}$ ;

- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ: $\frac{a}{b} . (\frac{c}{d} - \frac{p}{q}) = \frac{a}{b} . \frac{c}{d} - \frac{a}{b} . \frac{p}{q}$ .

Xem thêm

Trắc nghiệm Toán lớp 6 có đáp án – Kết nối tri thức

Câu 77:

Cho S = $\frac{1}{7^{2}} + \frac{2}{7^{3}} + \frac{3}{7^{4}} + . . . . + \frac{69}{7^{70}}$ . Chứng minh S<1/36

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: S=172+273+...+69770
7S=17+272+...+69769
7S-S=(17+272+...+69769)-(172+273+...+69770)
6S=17+172+173+...+1769-69770
Đặt N=17+172+173+...+1769 (6S<A)(1)
7N=1+17+172+...+1768
7N-A=(1+17+172+...+1768)-(17+172+173+...+1769)
6N=1-1769<1⇒A<16 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
6S<N<16
6S<16
⇒S<136
Vậy S<136 (đpcm)
*Phương pháp giải:
Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại
(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a
*Lý thuyết:
1. Tính chất của phép cộng
+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi
a + b = b + a
+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
2. Tính chất của phép trừ
+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại
a – (b + c) = (a – b) - c
+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại
(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a
3. Tính chất của phép nhân
+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.
a x b = b x a
+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba
a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)
+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.
a x 1 = 1 x a = a
+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.
a x (b + c) = a x b + a x c
+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau
a x (b – c) = a x b – a x c
4. Tính chất của phép chia
+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.
(a + b) : c = a : c + b : c
+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau
(a – b) : c = a : c – b : c
+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.
a : (b x c) = a : b : c = a : c : b
+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.
(a x b) : c = a : c x b = b : c x a
+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó
a : 1 = a
Xem thêm
Cách tính nhanh lớp 4 
TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6 
 
 

Câu 78:

Tính nhanh A= $\frac{1}{7} + \frac{1}{91} + \frac{1}{247} + \frac{1}{475} + \frac{1}{755} + \frac{1}{1147}$

Xem đáp án

Lời giải

A=17+191+1247+1475+1755+11147
⇒A=11.7+17.13+113.19+119.25+125.31+131.37
⇒6A=6(11.7+17.13+113.19+119.25+125.31+131.37)
⇒6A=1.61.7+1.67.13+1.613.19+1.619.25+1.625.31+1.631.37
⇒6A=61.7+67.13+613.19+619.25+625.31+631.37
⇒6A=7-11.7+13-77.13+19-1313.19+25-1919.25+31-2525.31+37-3131.37
⇒6A=1-17+17-113+113-119+119-125+125-131+131-137
⇒6A=1-137
⇒6A=3637
⇒A=3637÷6
⇒A=36÷637
⇒A=637
Vậy A=637.
*Phương pháp giải:
Nhân thêm 1 số vào cả 2 vế của biểu thức tách ra rồi thực hiện phép tính 
*Lý thuyết:
1. Tính chất của phép cộng
+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi
a + b = b + a
+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
2. Tính chất của phép trừ
+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại
a – (b + c) = (a – b) - c
+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại
(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a
3. Tính chất của phép nhân
+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.
a x b = b x a
+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba
a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)
+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.
a x 1 = 1 x a = a
+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.
a x (b + c) = a x b + a x c
+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau
a x (b – c) = a x b – a x c
4. Tính chất của phép chia
+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.
(a + b) : c = a : c + b : c
+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau
(a – b) : c = a : c – b : c
+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.
a : (b x c) = a : b : c = a : c : b
+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.
(a x b) : c = a : c x b = b : c x a
+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó
a : 1 = a
Xem thêm
Cách tính nhanh lớp 4 
TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6 
 
 

Câu 79:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (Tiếp theo) (có đáp án) – Toán 9

Trục căn thức ở mẫu $\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ Điều kiện : $x \neq y$

$= \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{(\sqrt{x} - \sqrt{y}) . (\sqrt{x} + \sqrt{y})}$

$= \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{{(\sqrt{x})}^{2} - {(\sqrt{y})}^{2}}$

$= \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x - y}$

*Phương pháp giải:

Nhân tử và mẫu với thừa số phụ thích hợp để mẫu là một bình phương.

$\sqrt {\frac{A}{B}} = \sqrt {\frac{{A.B}}{{B.B}}} = \frac{1}{{|B|}}.\sqrt {AB}$ với $AB \geqslant 0;\,\,B \ne 0$

*Lý thuyết:

+) Khi đưa thừa số $A^2$ ra ngoài dấu căn bậc hai ta được $|A|$ :

$\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B$ với $B \geqslant 0$

+) Khi đưa thừa số A không âm vào trong dấu căn bậc hai ta được $A^2$ :

$A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B}$ với $A \geqslant 0;\,\,B \geqslant 0$

Chú ý: $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B}$ với $A < 0;\,\,\,B \geqslant 0$ .

+ Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

Nhân tử và mẫu với thừa số phụ thích hợp để mẫu là một bình phương.

$\sqrt {\frac{A}{B}} = \sqrt {\frac{{A.B}}{{B.B}}} = \frac{1}{{|B|}}.\sqrt {AB}$ với $AB \geqslant 0;\,\,B \ne 0$

+) Trục căn thức ở mẫu:

$\frac{A}{{\sqrt B }}$ với B > 0

Xem thêm

Trục căn thức

Câu 80:

Các công thức nguyên hàm cơ bản đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

Kí hiệu F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{e^{x} + 1}$ , biết F(0) = -ln2. Tìm tập nghiệm S của phương trình F(x) + ln(e^x +1)

A: $\{- 3, 3\}$

B: $\{3\}$

C: $\emptyset$

D: $\{- 3\}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm hợp

*Lý thuyết:

a) Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi $x \in K$ .

Định lí:

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó $F (x) + C, C \in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu $\int f (x) d x = F (x) + C$ .

b) Tính chất của nguyên hàm

c) Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

d. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Nguyên hàm (có đáp án ) - Toán 12

Câu 81:

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

$10^{6} b ằ n g b a o n h i ê u$

Xem đáp án

Lời giải

$10^{6}$ = $10.10 .10 .10 .10 .10$ = 1 000 000

*Phương pháp giải:

Số mũ bao nhiêu thì ta nhân với số đo từng ấy lần

*Lý thuyết:

+ Lũy thừa bậc n của số tự nhiên a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

$a^{n} = \underset{n t h ö ø a s o á}{\underset{⏟}{a . a .... a}} (n \in ℕ^{*})$

aⁿ đọc là “a mũ n” hoặc “ a lũy thừa n”, a là cơ số, n là số mũ.

Chú ý: Ta có a¹= a.

a² cũng được gọi là a bình phương (hay bình phương của a);

a³ cũng được gọi là a lập phương (hay lập phương của a).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án ) - Toán 12

Câu 82:

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Tính bằng cách thuận tiện nhất: 100-(2,6+23,4:6) $\times$ 10,8

Xem đáp án

Lời giải

$100 - (2, 6 + 23, 4 \div 6) \times 10, 8$

$= 100 - (2, 6 + 3, 9) \times 10, 8$

$= 100 - 6, 5 \times 10, 8$

$= 100 - 70, 2$

$= 29, 8$

*Phương pháp giải:

Thực hiện lần lượt các phép tính trong ngoặc trước rồi nhân chia cộng trừ

*Lý thuyết:

Cách 1: Nhóm hoặc tách các số trong biểu thức thành từng nhóm có tổng hoặc hiệu là các số tròn chục, trong trăm, tròn nghìn,...

Cách 2: Vận dụng các tính chất của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia

- Nhân một số với một tổng : a x (b + c) = a x b + a x c

Cách 3 : Vận dụng các tính chất của các số đặc biệt

0 nhân với số nào cũng bằng 0 : 0 x m = m x 0 = 0

0 chia cho số nào cũng bằng 0 : 0 : m = 0

1 nhân với số nào cũng bằng chính nó : 1 x m = m x 1 = m

Chia một số cho 1 bằng chính số đó : m : 1 = m

Cách 4 : Tính thuận tiện với biểu thức có phân số

Đầu tiên, nhóm các phân số trong biểu thức thành từng nhóm riêng biệt có tổng ( hoặc hiệu ) bằng 1 hoặc 0.

Sau đó vận dụng tính chất của 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc ở mẫu số nhằm tạo ra thừa số giống nhau ở cả mẫu và tử số rồi thực hiện rút gọn biểu thức.

Phép cộng của các số giống nhau sẽ được biểu diễn bằng phép nhân.

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 83:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

$1000 \times 1000 = ?$

Xem đáp án

Lời giải

1000 $\times$ 1000 = 1000000

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép nhân, phép chia các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 84:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

$1000 \times 500 = ?$

Xem đáp án

Lời giải

1000 $\times$ 500=500000

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép nhân, phép chia các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 85:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

$1000 \div 2 = ?$

Xem đáp án

Lời giải

1000:2=500

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép chia 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

a : b = q $(b \neq 0)$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Ví dụ: 10 : 2 = 5; 30 : 5 = 6

Chú ý:

+ Nếu a : b = q thì q = bq

+ Nếu a : b = q và q $\neq$ 0 thì a : q = b

+ Thông thường, ta đặt tính chia để thực hiện phép chia.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép nhân, phép chia các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 86:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

$1000 \div 25 = ?$

Xem đáp án

Lời giải

1000 $\div$ 25=40

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép chia 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

a : b = q $(b \neq 0)$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Ví dụ: 10 : 2 = 5; 30 : 5 = 6

Chú ý:

+ Nếu a : b = q thì q = bq

+ Nếu a : b = q và q $\neq$ 0 thì a : q = b

+ Thông thường, ta đặt tính chia để thực hiện phép chia.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép nhân, phép chia các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán6

Câu 87:

Chuyên đề Dãy số tự nhiên, dãy số theo quy luật lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Cho dãy 1004,1010,1016,....,2012.Hỏi số 1760 có thuộc dãy không ? Vì sao?

Xem đáp án

Lời giải

Số 1760 có thuộc dãy trên vì 1760 có dạng 3k+2

*Phương pháp giải:

Tính số các số hạng trong dãy = (Số hạng lớn nhất của dãy – số hạng bé nhất của dãy) : Khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Tính tổng của dãy = (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) × Số số hạng có trong dãy : 2

*Lý thuyết:

Để giải được bài toán dạng này, ta cần xác định quy luật của dãy số. Các quy luật của dãy số thường gặp là:

1. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên d.

2. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên a khác 0.

3. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó.

4. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó.

5. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tích của hai số hạng đứng liền trước nó.

6. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tích của ba số hạng đứng liền trước nó.

7. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước với nó cộng với số chỉ thứ tự của số hạng đó rồi cộng với một số tự nhiên d.

8. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với chỉ số thứ tự của số hạng đó.

9. Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự của số hạng đó nhân với số liền sau của số thứ tự.

10. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với một số tự nhiên d rồi nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó.

Xem thêm

50 bài tập Dãy số tự nhiên lớp 4 và cách giải

Câu 88:

Lý thuyết Số nguyên tố. Hợp số chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

101 chia hết cho những số nào?

Xem đáp án

Lời giải

Số 101 chia hết cho 1 và chính nó

*Phương pháp giải:

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

*Lý thuyết:

• Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

• Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

Lưu ý:

+ Số 0 và số 1 không là số nguyên tố và cũng không là hợp số.

+ Để chứng tỏ số tự nhiên a lớn hơn 1 là hợp số, ta chỉ cần tìm một ước của a khác 1 và khác a

Lưu ý: Nếu số nguyên tố p là ước của số tự nhiên a thì p được gọi là ước nguyên tố của a.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Số nguyên tố. Hợp số (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 89:

Lý thuyết Phép cộng và phép trừ số nguyên chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Tính hợp lí nếu có thể: 101-102-(-103)-104-(-105)-106-(-107)-108-(-109)-110

Xem đáp án

Lời giải

101-102-(-103)-104-(-105)-106-(-107)-108-(-109)-110

=101-102+103-104+105-106+107-108+109-110

=101+(-102)+103+(-104)+105+(-106)+107+(-108)+109+(-110)

=[101+(-102)]+[103+(-104)]+[105+(-106)]+[107+(-108)]+[109+(-110)]

=-1+(-1)+(-1)+(-1)+(-1)

=-5

*Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc cộng 2 số nguyên để ra kết quả

*Lý thuyết:

1. Cộng hai số nguyên cùng dấu

Quy tắc cộng hai số nguyên âm

Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng phần số tự nhiên của chúng với nhau rồi đặt dấu “-“ trước kết quả.

2. Cộng hai số nguyên khác dấu

Hai số đối nhau:

Hai số nguyên a và b được gọi là đối nhau nếu a và b nằm khác phía với điểm 0 và có cùng khoảng cách đến gốc 0.

Chú ý:

Ta quy ước số đối của 0 là chính nó.

Tổng của hai số đối nhau luôn bằng 0.

Quy tắc cộng hai số nguyên khác dấu:

+ Hai số nguyên đối nhau thì có tổng bằng 0.

+ Muốn cộng hai số nguyên khác dấu (không đối nhau), ta tìm hiệu hai phân số tự nhiên của chúng (số lớn trừ số nhỏ) rồi đặt trước hiệu tìm được dấu của số có phần số tự nhiên lớn hơn.

3. Tính chất của phép cộng

Phép cộng số nguyên có tính chất sau:

+ Giao hoán: a + b = b + a;

+ Kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c).

4. Trừ hai số nguyên

Quy tắc trừ hai số nguyên

Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng số nguyên a với số đối của số nguyên b:

a – b = a + (-b).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 90:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

$\frac{108}{6} = ?$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{108}{6} = 18$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép chia 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

a : b = q $(b \neq 0)$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Ví dụ: 10 : 2 = 5; 30 : 5 = 6

Chú ý:

+ Nếu a : b = q thì q = bq

+ Nếu a : b = q và q $\neq$ 0 thì a : q = b

+ Thông thường, ta đặt tính chia để thực hiện phép chia.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép nhân, phép chia các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán6

Câu 91:

Tính nhanh trong trường hợp sau: 10 - 9 + 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 + 2 -1

Xem đáp án

Lời giải

10 - 9 + 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 + 2 - 1

= (10 - 9) + (8 - 7) + (6 - 5) + (4 - 3) + (2 - 1)

= 1 + 1 + 1 + 1+ 1 = 5

*Phương pháp giải:

Nhóm các cặp số có hiệu bằng 1 với nhau

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều) có đáp án - Toán 6

Câu 92:

Giải phương trình: $10 x^{4} - 27 x^{3} - 110 x^{2} - 27 x + 10 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

10x^4 -27x³ -110x² - 27x +10 = 0
⇔10x³( x+2) -47 x² ( x+2)-16x ( x+2)+5( x+2) =0
⇔( x+2) ( 10x³ - 47x² -16x + 5) =0
⇔( x+2) [ 10x² ( x-5) +3x( x-5) -( x-5)] =0
⇔ ( x+2 ) (x -5) ( 10x² +3x -1) =0
⇔[x=−2x=510x2+3x−1=0 
Xét 10x² +3x -1=0 
Δ = b²-4ac = 3² - 4 . 10 . (-1) = 49
⇒pt có 2 nghiệm phân biệt
x1 = −3+4920 = 15
x1 = −3−4920 = −12
Vậy x∈{ -2 ; 5 ; 1/5 ; -1/2 }
*Phương pháp giải:
Bước 1: Đặt x2 = t (ĐK t ≥ 0), ta được phương trình bậc hai ẩn t: at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0) (2)
Bước 2: Giải phương trình bậc hai ẩn t.
Bước 3: Giải phương trình x2 = t để tìm nghiệm .
Bước 4: Kết luận.
*Lý thuyết:
Giải phương trình trùng phương: Cho phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) (1)
Bước 1: Đặt x2 = t (ĐK t ≥ 0), ta được phương trình bậc hai ẩn t: at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0) (2)
Bước 2: Giải phương trình bậc hai ẩn t.
Bước 3: Giải phương trình x2 = t để tìm nghiệm .
Bước 4: Kết luận.
Biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương
+) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.
+) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 1 nghiệm dương và một nghiệm t = 0.
+) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương.
+) Phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm ⇒ phương trình (2) có nghiệm kép x = 0 hoặc có một nghiệm x = 0 và một nghiệm âm.
+) Phương trình (1) vô nghiệm ⇒ phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm.
Xem thêm
Công thức giải phương trình bậc hai  chi tiết nhất 
50 bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình (có đáp án ) và cách giải  

Câu 93:

Tìm x: $\frac{11}{15} - (\frac{7}{9} + x) \times \frac{3}{8} = \frac{61}{90} + \frac{x}{3}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{11}{15} - (\frac{7}{9} + x) \frac{.3}{8} = \frac{61}{90} + \frac{x}{3}$

$\Rightarrow - \frac{7}{24} + \frac{3}{8} x - \frac{1}{3} x = - \frac{1}{18}$

$\Rightarrow \frac{1}{24} x - \frac{7}{24} = - \frac{1}{18}$

$\Rightarrow \frac{1}{24} x = \frac{7}{24} - \frac{1}{18}$

$\Rightarrow \frac{1}{24} x = \frac{17}{72}$

$\Rightarrow x = \frac{17}{72} : \frac{1}{24}$

$\Rightarrow x = \frac{17}{3}$

Vậy $x = \frac{17}{3}$

*Phương pháp giải:
Áp dụng các quy tắc tìm số chưa biết thông thường.
*Lý thuyết:
Đối với phép cộng: Muốn tìm số hạng chưa biết ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết
Đối với phép trừ:
+ Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng với số trừ
+ Muốn tìm số trừ ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu
Đối với phép nhân: Muốn tìm thừa số chưa biết ta lấy tích chia cho thừa số đã biết
Đối với phép chia:
+ Muốn tìm số bị chia ta thấy thương nhân với số chia
+ Muốn tìm số chia ta thấy số bị chia thương
Xem thêm
Công thức tìm x lớp 5 
Chuyên đề Tìm X lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án) 

Câu 94:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

$1120 \times 26 = ?$

Xem đáp án

Lời giải

1120 $\times$ 26=29120

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép nhân, phép chia các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 95:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

$1148 : 32 = ?$

Xem đáp án

Lời giải

1148:32= $\frac{1148}{32}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép chia 2 số tự nhiên có dư

*Lý thuyết:

Cho hai số tự nhiên a và b với $b \neq 0$ . Khi đó luôn tìm được đúng hai số tự nhiên q và r sao cho a = b . q + r, trong đó $0 \leq r < b$ .

Chú ý:

+ Khi r = 0 ta có phép chia hết.

+ Khi $r \neq 0$ ta có phép chia có dư. Ta nói: a chia cho b được thương là q và số dư là r.

Kí hiệu: a : b = q (dư r)

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép nhân, phép chia các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán6

Câu 96:

Tìm x:

24) $11 \times 6^{x - 1} + 2 \times 6^{x + 1} = 11 \times 6^{11} + 26^{13}$

26) $\frac{1}{2} 2^{x} + \frac{5}{3} 2^{x + 2} = \frac{1}{3} 2^{6} + \frac{5}{4} 2^{8}$

28) $\frac{3}{5} 2^{x} + \frac{7}{5} 2^{x + 3} = \frac{3}{4} 2^{10} + \frac{7}{5} 2^{13}$

Xem đáp án

Lời giải

24)11.6x−1+2.6x+1=11.611+2.6136x−1.(11+2.62)=611.(11+2.62)6x−1=611x−1=11x=1026)13.2x+53.2x+2=13.26+53.282x.(13+53.22)=26.(13+53.22)2x=26x=628)35.2x+75.2x+3=35.210+75.2132x.(35+75.23)=210.(35+75.23)2x=210x=10

*Phương pháp giải:
Áp dụng các quy tắc tìm số chưa biết thông thường.
*Lý thuyết:
Đối với phép cộng: Muốn tìm số hạng chưa biết ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết
Đối với phép trừ:
+ Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng với số trừ
+ Muốn tìm số trừ ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu
Đối với phép nhân: Muốn tìm thừa số chưa biết ta lấy tích chia cho thừa số đã biết
Đối với phép chia:
+ Muốn tìm số bị chia ta thấy thương nhân với số chia
+ Muốn tìm số chia ta thấy số bị chia thương
Xem thêm
Công thức tìm x lớp 5 
Chuyên đề Tìm X lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án) 

Câu 97:

TOP 18 câu Trắc nghiệm Thứ tự thực hiện phép tính có đáp án - Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

Thực hiện phép tính: 12 : {390 : [500 – (125 + 35.7)]}

Xem đáp án

Lời giải

12 : {390 : [500 – (125 + 35.7)]}

= 12 : {390 : [500 – (125 + 245)]}

= 12 : {390 : [500 - 370]}

= 12 : {390 : 130}

= 12 : 3

= 4

*Phương pháp giải:

Nếu biểu thức có các dấu ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiện phép tính trong dấu ngoặc tròn trước, rồi thực hiện phép tính trong dấu ngoặc vuông, cuối cùng thực hiện phép tính trong dấu ngoặc nhọn.

*Lý thuyết:

Khi thực hiện các phép tính trong một biểu thức:

− Đối với biểu thức không có dấu ngoặc:

+ Nếu chỉ có phép cộng, trừ hoặc chỉ có phép nhân, chia, ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.

+ Nếu có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện phép nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân và chia, cuối cùng đến cộng và trừ.

− Đối với biểu thức có dấu ngoặc:

+ Nếu biểu thức có các dấu ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiện phép tính trong dấu ngoặc tròn trước, rồi thực hiện phép tính trong dấu ngoặc vuông, cuối cùng thực hiện phép tính trong dấu ngoặc nhọn.

Xem thêm

Lý thuyết Thứ tự thực hiên các phép tính chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 98:

Rút gọn phân số $\frac{120}{25} = ?$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{120}{25} = \frac{24}{5}$

*Phương pháp giải:

+ Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

+ Chia tử số và mẫu số cho số đó.

+ Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

*Lý thuyết:

Các bước rút gọn phân số:

+ Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

+ Chia tử số và mẫu số cho số đó.

+ Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

Dạng 1: Rút gọn phân số

1. Phương pháp giải

+ Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

+ Chia tử số và mẫu số cho số đó.

Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

Dạng 2: Tìm phân số tối giản

1. Phương pháp giải

Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho một số tự nhiên nào lớn hơn 1, hay phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa.

Xem thêm

Lý thuyết Phân số bằng nhau.Rút gọn phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 99:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

1200:31=?

Xem đáp án

Lời giải

1200:31= $\frac{1200}{31}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép chia 2 số tự nhiên có dư

*Lý thuyết:

Cho hai số tự nhiên a và b với $b \neq 0$ . Khi đó luôn tìm được đúng hai số tự nhiên q và r sao cho a = b . q + r, trong đó $0 \leq r < b$ .

Chú ý:

+ Khi r = 0 ta có phép chia hết.

+ Khi $r \neq 0$ ta có phép chia có dư. Ta nói: a chia cho b được thương là q và số dư là r.

Kí hiệu: a : b = q (dư r)

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép nhân, phép chia các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán6

Câu 100:

35 Bài tập Bảng đơn vị đo thời gian lớp 5 (có đáp án)

1200 giây = .... phút

A: 10

B: 20

C: 30

D: 50

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Lời giải

1200=20 phút

*Phương pháp giải:

Do 1 phút=60 giây nên ta lấy 1200:60=20

*Lý thuyết:

1 thế kỉ = 100 năm

1 tuần lễ = 7 ngày

1 năm = 12 tháng

1 ngày = 24 giờ

1 năm = 365 ngày

1 giờ = 60 phút

1 năm nhuận = 366 ngày

1 phút = 60 giây

Cứ 4 năm lại có 1 năm nhuận.

Tháng một, tháng ba, tháng năm, tháng bảy, tháng tám, tháng mười, tháng mười hai có 31 ngày.

Tháng tư, tháng sáu, tháng chín, tháng mười một có 30 ngày.

Tháng hai có 28 ngày (vào năm nhuận có 29 ngày)

Xem thêm

Lý thuyết Bảng đơn vị đo thời gian(mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Câu 101:

TOP 18 câu Trắc nghiệm Thứ tự thực hiện phép tính có đáp án - Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

Tính giá trị biểu thức: 12000 – (1500.2 + 1800.3 + 1800.2:3)

Xem đáp án

Lời giải

12000 – (1500.2 + 1800.3 + 1800.2:3)

= 12 000 – (3000 + 5400 + 3600 : 3)

= 12000 – (3000 + 5400 + 1200)

= 12000 – 9600

= 2400

*Phương pháp giải:

Nếu biểu thức có các dấu ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiện phép tính trong dấu ngoặc tròn trước, rồi thực hiện phép tính trong dấu ngoặc vuông, cuối cùng thực hiện phép tính trong dấu ngoặc nhọn.

*Lý thuyết:

Khi thực hiện các phép tính trong một biểu thức:

− Đối với biểu thức không có dấu ngoặc:

+ Nếu chỉ có phép cộng, trừ hoặc chỉ có phép nhân, chia, ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.

+ Nếu có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện phép nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân và chia, cuối cùng đến cộng và trừ.

− Đối với biểu thức có dấu ngoặc:

+ Nếu biểu thức có các dấu ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiện phép tính trong dấu ngoặc tròn trước, rồi thực hiện phép tính trong dấu ngoặc vuông, cuối cùng thực hiện phép tính trong dấu ngoặc nhọn.

Xem thêm

Lý thuyết Thứ tự thực hiên các phép tính chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 102:

Lý thuyết Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Cho số 123456789. Hãy đặt một số dấu “+” và “–” vào giữa các chữ số để kết quả của phép tính bằng 100

Xem đáp án

Lời giải

1+2+3 – 4 +5+6+78+9 = 100

1+2+34 – 5 +67 – 8 +9 = 100

12+3 – 4 +5+67+8+9 = 100

123 – 4 – 5 – 6 – 7 +8 – 9 =100

........................

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép cộng phép trừ 2 số tự nhiên sao cho tổng bằng 100

*Lý thuyết:

1. Phép cộng hai số tự nhiên

a + b = c

(số hạng) + (số hạng) = (tổng)

Ví dụ: 3 + 2 = 5; 10 + 24 = 34

2. Tính chất của phép cộng các số tự nhiên

+ Phép cộng các số tự nhiên có các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0.

Tính chất	Phát biểu	Kí hiệu
Giao hoán	Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.	a + b = b + a
Kết hợp	Muốn cộng một tổng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.	(a + b) + c = a + (b + c)
Cộng với số 0	Bất kì số nào cộng với số 0 cũng bằng chính nó.	a + 0 = 0 + a = a

+ Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a + b + c có thể được tính theo một trong hai cách sau: a + b + c = (a + b) + c hoặc a + b + c = a + (b + c).

1. Phép trừ hai số tự nhiên

a – b = c (a $\geq$ b)

(số bị trừ) – (số trừ) = (hiệu)

Ví dụ: 12 – 7 = 5; 23 – 3 = 20

2. Lưu ý

+ Nếu a – b = c thì a = b + c và b = a – c.

+ Nếu a + b = c thì a = c – b và b = c – a.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 103:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo) (năm + Bài Tập) – Toán 8

Tìm x : $125 x^{3} - {(2 x + 1)}^{3} - {(3 x - 1)}^{3}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Khai triển hằng đẳng thức lập phương 1 tổng 1 hiệu

*Lý thuyết:

1. Lập phương của một tổng

Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất cộng ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai cộng lập phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

2. Lập phương của một hiệu

Lập phương của một hiệu bằng lập phương số thứ nhất trừ ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai trừ lập phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3 AB² – B³

Xem thêm

200 bài tập về những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 104:

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Tìm bình phương của 126

Xem đáp án

Lời giải

Bình phương của 126 là 15876

*Phương pháp giải:

a² cũng được gọi là a bình phương (hay bình phương của a);

*Lý thuyết:

+ Lũy thừa bậc n của số tự nhiên a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

$a^{n} = \underset{n t h ö ø a s o á}{\underset{⏟}{a . a .... a}} (n \in ℕ^{*})$

aⁿ đọc là “a mũ n” hoặc “ a lũy thừa n”, a là cơ số, n là số mũ.

Chú ý: Ta có a¹= a.

a² cũng được gọi là a bình phương (hay bình phương của a);

a³ cũng được gọi là a lập phương (hay lập phương của a).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án ) - Toán 12

Câu 105:

Tính nhanh :

$126^{2} - 152 \times 126 + 5776$

Xem đáp án

Lời giải

126² - 152 x 126 + 5776

= 126 x 126 - 152 x 126 + 5776

= 126(126-152) + 5776

= -3276 + 5776

= 2500

*Phương pháp giải:

Áp dụng nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 106:

50 bài tập Quy đồng mẫu số các phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Giải các phương trình sau $\frac{12 x + 1}{11 x - 4} + \frac{10 x - 4}{9} = \frac{20 x + 17}{18}$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} D k x d : x \neq \frac{4}{11} \\ \frac{12 x + 1}{11 x - 4} + \frac{10 x - 4}{9} = \frac{20 x + 17}{18} \\ \Rightarrow \frac{18. (12 x + 1) + 2. (10 x - 4) . (11 x - 4)}{18 (11 x - 4)} \\ = \frac{(20 x + 17) (11 x - 4)}{18 (11 x - 4)} \\ \Rightarrow 216 x + 18 + 2. (110 x^{2} - 84 x + 16) \\ = 220 x^{2} - 80 x + 187 x - 68 \\ \Rightarrow 216 x + 18 + 220 x^{2} - 168 x + 32 \\ = 220 x^{2} + 107 x - 68 \\ \Rightarrow 59 x = 118 \\ \Rightarrow x = 2 (t m d k) \\ V ậ y x = 2 \end{array}$

*Phương pháp giải:

Tìm điệu kiện xác định

Quy đồng mẫu số chung rồi khử mẫu

Thực hiện phép tính cộng trừ

*Lý thuyết:

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.

Ta thường kí hiệu “mẫu thức chung” bởi MTC

2. Tìm mẫu thức chung

Khi quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, muốn tìm mẫu thức chung ta có thể làm như sau:

• Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử;

• Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

+ Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng).

+ Với mỗi luỹ thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn luỹ thừa với số mũ cao nhất.

Xem thêm

Lý thuyết Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức (mới + Bài Tập) – Toán 8

Câu 107:

Tối giản phân số $\frac{13}{17}$

Xem đáp án

Lời giải

Phân số tối giản của $\frac{13}{17}$ là $\frac{13}{17}$

*Phương pháp giải:

+ Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

+ Chia tử số và mẫu số cho số đó.

+ Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

*Lý thuyết:

Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

Nếu cả tử số và mẫu số của một phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên khác 0 thì sau khi chia ta được một phân số bằng phân số đã cho.

Khi rút gọn phân số có thể làm như sau:

Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

Chia tử số và mẫu số cho số đó.

Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

Dạng 1: Rút gọn phân số

1. Phương pháp giải

+ Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

+ Chia tử số và mẫu số cho số đó.

Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

Dạng 2: Tìm phân số tối giản

1. Phương pháp giải

Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho một số tự nhiên nào lớn hơn 1, hay phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa.

Xem thêm

Lý thuyết Phân số bằng nhau.Rút gọn phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 108:

35 Bài tập Ôn tập phép cộng, phép trừ hai phân số lớp 5 (có đáp án)

Thực hiện phép tính $\frac{13}{25} + \frac{5}{7} + \frac{21}{25} - \frac{11}{9} + \frac{2}{7}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Thực hiện nhóm 2 phân số có cùng chung mẫu số với nhau thực hiện phép cộng trừ

*Lý thuyết:

a) Phép cộng phân số

- Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu: $\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a + b}{m}$

- Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung.

b) Phép trừ phân số

- Muốn trừ hai phân số cùng mẫu, ta lấy tử số của phân số thứ nhất trừ đi tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu: $\frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{a - b}{m}$ .

- Muốn trừ hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu hai phân số, rồi trừ hai phân số đó.

Xem thêm

Lý thuyết Phép cộng và phép trừ phân số – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 109:

Lý thuyết Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tìm x $\in Z s a o c h o 14 - x = b + 9$

Xem đáp án

Lời giải

14-x=b+9

$\Rightarrow x = 14 - 9 + b \Rightarrow x = b + 5$

*Phương pháp giải:

Thực hiện chuyển vế đổi dấu

*Lý thuyết:

1. Phép trừ hai số tự nhiên

a – b = c (a $\geq$ b)

(số bị trừ) – (số trừ) = (hiệu)

Ví dụ: 12 – 7 = 5; 23 – 3 = 20

2. Lưu ý

+ Nếu a – b = c thì a = b + c và b = a – c.

+ Nếu a + b = c thì a = c – b và b = c – a.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều 2) có đáp án - Toán 6

Câu 110:

35 Bài tập Nhân, chia số đo thời gian lớp 5 (có đáp án)

15giờ 6phút : 4 bằng bao nhiêu giờ bao nhiêu phút

Xem đáp án

Lời giải

Đổi 15 giờ 9 phút= 906 phút

$\frac{906}{5} = 226 \times \frac{5}{60} = 3 \times 775 = 3 h 47 p$

*Phương pháp giải:

- Ta đặt tính như đối với phép chia các số tự nhiên.

- Chia từng số đo ở số bị chia cho số chia (theo thứ tự từ trái sang phải).

*Lý thuyết:

- Ta đặt tính như đối với phép chia các số tự nhiên.

- Chia từng số đo ở số bị chia cho số chia (theo thứ tự từ trái sang phải).

- Khi tính sau mỗi kết quả ta phải ghi đơn vị đo tương ứng.

Xem thêm

Lý thuyết Chia số đo thời gian với một số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Câu 111:

Rút gọn phân số :

$\frac{15}{35} = . . . . . . . = . . . . . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{15}{35} = \frac{15 \div 5}{35 \div 5} = \frac{3}{7}$

*Phương pháp giải:

+ Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

+ Chia tử số và mẫu số cho số đó.

+ Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

*Lý thuyết:

Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

Nếu cả tử số và mẫu số của một phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên khác 0 thì sau khi chia ta được một phân số bằng phân số đã cho.

Khi rút gọn phân số có thể làm như sau:

Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

Chia tử số và mẫu số cho số đó.

Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

Dạng 1: Rút gọn phân số

1. Phương pháp giải

+ Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

+ Chia tử số và mẫu số cho số đó.

Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

Dạng 2: Tìm phân số tối giản

1. Phương pháp giải

Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho một số tự nhiên nào lớn hơn 1, hay phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa.

Xem thêm

Lý thuyết Phân số bằng nhau.Rút gọn phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 112:

50 bài tập Toán quy luật lớp 4 và cách giải

Điền số còn thiếu vào chỗ trống: 15, 5, 8, 24, 21, 7, 10, 30, ?, ?, ?, 36, 33

A: 25,4,6

B: 27,9,12

C: 35,6,8

D: 40,8,6

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Lời giải

Ta thấy

15 : 3 = 5

5 + 3 = 8

8 x 3 = 24

24 - 3 = 21

21 : 3 = 7

....

quy luật là :

các số theo thứ tự là :3,+3,-3, $\times 3$

*Phương pháp giải:

Xác định quy luật của dãy số.

*Lý thuyết:

Trước hết ta cần xác định quy luật của dãy số.

Những quy luật thường gặp là:

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với 1 số tự nhiên d;

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với 1 số tự nhiên q khác 0;

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng trước nó;

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự của số hạng ấy;

+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự;

Xem thêm

Chuyên đề Dãy số tự nhiên, dãy số theo quy luật lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Câu 113:

Rút gọn phân số $\frac{3.13 - 13.18}{15.40 - 80}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Thực nhiên phép tính nhân chia trước cộng trừ sau

*Lý thuyết:

Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

Nếu cả tử số và mẫu số của một phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên khác 0 thì sau khi chia ta được một phân số bằng phân số đã cho.

Khi rút gọn phân số có thể làm như sau:

Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

Chia tử số và mẫu số cho số đó.

Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

Dạng 1: Rút gọn phân số

1. Phương pháp giải

+ Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

+ Chia tử số và mẫu số cho số đó.

Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

Dạng 2: Tìm phân số tối giản

1. Phương pháp giải

Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho một số tự nhiên nào lớn hơn 1, hay phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa.

Xem thêm

Lý thuyết Phân số bằng nhau.Rút gọn phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 114:

35 Bài tập Ôn tập phép cộng, phép trừ hai phân số lớp 5 (có đáp án)

Thực hiện phép tính: $\frac{15}{19} - \frac{38}{10} + \frac{- 2}{5} - (- 7, 2) + \frac{4}{19}$

Xem đáp án

Lời giải

1519-3810+(-25)-(-7,2)+419
=1519-195-25+7,2+419
=1519-195-25+365+419
=(1519+419)+(-195-25+365)
=1+3
=4

*Phương pháp giải:

Đưa về phân số tối giản rồi nhóm 2 phân số có cùng chung mẫu số với nhau thực hiện phép cộng trừ

*Lý thuyết:

a) Phép cộng phân số

- Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu: $\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a + b}{m}$

- Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung.

b) Phép trừ phân số

- Muốn trừ hai phân số cùng mẫu, ta lấy tử số của phân số thứ nhất trừ đi tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu: $\frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{a - b}{m}$ .

- Muốn trừ hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu hai phân số, rồi trừ hai phân số đó.

Xem thêm

Lý thuyết Phép cộng và phép trừ phân số – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 115:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

1500:5=?

Xem đáp án

Lời giải

1500:5=300

*Phương pháp giải:

Chia 1 số tự nhiên cho 1 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép chia hết

a : b = q $(b \neq 0)$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Chú ý:

+ Nếu a : b = q thì q = bq

+ Nếu a : b = q và q $\neq$ 0 thì a : q = b

+ Thông thường, ta đặt tính chia để thực hiện phép chia.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép nhân, phép chia các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 116:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

156 giờ là bao nhiêu ngày?

Xem đáp án

Lời giải

Do 1 ngày có 24 giờ nên

156: 24= 6,6

Vậy 156 giờ là 6,5 ngày

*Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia có dư

*Lý thuyết:

Cho hai số tự nhiên a và b với $b \neq 0$ . Khi đó luôn tìm được đúng hai số tự nhiên q và r sao cho a = b . q + r, trong đó $0 \leq r < b$ .

Chú ý:

+ Khi r = 0 ta có phép chia hết.

+ Khi $r \neq 0$ ta có phép chia có dư. Ta nói: a chia cho b được thương là q và số dư là r.

Kí hiệu: a : b = q (dư r)

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép nhân, phép chia các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 117:

TOP 18 câu Trắc nghiệm Thứ tự thực hiện phép tính có đáp án - Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

Thực hiện phép tính (56+156-106) : 56

Xem đáp án

Lời giải

(56+156-106) : 56

=(212-106):56

=106:56

= $\frac{106}{56}$

*Phương pháp giải:

Nếu biểu thức có các dấu ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiện phép tính trong dấu ngoặc tròn trước, rồi thực hiện phép tính trong dấu ngoặc vuông, cuối cùng thực hiện phép tính trong dấu ngoặc nhọn.

*Lý thuyết:

Khi thực hiện các phép tính trong một biểu thức:

− Đối với biểu thức không có dấu ngoặc:

+ Nếu chỉ có phép cộng, trừ hoặc chỉ có phép nhân, chia, ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.

+ Nếu có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện phép nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân và chia, cuối cùng đến cộng và trừ.

− Đối với biểu thức có dấu ngoặc:

+ Nếu biểu thức có các dấu ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiện phép tính trong dấu ngoặc tròn trước, rồi thực hiện phép tính trong dấu ngoặc vuông, cuối cùng thực hiện phép tính trong dấu ngoặc nhọn.

Xem thêm

Lý thuyết Thứ tự thực hiên các phép tính chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 118:

Tìm số tự nhiên n,biết:16. $2^{n}$ =256

Xem đáp án

Lời giải

2^n=256:16

2^n=16

2^n=2^4

n=4

*Phương pháp giải:
 Thực hiện phép tính lần lượt đưa về cùng cơ số 2 
*Lý thuyết:
a. Phương trình mũ cơ bản: ax=b a>0, a≠1.
* Với b >0, ta có ax=b ⇔x=logab
* Với b≤0, phương trình vô nghiệm.
b. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản.
+ Biến đổi, quy về cùng cơ số:
Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích:
Đặt ẩn phụ đưa không hoàn toàn: là việc dùng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một một phương trình với một ẩn phụ mà hệ số vẫn còn ẩn rồi đưa về tích.
Đặt nhiều ẩn phụ đưa về hệ phương trình
+ Logarit hóa:
Xem thêm
50 bài toán về phương trình mũ và cách giải (có đáp án ) – Toán 12 
Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit (năm + Bài Tập) – Toán 12  

Câu 119:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

160 $\times$ 2=?

Xem đáp án

Lời giải

$160 \times 2 = 320$

*Phương pháp giải:

Thực hiện phép nhân 2 số tự nhiên hoặc bấm máy tính

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Ví dụ: 5 x 2 = 10; 20 x 3 = 60

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

TOP 29 câu hỏi Trắc nghiệm Phép nhân và phép chia số tự nhiên có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 120:

Lý thuyết Phép nhân đa thức – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Giải phương trình : $(4 x + 1) (1 - 4 x + 16 x^{2}) - 16 x (4 x^{2} - 5) = 17$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Thực hiện phép nhân đa thức đơn thức

*Lý thuyết:

1. Nhân đơn thức với đa thức

+ Nhân hai đơn thức như thế nào?

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai phần biến với nhau.

Ví dụ: $(- 3 x^{2} y) (4 x y) = [(- 3.4)] . (x^{2} . x) . (y . y) = - 12. x^{3} . y^{2}$

+ Nhân đơn thức với đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} 3 x^{2} y (2 x^{2} y - x y + 3 y^{2}) \\ = (3 x^{2} y) . (2 x^{2} y) - (3 x^{2} y) . (x y) + (3 x^{2} y) . (3 y^{2}) \\ = 3.2. (x^{2} . x^{2}) (y . y) - 3. (x^{2} . x) . (y . y) + 3.3. x^{2} . (y . y^{2}) \\ = 6 x^{4} y^{2} - 3 x^{3} . y^{2} + 9 x^{2} y^{3} \end{array}$

2. Nhân đa thức với đa thức

+ Nhân hai đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Phép nhân đa thức cũng có các tính chất tương tự phép nhân các số.

+ Giao hoán: A.B = B.A

+ Kết hợp: (A.B).C = A.(B.C)

+ Phân phối của phép nhân đối với phép cộng: (A + B).C = AB + AC

Xem thêm

50 bài tập về cách nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức (có đáp án ) và cách giải

Câu 121:

35 Bài tập Phép nhân số thập phân lớp 5 (có đáp án)

Tính nhanh : $\frac{17, 8 \times 3, 7 - 7, 8 \times 4, 8 + 5, 7 \times 17, 8 - 4, 6 \times 7, 8}{11, 2 + 12, 3 + 13, 4 - 12, 6 - 11, 5 - 10, 4}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Nhóm nhân tử chung rồi thục hiện phép nhân cộng trừ đa thức

*Lý thuyết:

Dạng 1: Cộng số thập phân

1. Phương pháp giải

- Muốn cộng hai số thập phân ta làm như sau:

+ Viết số hạng này dưới số hạng kia sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.

+ Cộng như cộng các số tự nhiên.

+ Viết dấu phẩy ở cột thẳng cột với các dấu phẩy của các số hạng

- Để tính tổng của nhiều số thập phân, ta làm tương tự như tính tổng của hai số thập phân.

Dạng 2: Trừ số thập phân

1. Phương pháp giải

- Muốn trừ một số thập phân cho một số thập ta làm như sau:

+ Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.

+ Trừ như trừ các số tự nhiên.

+ Viết dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với các dấu phẩy của số bị trừ và số trừ.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

- Nhân một số thập phân với một số tự nhiên:

+ Nhân như nhân các số tự nhiên

+ Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số, rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

- Nhân một số thập với 10, 100, 1000, ... ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên phải một, hai, ba,.. chữ số.

- Nhân một số thập phân với 0,1; 0,01; 0,001 ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba,.. chữ số.

- Nhân một số thập phân với một số thập ta làm như sau:

+ Nhân như nhân các số tự nhiên.

+ Đếm xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Dạng 4: Phép chia số thập phân

1. Phương pháp giải

- Chia một số thập phân cho một số tự nhiên:

+ Chia phần nguyên của số bị chia cho số chia.

+ Viết dấu phẩy vào bên phải thương đã tìm được trước khi lấy chữ số đầu tiên ở phần thập phân của số bị chia để tiếp tục thực hiện phép chia

+ Tiếp tục chia với từng chữ số ở phần thập phân của số bị chia

- Chia một số thập phân cho 10, 100, 1000,... ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba,... chữ số.

- Chia một số thập phân cho 0,1; 0,01; 0,001, ... thực chất là nhân một số thập phân với 10, 100, 1000,...

- Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà thương tìm được là một số thập phân:

+ Viết dấu phẩy vào bên phải số thương

+ Viết thêm vào bên phải số dư một chữ số 0 rồi chia tiếp

+ Nếu còn dư nữa, ta lại viết thêm vào bên phải số dư mới một chữ số 0 rồi tiếp tục chia, và có thể cứ làm như thế mãi.

- Chia một số tự nhiên cho một số thập phân:

+ Đếm xem có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của số chia thì viết thêm vào bên phải số bị chia bấy nhiêu chữ số 0

+ Bỏ dấu phẩy ở số chia rồi thực hiện phép chia như chia các số tự nhiên.

- Chia một số thập phân cho một số thập phân:

+ Đếm xem có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của số chia thì chuyển dấu phẩy ở số bị chia sang bên phải bấy nhiêu chữ số.

+ Bỏ dấu phẩy ở số chia rồi thực hiện phép chia như chia cho số tự nhiên.

Xem thêm

Các phép toán với số thập phân lớp 5 và cách giải

Câu 122:

Lý thuyết Quan hệ chia hết. Tính chất chia hết chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Chứng minh $17^{19} + 19^{17}$ chia hết cho 18

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: 17¹⁹ + 19¹⁷ = (17¹⁹ + 1) + (19¹⁷ - 1)

$17^{19} + 1 ⋮ 17 + 1 = 18$

và $19^{17} - 1 ⋮ 19 - 1 = 18$

nên (17¹⁹+1)+(19¹⁷-1) hay 17¹⁹+19¹⁷ chia hết cho 18

*Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất chia hết

*Lý thuyết:

I. Quan hệ chia hết

1. Khái niệm về chia hết

Cho hai số tự nhiên a và b $(b \neq 0)$ .

Nếu có số tự nhiên q sao cho a = b . q thì ta nói a chia hết cho b.

Khi a chia hết cho b, ta nói a là bội của b và b là ước của a.

Lưu ý:

+ Nếu số dư trong phép chia a cho b bằng 0 thì a chia hết cho b, kí hiệu là $a ⋮ b$ .

+ Nếu số dư trong phép chia a cho b khác 0 thì a không chia hết cho b, kí hiệu là $a ⋮ b$ .

Lưu ý: Với a là số tự nhiên khác 0 thì:

+ a là ước của a;

+ a là bội của a;

+ 0 là bội của a;

+ 1 là ước của a.

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Chia hết và chia có dư. Tính chất chia hết của một tổng có đáp án - Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

Câu 123:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

1700:5=?

Xem đáp án

Lời giải

1700:5=340

*Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia hết

*Lý thuyết:

1. Phép chia hết

a : b = q $(b \neq 0)$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Ví dụ: 10 : 2 = 5; 30 : 5 = 6

Chú ý:

+ Nếu a : b = q thì q = bq

+ Nếu a : b = q và q $\neq$ 0 thì a : q = b

+ Thông thường, ta đặt tính chia để thực hiện phép chia.

Xem thêm

35 Bài tập Phân số. Phân số với phép chia số tự nhiên lớp 4 (có đáp án)

Câu 124:

Chuyên đề Tìm X lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Tìm X.

a) 12,5 - X = 4,27

b) 18,2 : X = 5,6

Xem đáp án

Lời giải

a) 12,5 - X = 4,27

X = 4,27 + 12,5

X = 8,23

b) 18,2 : X = 5,6

X = 18,2

\times

5,6

X = 3,25

*Phương pháp giải:

Để giải được các bài toán tìm X thì cần các thành phần và kết quả của cá phép tính cộng trừ nhân chia

*Lý thuyết:

Phép cộng: Số hạng + số hạng – tổng

Phép trừ : Số bị trừ - số trừ = hiệu

Phép nhân : Thừa số × thừa số = tích

Phép chia: Số bị chia : số chia = thương.

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Tập hợp và các phép toán trên tập hợp (Kết nối tri thức ) có đáp án | Toán 10

Câu 125:

Bộ 30 Đề thi trắc nghiệm Toán học kì 2 lớp 5

Tìm X

a) 12,5 - X = 4,27

b) 18,2 : X = 5,6

Xem đáp án

Lời giải

a) 12,5 - X = 4,27

X = 4,27 + 12,5

X = 8,23

b) 18,2 : X = 5,6

X = 18,2

\times

5,6

X = 3,25

*Phương pháp giải:

Áp dụng các quy tắc phép cộng trừ nhân chia

*Lý thuyết:

Đối với phép cộng: Muốn tìm số hạng chưa biết ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết

Đối với phép trừ:

+ Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng với số trừ

+ Muốn tìm số trừ ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu

Đối với phép nhân: Muốn tìm thừa số chưa biết ta lấy tích chia cho thừa số đã biết

Đối với phép chia:

+ Muốn tìm số bị chia ta thấy thương nhân với số chia

+ Muốn tìm số chia ta thấy số bị chia thương

2. Các dạng

Dạng 1. Cơ bản

Dạng 2. Vế trái là một biểu thức có 2 phép tính

Dạng 3. Vế trái là một biểu thức có 2 phép tính

Dạng 4. Dạng tổng hợp

Dạng 5. Một số bài tập tìm x nâng cao

Xem thêm

Công thức tìm x lớp 5

Câu 126:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tính : $\frac{1850}{2}$ =....

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{1850}{2} = 925$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép chia hết

*Lý thuyết:

Phép chia hết

a : b = q $(b \neq 0)$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Ví dụ: 10 : 2 = 5; 30 : 5 = 6

Chú ý:

+ Nếu a : b = q thì q = bq

+ Nếu a : b = q và q $\neq$ 0 thì a : q = b

+ Thông thường, ta đặt tính chia để thực hiện phép chia.

Xem thêm

TOP 29 câu hỏi Trắc nghiệm Phép nhân và phép chia số tự nhiên có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 127:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tính: $\frac{186}{3} = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{186}{3} = 62$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép chia hết

*Lý thuyết:

Phép chia hết

a : b = q $(b \neq 0)$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Ví dụ: 10 : 2 = 5; 30 : 5 = 6

Chú ý:

+ Nếu a : b = q thì q = bq

+ Nếu a : b = q và q $\neq$ 0 thì a : q = b

+ Thông thường, ta đặt tính chia để thực hiện phép chia.

Xem thêm

TOP 29 câu hỏi Trắc nghiệm Phép nhân và phép chia số tự nhiên có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 128:

Tìm x :
1 - x = 35+320+344+....+3560

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

* Các tính chất của phép cộng như sau:

+ Tính giao hoán: a + b = b + a.

+ Tính kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c).

+ Cộng với số 0: a + 0 = 0 + a = a

+ Cộng với số đối: a + (-a) = 0

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều) có đáp án - Toán 6

Câu 129:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tích của 1x2x3x4x5x6x7x.....x100 tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?

Xem đáp án

Lời giải

Tích 1 x 2 x ... x 10 có 2 chữ số 0 ( vì 2 x 5 có 1 chữ số 0 và 10 có 1 chữ số 0 )

Tích 11 x 12 x ... x 20 có 2 chữ số 0 ( vì 12 x 25 có 1 chữ số 0, và 30 có 1 chữ số 0 )

Tích 21 x 22 x ... x 30 có 3 chữ số 0 ( vì 25 nhân bất kì một số nào chia hết cho 4 trong khoảng này có 2 chữ số 0, và 30 có 1 chữ số 0 )

Tích 31 x 32 x ... x 40 có 2 chữ số 0 ( vì 32 x 35 có 1 chữ số 0, và 40 có 1 chữ số 0 )

Tích 41 x 42 x ... x 50 có 3 chữ số 0 ( vì 50 nhân bất kì một số nào chia hết cho 4 trong khoảng này có 2 chữ số 0, và 22 x 25 có 1 chữ số 0 )

Tích 51 x 52 x ... x 60 có 2 chữ số 0 ( vì 52 x 55 có 1 chữ số 0 và 60 có 1 chữ số 0 )

Tích 61 x 62 x ... x 70 có 2 chữ số 0 ( vì 62 x 65 có 1 chữ số 0 và 70 có 1 chữ số 0 )

Tích 71 x 72 x ... x 80 có 3 chữ số 0 ( vì 75 nhân bất kì một số nào chia hết cho 4 trong khoảng này có 2 chữ số 0, và 80 có 1 chữ số 0 )

Tích 81 x 82 x ... x 90 có 2 chữ số 0 ( vì 82 x 85 có 1 chữ số 0, và 90 có 1 chữ số 0 )

Tích : 91 x 92 x ... x 100 có 3 chữ số 0 ( vì 92 x 95 có 1 chữ số 0, và 100 có 2 chữ số 0 )

Tích 1 x 2 x ... x 99 x 100 gồm : 2 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 2 + 3 + 2 + 3 = 24 ( chữ số 0 )

*Phương pháp giải:

Sử dụng phép nhân 2 số tự nhiên để tìm ra quy luật

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Ví dụ: 5 x 2 = 10; 20 x 3 = 60

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

TOP 29 câu hỏi Trắc nghiệm Phép nhân và phép chia số tự nhiên có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 130:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tính: $2^{20} \times 15 + 2^{10} \times 85$

Xem đáp án

Lời giải

220.15+210.85
=210.210.15+210.85
=210.(210.15+85)
`=2^10. (1024.15+85)
=210.15445
=1024.15445
`=15815680`

*Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung rồi thực hiện phép tính

*Lý thuyết:

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Xem thêm

TOP 29 câu hỏi Trắc nghiệm Phép nhân và phép chia số tự nhiên có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 131:

50 Bài tập Rút gọn phân thức Toán 8 mới nhất

Rút gọn : $A = \frac{2^{19} \times 27^{3} + 15 \times 4^{9} \times 9^{4}}{6^{9} \times 2^{10} + 12^{10}}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

*Lý thuyết:

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Ví dụ 1:

Xem thêm

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới + Bài Tập) – Toán 8

Câu 132:

Lý thuyết Phép tính lũy thừa – Toán 11 Chân trời sáng tạo

Tính bằng hai cách:

a, $2^{5} : 2^{4}$

b, $3^{4} : 3^{2}$

c, $6^{3} : 6^{2}$

d, $8^{4} : 8^{2}$

e, $7^{5} : 7^{4}$

f, $100^{3} : 100$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính chất của luỹ thừa

Cho a, b là những số thực dương; $α; β$ là những số thực bất kì. Khi đó:

$\begin{array}{l} a^{α} . a^{β} = a^{α + β}; \\ \frac{a^{α}}{a^{β}} = a^{α - β}; \\ {(a^{α})}^{β} = a^{α β}; \\ {(a b)}^{α} = a^{α} . b^{α}; \\ {(\frac{a}{b})}^{α} = \frac{a^{α}}{b^{α}} . \end{array}$

*Lý thuyết:

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương:

$a^{n} = \underset{n t h ừ a s ố}{\underset{⏟}{a . a . a . . . a}} (a \in R, n \in N *)$ .

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, số mũ 0:

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}; a^{0} = 1 (n \in N *, a \in R, a \neq 0)$ .

2. Căn bậc n

Cho số thực b và số nguyên $n \geq 2$ .

- Số a là căn bậc n của số b nếu $a^{n} = b$ .

- Sự tồn tại căn bậc n:

+ Nếu n lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu $\sqrt[n]{b}$ .

+ Nếu n chẵn thì:

b < 0: không tồn tại căn bậc n của b.
b = 0: có một căn bậc n của b là 0.
b > 0: có hai căn bậc n của b đối với nhau, kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{b}$ và giá trị âm là $- \sqrt[n]{b}$ .

+ Các tính chất:

$\sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b}$
$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m n]{a}$

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ , trong đó $m, n \in Z, n > 0$ . Ta có:

$a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Giả sử a là một số dương, $α$ là một số vô tỉ và $(r_{n})$ là một dãy số hữu tỉ sao cho $lim r_{n} = α$ . Khi đó $a^{α} = lim_{n \to + \infty} = a^{r_{n}}$ .

5. Tính chất của phép tính lũy thừa

Cho a, b là những số thực dương; $α; β$ là những số thực bất kì. Khi đó:

$\begin{array}{l} a^{α} . a^{β} = a^{α + β}; \\ \frac{a^{α}}{a^{β}} = a^{α - β}; \\ {(a^{α})}^{β} = a^{α β}; \\ {(a b)}^{α} = a^{α} . b^{α}; \\ {(\frac{a}{b})}^{α} = \frac{a^{α}}{b^{α}} . \end{array}$

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án ) - Toán 12

Câu 133:

Lý thuyết Phép tính lũy thừa – Toán 11 Chân trời sáng tạo

Tính $2^{5} = . . . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$2^{5}$ =32

*Phương pháp giải:

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương:

$a^{n} = \underset{n t h ừ a s ố}{\underset{⏟}{a . a . a . . . a}} (a \in R, n \in N *)$ .

*Lý thuyết:

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương:

$a^{n} = \underset{n t h ừ a s ố}{\underset{⏟}{a . a . a . . . a}} (a \in R, n \in N *)$ .

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, số mũ 0:

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}; a^{0} = 1 (n \in N *, a \in R, a \neq 0)$ .

2. Căn bậc n

Cho số thực b và số nguyên $n \geq 2$ .

- Số a là căn bậc n của số b nếu $a^{n} = b$ .

- Sự tồn tại căn bậc n:

+ Nếu n lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu $\sqrt[n]{b}$ .

+ Nếu n chẵn thì:

b < 0: không tồn tại căn bậc n của b.
b = 0: có một căn bậc n của b là 0.
b > 0: có hai căn bậc n của b đối với nhau, kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{b}$ và giá trị âm là $- \sqrt[n]{b}$ .

+ Các tính chất:

$\sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b}$
$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m n]{a}$

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ , trong đó $m, n \in Z, n > 0$ . Ta có:

$a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Giả sử a là một số dương, $α$ là một số vô tỉ và $(r_{n})$ là một dãy số hữu tỉ sao cho $lim r_{n} = α$ . Khi đó $a^{α} = lim_{n \to + \infty} = a^{r_{n}}$ .

5. Tính chất của phép tính lũy thừa

Cho a, b là những số thực dương; $α; β$ là những số thực bất kì. Khi đó:

$\begin{array}{l} a^{α} . a^{β} = a^{α + β}; \\ \frac{a^{α}}{a^{β}} = a^{α - β}; \\ {(a^{α})}^{β} = a^{α β}; \\ {(a b)}^{α} = a^{α} . b^{α}; \\ {(\frac{a}{b})}^{α} = \frac{a^{α}}{b^{α}} . \end{array}$

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án ) - Toán 12

Câu 134:

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án ) - Toán 9 \

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi thời gian để người thứ nhất và người thứ hai một mình hoàn thành công việc lần lượt là x (giờ) và y (giờ). (Điều kiện x, y > 16).

⇒ Trong một giờ, người thứ nhất làm được (công việc); người thứ hai làm được (công việc).

+ Cả hai người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong 16 giờ nên ta có phương trình

+ Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình

Vậy ta có hệ phương trình

Đặt , hệ phương trình trở thành:

Vậy nếu làm riêng, người thứ nhất hoàn thành công việc sau 24 giờ và người thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ.

*Phương pháp giải:

Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết;

- Lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan của các đại lượng.

Bước 2: Giải các hệ phương trình vừa tìm được.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện ban đầu và kết luận bài toán

*Lý thuyết:

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình

Bước 3: Trả lời

Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

2. Lưu ý về chọn ẩn và điều kiện thích hợp của ẩn

- Thông thường thì bài toán hỏi về đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó.

- Về điều kiện thích hợp của ẩn

+ Nếu x biểu thị một chữ số thì $0 \leq x \leq 9$ , $x \in N$ .

+ Nếu x biểu thị tuổi, sản phẩm, người thì x nguyên dương.

+ Nếu x biểu thị vận tốc của chuyển động thì x > 0.

Xem thêm

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (mới + Bài Tập) – Toán 9

Câu 135:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (mới + Bài Tập) – Toán 11

Số nghiệm của phương trình: $2 \sin (x + \frac{π}{3}) = 1 t r ê n đ o ạ n 0 \leq x \leq 2 π$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

- Trường hợp |a| ≤ 1

Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình sinx = a có các nghiệm là:

*Lý thuyết:

1. Phương trình sinx = a.

Xét phương trình sinx = a (1)

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình (1) vô nghiệm vì |sinx| ≤ 1 với mọi x.

- Trường hợp |a| ≤ 1

Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình sinx = a có các nghiệm là:

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\{\begin{matrix} \frac{- π}{2} \leq α \leq \frac{π}{2} \\ \sin α = a \end{matrix}$ thì ta viết α = arcsina (đọc là ac-sin-a; nghĩa là cung có sin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là:

- Chú ý:

a) Phương trình sinx = sinα; với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x = α + k 2 π$ và $x = π - α + k 2 π; k \in ℤ$

Tổng quát:

b) Phương trình sinx = sinβ⁰ có các nghiệm là:

c) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lương giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1: Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là $x = \frac{π}{2} + k 2 π; k \in ℤ$ .

+ Khi a = – 1: Phương trình sinx = – 1 có các nghiệm là $x = - \frac{π}{2} + k 2 π; k \in ℤ$ .

+ Khi a = 0: Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là $x = k π; k \in ℤ$ .

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án ) – Toán 11

Câu 136:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tính: 2 x 3 x 3 x 3

Xem đáp án

Lời giải

2 x 3 x 3 x 3=54

*Phương pháp giải:

Thực hiện phép nhân lần lượt từ trái sang phải

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)
2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

TOP 29 câu hỏi Trắc nghiệm Phép nhân và phép chia số tự nhiên có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 137:

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và bài tập hay nhất

Giải phương trình: $2 (2 x - 1) - 3 \sqrt{5 x - 6} = \sqrt{3 x - 8}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Nhân cả 2 vế với 2

Biến đổi phướng tình thành tổng của 2 bình phương bằng 0

Giải phương trình $A^{2} + B^{2} = 0$ $\to \{\begin{cases} A & = 0 \\ B & = 0 \end{cases}$

*Lý thuyết:

- Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thường có dạng:

$\sqrt{f (x)} = \sqrt{g (x)}; \sqrt{f (x)} = g (x); \sqrt{f (x)} + \sqrt{g (x)} = \sqrt{h (x)}; \frac{1}{\sqrt{f (x)}} = g (x); \dots . .$

- Điều kiện xác định của $\sqrt{f (x)}$ là $f (x) \geq 0$

- Điều kiện xác định của $\frac{A}{\sqrt{f (x)}}$ là $f (x) > 0$ , với A là một số hoặc một biểu thức

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Căn bậc hai (có đáp án ) – Toán 9

Câu 138:

Giải phương trình: $2 (\frac{3}{2} - x) - \frac{1}{3} = 7 x - \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Lời giải

2.(32-x)-13=7x-14
⇒2.32-2.x-13=7x-14
⇒3-2x-13=7x-14
⇒-2x-7x=-14-3+13
⇒-9x=-3512
⇒x=(-3512):(-9)
⇒x=35108
Vậy x=35108

*Phương pháp giải:

Thực hiện chuyển vế đưa chứa biến x về bên trái rồi thực hiện phép tính

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều) có đáp án - Toán 6

Câu 139:

Tìm x biết $2 (5 x - 8) - 3 (4 x - 5) = 4 (3 x - 4) + 11$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có 2( 5x - 8 ) - 3( 4x - 5 ) = 4( 3x - 4 ) + 11

⇔ 2.5x - 2.8 - 3.4x - 3.( - 5 ) = 4.3x - 4.4 + 11

⇔ 10x - 16 - 12x + 15 = 12x - 16 + 11

⇔ - 2x - 1 = 12x - 5 ⇔ 12x + 2x = - 1 + 5

⇔ 14x = 4 ⇔ x = 2/7.

Vậy giá trị x cần tìm là x = 2/7

*Phương pháp giải:

Thực hiện phép nhân đa thức chuyển vế tìm x

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều) có đáp án - Toán 6

Câu 140:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo) (năm + Bài Tập) – Toán 8

Cho x-y=2

Tính A= 2( $x^{3} + y^{3}$ )-3 ${(x + y)}^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức tổng hiệu hai lập phương

*Lý thuyết:

1. Tổng hai lập phương

Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

Chú ý: A² – AB + B² được gọi là bình phương thiếu của một hiệu.

2. Hiệu hai lập phương

Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Chú ý: A² + AB + B² được gọi là bình phương thiếu của một tổng.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án ) - Toán 8

Câu 141:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo) (năm + Bài Tập) – Toán 8

Tính P = $2 (a^{3} + b^{3}) - 3 (a^{2} + b^{2}) b i ế t a + b = 1$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải

Sử dụng hằng đăng thức tổng 2 lập phương và hiệu 2 bình phương

*Lý thuyết:

1. Tổng hai lập phương

Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

Chú ý: A² – AB + B² được gọi là bình phương thiếu của một hiệu.

2. Hiệu hai lập phương

Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Chú ý: A² + AB + B² được gọi là bình phương thiếu của một tổng.

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án ) - Toán 8

Câu 142:

Lý thuyết Phép cộng và phép trừ phân thức đại số – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Tính:

$\begin{array}{l} a) \frac{2}{3} - \frac{- 3}{4} - \frac{5}{6}; \begin{matrix} \end{matrix} b) \frac{5}{12} - \frac{3}{4} - \frac{5}{- 8} \\ c) \frac{2}{20} - \frac{- 3}{36} + \frac{4}{60}; \begin{matrix} \end{matrix} d) \frac{7}{36} - \frac{24}{- 27} - \frac{12}{18} \end{array}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Rút gọn phân số về tối giản rồi áp dụng phép cộng trừ phân số

*Lý thuyết:

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức: $\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A + B}{M}$

Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức đó. Ta thường viết tổng dưới dạng rút gọn.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} \frac{x + y}{x y} + \frac{x - y}{x y} = \frac{x + y + x - y}{x y} = \frac{2 x}{x y} = \frac{2}{y} \\ \frac{x}{x + 3} + \frac{2 - x}{x + 3} = \frac{x + 2 - x}{x + 3} = \frac{2}{x + 3} \end{array}$

2. Cộng hai phân thức cùng khác mẫu

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

3. Trừ hai phân thức

Quy tắc:

- Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức, ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.

- Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Chú ý: Cũng như phép trừ phân số, ta có thể chuyển phép trừ phân thức thành phép cộng phân thức như sau: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{- C}{D}$

4. Cộng, trừ nhiều phân thức đại số

Biểu thức gồm các phép tính cộng, trừ phân thức cũng có thể xem là chỉ gồm các phép cộng phân thức vì trừ một phân thức cũng là cộng với phân thức đối của phân thức đó.

Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp:

$\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{C}{D} + \frac{A}{B}; (\frac{A}{B} + \frac{C}{D}) + \frac{E}{F} = \frac{A}{B} + (\frac{C}{D} + \frac{E}{F})$ , trong đó $\frac{A}{B}; \frac{C}{D}; \frac{E}{F}$ là các phân thức bất kì.

Xem thêm

TOP 39 câu Trắc nghiệm Phép cộng và phép trừ phân số có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 143:

Tính $\frac{2}{3} \times \frac{25}{17}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{2}{3} \times \frac{25}{17} = \frac{50}{51}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 phân số

*Lý thuyết:

Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Khi đổi chỗ các phân số trong một tích thì tích của chúng không thay đổi.

Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích của phân số thứ hai và phân số thứ ba.

Khi nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân từng phân số của tống với phân số thứ ba rồi cộng các kết quả lại.

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 144:

35 Bài tập Phép chia phân số lớp 4 (có đáp án)

Giải phương trình $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} (x - \frac{3}{1}) - \frac{1}{2} (2 x + 1) = 5$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Thực hiện phép nhân đa thức chuyển vế rồi thực hiện phép chia phân số

*Lý thuyết:

Để thực hiện phép chia hai phân số, ta làm như sau: Lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

Dạng 1: Tìm phân số đảo ngược của các phân số cho trước.

Phương pháp:

Phân số $\frac{b}{a}$ là phân số đảo ngược của phân số $\frac{a}{b}$ .

Ví dụ: Viết phân số đảo ngược của các phân số sau: $\frac{2}{7}; \frac{3}{11}; \frac{21}{6}$ .

Lời giải:

Phân số đảo ngược của phân số $\frac{2}{7}$ là: $\frac{7}{2}$ .

Phân số đảo ngược của phân số $\frac{3}{11}$ là: $\frac{11}{3}$ .

Phân số đảo ngược của phân số $\frac{21}{6}$ là: $\frac{6}{21}$ .

Dạng 2: Tìm thương của hai phân số.

Phương pháp:

Để thực hiện phép chia hai phân số, ta làm như sau: Lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

Dạng 3: Tìm x.

Phương pháp:

Muốn tìm thừa số chưa biết, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.

Xem thêm

Lý thuyết Phép chia phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 145:

35 Bài tập Phép chia phân số lớp 4 (có đáp án)

Tìm x biết : $\frac{2}{3} x - \frac{7}{5} x = \frac{3}{5}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{2}{3} x - \frac{7}{5} x = \frac{3}{5}$

$x (\frac{2}{3} - \frac{7}{5}) = \frac{3}{5} \frac{- 11}{15} x = \frac{3}{5} x = \frac{3}{5} \div \frac{- 11}{15} x = \frac{- 9}{11}$

*Phương pháp giải:

Thực hiện phép nhân đa thức chuyển vế rồi thực hiện phép chia phân số

*Lý thuyết:

Để thực hiện phép chia hai phân số, ta làm như sau: Lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

Dạng 1: Tìm phân số đảo ngược của các phân số cho trước.

Phương pháp:

Phân số $\frac{b}{a}$ là phân số đảo ngược của phân số $\frac{a}{b}$ .

Ví dụ: Viết phân số đảo ngược của các phân số sau: $\frac{2}{7}; \frac{3}{11}; \frac{21}{6}$ .

Lời giải:

Phân số đảo ngược của phân số $\frac{2}{7}$ là: $\frac{7}{2}$ .

Phân số đảo ngược của phân số $\frac{3}{11}$ là: $\frac{11}{3}$ .

Phân số đảo ngược của phân số $\frac{21}{6}$ là: $\frac{6}{21}$ .

Dạng 2: Tìm thương của hai phân số.

Phương pháp:

Để thực hiện phép chia hai phân số, ta làm như sau: Lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

Dạng 3: Tìm x.

Phương pháp:

Muốn tìm thừa số chưa biết, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.

Xem thêm

Lý thuyết Phép chia phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 146:

Lý thuyết Phép nhân, phép chia phân số đơn giản – Toán lớp 6 Cánh diều

Có bao nhiêu phút trong: $\frac{2}{5}$ giờ

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Ta có 1 giờ =60 phút

Tính 2/5 của 60

*Lý thuyết:

- Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc nhân một phân số với một số nguyên), ta nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu của phân số đó:

$m . \frac{a}{b} = \frac{m . a}{b}; \frac{a}{b} . n = \frac{a . n}{b}$ với b ≠ 0.

Xem thêm

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 147:

Lý thuyết Phương trình chứa ẩn ở mẫu (mới + Bài Tập) – Toán 8

Giải phương trình : $\frac{2}{x} - 9 = \frac{9}{x} + 12$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Quy đồng khử mẫu chuyến vế tìm x

*Lý thuyết:

1. Điều kiện xác định

Điều kiện xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0.

Điều kiện xác định của phương trình viết tắt là ĐKXĐ.

2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình tìm được.

Bước 4: Kết luận.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức (có đáp án ) - Toán 8

Câu 148:

Chuyên đề Dãy số tự nhiên, dãy số theo quy luật lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Tính tổng S= $2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + . . . . . + 2^{9} + 2^{10}$

Xem đáp án

Lời giải

S= $2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + . . . + 2^{9} + 2^{10}$

2S= $2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + . . . . + 2^{11}$

2S-S= $(2 + 2^{2} + 2^{3} + . . . . + 2^{11}) - (1 + 2^{1} + 2^{2} + . . . . + 2^{10})$

S= $2^{11} - 1$

*Phương pháp giải:

Nhân cả vế với hai

*Lý thuyết:

Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một số chẵn... Vì vậy, nếu:

- Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn.

- Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng số lượng các số lẻ.

- Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số lẻ nhiều hơn các số chẵn là 1 số.

- Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lượng các số chẵn nhiều hơn các số lẻ là 1 số.

a. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lượng các số trong dãy số chính bằng giá trị của số cuối cùng của số ấy.

b. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số 1 thì số lượng các số trong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên.

Xem thêm

50 bài tập Dãy số tự nhiên lớp 4 và cách giải

Câu 149:

Trọn bộ công thức lũy thừa cần nhớ và cách giải các dạng bài tập

Giải $2^{x + 2} + 2^{x} = 40$

Xem đáp án

Lời giải

$2^{x + 2} + 2^{x} = 40 2^{x} \times 2^{2} + 2^{x} = 40 2^{x} (2^{2} + 1) = 40 2^{x} = 8 2^{x} = 2^{3} x = 3$

*Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của luỹ thừa

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau

2. Các loại lũy thừa

Dạng 1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Cho $a \in ℝ$ , $n \in ℕ^{*}$ . Khi đó: $a^{n} = \underset{n s ô a}{\underset{⏟}{a . a ... a}}$

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho $a \neq 0$ . Khi đó: $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}; a^{0} = 1$

- Chú ý: Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

+ $0^{0}$ và $0^{- n}$ không có nghĩa.

Dạng 2. Căn bậc n

- Cho số thực b và số nguyên dương $n \geq 2$ .

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu $a^{n} = b$

+ Tính chất

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Xem thêm

50 bài toán về công thức lũy thừa, logarit và cách giải (có đáp án ) – Toán 12

Câu 150:

Trọn bộ công thức lũy thừa cần nhớ và cách giải các dạng bài tập

Giải phương trình : $2^{x - 1} + 5 . 2^{x + 2} = \frac{7}{32}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của luỹ thừa

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau

2. Các loại lũy thừa

Dạng 1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Cho $a \in ℝ$ , $n \in ℕ^{*}$ . Khi đó: $a^{n} = \underset{n s ô a}{\underset{⏟}{a . a ... a}}$

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho $a \neq 0$ . Khi đó: $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}; a^{0} = 1$

- Chú ý: Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

+ $0^{0}$ và $0^{- n}$ không có nghĩa.

Dạng 2. Căn bậc n

- Cho số thực b và số nguyên dương $n \geq 2$ .

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu $a^{n} = b$

+ Tính chất

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Xem thêm

50 bài toán về công thức lũy thừa, logarit và cách giải (có đáp án ) – Toán 12

Câu 151:

Lý thuyết Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (mới + Bài Tập) – Toán 9

Tính

1, $2 \sqrt{5} - \sqrt{125} - \sqrt{80} + \sqrt{605}$

2, $\sqrt{15 - \sqrt{216}} + \sqrt{33 - 12 \sqrt{6}}$

3, $2 \sqrt{\frac{16}{3}} - 3 \sqrt{\frac{1}{27}} - 6 \sqrt{\frac{4}{75}}$

4, $2 \sqrt{27} - 6 \sqrt{\frac{4}{3}} + \frac{3}{5} \sqrt{75}$

5, ${(\sqrt{2} + 1)}^{3} - {(\sqrt{2} - 1)}^{3}$

Xem đáp án

Lời giải

$1, 2 \sqrt{5} - \sqrt{125} - \sqrt{80} + \sqrt{605} = 2 \sqrt{5} - \sqrt{25.5} - \sqrt{16.5} + \sqrt{121.5} = 2 \sqrt{5} - 5 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 11 \sqrt{5} = 4 \sqrt{5} 2, \sqrt{15 - \sqrt{216}} + \sqrt{33 - 12 \sqrt{6}} = \sqrt{15 - 6 \sqrt{6}} + \sqrt{33 - 12 \sqrt{6}} = \sqrt{9 - 2.3 . \sqrt{6} + 6} + \sqrt{24 - 2.2 \sqrt{6} . 3 + 9} = \sqrt{{(3 - \sqrt{6})}^{2}} + \sqrt{{(2 \sqrt{6} - 3)}^{2}} = |3 - \sqrt{6}| + |2 \sqrt{6} - 3| = 3 - \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} - 3 (d o 3 - \sqrt{6} > 0; 2 \sqrt{6} - 3 > 0) = \sqrt{6}$

$3, 2 \sqrt{\frac{16}{3}} - 3 . \sqrt{\frac{1}{27}} - 6 \sqrt{\frac{4}{75}} = 2 \sqrt{16} . \frac{1}{\sqrt{3}} - 3 . \frac{1}{\sqrt{9.3}} - 6 . \sqrt{\frac{4}{25.3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{12}{5 \sqrt{3}} = \frac{23}{5 \sqrt{3}} = \frac{23 \sqrt{3}}{15} 4, 2 \sqrt{27} - 6 \sqrt{\frac{4}{3}} + \frac{3}{5} . \sqrt{75} = 2 \sqrt{9.3} - 6 . \frac{\sqrt{12}}{3} + \frac{3}{5} . \sqrt{25.3} = 6 \sqrt{3} - 2 . \sqrt{4.3} + 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$

$5, {(\sqrt{2} + 1)}^{3} - {(\sqrt{2} - 1)}^{3} = {(\sqrt{2})}^{3} + 3 . {(\sqrt{2})}^{2} + 3 . \sqrt{2} + 1 - {(\sqrt{2})}^{3} + 3 . {(\sqrt{2})}^{2} - 3 \sqrt{2} + 1 = 3.2 + 1 + 3.2 + 1 = 6 + 1 + 6 + 1 = 14$

*Phương pháp giải:

Đưa về cùng căn thức rồi thực hiện phép cộng trừ nhân chia

*Lý thuyết:

Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

- Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thứa và khai phương thì thứ tự thực hiện: khai căn trước rồi đến lũy thừa, sau đó đến nhân, chia, cộng, trừ.

Xem thêm

50 Bài tập Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức Toán 9 mới nhất

Câu 152:

Bộ 30 Đề thi trắc nghiệm Toán học kì 2 lớp 5

Tìm x biết :20+8(x+3)=25.4

Xem đáp án

Lời giải

20+8(x+3)=100

20+8x+24=100

8x=100-44

x=56:8

x=7

*Phương pháp giải:

Áp dụng các quy tắc phép cộng trừ nhân chia

*Lý thuyết:

Đối với phép cộng: Muốn tìm số hạng chưa biết ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết

Đối với phép trừ:

+ Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng với số trừ

+ Muốn tìm số trừ ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu

Đối với phép nhân: Muốn tìm thừa số chưa biết ta lấy tích chia cho thừa số đã biết

Đối với phép chia:

+ Muốn tìm số bị chia ta thấy thương nhân với số chia

+ Muốn tìm số chia ta thấy số bị chia thương

2. Các dạng

Dạng 1. Cơ bản

Dạng 2. Vế trái là một biểu thức có 2 phép tính

Dạng 3. Vế trái là một biểu thức có 2 phép tính

Dạng 4. Dạng tổng hợp

Dạng 5. Một số bài tập tìm x nâng cao

Xem thêm

Công thức tìm x lớp 5

Câu 153:

Bộ 30 Đề thi trắc nghiệm Toán học kì 2 lớp 5

20 pound hay 40 kilogram nặng hơn?

A : Bằng nhau

B : 20 pound

C : 40 kg

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Lời giải

40 kg nặng hơn20 pound

*Phương pháp giải:

Ta có 1 kg = 2,205 pound

*Lý thuyết:

Pound là một đơn vị đo khối lượng truyền thống của Anh, Mỹ và một số quốc gia khác. Công thức tính khối lượng y (kg) theo x (pound) là: y = 0,45359237x.

Pound hay cân Anh (đọc là pao và viết tắt là lb) là một đơn vị đo khối lượng truyền thống của Anh, Mỹ và một số quốc gia khác. Biết rằng 1 pound xấp xỉ 453,6 g.

Xem thêm

Công thức tìm x lớp 5

Câu 154:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới + Bài Tập) – Toán 8

Tính bằng cách thuận tiện nhất 2008 x 867 + 2009 x133

Xem đáp án

Lời giải

2008 x 867 + 2009 x 133

= 2008 x 867 + (2008 + 1) x 133

= 2008 x 867 + 2008 x 133 + 133

= 2008 x (867 + 133) + 133

= 2008 x 1000 + 133

= 2008000 + 133

= 2008133

*Phương pháp giải:

Tách 2009 thành 2008 +1 để có nhân tử chung đặt ra ngoài thực hiện phép tính

*Lý thuyết:

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8

Câu 155:

Chứng minh rằng 1 số chính phương có số ước là 1 số lẻ

Chứng minh rằng A = $2012^{4 n} + 2013^{4 n} + 2015^{4 n}$ không phải là số chính phương của mọi số nguyên dương n

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng số chính phương

*Lý thuyết

Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên (ví dụ 0, 1, 4, 9, 16, ...).

Xem thêm

Trắc nghiệm Mệnh đề có đáp án – Toán lớp 10

Câu 156:

Lý thuyết So sánh hai số thập phân (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

So sánh tích 2020 ∙ 2020 và tích 2019 ∙ 2021 mà không tính cụ thể giá trị của chúng.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: 2019 ∙ 2021

= 2019 ∙ (2020 + 1)

= 2019 ∙ 2020 + 2019 ∙ 1

Ta lại có: 2020 ∙ 2020

= 2020 ∙ (2019 + 1)

= 2020 ∙ 2019 + 2020 ∙ 1

Vì 2019 < 2020 nên 2019 ∙ 2020 + 2 019 ∙ 1 < 2020 ∙ 2019 + 2020 ∙ 1.

Vậy 2019 ∙ 2021 < 2020 ∙ 2020.

*Phương pháp giải:

Tách đưa về giống nhau rồi so sánh

*Lý thuyết:

1. So sánh các số tự nhiên

a) Trong hai số tự nhiên:

+ Số nào có nhiều chữ số hơn thì số kia lớn hơn. Số nào có ít chữ số hơn thì bé hơn.

b) Nhận xét:

+ Trong dãy số tự nhiên 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; ...số đứng trước bé hơn số đứng sau (chẳng hạn 8 < 9), số đứng sau lớn hơn số đứng trước (chẳng hạn 9 > 8).

+ Trên tia số: Số ở gần 0 hơn là số bé hơn (chẳng hạn:1 < 5; 2 < 5; …), rõ ràng số 0 là số tự nhiên bé nhất: 0 < 1; 0 < 2; …. Số ở xa gốc 0 hơn là số lớn hơn (chẳng hạn 12 > 11; 12 > 10; …).

2. Xếp thứ tự các số tự nhiên

+ Các số tự nhiên có thể so sánh với nhau nên chúng ta có thể sắp xếp thứ tự của các số tự nhiên từ bé đến lớn hoặc từ lớn đến bé.

Xem thêm

Lý thuyết So sánh và sắp xếp thứ tự các số tự nhiên (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 157:

Lý thuyết Số nguyên tố. Hợp số chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

23 chia hết cho mấy?

Xem đáp án

Lời giải

23 chia hết cho 1 và 23

*Phương pháp giải:

Vì 23 là số nguyên tố nên chia hết cho 1 và chính nó

*Lý thuyết:

• Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Số 0 và số 1 không là số nguyên tố và cũng không là hợp số.

Nhận xét: Số nguyên tố nhỏ nhất là số 2 và đó là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Số nguyên tố. Hợp số (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 158:

Thực hiện phép tính. 23.75+25.10+15.13+180

Xem đáp án

Lời giải

$d) 23.75 + 25.10 + 25.13 + 180$

$= 23.75 + 25. (10 + 13) + 180$

$= 23.75 + 25.23 + 180$

$= 23.100 + 180$

$= 2300 + 180$ $= 2480$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 159:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$24 \times 7 = ?$

Xem đáp án

Lời giải

24 $\times$ 7=168

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 160:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$24 \times 18 = ?$

Xem đáp án

Lời giải

$24 \times 18 = 432$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 161:

Tính 243 là 3 mũ mấy ?

Xem đáp án

Lời giải

$243 = 3^{5}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng luỹ thừa của 1 số

*Lý thuyết:

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

aⁿ = a.a.a… a (n thừa số a)

Với a ≠ 0, ta có: a⁰ = 1 và $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

Trong biểu thức a^m ; ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

– Chú ý:

0⁰ và 0^–n không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Xem thêm

50 bài toán về công thức lũy thừa, logarit và cách giải (có đáp án ) – Toán 12

Câu 162:

50 bài tập Dấu hiệu chia hết lớp 4 và cách giải

Chứng minh m.n chia hết cho 5 biết $24 m^{4} + 1 = n^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.

*Lý thuyết:

Dấu hiếu chia hết cho 2: Các số tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2.

Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.

Dấu hiếu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.

Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

Xem thêm

Lý thuyết Quan hệ chia hết. Tính chất chia hết chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 163:

35 Bài tập Đơn vị đo độ dài, khối lượng và diện tích lớp 5 (có đáp án)

$24 m^{3} 13 d m^{3} = . . . m^{3}$

Xem đáp án

Lời giải

$24 m^{3}$ $13 d m^{3} = 24, 013 m^{3}$

$\to$ $13 d m^{3} = \frac{13}{1000} m^{3} = 0, 013 m^{3}$

$\to$ $(24 + 0, 013) m^{3} = 24, 013 m^{3}$

*Phương pháp giải:

Nắm được cách quy đổi 1 m³ = 1 000 dm³

*Lý thuyết:

Mét khối là một đơn vị đo thể tích.

Mét khối viết tắt là m³.

1 m³ là thể tích của hình lập phương có cạnh dài 1 m.

1 m³ = 1 000 dm³

1 m³ = 1 000 000 cm³

Chú ý: 1 l = 1 dm³

Xem thêm

Lý thuyết Viết các số đo độ dài dưới dạng số thập phân (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Câu 164:

Tính nhanh $25 \times 3 \times 32 \times 125 \times 11$

Xem đáp án

Lời giải

$25 \times 3 \times 32 \times 125 \times 11 = (25 \times 32) \times (3 \times 125) \times 11 = 800 \times 375 \times 11 = 300000 \times 11 = 3300000$

*Phương pháp giải:

+Áp dụng tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi:a x b = b x a

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 165:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$25 \times 45$ =?

Xem đáp án

Lời giải

$25 \times 45 = 1125$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 166:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

25 x 7=?

Xem đáp án

Lời giải

25 x 7=175

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 167:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$25 \times 17 = ?$

Xem đáp án

Lời giải

$25 \times 17 = 425$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 168:

Phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất

Giải phương trình $25 - |x| = 1_{4}^{3}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối như:

+ Dùng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối.

*Lý thuyết:

- Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối như:

+ Dùng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối.

+ Bình phương hai vế phương trình đã cho.

+ Đặt ẩn phụ.

$|f (x)| = |g (x)| \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = g (x) \\ f (x) = - g (x) \end{array} |f (x)| = |g (x)| \Leftrightarrow f^{2} (x) = g^{2} (x) |f (x)| = g (x) \Leftrightarrow \{\begin{cases} g (x) \geq 0 \\ f^{2} (x) = g^{2} (x) \end{cases} |f (x)| = g (x) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (x) = g (x) \\ f (x) \geq 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} - f (x) = g (x) \\ f (x) < 0 \end{cases} \end{array}$

Xem thêm

50 Bài tập Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Toán 8 mới nhất

Câu 169:

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 và cách giải bài tập chi tiết nhất

Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:

d, $cot α = \frac{1}{2}$ và $270 ° < α < 360 °$

Xem đáp án

Lời giải

d) Ta có: $cot α = - \frac{1}{2} \Rightarrow tan α = - 2$

Ta lại có: $\frac{1}{{cos}^{2} α} = 1 + \tan^{2} α = 1 + {(- 2)}^{2} = 5$

$\Rightarrow {cos}^{2} α = \frac{1}{5} \Rightarrow cos α = \frac{1}{\sqrt{5}}$ (vì $270 ° < α < 360 °$ )

$\Rightarrow \sin α = \tan α . cos α = - 2. (\frac{1}{\sqrt{5}}) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$ .

Vậy $\sin α = - \frac{2}{\sqrt{5}}, cos α = \frac{1}{\sqrt{5}}, \tan α = - 2$ .

*Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất của giá trị lượng giác đặc biệt, các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác để từ một giá trị lượng giác suy ra các giá trị lượng giác còn lại.

*Lý thuyết:

- Định nghĩa: Cho góc $α$ ( $0^{o} \leq α \leq 180^{o}$ ) bất kì, xác định một điểm $M (x_{0}; y_{0})$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = α$ . Khi đó ta có: $\sin α = y_{0}$ ; $\cos α = x_{0}$ ; $\tan α = \frac{y_{0}}{x_{0}} (x_{0} \neq 0)$ ; $\cot α = \frac{x_{0}}{y_{0}} (y_{0} \neq 0)$ . ( sin, cos, tan, cot là các giá trị lượng giác của góc $α$ )

- Tính chất:

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng $180^{o}$ . Cho góc $α$ ta có:

Hai góc phụ nhau là hai học có tổng bằng $90^{o}$ . Cho góc $α$ ta có:

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 170:

Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn sách – Toán lớp 9 Cánh diều

Giải phương trình : $27 x^{2} (x + 3) - 12 (x^{2} + 3 x) = 0$

Xem đáp án

Lời giải

27x²(x+3)-12(x²+3x)=0

=> 27x²(x+3)-12x(x+3)=0

=> (x+3)(27x²-12x)=0

=> x+3 =0 và 27x²-12x=0

=> x=-3 và x(27x-12)=0

=> x=-3 và x=0 và 27x=12

=> x=-3 và x=0 và x= 4/9

Vậy S={-3;0;4/9}

*Phương pháp giải:

Bước 1. Giải hai phương trình bậc nhất: ax + b = 0 và cx + d = 0.

Bước 2. Kết luận nghiệm: Lấy tất cả các nghiệm của hai phương trình bậc nhất vừa giải được ở Bước 1.

*Lý thuyết:

1. Phương trình tích có dạng (ax + b)(cx + d) = 0 (a ≠ 0, c ≠ 0)

Các bước giải phương trình tích (ax + b)(cx + d) = 0 với a ≠ 0 và c ≠ 0:

Bước 1. Giải hai phương trình bậc nhất: ax + b = 0 và cx + d = 0.

Bước 2. Kết luận nghiệm: Lấy tất cả các nghiệm của hai phương trình bậc nhất vừa giải được ở Bước 1.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

⦁ Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Trong phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 được gọi là điều kiện xác định của phương trình.

⦁ Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai về của phương trình rồi khử mẫu

Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được

Bước 4. Kết luận nghiệm: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở Bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình bậc nhất một ẩnvà cách giải (có đáp án ) - Toán 8

Câu 171:

Tính bằng cách thuận tiện nhất

b) 28 + 62.a ( a.1 - a:1) + 28 .8 + 28

Xem đáp án

Lời giải

b) 28 + 62 x a x ( a x 1 - a: 1 ) + 28 x 8 + 28

= 28 x 1+ 62 x a x 0 + 28 x 8 + 28 x 1

= 28 x 1+ 28 x 8 + 28 x 1

= 28 x ( 1 + 8+ 1)

= 28 x 10 = 280

*Phương pháp giải:

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 172:

Lý thuyết Số nguyên tố. Hợp số chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Chứng minh rằng: Nếu p là một số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 7 cũng là số nguyên tố thì 4p + 7 là một hợp số.

Xem đáp án

Lời giải

Vì p và 2p + 7 đều là số nguyên tố lớn hơn 3 nên cả hai đều không chia hết cho 3.

Giả sử: p chia 3 dư 1, giả sử p = 3k + 1 thì 2p + 7 = 2(3k + 1) + 7 = 6k + 9 ⋮ 3 nên mâu thuẫn

Vậy p chia 3 dư 2, giả sử p = 3k + 2

Khi đó 4p + 7 = 4(3p + 2) + 7 = 12p + 15 ⋮ 3, mà 4p + 7 lớn hơn 3

Vậy 4p + 7 là hợp số.

*Phương pháp giải:

Nắm được lý thuyết hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

*Lý thuyết:

• Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

• Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

Lưu ý:

+ Số 0 và số 1 không là số nguyên tố và cũng không là hợp số.

+ Để chứng tỏ số tự nhiên a lớn hơn 1 là hợp số, ta chỉ cần tìm một ước của a khác 1 và khác a.

Lưu ý: Nếu số nguyên tố p là ước của số tự nhiên a thì p được gọi là ước nguyên tố của a.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Số nguyên tố. Hợp số (Cánh diều) có đáp án - Toán 6

Câu 173:

Công thức lượng giác và cách giải bài tập chi tiết nhất

Biến đổi tích thành tổng :

a) A= 2sin(a+b).cos(a-b)

b) B= 2cos(a+b).cos(a-b)

c) C= 4sin3x.sinx.cosx

Xem đáp án

Lời giải

$a) A = 2 \sin (a + b) \cdot \cos (a - b)$

$A = \sin 2 a + \sin 2 b$

$b) B = 2 \cos (a + b) \cdot \cos (a - b)$

$B = \cos 2 a + \cos 2 b$

$c) C = 4 \sin 3 x \cdot \sin x \cdot \cos x$

$4 \sin 3 x \cdot \cos x \cdot \sin x = 2 \sin 2 x \cdot \sin 3 x$

$= \sin 5 x - \sin x$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng

*Lý thuyết:

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 174:

100 câu trắc nghiệm Phương trình lượng giác nâng cao

Cho 2tan a - cot a = 1 và $\frac{- π}{2}$ < a < 0. Tính tan a + 2cot a

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{- π}{2} < a < 0$

$\Rightarrow t a n a < 0, c o t a < 0$

$2 t a n a - c o t a = 1$

$\Leftrightarrow 2 t a n a - \frac{1}{t a n a} = 1$

$\Leftrightarrow 2 t a n^{2} a - t a n a - 1 = 0$

$\Leftrightarrow t a n a = 1$ (loại) hoặc $t a n a = - 0, 5$ (TM)

$\Rightarrow c o t a = \frac{1}{t a n a} = - 2$

$\Rightarrow t a n a + 2 c o t a = 2. (- 0, 5) - 2.2 = - 5$

*Phương pháp giải:

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này.

Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa.

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at + b = 0 (1)

Trong đó; a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

2. Cách giải

Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã được học để đưa về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác hoặc đưa về phương trình tích để giải phương trình.

II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

1. Định nghĩa.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at² + bt + c = 0

Trong đó a; b; c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

2. Cách giải.

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này.

Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

3. Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức lượng giác đã học để biến đổi đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Xem thêm

Chuyên đề Một số phương trình lượng giác thường gặp và cách giải các dạng bài tập

Câu 175:

Công thức giải phương trình bậc nhất chi tiết nhất

Giải phương trình : 2x + 3 = 10x - 4x - 9

Xem đáp án

Lời giải

$2 x + 3 = 10 x - 4 x - 9$

$\Leftrightarrow$ $10 x - 4 x - 2 x = 3 + 9$

$\Leftrightarrow$ $4 x = 12$

$\Leftrightarrow$ $x = 3$

Vậy $S = {3}$

*Phương pháp giải:

Chuyến vế x sang 1 bên rồi áp dụng giải phương trình bậc 1

*Lý thuyết:

1. Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Hai quy tắc biến đổi phương trình

a) Quy tắc chuyển vế

Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

b) Quy tắc nhân với một số

Trong một phương trình, ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số khác 0.

3. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Bước 1: Chuyển vế ax = −b

Bước 2: Chia hai vế cho a ta được: $x = \frac{- b}{a}$

Bước 3: Kết luận nghiệm: $S = \{\frac{- b}{a}\}$

• Tổng quát: Phương trình ax + b = 0 (với a ≠ 0) được giải như sau:

ax + b = 0 $\Leftrightarrow$ ax = − b $\Leftrightarrow x = \frac{- b}{a}$

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là $x = \frac{- b}{a}$

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải (có đáp án ) - Toán 8

Câu 176:

Công thức tính Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và cách giải các dạng bài tập

Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z - 4 = 0. Tính khoảng cách từ điểm A(2;3;-1) đến mặt phẳng (P)

A. $(d (P)) = \frac{12}{\sqrt{14}}$

B. $(d (P)) = \frac{8}{\sqrt{14}}$

C. $(d (P)) = \frac{1}{\sqrt{14}}$

D. $(d (P)) = \frac{8}{\sqrt{6}}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Lời giải

Ta có:

$d (A, (P)) = \frac{|2 x_{A} + 3 y_{A} + z_{A} - 4|}{\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 1^{2}}} = \frac{|2.2 + 3.3 - 1 - 4|}{\sqrt{14}} = \frac{8}{\sqrt{14}}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng

*Lý thuyết:

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là gì?

- Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M(x’; y’). Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được kí hiệu là d(M; d) và $d (M; d) = \frac{|a x' + b y' + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

- Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.

- Cho hai điểm M(x; y) và N(x’; y’), khoảng cách giữa M và N là: $M N = \sqrt{{(x' - x)}^{2} + {(y' - y)}^{2}}$

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Khoảng cách (có đáp án ) – Toán 11

Câu 177:

TOP 16 câu Trắc nghiệm Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 có đáp án - Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

Cho x, Z và 2x+ 3y chia hết 5.Chứng minh x+4y chia hết cho 5

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: 2x+3y chia hết cho 5

=>3.(2x+3y) chia hết cho 5

=>6x+9x chia hết cho 5

=>6x+9y-5x-5y chia hết cho 5

=>(6x-5x)+(9y-5y) chia hết cho 5

=>x+4y chia hết cho 5

=>ĐPCM

*Phương pháp giải:

Áp dụng dấu hiẹu chia hết cho 5

*Lý thuyết:

1. Dấu hiệu chia hết cho 2

Các số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 (tức là chữ số chẵn) thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.

2. Dấu hiệu chia hết cho 5

Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.

3.. Dấu hiệu chia hết cho 9, cho 3

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.

Chú ý: Các số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 nhưng chia hết cho 3 chưa chắc chia hết cho 9.

Xem thêm

Lý thuyết Dấu hiệu chia hết chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 178:

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và bài tập hay nhất

Tính: $\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Đưa biểu thức trong căn về hằng đẳng thức rồi áp dụng điều kiện và tính chất cơ bản

*Lý thuyết:

+ √A có nghĩa khi A ≥ 0

+ √A ≥ 0 với A ≥ 0

+ √A² =

+

+ √A²= 0 ⇔ A = 0

+ √AB = √A.√B khi A ≥ 0; B ≥ 0

+ √AB = √-A.√-B khi A ≤ 0; B ≤ 0

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Căn bậc hai (có đáp án ) – Toán 9

Câu 179:

50 Bài tập Phương trình chứa ẩn ở mẫu Toán 8 mới nhất

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: $\frac{2 x}{3} - \frac{2}{y} = \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} \frac{2 x}{3} - \frac{2}{y} = \frac{1}{3} \\ \Rightarrow \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{y} \\ \Rightarrow \frac{2 x - 1}{3} = \frac{2}{y} \\ \Rightarrow (2 x - 1) . y = 3.2 = 6 \end{array}$

Do 2x-1 là 1 số lẻ nên ta có các giá trị là:

$\begin{array}{l} [\begin{array}{l} {\begin{cases} 2 x - 1 = - 1 \\ y = - 6 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x = 0 \\ y = - 6 \end{cases} \\ {\begin{cases} 2 x - 1 = - 3 \\ y = - 2 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 2 \end{cases} \\ {\begin{cases} 2 x - 1 = 1 \\ y = 6 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x = 1 \\ y = 6 \end{cases} \\ {\begin{cases} 2 x - 1 = 3 \\ y = 2 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases} \end{array} \\ V a y (x; y) = {(0; - 6); (- 1; - 2); (1; 6); (2; 2)} \end{array}$

*Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình tìm được.

Bước 4: Kết luận.

*Lý thuyết:

1. Điều kiện xác định

Điều kiện xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0.

Điều kiện xác định của phương trình viết tắt là ĐKXĐ.

2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình tìm được.

Bước 4: Kết luận.

Xem thêm

Lý thuyết Phương trình chứa ẩn ở mẫu (mới + Bài Tập) – Toán 8

Câu 180:

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức ( + Bài tập)

Tìm GTNN của biểu thức:

E = 2 $x^{2}$ + 8xy + 11 $y^{2}$ - 4x - 2y + 6

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x, y,..) nếu m thỏa mãn hai điều kiện sau

+ Với mọi x, y,... thỏa mãn điều kiện xác định thì f(x,y,…) $\geq$ m

+ Tồn tại $x_{0}; y_{0} ...$ sao cho $f (x_{0}; y_{0},..) = m$

*Lý thuyết:

Cho biểu thức f(x, y,..)

- M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y,..) nếu M thỏa mãn hai điều kiện sau

+ Với mọi x, y,... thỏa mãn điều kiện xác định thì f(x,y,…) $\leq$ M

+ Tồn tại $x_{0}; y_{0} ...$ sao cho $f (x_{0}; y_{0},..) = M$

- m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x, y,..) nếu m thỏa mãn hai điều kiện sau

+ Với mọi x, y,... thỏa mãn điều kiện xác định thì f(x,y,…) $\geq$ m

+ Tồn tại $x_{0}; y_{0} ...$ sao cho $f (x_{0}; y_{0},..) = m$

Chú ý:

Với hai số a, b cùng dấu a > b $\Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

$a^{2} + m \geq m$ với mọi m

$a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ với mọi a, b.

Xem thêm

50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án ) – Toán 8

Câu 181:

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bài tập và cách giải – Toán 8

Phân tích thành nhân tử: $2 x^{2} + 3 x + 5$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử sau đó sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích.

Chú ý: Đối với các đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ta thường sử dụng cách tách sau để phân tích đa thức thành nhân tử:

+ Cách 1: Tách $b x = b_{1} x + b_{2} x$ sao cho $b_{1} b_{2} = a c$

+ Cách 2: Tách c = $c_{1} + c_{2}$ sao cho $a x^{2} + b x + c_{1} =$ ${(... \pm ...)}^{2}$

*Lý thuyết:

- Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản đã học trong các bài trước:

+ Phương pháp nhân tử chung

+ Phương pháp hằng đẳng thức

+ Phương pháp nhóm hạng tử

- Trong một số bài toán thì chúng ta cần kết hợp linh hoạt cả ba phương pháp cơ bản trên để phân tích đa thức thành nhân tử

- Ngoài ra, để phân tích đa thức thành nhân tử người ta còn sử dụng một số phương pháp khác như:

+ Phương pháp tách hạng tử

+ Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử

+ Phương pháp đặt biến phụ

+ Phương pháp hệ số bất định

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

1. Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

2. Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

3. Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

Xem thêm

50 Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8 mới nhất

Câu 182:

Công thức giải phương trình bậc hai chi tiết nhất

Giải phương trình sau $2 x^{2} - 6 x + 1 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

- Giải và biện luận phương trình bậc hai ${ax}^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ):

+ Với $Δ = b^{2} - 4 a c$

$Δ > 0 \Rightarrow {ax}^{2} + b x + c = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} \\ x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} \end{array} Δ = 0 \Rightarrow {ax}^{2} + b x + c = 0 \Leftrightarrow x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a} Δ < 0 \Rightarrow {ax}^{2} + b x + c = 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset$

*Lý thuyết:

- Phương trình bậc hai có dạng ${ax}^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ )

- Cách giải và biện luận phương trình bậc hai:

+ Với $Δ = b^{2} - 4 a c$

Nếu $Δ > 0$ thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ , $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

Nếu $Δ = 0$ thì phương trình bậc hai có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}$

Nếu $Δ < 0$ thì phương trình bậc hai vô nghiệm.

+ Với $Δ' = b'^{2} - a c$ với $b' = \frac{b}{2}$

Nếu $Δ' > 0$ thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b' + \sqrt{Δ'}}{a}$ , $x_{2} = \frac{- b' - \sqrt{Δ'}}{a}$

Nếu $Δ' = 0$ thì phương trình bậc hai có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = \frac{- b'}{a}$

Nếu $Δ' < 0$ thì phương trình bậc hai vô nghiệm.

- Đối với các phương trình quy về phương trình bậc hai ta có thể dùng các phép biến đổi như nhân đa thức, quy đồng mẫu số, chuyển vế, lấy nhân tử chung … để đưa phương trình đã cho về dạng ${ax}^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ).

Xem thêm

50 bài tập về Các dạng bài tập Phương trình bậc hai một ẩn (có đáp án) - Toán 9

Câu 183:

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (mới + Bài Tập) – Toán 9

Tìm m để hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x - y & = m - 1 \\ 3 x + y & = 4 m + 1 \end{cases}$ có nghiệm (x;y) thoả mãn x+y >1

Xem đáp án

Lời giải

Vì $\frac{2}{3} \neq \frac{- 1}{1} \to$ Hệ phương trình luôn nghiệm duy nhất

Ta có :
$- 2 (2 x - y) + 3 (3 x + y) = - 2 (m - 1) + 3 (4 m + 1)$

$\to 5 (x + y) = 10 m + 5$

$\to x + y = 2 m + 1 > 1 \to m > 0$

*Phương pháp giải:

Chú ý: Với trường hợp $a'; b'; c' \neq 0$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$ ;

*Lý thuyết:

1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$(I) \{\begin{cases} ax + by = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}$

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$(I) \{\begin{cases} ax + by = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}$

Gọi (d) và (d') là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I).

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm.

Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm.

Chú ý: Với trường hợp $a'; b'; c' \neq 0$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$ ;

Hệ phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$ ;

Hệ phương trình vô số nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$ .

Xem thêm

50 bài tập về Hệ phương trình có chứa tham số (có đáp án ) - Toán 9

Câu 184:

50 bài tập về Phương trình bậc nhất hai ẩn và tập nghiệm (có đáp án ) - Toán 9

Tìm các số nguyên x và y biết: 2xy-2x+3y = 13

Xem đáp án

Lời giải

2xy-2x+3y = 13

(2xy-2x)+3y=13

2x(y-1) + 3(y-1)=13-3

(2x+3)(y-1)=10

=1.10

=2.5

=5.2

=10.1

=-1.(-10)

=-2.(-5)

=-5.(-2)

=-10.(-1)

⇒ Ta có 8 trường hợp.

Trường hợp 1: (2x+3)(y-1) = 1.10

⇒ x=-1; y=11

Trường hợp 2: (2x+3)(y-1) = 2.5

⇒ x=-1/2; y=4 (LOẠI)

...( Các trường hợp còn lại bạn tự giải giúp mk được không?)

⇒Ta loại 4 trường hợp thì có 4 đáp án đúng.

Vậy, (x;y) = (-1; 11) ; (4; 1) ; (-2; -11) ; (-4; -3)

*Phương pháp giải:

Cho phương trình bậc nhất hai ẩn x, y: ax + by = c.

Nếu ax₀ + by₀ = c là một khẳng định đúng thì cặp số (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của phương trình ax + by = c.

*Lý thuyết:

1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là phương trình có dạng: ax + by = c

trong đó a, b, c là các số cho trước, $a \neq 0; b \neq 0$ .

- Nếu số thực $x_{0}; y_{0}$ thỏa mãn $a x_{0} + b y_{0} = c$ thì cặp số $(x_{0}; y_{0})$ được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm $(x_{0}; y_{0})$ của phương trình ax + by = c được biểu diễn bởi điểm có tọa độ $(x_{0}; y_{0})$ .

2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by =c luôn có vô số nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình biểu diễn bởi đường thẳng d: ax + by = c

- Nếu $a \neq 0$ và b = 0 thì phương trình có nghiệm $\{\begin{cases} x = \frac{c}{a} \\ y \in ℝ \end{cases}$ và đường thẳng d song song hoặc trùng với trục tung.

- Nếu a = 0 và $b \neq 0$ thì phương trình có nghiệm $\{\begin{cases} x \in ℝ \\ y = \frac{c}{b} \end{cases}$ và đường thẳng d song song hoặc trùng với trục hoành.

- Nếu $a \neq 0; b \neq 0$ thì phương trình có nghiệm $\{\begin{cases} x \in ℝ \\ y = \frac{- a}{b} x + \frac{c}{b} \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} y \in ℝ \\ x = \frac{- b}{a} y + \frac{c}{a} \end{cases}$ khi đó đường thẳng d cắt cả hai trục Ox; Oy. Đường thẳng d là đồ thị hàm số $y = \frac{- a}{b} x + \frac{c}{b}$ .

Xem thêm

Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán lớp 9 Cánh diều

Câu 185:

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

$3^{2} = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$3^{2} = 9$

*Phương pháp giải:

a² cũng được gọi là a bình phương (hay bình phương của a);

a³ cũng được gọi là a lập phương (hay lập phương của a).

*Lý thuyết:

+ Lũy thừa bậc n của số tự nhiên a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

$a^{n} = \underset{n t h ö ø a s o á}{\underset{⏟}{a . a .... a}} (n \in ℕ^{*})$

aⁿ đọc là “a mũ n” hoặc “ a lũy thừa n”, a là cơ số, n là số mũ.

Chú ý: Ta có a¹= a.

a² cũng được gọi là a bình phương (hay bình phương của a);

a³ cũng được gọi là a lập phương (hay lập phương của a).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 186:

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

$3^{3} = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$3^{3} = 27$

*Phương pháp giải:

a² cũng được gọi là a bình phương (hay bình phương của a);

a³ cũng được gọi là a lập phương (hay lập phương của a).

*Lý thuyết:

+ Lũy thừa bậc n của số tự nhiên a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

$a^{n} = \underset{n t h ö ø a s o á}{\underset{⏟}{a . a .... a}} (n \in ℕ^{*})$

aⁿ đọc là “a mũ n” hoặc “ a lũy thừa n”, a là cơ số, n là số mũ.

Chú ý: Ta có a¹= a.

a² cũng được gọi là a bình phương (hay bình phương của a);

a³ cũng được gọi là a lập phương (hay lập phương của a).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 187:

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

$3^{32} = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$3^{32}$ bằng ba hai số ba nhân với nhau

*Phương pháp giải:

a² cũng được gọi là a bình phương (hay bình phương của a);

a³ cũng được gọi là a lập phương (hay lập phương của a).

*Lý thuyết:

+ Lũy thừa bậc n của số tự nhiên a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

$a^{n} = \underset{n t h ö ø a s o á}{\underset{⏟}{a . a .... a}} (n \in ℕ^{*})$

aⁿ đọc là “a mũ n” hoặc “ a lũy thừa n”, a là cơ số, n là số mũ.

Chú ý: Ta có a¹= a.

a² cũng được gọi là a bình phương (hay bình phương của a);

a³ cũng được gọi là a lập phương (hay lập phương của a).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 188:

Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tìm ước chung của 3 số tự nhiên liên tiếp

Xem đáp án

Lời giải

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a; a+1; a+2

ƯCLN(a; a+1; a+2) = 1 vì ba số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng nhau đôi một.

*Phương pháp giải:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất

Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.

*Lý thuyết:

1. Ước chung:

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC.

Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của cả ba số a, b, c.

2. Ước chung lớn nhất:

Số lớn nhất trong các ước chung của hai số a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.

Quy ước: Viết tắt ước chung lớn nhất là ƯCLN.

3. Tìm ước chung của hai số khi biết ƯCLN của hai số đó

Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Ước chung và ước chung lớn nhất (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 189:

Lý thuyết Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải (mới + Bài Tập) – Toán 8

Giải các phương trình sau

a, $3 (x + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (4 x - \frac{2}{3}) = \frac{5}{6}$

b, $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} (x - \frac{3}{2}) - \frac{1}{2} (2 x + 1) = 5$

c, $2 (x - \frac{1}{3}) - 3 (x - 1) = \frac{2}{3} (2 - 3 x)$

Xem đáp án

Lời giải

$a)$

$3 . (x + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} . (4 x - \frac{2}{3}) = \frac{5}{6}$

$\Rightarrow 3 x + \frac{3}{2} - 2 x + \frac{1}{3} - \frac{5}{6} = 0$

$\Rightarrow (3 x - 2 x) + (\frac{3}{2} + \frac{1}{3} - \frac{5}{6}) = 0$

$\Rightarrow x + (\frac{9}{6} + \frac{2}{6} - \frac{5}{6}) = 0$

$\Rightarrow x + 1 = 0$

$\Rightarrow x = - 1$

Vậy, $x = - 1$

$b)$

$\frac{2}{3} - \frac{1}{3} . (x - \frac{3}{2}) - \frac{1}{2} (2 x + 1) = 5$

$\Rightarrow \frac{2}{3} - \frac{1}{3} x + \frac{1}{2} - x - \frac{1}{2} - 5 = 0$

$\Rightarrow (\frac{2}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 5) - (\frac{1}{3} x + x) = 0$

$\Rightarrow (\frac{2}{3} - \frac{15}{3}) - (\frac{1}{3} + 1) x = 0$

$\Rightarrow - \frac{13}{3} - \frac{4}{3} x = 0$

$\Rightarrow \frac{4}{3} x = - \frac{13}{3}$

$\Rightarrow x = - \frac{13}{3} : \frac{4}{3}$

$\Rightarrow x = - \frac{13}{4}$

Vậy, $x = - \frac{13}{4}$

$c)$

$2 . (x - \frac{1}{3}) - 3 . (x - 1) = \frac{2}{3} . (2 - 3 x)$

$\Rightarrow 2 (x - \frac{1}{3}) - 3 (x - 1) - \frac{2}{3} (2 - 3 x) = 0$

$\Rightarrow 2 x - \frac{2}{3} - 3 x + 3 - \frac{4}{3} + 2 x = 0$

$\Rightarrow (2 x - 3 x + 2 x) + (3 - \frac{2}{3} - \frac{4}{3}) = 0$

$\Rightarrow x + (3 - 2) = 0$

$\Rightarrow x + 1 = 0$

$\Rightarrow x = - 1$

Vậy, $x = - 1$

*Phương pháp giải:

Thực hiện nhân đơn thức với đa thức đưa về phương trình bậc nhất một ẩn rồi giải

*Lý thuyết:

1. Phương trình bậc nhất một ẩn

- Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn: Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Hai quy tắc biến đổi phương trình

a) Quy tắc chuyển vế

Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

b) Quy tắc nhân với một số

Trong một phương trình, ta có thể nhân (chia) cả hai vế với cùng một số khác 0.

3. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn có dạng: ax + b = 0

Bước 1: Chuyển vế ax = − b.

Bước 2: Chia hai vế cho a, ta được: x = $\frac{- b}{a}$ .

Bước 3: Kết luận tập nghiệm: S = $\{\frac{- b}{a}\}$ .

Ta có thể trình bày ngắn gọn như sau:

ax + b = 0 $\Leftrightarrow$ ax = −b $\Leftrightarrow$ x = $\frac{- b}{a}$ .

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = $\{\frac{- b}{a}\}$ .

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải (có đáp án ) - Toán 8

Câu 190:

50 Bài tập Nhân đa thức với đa thức Toán 8 mới nhất

Thực hiện phép tính nhân đa thức với đa thức

a) $3 (x - y) (2 x^{2} - 1)$

b) $3 (x^{2} + 1) (x + y^{2})$

c) $- 2 (x^{2 y} - 1) (x - 1)$

Xem đáp án

Lời giải

$a,$

$3 (x - y) (2 x^{2} - 1)$

$= (3 x - 3 y) (2 x^{2} - 1)$

$= 3 x . 2 x^{2} - 3 x - 3 y . 2^{2} + 3 y$

$= 6 x^{3} - 3 x - 6 x^{2} y + 3 y$

$b,$

$3 (x^{2} + 1) (x + y^{2})$

$= (3 x^{2} + 3) (x + y^{2})$

$= 3 x^{2} . x + 3 x^{2} . y^{2} + 3 x + 3 y^{2}$

$= 3 x^{3} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x + 3 y^{2}$

$c,$

$- 2 (x^{2} y - 1) (x - 1)$

$= (- 2 x^{2} y + 2) (x - 1)$

$= - 2 x^{2} y . x + 2 x^{2} y + 2 x - 2$

$= - 2 x^{3} y + 2 x^{2} y + 2 x - 2$

*Phương pháp giải:

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

*Lý thuyết:

1. Nhân đơn thức với đa thức

+ Nhân hai đơn thức như thế nào?

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai phần biến với nhau.

Ví dụ: $(- 3 x^{2} y) (4 x y) = [(- 3.4)] . (x^{2} . x) . (y . y) = - 12. x^{3} . y^{2}$

+ Nhân đơn thức với đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

2. Nhân đa thức với đa thức

+ Nhân hai đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Phép nhân đa thức cũng có các tính chất tương tự phép nhân các số.

+ Giao hoán: A.B = B.A

+ Kết hợp: (A.B).C = A.(B.C)

+ Phân phối của phép nhân đối với phép cộng: (A + B).C = AB + AC

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân đa thức – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Câu 191:

Lý thuyết Nhân một số thập phân với một số tự nhiên (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5 \

$3, 26 \times 5 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$3, 26 \times 5 = 16, 3$

*Phương pháp giải:

Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

*Lý thuyết;

Quy tắc: Muốn nhân một số thập phân với một số tự nhiên ta làm như sau:

- Nhân như nhân các số tự nhiên.

- Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Xem thêm

35 Bài tập Phép nhân số thập phân lớp 5 (có đáp án)

Câu 192:

Tính : $3 \times \frac{17}{2} = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$3 \times \frac{17}{2} = \frac{51}{2}$

*Phương pháp giải:

Muốn nhân hai phân số, ta lấy số đó nhân với tử số ,mẫu số giữ nguyên

*Lý thuyết:

Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Khi đổi chỗ các phân số trong một tích thì tích của chúng không thay đổi.

Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích của phân số thứ hai và phân số thứ ba.

Khi nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân từng phân số của tống với phân số thứ ba rồi cộng các kết quả lại.

Dạng 1: Tìm tích của hai phân số

Phương pháp:

Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Dạng 2: Áp dụng các tính chất của phép nhân để thực hiện phép tính.

Phương pháp:

Khi đổi chỗ các phân số trong một tích thì tích của chúng không thay đổi.

Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích của phân số thứ hai và phân số thứ ba.

Khi nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân từng phân số của tống với phân số thứ ba rồi cộng các kết quả lại.

Dạng 3: So sánh.

Phương pháp:

Bước 1: Tính giá trị của biểu thức ở từng vế

Bước 2: So sánh giá trị của các biểu thức.

Dạng 4: Tìm x.

Phương pháp:

Muốn tìm số bị chia, ta lấy thương nhân với số chia.

Dạng 5: Toán có lời văn.

Phương pháp:

Bước 1: Đọc và tìm hiểu đề bài.

Bước 2: Tìm cách giải.

Bước 3: Trình bày bài giải và kiểm tra kết quả vừa tìm được.

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 193:

Tính tổng A= ( $\frac{3}{1.8}$ + $\frac{3}{8.15}$ + $\frac{3}{15.22}$ +.... $\frac{3}{106.113}$ ) - ( $\frac{25}{50.55}$ + $\frac{25}{55.60}$ +....+ $\frac{25}{95.100}$ )

Xem đáp án

Lời giải

$A = (\frac{3}{1.8} + \frac{3}{8.15} + \frac{3}{15.22} + ... + \frac{3}{106.113}) - (\frac{25}{50.55} + \frac{25}{55.60} + ... + \frac{25}{95.100})$

đặt $B = \frac{3}{1.8} + \frac{3}{8.15} + \frac{3}{15.22} + ... + \frac{3}{106.113}$

$= \frac{3}{7} . (1 - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{15} + \frac{1}{15} - \frac{1}{22} + ... + \frac{1}{106} - \frac{1}{113})$

$= \frac{3}{7} . (1 - \frac{1}{113})$

$= \frac{3}{7} . \frac{112}{113}$

$= \frac{48}{113}$

đặt $C = \frac{25}{50.55} + \frac{25}{55.60} + ... + \frac{25}{95.100}$

$= 5 . (\frac{1}{50} - \frac{1}{55} + \frac{1}{55} - \frac{1}{60} + ... + \frac{1}{95} - \frac{1}{100})$

$= 5 . (\frac{1}{50} - \frac{1}{100})$

$= 5 . \frac{1}{100}$

$= \frac{1}{20}$

từ đó ta có :

$A = B - C$ hay $A = \frac{48}{113} - \frac{1}{20}$

$\Rightarrow$ $A = \frac{847}{2260}$

*Phương pháp giải:

Chia làm 2 biểu thức thực hiện từng biểu thức một

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 194:

Lý thuyết Phép cộng và phép trừ phân thức đại số – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Tính

a)A= $\frac{- 3}{17} + (\frac{2}{3} + \frac{3}{17})$

b)B = $\frac{- 5}{21} + (\frac{16}{21} + 1)$

Xem đáp án

Lời giải

a) A= $\frac{- 3}{17}$ + ( $\frac{2}{3}$ + $\frac{3}{17}$ )

= $\frac{- 3}{17}$ + $\frac{2}{3}$ + $\frac{3}{17}$

= ( $\frac{- 3}{17}$ + $\frac{3}{17}$ )+ $\frac{2}{3}$

= 0 + $\frac{3}{17}$

= $\frac{3}{17}$

b) B= $\frac{- 5}{21}$ + ( $\frac{16}{21}$ + 1 )

= $\frac{- 5}{21}$ + $\frac{16}{21}$ + 1

= $\frac{11}{21}$ + 1

= $\frac{32}{21}$

*Phương pháp giải:

Biểu thức gồm các phép tính cộng, trừ phân thức cũng có thể xem là chỉ gồm các phép cộng phân thức vì trừ một phân thức cũng là cộng với phân thức đối của phân thức đó.

*Lý thuyết:

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức: $\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A + B}{M}$

Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức đó. Ta thường viết tổng dưới dạng rút gọn.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} \frac{x + y}{x y} + \frac{x - y}{x y} = \frac{x + y + x - y}{x y} = \frac{2 x}{x y} = \frac{2}{y} \\ \frac{x}{x + 3} + \frac{2 - x}{x + 3} = \frac{x + 2 - x}{x + 3} = \frac{2}{x + 3} \end{array}$

2. Cộng hai phân thức cùng khác mẫu

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

3. Trừ hai phân thức

Quy tắc:

- Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức, ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.

- Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Chú ý: Cũng như phép trừ phân số, ta có thể chuyển phép trừ phân thức thành phép cộng phân thức như sau: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{- C}{D}$

4. Cộng, trừ nhiều phân thức đại số

Biểu thức gồm các phép tính cộng, trừ phân thức cũng có thể xem là chỉ gồm các phép cộng phân thức vì trừ một phân thức cũng là cộng với phân thức đối của phân thức đó.

Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp:

$\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{C}{D} + \frac{A}{B}; (\frac{A}{B} + \frac{C}{D}) + \frac{E}{F} = \frac{A}{B} + (\frac{C}{D} + \frac{E}{F})$ , trong đó $\frac{A}{B}; \frac{C}{D}; \frac{E}{F}$ là các phân thức bất kì.

Xem thêm

TOP 39 câu Trắc nghiệm Phép cộng và phép trừ phân số có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 195:

Lý thuyết Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải (mới + Bài Tập) – Toán 8

Tìm x: $\frac{3}{2} - 4 (\frac{1}{4} - x) = \frac{2}{3} - 7 x$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{3}{2} - 4 (\frac{1}{4} - x) = \frac{2}{3} - 7 x$

$\Rightarrow 4 (\frac{1}{4} - x) = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} + 7 x$

$\Rightarrow 1 - 4 x = \frac{5}{6} + 7 x$

$\Rightarrow 1 - 4 x - 7 x = \frac{5}{6}$

$\Rightarrow 1 - 11 x = \frac{5}{6}$

$\Rightarrow 11 x = 1 - \frac{5}{6}$

$\Rightarrow 11 x = \frac{1}{6}$

$\Rightarrow x = \frac{1}{6} : 11$

$\Rightarrow x = \frac{1}{66}$

*Phương pháp giải:

Nhân đơn thức với đa thức chuyến chứa biến x sang bên trái không biến x sang bên phải rồi tìm x

*Lý thuyết:

1. Phương trình bậc nhất một ẩn

- Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn: Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Hai quy tắc biến đổi phương trình

a) Quy tắc chuyển vế

Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

b) Quy tắc nhân với một số

Trong một phương trình, ta có thể nhân (chia) cả hai vế với cùng một số khác 0.

3. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn có dạng: ax + b = 0

Bước 1: Chuyển vế ax = − b.

Bước 2: Chia hai vế cho a, ta được: x = $\frac{- b}{a}$ .

Bước 3: Kết luận tập nghiệm: S = $\{\frac{- b}{a}\}$ .

Ta có thể trình bày ngắn gọn như sau:

ax + b = 0 $\Leftrightarrow$ ax = −b $\Leftrightarrow$ x = $\frac{- b}{a}$ .

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = $\{\frac{- b}{a}\}$ .

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải (có đáp án ) - Toán 8

Câu 196:

Lý thuyết Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải (mới + Bài Tập) – Toán 8

Giải phương trình : $\frac{- 3}{2} (\frac{4}{5} - \frac{2}{3}) + x = 4 (x - \frac{1}{2})$

Xem đáp án

Lời giải

-3/2.(4/5-2/3)+x=4.(x-1/2)

-3/2.(2/15+x)=4.(x-1/2)

-3/2.2/15+x=4.x-1/2

(-3/2+4).x=2/15-1/2

5/2.x=-11/30

x=-11/30:5/2

x=-22/150

x=-11/75

*Phương pháp giải:

Nhân đơn thức với đa thức chuyến chứa biến x sang bên trái không biến x sang bên phải rồi tìm x

*Lý thuyết:

1. Phương trình bậc nhất một ẩn

- Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn: Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Hai quy tắc biến đổi phương trình

a) Quy tắc chuyển vế

Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

b) Quy tắc nhân với một số

Trong một phương trình, ta có thể nhân (chia) cả hai vế với cùng một số khác 0.

3. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn có dạng: ax + b = 0

Bước 1: Chuyển vế ax = − b.

Bước 2: Chia hai vế cho a, ta được: x = $\frac{- b}{a}$ .

Bước 3: Kết luận tập nghiệm: S = $\{\frac{- b}{a}\}$ .

Ta có thể trình bày ngắn gọn như sau:

ax + b = 0 $\Leftrightarrow$ ax = −b $\Leftrightarrow$ x = $\frac{- b}{a}$ .

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = $\{\frac{- b}{a}\}$ .

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải (có đáp án ) - Toán 8

Câu 197:

Lý thuyết Phép cộng và phép trừ phân thức đại số – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Tính $\frac{- 3}{31} - \frac{6}{17} = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{- 3}{31} - \frac{6}{17} = \frac{- 237}{527}$

*Phương pháp giải:

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

*Lý thuyết:

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức: $\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A + B}{M}$

Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức đó. Ta thường viết tổng dưới dạng rút gọn.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} \frac{x + y}{x y} + \frac{x - y}{x y} = \frac{x + y + x - y}{x y} = \frac{2 x}{x y} = \frac{2}{y} \\ \frac{x}{x + 3} + \frac{2 - x}{x + 3} = \frac{x + 2 - x}{x + 3} = \frac{2}{x + 3} \end{array}$

2. Cộng hai phân thức cùng khác mẫu

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

3. Trừ hai phân thức

Quy tắc:

- Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức, ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.

- Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Chú ý: Cũng như phép trừ phân số, ta có thể chuyển phép trừ phân thức thành phép cộng phân thức như sau: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{- C}{D}$

4. Cộng, trừ nhiều phân thức đại số

Biểu thức gồm các phép tính cộng, trừ phân thức cũng có thể xem là chỉ gồm các phép cộng phân thức vì trừ một phân thức cũng là cộng với phân thức đối của phân thức đó.

Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp:

$\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{C}{D} + \frac{A}{B}; (\frac{A}{B} + \frac{C}{D}) + \frac{E}{F} = \frac{A}{B} + (\frac{C}{D} + \frac{E}{F})$ , trong đó $\frac{A}{B}; \frac{C}{D}; \frac{E}{F}$ là các phân thức bất kì.

Xem thêm

TOP 39 câu Trắc nghiệm Phép cộng và phép trừ phân số có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 198:

35 Bài tập Đơn vị đo độ dài, khối lượng và diện tích lớp 5 (có đáp án)

$\frac{3}{4} m^{3} = . . . c m^{3}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{3}{4} m^{3} = 750000 c m^{3}$

*Phương pháp giải:

Ta có 1 m³ = 1 000 000 cm³

Tính $\frac{3}{4} \times 1000000$

*Lý thuyết:

Mét khối là một đơn vị đo thể tích.

Mét khối viết tắt là m³.

1 m³ là thể tích của hình lập phương có cạnh dài 1 m.

1 m³ = 1 000 dm³

1 m³ = 1 000 000 cm³

Chú ý: 1 l = 1 dm³

Xem thêm

Lý thuyết Yến, tạ, tấn. Bảng đơn vị đo khối lượng (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 199:

Chuyên đề Tính giá trị biểu thức - Tính nhanh lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Tính tích: $\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \times \frac{15}{16} \times . . . \times \frac{899}{900}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Thực hiện nhân tử với tử mẫu với mẫu

*Lý thuyết:

1. a x b = b x a

2. a x (b x c) = (a x b) x c

3. a x 0 = 0 x a = 0

4. a x 1 = 1 x a = a

5. a x (b + c) = a x b + a x c

6. a x (b – c) = a x b – a x c

7. Trong một tích nếu một thừa số được gấp lên n lần đồng thời có một thừa số khác bị giảm đi n lần thì tích không thay đổi.

8. Trong một tích có một thừa số được gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được gấp lên n lần và ngược lại nếu trong một tích có một thừa số bị giảm đi n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích cũng bị giảm đi n lần. (n > 0)

9. Trong một tích, nếu một thừa số được gấp lên n lần, đồng thời một thừa số được gấp lên m lần thì tích được gấp lên (m x n) lần. Ngược lại nếu trong một tích một thừa số bị giảm đi m lần, một thừa số bị giảm đi n lần thì tích bị giảm đi (m x n) lần. (m và n khác 0)

10. Trong một tích, nếu một thừa số được tăng thêm a đơn vị, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được tăng thêm a lần tích các thừa số còn lại.

11. Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số chẵn thì tích đó chẵn.

12. Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số tròn chục hoặc ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 và có ít nhất một thừa số chẵn thì tích có tận cùng là 0.

13. Trong một tích các thừa số đều lẻ và có ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 thì tích có tận cùng là 5.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 200:

1. Tính

a, $\frac{1}{3} \times \frac{- 6}{13} \times \frac{- 9}{10} \times \frac{- 13}{36}$

b, $\frac{3}{7} \times \frac{9}{26} - \frac{1}{14} \times \frac{1}{13} - \frac{1}{7}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

*Lý thuyết:

Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Khi đổi chỗ các phân số trong một tích thì tích của chúng không thay đổi.

Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích của phân số thứ hai và phân số thứ ba.

Khi nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân từng phân số của tống với phân số thứ ba rồi cộng các kết quả lại.

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 201:

Lý thuyết Lũy thừa (mới+ Bài Tập) – Toán 12

So sánh:

$a) 3^{35} v à 5^{20} b) 37^{8} v à 2^{32} c) 35^{5} v à 6^{10} d) {(- 5)}^{9} v à {(- 2)}^{18} e) 71^{5} v à 7^{20} f) 2^{2^{3}} v à {(2^{2})}^{3}$

Xem đáp án

Lời giải

$a) 3^{35} = {(3^{7})}^{5} = 2187^{5}$
$5^{20} = {(5^{4})}^{5} = 625^{5}$
Vì: $2187 > 625 \Rightarrow 2187^{5} > 625^{5}$
Vậy: $3^{35} > 5^{20}$
$b) 2^{32} = {(2^{4})}^{8} = 16^{8}$
Vì: $37 > 16 \Rightarrow 37^{8} > 16^{8}$
Vậy: $37^{8} > 2^{32}$
$c) 6^{10} = {(6^{2})}^{5} = 36^{5}$
Vì: $35 < 36 \Rightarrow 35^{5} < 36^{5}$
Vậy: $35^{5} < 6^{10}$
$d) {(- 5)}^{9}$ mũ lẻ nên đáp án sẽ là số âm
${(- 2)}^{18}$ mũ chẵn nên đáp án sẽ là số dương
Vì: Số dương luôn lớn hơn số âm
Vậy: ${(- 5)}^{9} < {(- 2)}^{18}$

$e) 7^{20} = {(7^{4})}^{5} = 2401^{5}$
Vì: $71 < 2401 \Rightarrow 71^{5} < 2401^{5}$
Vậy: $71^{5} < 7^{20}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất luỹ thừa để thực hiện so sánh

*Lý thuyết:

Cho a; b là những số thực dương, α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

$\begin{array}{l} a^{α} . a^{β} = a^{α + β} \\ \frac{a^{α}}{a^{β}} = a^{α - β} \\ {(a^{α})}^{β} = a^{α . β} \\ {(a b)}^{α} = a^{α} . b^{α} \\ {(\frac{a}{b})}^{α} = \frac{a^{α}}{b^{α}} \end{array}$

Nếu a > 1 thì $a^{α} > a^{β}$ khi và chỉ khi α > β.

Nếu a < 1 thì $a^{α} > a^{β}$ khi và chỉ khi α < β.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án ) - Toán 12

Câu 202:

Lý thuyết Lũy thừa (mới+ Bài Tập) – Toán 12

30 : (x-7)= $15^{19} \div 15^{18}$

Xem đáp án

Lời giải

$30 : (x - 7) = 15^{19} : 15^{18}$

$30 : (x - 7) = 15^{19 - 18}$

$30 : (x - 7) = 15$

$x - 7 = 30 : 15$

$x - 7 = 2$

$x = 7 + 2 = 9$

Vậy, $x = 9$

*Phương pháp giải;

Áp dụng tính chất luỹ thừa chuyến vế rồi tìm x

*Lý thuyết:

Cho a; b là những số thực dương, α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

$\begin{array}{l} a^{α} . a^{β} = a^{α + β} \\ \frac{a^{α}}{a^{β}} = a^{α - β} \\ {(a^{α})}^{β} = a^{α . β} \\ {(a b)}^{α} = a^{α} . b^{α} \\ {(\frac{a}{b})}^{α} = \frac{a^{α}}{b^{α}} \end{array}$

Nếu a > 1 thì $a^{α} > a^{β}$ khi và chỉ khi α > β.

Nếu a < 1 thì $a^{α} > a^{β}$ khi và chỉ khi α < β.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án ) - Toán 12

Câu 203:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

30 x 397=...

Xem đáp án

Lời giải

30 x 397=11910

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 204:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$30 \times 26 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$30 \times 26 = 780$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 205:

Lý thuyết Nhân một số thập phân với một số tự nhiên (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

$3000 \times 0.01 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$3000 \times 0.01 = 30$

*Phương pháp giải:

Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

*Lý thuyết:

Quy tắc: Muốn nhân một số thập phân với một số tự nhiên ta làm như sau:

- Nhân như nhân các số tự nhiên.

- Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Xem thêm

35 Bài tập Phép nhân số thập phân lớp 5 (có đáp án)

Câu 206:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép nhân, phép chia các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Bạn Minh dùng 30000 đồng để mua bút. Có hai loại bút: bút bi xanh và bút bi đen. Bút bi xanh có giá 2500 đồng một chiếc. Bút bi đen có giá 3500 đồng một chiếc. Bạn Minh sẽ mua được nhiều nhất bao nhiêu chiếc bút nếu:

a. Minh chỉ mua mỗi loại bút bi xanh?

b. Minh chỉ mua mỗi loại bút đi đen?

Xem đáp án

Lời giải

a. Số bút bi xanh bạn Minh mua nhiều nhất là $30000 : 2500 = 12$ (cây)

b. Số bút bi xanh bạn Minh mua nhiều nhất là $30000 : 3500 = 8$ (cây) ( dư $2000$ đồng)

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép chia hết và chia có dư

*Lý thuyết:

1. Phép chia hết

a : b = q $(b \neq 0)$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Ví dụ: 10 : 2 = 5; 30 : 5 = 6

Chú ý:

+ Nếu a : b = q thì q = bq

+ Nếu a : b = q và q $\neq$ 0 thì a : q = b

+ Thông thường, ta đặt tính chia để thực hiện phép chia.

2. Phép chia có dư

Cho hai số tự nhiên a và b với $b \neq 0$ . Khi đó luôn tìm được đúng hai số tự nhiên q và r sao cho a = b . q + r, trong đó $0 \leq r < b$ .

Chú ý:

+ Khi r = 0 ta có phép chia hết.

+ Khi $r \neq 0$ ta có phép chia có dư. Ta nói: a chia cho b được thương là q và số dư là r.

Kí hiệu: a : b = q (dư r)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 207:

Lý thuyết Nhân một số thập phân với một số tự nhiên (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

3075 x 0,03=...

Xem đáp án

Lời giải

3075 x 0,03=92,25

*Phương pháp giải:

Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

*Lý thuyết:

Quy tắc: Muốn nhân một số thập phân với một số tự nhiên ta làm như sau:

- Nhân như nhân các số tự nhiên.

- Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Xem thêm

35 Bài tập Phép nhân số thập phân lớp 5 (có đáp án)

Câu 208:

Tính $\frac{32}{3 \times 7} + \frac{6}{7 \times 41} + \frac{9}{41 \times 10} + \frac{1}{51 \times 10} + \frac{19}{51 \times 14}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{32}{3.7} + \frac{6}{7.41} + \frac{9}{41.10} + \frac{1}{51.10} + \frac{19}{51.14}$

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{5}$ ta được:

$\Rightarrow \frac{1}{5} A = \frac{1}{5} . (\frac{32}{3.7} + \frac{6}{7.41} + \frac{9}{41.10} + \frac{1}{51.10} + \frac{19}{51.14})$

$\Rightarrow \frac{1}{5} A = \frac{32}{3.5 .7} + \frac{6}{5.7 .41} + \frac{9}{5.10 .41} + \frac{1}{5.10 .51} + \frac{19}{5.14 .51}$

$\Rightarrow \frac{1}{5} A = \frac{32}{35.3} + \frac{6}{35.41} + \frac{9}{50.41} + \frac{1}{50.51} + \frac{19}{51.70}$

$\Rightarrow \frac{1}{5} A = \frac{35 - 3}{35.3} + \frac{41 - 35}{35.41} + \frac{50 - 41}{50.41} + \frac{50 - 51}{50.51} + \frac{70 - 51}{51.70}$

$\Rightarrow \frac{1}{5} A = \frac{1}{3} - \frac{1}{35} + \frac{1}{35} - \frac{1}{41} + \frac{1}{41} - \frac{1}{50} + \frac{1}{50} - \frac{1}{51} + \frac{1}{51} - \frac{1}{70}$

$\Rightarrow \frac{1}{5} A = \frac{1}{3} + (\frac{1}{35} - \frac{1}{35}) + (\frac{1}{41} - \frac{1}{41}) + (\frac{1}{50} - \frac{1}{50}) - \frac{1}{70}$

$\Rightarrow \frac{1}{5} A = \frac{1}{3} - \frac{1}{70} + 0$

$\Rightarrow \frac{1}{5} A = \frac{1}{3} - \frac{1}{70}$

$\Rightarrow \frac{1}{5} A = \frac{70}{210} - \frac{3}{210}$

$\Rightarrow \frac{1}{5} A = \frac{67}{210}$

$\Rightarrow A = \frac{67}{210} : \frac{1}{5}$

$\Rightarrow A = \frac{67}{210.5}$

$\Rightarrow A = \frac{67.5}{210}$

$\Rightarrow A = \frac{67.5}{42.5}$

$\Rightarrow A = \frac{67}{42}$

Vậy $A = \frac{67}{42}$

*Phương pháp giải:

Nhân 2 vế với 1/5

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 209:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

320x10=...

Xem đáp án

Lời giải

320x10=3200

*Phương pháp giải

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 210:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$33 \times 365 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$33 \times 365 = 12045$

*Phương pháp giải

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 211:

50 Bài toán về tỉ số phần trăm lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

$35 % c ủ a 80 l à$

Xem đáp án

Lời giải

35% của 80 là 28

*Phương pháp giải:

- Muốn tìm giá trị phần trăm của một số đã cho ta lấy số đó nhân với số phần trăm rồi chia cho 100.

*Lý thuyết:

- Cách tính tỉ số phần trăm của 1 số

Trong toán học, phần trăm là tỷ lệ được hiển thị dưới dạng phân số với mẫu số luôn luôn bằng 100. Ngoài ra, phần trăm còn được biểu diễn ở dạng khác bằng cách dùng ký hiệu % mà bạn thường gặp như 1%, 5%, 10%,… Điều đặc biệt là phần trăm không có đơn vị đo lường.

Bạn sẽ thường thấy rằng phần trăm được dùng để chỉ ra mức độ (hay độ lớn) của một lượng này so với một lượng kia.

Tính phần trăm khi biết tổng thể với a là một số, b là tổng thể, ta tính như sau: (a/b)*100 (%).
Tính phần trăm khi chưa biết tổng thể với a là một số, b là một số, ta tính như sau: a/(a+b))*100 hay b/(a+b))*100 (%).

- Cách tính phần trăm của 2 số

Cách tính phần trăm của 2 số a, b đó chính là lấy số a đem chia số b và nhân cho 100. Chúng ta sẽ ghi ký hiệu phần trăm (%) ở đằng sau kết quả mình nhận được. Cụ thể là:

(a : b) x 100 = a/b x 100 (%)

- Cách tính phần trăm của một tổng

Đây là cách tính phần trăm được dùng nhiều nhất trong tất cả. Khi tính phần trăm 1 tổng, bạn sẽ biết đại lượng này chiếm bao nhiêu phần trong tổng chung.

Cách tính phần trăm A so với tổng (A+B): A/(A+B)*100

- Cách tính phần trăm tăng trưởng so sánh

Một khái niệm vô cùng quen thuộc trong lĩnh vực kinh tế mà bạn đã nghe qua đó là phần trăm tăng trưởng. Vậy phần trăm tăng trưởng là gì? Là mức độ tăng trưởng hay phát triển mà một doanh nghiệp, công ty hay thậm chí là nền kinh tế đó tăng/giảm nhanh/chậm so với những quý/kỳ/năm trước đó.

Công thức để tính phần trăm tăng trưởng: % tăng trưởng=(năm cần tính – năm trước)/năm trước*100

- Cách tính phần trăm hoàn thành công việc

Sẽ có đôi khi ta cũng cần đến cách tính phần trăm để đánh giá mức độ hoàn thành công việc. Giờ đây, công thức này còn được nâng cấp lên để tính tỷ lệ hoàn thành công việc theo dự kiến giúp cho việc hoạch định kế hoạch được tốt hơn,…

Công thức tính phần trăm hoàn thành công việc: (số công việc đã hoàn thành x/ số công việc phải hoàn thành y)*100

- Công thức tìm một số khi biết phần trăm của số đó

Muốn tìm một số khi biết phần trăm của số đó ta lấy số đó chia cho số phần trăm rồi nhân với 100 hoặc lấy giá trị đó nhân với 100 rồi chia cho số phần trăm.

Muốn tìm một số biết b% của số đó là B:

B : b% = B : b x 100

Phương pháp này ngược lại với công thức tính tỷ số phần trăm của một số.

Xem thêm

Lý thuyết Tỉ số phần trăm (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Câu 212:

Lý thuyết Nhân một số thập phân với một số tự nhiên (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

$35 \times 0.2 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$35 \times 0.2 = 7$

*Phương pháp giải:

Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

*Lý thuyết:

Quy tắc: Muốn nhân một số thập phân với một số tự nhiên ta làm như sau:

- Nhân như nhân các số tự nhiên.

- Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Xem thêm

35 Bài tập Phép nhân số thập phân lớp 5 (có đáp án)

Câu 213:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$35 \times 25 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$35 \times 25 = 875$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 214:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$35 \times 35 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$35 \times 35 = 1225$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 215:

50 bài toán về công thức lũy thừa, logarit và cách giải (có đáp án ) – Toán 12

Rút gọn $\frac{36^{10} \times 14 \times \times 126}{35^{5} \times 6}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{36^{10} .14 . 126}{35^{5} . 6}$

$= \frac{36^{10} . 2.7.126}{7^{5} . 5^{5} . 6}$

$= \frac{36^{10} . 2.21}{7^{4} . 5^{5}}$

$= \frac{6^{20} . 2.3.7}{7^{4} . 5^{5}}$

$= \frac{2^{21} . 3^{21}}{7^{3} . 5^{5}}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức :

Với a là cơ số, n là số mũ.

Chú ý: a² còn gọi là a bình phương ( bình phương của a)

a³ còn gọi là a lập phương ( lập phương của a)

Quy ước a¹ = a

*Lý thuyết:

+ Lũy thừa bậc n của số tự nhiên a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

$a^{n} = \underset{n t h ö ø a s o á}{\underset{⏟}{a . a .... a}} (n \in ℕ^{*})$

aⁿ đọc là “a mũ n” hoặc “ a lũy thừa n”, a là cơ số, n là số mũ.

Chú ý: Ta có a¹= a.

a² cũng được gọi là a bình phương (hay bình phương của a);

a³ cũng được gọi là a lập phương (hay lập phương của a).

Xem thêm

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 216:

Lý thuyết Hỗn số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Rút gọn $\frac{37}{43} \times \frac{17}{29} - \frac{21}{41} \times \frac{1}{2} + \frac{9}{58} \div 1 \frac{6}{37} - \frac{6}{29} \div 1 \frac{20}{21}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{37}{43} \times \frac{17}{29} - \frac{21}{41} \times \frac{1}{2} + \frac{9}{58} : 1 \frac{6}{37} - \frac{6}{29} : 1 \frac{20}{21}$

$= \frac{37}{43} \times \frac{17}{29} - \frac{21}{41} \times \frac{1}{2} + \frac{9}{58} : \frac{43}{37} - \frac{6}{29} : \frac{41}{21}$

$= \frac{37}{43} \times \frac{17}{29} - \frac{21}{41} \times \frac{1}{2} + \frac{9}{58} \times \frac{37}{43} - \frac{6}{29} \times \frac{21}{41}$

$= (\frac{17}{29} + \frac{9}{58}) \times \frac{37}{43} - (\frac{1}{2} + \frac{6}{29}) \times \frac{21}{41}$

$= \frac{43}{58} \times \frac{37}{43} - \frac{41}{58} \times \frac{21}{41}$

$= \frac{37}{58} - \frac{21}{58}$

$= \frac{8}{29}$

*Phương pháp giải:

Đưa các hỗn số về phân số rồi thực hiện cộng trừ nhân chia phân số theo thứ tự

*Lý thuyết:

1. Khái niệm phân số thập phân

Các phân số có mẫu số là 10; 100; 1000; .... được gọi là các phân số thập phân.

Ví dụ:

Các phân số ; ... là những phân số thập phân.

2. Chuyển đổi một số phân số không phải là phân số thập phân thành phân số thập phân

– Những phân số mà 10; 100; 1 000; … chia hết cho mẫu số thì có thể viết dưới dạng phân số thập phân.

– Những phân số mà 10; 100; 1 000; … không chia hết cho mẫu số thì không thể viết dưới dạng phân số thập phân.

– Cách viết phân số thành phân số thập phân:

+ Lấy 10; 100; 1000;… chia cho mẫu số.

+Được bao nhiêu ta nhân cả tử số và mẫu số với số đó. Ta được phân số mới là phân số thập phân.

Hoặc:

+ Lấy mẫu số chia cho 10; 100; 1000;…

+Được bao nhiêu ta lấy cả tử số và mẫu số chia cho số đó. Ta được phân số mới là phân số thập phân.

Xem thêm

35 Bài tập Hỗn số lớp 5 (có đáp án)

Câu 217:

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Tính hợp lí :

$a) A = \frac{37}{5} + (- 0, 7) + \frac{5}{2} + (- 4, 3)$

$b) B = \frac{3}{2} . (- \frac{37}{10}) + \frac{17}{2} . (- \frac{37}{10})$

Xem đáp án

Lời giải

$a)$

$A = \frac{37}{5} - \frac{7}{10} + \frac{5}{2} - \frac{43}{10}$

$A = \frac{74}{10} - \frac{7}{10} + \frac{25}{10} - \frac{43}{10}$

$A = \frac{49}{10}$

$b)$

$B = - \frac{37}{10} \cdot (\frac{3}{2} + \frac{17}{2})$

$B = - \frac{37}{10} \cdot \frac{20}{2}$

$B = - \frac{37}{10} \cdot 10$

$B = - 37$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép cộng trừ nhân chia phân số

*Lý thuyết:

Dạng 1: Phép cộng phân số

1. Phương pháp giải

Phép cộng phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Cộng phân số cùng mẫu số: Ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Cộng phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi cộng các phân số đó lại với nhau.

Dạng 2: Phép trừ phân số

1. Phương pháp giải

Phép trừ phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Trừ phân số cùng mẫu số: Ta trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Trừ phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi trừ các phân số đó lại với nhau.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

-Muốn nhân các phân số với nhau, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Dạng 4: Phép chia phân số

1. Phương pháp giải

- Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

- Phân số đảo ngược là phân số đảo ngược tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia phân số – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 218:

Lý thuyết Phép cộng và phép trừ số nguyên chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Cho $(- 17 - 18) (- 9) + 35 (- 9 - 11) = ?$ . Chọn đáp án đúng:

A.520

B.35

C.-520

D.0

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Lời giải

$(- 17 - 18) . (- 9) + 35. (- 9 - 11) = - 20. (- 9) + 35. (- 20) = - 20. (- 9 + 35) = - 20.26 = - 520$

*Phương pháp giải:

Áp dụng cộng trừ nhân chia số nguyên

*Lý thuyết:

1. Cộng hai số nguyên cùng dấu

Quy tắc cộng hai số nguyên âm

Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng phần số tự nhiên của chúng với nhau rồi đặt dấu “-“ trước kết quả.

2. Cộng hai số nguyên khác dấu

Hai số đối nhau:

Hai số nguyên a và b được gọi là đối nhau nếu a và b nằm khác phía với điểm 0 và có cùng khoảng cách đến gốc 0.

Chú ý:

Ta quy ước số đối của 0 là chính nó.

Tổng của hai số đối nhau luôn bằng 0.

Quy tắc cộng hai số nguyên khác dấu:

+ Hai số nguyên đối nhau thì có tổng bằng 0.

+ Muốn cộng hai số nguyên khác dấu (không đối nhau), ta tìm hiệu hai phân số tự nhiên của chúng (số lớn trừ số nhỏ) rồi đặt trước hiệu tìm được dấu của số có phần số tự nhiên lớn hơn.

3. Tính chất của phép cộng

Phép cộng số nguyên có tính chất sau:

+ Giao hoán: a + b = b + a;

+ Kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c).

4. Trừ hai số nguyên

Quy tắc trừ hai số nguyên

Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng số nguyên a với số đối của số nguyên b:

a – b = a + (-b).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 219:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$38 \times 12 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$38 \times 12 = 456$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 220:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tính a . 39 x 8 + 60 x 2 + 21 x 8

Xem đáp án

Lời giải

$a, 39.8 + 60.2 + 21.8$

$= 39.8 + 15.4 .2 + 21.8$

$= 39.8 + 15.8 + 21.8$

$= 8 . (39 + 15 + 21)$

$= 8.75$

$= 600$

*Phương pháp giải:

Áp dụng cộng trừ nhân chia số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

1. Phép chia hết

a : b = q $(b \neq 0)$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

1. Phép cộng hai số tự nhiên

a + b = c

(số hạng) + (số hạng) = (tổng)

2. Tính chất của phép cộng các số tự nhiên

+ Phép cộng các số tự nhiên có các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0.

Tính chất	Phát biểu	Kí hiệu
Giao hoán	Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.	a + b = b + a
Kết hợp	Muốn cộng một tổng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.	(a + b) + c = a + (b + c)
Cộng với số 0	Bất kì số nào cộng với số 0 cũng bằng chính nó.	a + 0 = 0 + a = a

+ Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a + b + c có thể được tính theo một trong hai cách sau: a + b + c = (a + b) + c hoặc a + b + c = a + (b + c).

1. Phép trừ hai số tự nhiên

a – b = c (a $\geq$ b)

(số bị trừ) – (số trừ) = (hiệu)

Xem thêm

Lý thuyết Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 221:

35 Bài tập Đơn vị đo độ dài, khối lượng và diện tích lớp 5 (có đáp án)

Số thích hợp điền vào chỗ chấm 3km 5m = ….. km là

A.3,5

B.3,05

C.3,005

D.3,0005

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Lời giải

3km 5m = 3,005km

*Phương pháp giải:

1km=1000m

*Lý thuyết:

1. Ôn tập bảng đơn vị đo độ dài

Nhận xét: Trong bảng đơn vị đo độ dài, hai đơn vị đo liền nhau hơn (kém) nhau 10 lần, tức là:

- Đơn vị lớn gấp 10 lần đơn vị bé;

- Đơn vị bé bằng $\frac{1}{10}$ đơn vị lớn.

2. Cách viết các số đo độ dài dưới dạng số thập phân

Phương pháp chung:

- Xác định hai đơn vị đo độ dài đã cho là gì và tìm được mối liên hệ giữa chúng.

- Viết số đo độ dài đã cho thành phân số thập phân hoặc hỗn số có phần phân số là phân số thập phân.

- Viết phân số hoặc hỗn số vừa tìm được thành số thập phân gọn nhất.

Xem thêm

Lý thuyết Viết các số đo độ dài dưới dạng số thập phân (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Câu 222:

Trọn bộ công thức lũy thừa cần nhớ và cách giải các dạng bài tập

Thực hiện phép tính: $4^{15} \times 5^{30}$

Xem đáp án

Lời giải

4^15 . 5^30

= 4^15 . 5^15 . 5^15

= 100^15

*Phương pháp giải:

Tách đưa về cùng số mũ rồi nhân cơ số với nhau

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau

2. Các loại lũy thừa

Dạng 1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Cho $a \in ℝ$ , $n \in ℕ^{*}$ . Khi đó: $a^{n} = \underset{n s ô a}{\underset{⏟}{a . a ... a}}$

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho $a \neq 0$ . Khi đó: $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}; a^{0} = 1$

- Chú ý: Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

+ $0^{0}$ và $0^{- n}$ không có nghĩa.

Dạng 2. Căn bậc n

- Cho số thực b và số nguyên dương $n \geq 2$ .

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu $a^{n} = b$

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án ) - Toán 12

Câu 223:

Trọn bộ công thức lũy thừa cần nhớ và cách giải các dạng bài tập

Tính $\frac{4^{6} . 9^{5} + 6^{9} . 120}{8^{4} . 3^{12} - 6^{11}}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{4^{6} . 9^{5} + 6^{9} . 120}{8^{4} . 3^{12} - 6^{11}}$

$= \frac{2^{12} . 3^{10} + 2^{9} . 3^{9} . 2^{3} . 3.5}{2^{12} . 3^{12} - 2^{11} . 3^{11}}$

$= \frac{2^{12} . 3^{10} + 2^{12} . 3^{10} . 5}{2^{11} . 3^{11} . (2.3 - 1)}$

$= \frac{2^{12} . 3^{10} . (1 + 5)}{2^{11} . 3^{11} . 5}$

$= \frac{2^{12} . 3^{10} . 6}{2^{11} . 3^{11} . 5}$

$= \frac{2^{12} . 3^{11} . 2}{2^{11} . 3^{11} . 5}$

$= \frac{2.2}{5}$

$= \frac{4}{5}$

*Phương pháp giải:

Tách đứa về cùng cơ số rồi triệt tiêu với mẫu

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau

2. Các loại lũy thừa

Dạng 1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Cho $a \in ℝ$ , $n \in ℕ^{*}$ . Khi đó: $a^{n} = \underset{n s ô a}{\underset{⏟}{a . a ... a}}$

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho $a \neq 0$ . Khi đó: $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}; a^{0} = 1$

- Chú ý: Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

+ $0^{0}$ và $0^{- n}$ không có nghĩa.

Dạng 2. Căn bậc n

- Cho số thực b và số nguyên dương $n \geq 2$ .

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu $a^{n} = b$

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án ) - Toán 12

Câu 224:

Tính nhanh $4, 2 \times 12, 5 + 0, 6 \times 9, 25 + 7 - 2, 1 \times 1, 75 \times 2$

Xem đáp án

Lời giải

$4, 2 \times 12, 5 + 0, 6 \times 9, 25 \times 7 - 2, 1 \times 1, 75 \times 2_{}$

$= 4, 2 \times 12, 5 + 4, 2 \times 9, 25 - 4, 2 \times 1, 75_{}$

$= 4, 2 \times (12, 5 + 9, 25 - 1, 75)_{}$

$= 4, 2 \times 20_{}$

$= 84_{}$

*Phương pháp giải:

Thực hiện phép nhân để xuất hiện nhân tử chung đặt ra ngoài rồi tính

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 225:

Chuyên đề Tìm X lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Tìm x $\frac{4}{3} + (1, 25 - x) = 2, 25$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{4}{3} + (1, 25 - x) = 2, 25$

$\Rightarrow$ $\frac{5}{4} - x = \frac{9}{4} - \frac{4}{3}$

$\Rightarrow$ $\frac{5}{4} - x = \frac{11}{12}$

$\Rightarrow$ $x = \frac{5}{4} - \frac{11}{12}$

$\Rightarrow$ $x = \frac{1}{3}$

Vậy $x = \frac{1}{3}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép trừ : Số bị trừ - số trừ = hiệu

*Lý thuyết:

Để giải được các bài toán tìm X thì cần các thành phần và kết quả của:

Phép cộng: Số hạng + số hạng – tổng

Phép trừ : Số bị trừ - số trừ = hiệu

Phép nhân : Thừa số × thừa số = tích

Phép chia: Số bị chia : số chia = thương.

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Tập hợp và các phép toán trên tập hợp (Kết nối tri thức ) có đáp án | Toán 10

Câu 226:

Lý thuyết Tổng hợp kiến thức cơ bản (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

$\frac{4}{5}$ dm³ =.................cm³

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{4}{5}$ dm³ =800 cm³

*Phương pháp giải:

4/5 đổi ra là 0,8

dm3 cách nhau cm3 1000 lần

Nên ta lấy 0,8 x 1000 = 800

*Lý thuyết:

Đề-xi-mét khối là một đơn vị đo thể tích.

Đề-xi-mét khối viết tắt là dm³.

1 dm³ là thể tích của hình lập phương có cạnh dài 1 dm.

1 dm³ = 1 000 cm³

Xem thêm

Chuyên đề Số và cấu tạo số (tiếp theo) lớp 3 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Câu 227:

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

40 bằng mấy mũ mấy?

Xem đáp án

Lời giải

$40 = 2^{3} .5$

*Phương pháp giải:

40=8.5

mà 8= $2^{3}$

nên 40= $2^{3} . 5$

*Lý thuyết:

+ Lũy thừa bậc n của số tự nhiên a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

$a^{n} = \underset{n t h ö ø a s o á}{\underset{⏟}{a . a .... a}} (n \in ℕ^{*})$

aⁿ đọc là “a mũ n” hoặc “ a lũy thừa n”, a là cơ số, n là số mũ.

Chú ý: Ta có a¹= a.

a² cũng được gọi là a bình phương (hay bình phương của a);

a³ cũng được gọi là a lập phương (hay lập phương của a).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 228:

35 Bài tập Phép cộng phân số lớp 4 (có đáp án)

$\frac{42}{46} + \frac{250}{186} + \frac{- 2121}{2323} + \frac{- 125125}{143143} =$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Rút gọn phân số về tối giản rồi thực hiện phép cộng phân số

*Lý thuyết:

Muốn cộng hai phân số cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số rồi cộng hai phân số đó.

Dạng 1: Cộng hai phân số có cùng mẫu số

Phương pháp:

Muốn cộng hai phân số cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

Dạng 2: Cộng hai phân số khác mẫu số

Phương pháp:

Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số rồi cộng hai phân số đó.

Trường hợp cộng hai phân số khác mẫu số mà mẫu số của phân số thứ nhất chia hết cho mẫu số của phân số thứ hai thì ta quy đồng phân số thứ hai sau đó thực hiện phép cộng với phân số thứ nhất.

Xem thêm

Lý thuyết Phép cộng phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 229:

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Tính $\frac{43}{20} + \frac{17}{6} \div (\frac{5}{8} + \frac{7}{30})$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{43}{20} + \frac{17}{6} : (\frac{5}{8} + \frac{7}{30})$

$= \frac{43}{20} + \frac{17}{6} : \frac{75 + 28}{120}$

$= \frac{43}{2} + \frac{17}{6} : \frac{103}{120}$

$= \frac{43}{2} + \frac{17}{6} \times \frac{120}{103}$

$= \frac{43}{2} + \frac{340}{103}$

$= \frac{4429 + 10609}{206}$

$= \frac{5109}{206}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép cộng trừ nhân chia phân số

*Lý thuyết:

Dạng 1: Phép cộng phân số

1. Phương pháp giải

Phép cộng phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Cộng phân số cùng mẫu số: Ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Cộng phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi cộng các phân số đó lại với nhau.

Dạng 2: Phép trừ phân số

1. Phương pháp giải

Phép trừ phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Trừ phân số cùng mẫu số: Ta trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Trừ phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi trừ các phân số đó lại với nhau.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

-Muốn nhân các phân số với nhau, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Dạng 4: Phép chia phân số

1. Phương pháp giải

- Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

- Phân số đảo ngược là phân số đảo ngược tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia phân số – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 230:

Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất

a;(44.52.60):(11.13.15)

b;123.456456-456.123123

c,341.67+341.16+659.83

d;(98.7676-9898.76):(2001.2002.2003....2010)

Xem đáp án

Lời giải

a) (44.52.60) : (11.13.15)

= (11 . 4 . 13 . 4 . 15 . 4) : (11 . 13 . 15)

= (4 . 4 . 4) . (11 . 13 . 15) : (11 . 13 . 15)

= 64 . 1

= 64

b) 123 . 456456 - 456 . 123123

= 123 . 1001 . 456 - 456 . 1001 . 123

= 0

c) 341 . 67 + 341 . 16 + 659 . 83

= 341 (67 + 16) + 659 . 83

= 341 . 83 + 659 . 83

= 83 (341 + 659)

= 83 . 1000

= 83 000

d) (98 . 7676 - 9898 . 76) : ( 2001 . 2002 . 2003 .... 2010)

= (98. 101 . 76 - 98 . 101 . 76) : (2001 . 2002 . 2003 ...... 2010)

= 0 : (2001 . 2002 . 2003 ..... 2010)

= 0

*Phương pháp giải:

Tách để xuất hiện nhân tử chia nhau bằng 1

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 231:

Lý thuyết Phép cộng và phép trừ số nguyên chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Tính hợp lí

1) 45-58+(-45)+(+58)-3

2) -29+45-43-45+43+25

Xem đáp án

Lời giải

1)45-58+(-45)+58-3

=45+(-45)-58+58-3

=-3

2)-29+45-43-45+43+25

=+45-45-43+43+25-29

=-4

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép cộng 2 số nguyên trái dấu tổng của chúng luôn bằng 0

*Lý thuyết:

1. Cộng hai số nguyên cùng dấu

Quy tắc cộng hai số nguyên âm

Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng phần số tự nhiên của chúng với nhau rồi đặt dấu “-“ trước kết quả.

2. Cộng hai số nguyên khác dấu

Hai số đối nhau:

Hai số nguyên a và b được gọi là đối nhau nếu a và b nằm khác phía với điểm 0 và có cùng khoảng cách đến gốc 0.

Chú ý:

Ta quy ước số đối của 0 là chính nó.

Tổng của hai số đối nhau luôn bằng 0.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 232:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$45 \times 15 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$45 \times 15 = 675$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 233:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$459 \times 4 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$459 \times 4 = 1836$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 234:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

Tính bằng cách thuận tiện nhất $45 \times 6 + 45 \times 4 - 45 \times 10$

Xem đáp án

Lời giải

45 x 6 + 45 x4 - 45 x 10 = 45 x ( 6 + 4 - 10 )

= 45 x ( 10 - 10 )

= 45 x 0

= 0

*Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung là 45 ra ngoài thực hiện cộng trừ bên trong

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 235:

Lý thuyết Bảng đơn vị đo thời gian(mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

4800 phút bằng bao nhiêu giờ?

Xem đáp án

Lời giải

4800 phút = 80 giờ

*Phương pháp giải:

Ta có 1 giờ = 60 phút

Lấy 4800: 60=80

*Lý thuyết:

1 thế kỉ = 100 năm

1 tuần lễ = 7 ngày

1 năm = 12 tháng

1 ngày = 24 giờ

1 năm = 365 ngày

1 giờ = 60 phút

1 năm nhuận = 366 ngày

1 phút = 60 giây

Cứ 4 năm lại có 1 năm nhuận.

Tháng một, tháng ba, tháng năm, tháng bảy, tháng tám, tháng mười, tháng mười hai có 31 ngày.

Tháng tư, tháng sáu, tháng chín, tháng mười một có 30 ngày.

Tháng hai có 28 ngày (vào năm nhuận có 29 ngày)

Xem thêm

35 Bài tập Bảng đơn vị đo thời gian lớp 5 (có đáp án)

Câu 236:

Lý thuyết Công thức lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức

Biến đổi thành tổng biểu thức sau: 4sin3x.sin2x.cosx

Xem đáp án

Lời giải

$2 \sin^{2} 3 x + 2 \sin 3 x . \sin x$

$=$ $2 \sin^{2} 3 x + 2 . \frac{1}{2} (\cos 2 x - \cos 4 x)$

$=$ $2 \sin^{2} 3 x + \cos 2 x - \cos 4 x$

$=$ $2 . \frac{1 - \cos 6 x}{2} + \cos 2 x - \cos 4 x$

$=$ $1 - \cos 6 x + \cos 2 x - \cos 4 x$

$=$ $\cos 2 x - \cos 6 x - \cos 6 x + 1$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

*Lý thuyết:

1. Công thức cộng

$\begin{array}{l} \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a s i n b \\ s i n (a - b) = \sin a \cos b - \cos a s i n b \\ \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a s i n b \\ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a s i n b \\ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \end{array}$

2. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l} \sin 2 a = 2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a \\ \tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a} \end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}, \cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l} \cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \end{array}$

Xem thêm

Trắc nghiệm Công thức lượng giác có đáp án – Toán lớp 10

Câu 237:

Chuyên đề Tìm X lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

412-x-5x-310=74

Xem đáp án

Lời giải

$4 \times$ ( $\frac{1}{2}$ $- x$ ) $- 5 \times (x$ - $\frac{3}{10}$ ) $=$ $\frac{7}{4}$

$\Leftrightarrow 4 \times$ $\frac{1}{2}$ $- 4 x - 5 x + 5 \times$ $\frac{3}{10}$ $=$ $\frac{7}{4}$

$\Leftrightarrow 2 - 9 x +$ $\frac{3}{2}$ $=$ $\frac{7}{4}$

$\Leftrightarrow - 9 x +$ $\frac{7}{2}$ $=$ $\frac{7}{4}$

$\Leftrightarrow - 9 x =$ $\frac{- 7}{4}$

$\Leftrightarrow x =$ $\frac{7}{36}$

*Phương pháp giải:

Phép cộng: Số hạng + số hạng – tổng

*Lý thuyết:

Để giải được các bài toán tìm X thì cần các thành phần và kết quả của:

Phép cộng: Số hạng + số hạng – tổng

Phép trừ : Số bị trừ - số trừ = hiệu

Phép nhân : Thừa số × thừa số = tích

Phép chia: Số bị chia : số chia = thương.

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Tập hợp và các phép toán trên tập hợp (Kết nối tri thức ) có đáp án | Toán 10

Câu 238:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm + Bài Tập) – Toán 8

Thu gọn về hằng đẳng thức : $4 x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Lời giải

$4 x^{4} - 4 x^{2} + 1$

$= {(2 x^{2})}^{2} - 2.2 x^{2.1} + 1^{2}$

$= {(2 x^{2} - 1)}^{2}$

$\cdot$ Áp dụng : ${(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng : ${(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án ) - Toán 8

Câu 239:

50 bài tập về phân thức đại số (có đáp án ) – Toán 8

$\frac{4 x - 17}{2 x^{2} + 1} = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{4 x - 17}{2 x^{2} + 1} = 0$

$\to 4 x - 17 = 0$ vì $2 x^{2} + 1 > 0$

$\to 4 x - 17 = 0$

$\to 4 x = 17$

$\to x = \frac{17}{4}$

*Phương pháp giải:

Vì mẫu là hàm bậc 2 cộng với 1 số tự nhiên luôn lớn hơn 0 nên để phân thức bằng 0 thì tử phải bằng 0

Tìm x như lớp 4

*Lý thuyết:

1. Phép cộng các phân thức đại số

a) Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức (tương tự như cộng hai phân số cùng mẫu).

b) Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu thức

Bước 1: Quy đồng mẫu thức

Bước 2: Cộng hai phân thức cùng mẫu vừa tìm được.

c) Tính chất của phép cộng

Cho ba phân thức với

+ Tính giao hoán:

+ Tính kết hợp:

+ Cộng với 0: .

2. Phép trừ các phân thức đại số

a) Phân thức đối

- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

- Phân thức là phân thức đối của với và ngược lại phân thức là phân thức đối của phân thức . Ta có: .

Như vậy: và .

b) Quy tắc trừ hai phân thức đại số

Muốn trừ phân thức cho phân thức ta lấy phân thức cộng với phân thức đối của :

với .

3. Phép nhân các phân thức đại số

a) Quy tắc nhân phân thức

Muốn nhân hai phân thức ta nhân tử thức với tử thức và mẫu thức với mẫu thức

Xem thêm

Lý thuyết Phân thức đại số – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Câu 240:

Lý thuyết Phép cộng và phép trừ phân thức đại số – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

$\frac{- 5}{12} + \frac{23}{18} - 2, 25$ =

Xem đáp án

Lời giải

$- \frac{5}{12} + \frac{23}{18} - 2, 25$

$= - \frac{5}{12} + \frac{23}{18} - \frac{9}{4}$

$= \frac{31}{36} - \frac{9}{4}$

$= - \frac{25}{18}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép cộng trừ phân số biểu thức gồm các phép tính cộng, trừ phân thức cũng có thể xem là chỉ gồm các phép cộng phân thức vì trừ một phân thức cũng là cộng với phân thức đối của phân thức đó

*Lý thuyết:

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức: $\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A + B}{M}$

Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức đó. Ta thường viết tổng dưới dạng rút gọn.

2. Cộng hai phân thức cùng khác mẫu

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

3. Trừ hai phân thức

Quy tắc:

- Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức, ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.

- Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Chú ý: Cũng như phép trừ phân số, ta có thể chuyển phép trừ phân thức thành phép cộng phân thức như sau: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{- C}{D}$

4. Cộng, trừ nhiều phân thức đại số

Biểu thức gồm các phép tính cộng, trừ phân thức cũng có thể xem là chỉ gồm các phép cộng phân thức vì trừ một phân thức cũng là cộng với phân thức đối của phân thức đó.

Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp:

$\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{C}{D} + \frac{A}{B}; (\frac{A}{B} + \frac{C}{D}) + \frac{E}{F} = \frac{A}{B} + (\frac{C}{D} + \frac{E}{F})$ , trong đó $\frac{A}{B}; \frac{C}{D}; \frac{E}{F}$ là các phân thức bất kì.

Xem thêm

TOP 39 câu Trắc nghiệm Phép cộng và phép trừ phân số có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 241:

Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tìm nghiệm nguyên của pt:5x^2-y^2+4xy-9=0

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất

Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.

*Lý thuyết:

1. Ước chung:

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC.

Kí hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC(a, b).

Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của cả ba số a, b, c.

2. Ước chung lớn nhất:

Số lớn nhất trong các ước chung của hai số a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.

Quy ước: Viết tắt ước chung lớn nhất là ƯCLN.

Kí hiệu: ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b).

3. Tìm ước chung của hai số khi biết ƯCLN của hai số đó

Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.

Xem thêm

Các phương trình về phương trình bậc hai và cách giải bài tập hay nhất

Câu 242:

Tính hợp lí:

a) 5. 11. 18 + 9. 31. 10 + 4. 29. 45;

b) 37. 39 + 78. 14 + 13. 85 + 52. 55.

Xem đáp án

Lời giải

a) 5. 11. 18 + 9. 31. 10 + 4. 29. 45

= (5. 18). 11 + (9. 10). 31 + (2. 2). 29. 45

= 90. 11 + 90. 31 + (2. 45). (2. 29)

= 90. 11 + 90. 31 + 90. 58

= 90. (11 + 31 + 58)

= 90. 100

= 9 000

b) 37. 39 + 78. 14 + 13. 85 + 52. 55

= 37. 39 + (39. 2). 14 + 13. (5. 17) + (13. 4). (5. 11)

= 37. 39 + 39. (2. 14) + (13. 5). 17 + (13. 5). (4. 11)

= 39. 37 + 39. 28 + 65. 17 + 65. 44

= (39. 37 + 39. 28) + (65. 17 + 65. 44)

= 39. (37 + 28) + 65. (17 + 44)

= 39. 65 + 65. 61

= 65. 39 + 65. 61

= 65. (39 + 61)

= 65. 100

= 6 500

*Phương pháp giải:

Thực hiện tách để xuất hiện nhân tử chung rồi nhóm ra ngoài

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 243:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$5 \times 400 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$5 \times 400 = 2000$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 244:

Chuyên đề Tìm X lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

$\frac{5}{7} \div x = \frac{5}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{5}{7} \div x = \frac{5}{2} x = \frac{5}{7} \div \frac{5}{2} x = \frac{5}{7} \times \frac{2}{5} x = \frac{10}{35}$

$x = \frac{2}{7}$

*Phương pháp giải:

Phép chia: Số bị chia : số chia = thương.

*Lý thuyết:

Để giải được các bài toán tìm X thì cần các thành phần và kết quả của:

Phép cộng: Số hạng + số hạng – tổng

Phép trừ : Số bị trừ - số trừ = hiệu

Phép nhân : Thừa số × thừa số = tích

Phép chia: Số bị chia : số chia = thương.

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Tập hợp và các phép toán trên tập hợp (Kết nối tri thức ) có đáp án | Toán 10

Câu 245:

Lý thuyết Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (mới + Bài Tập) – Toán 9

Rút gọn phép tính: $\frac{5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} - \frac{11}{\sqrt{15} + 2}$

Xem đáp án

Lời giải

5√3 -3√5 / √5 - √3 - 11/√15 +2
= √15(√5-√3)/√5-√3 - 11(√15-2)/11
= √15 - √15 + 2
=2

*Phương pháp giải:

- Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

- Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thứa và khai phương thì thứ tự thực hiện: khai căn trước rồi đến lũy thừa, sau đó đến nhân, chia, cộng, trừ.

*Lý thuyết:

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Nếu a là một số và b là một số không âm thì $\sqrt{a^{2} . b} = | a | \sqrt{b}$ .

Với những căn thức bậc hai mà biểu thức dưới dấu căn có mẫu, ta thường khử mẫu của biểu thức lấy căn (biến đổi căn thức bậc hai đó thành một biểu thức mà trong căn thức không còn mẫu).

3. Trục căn thức ở mẫu

Cách trục căn thức ở mẫu

- Với các biểu thức A, B và B > 0, ta có $\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A \sqrt{B}}{B}$ .

- Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0, A \neq B^{2}$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} + B} = \frac{C (\sqrt{A} - B)}{A - B^{2}}; \frac{C}{\sqrt{A} - B} = \frac{C (\sqrt{A} + B)}{A - B^{2}}$ .

- Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0, B \geq 0, A \neq B$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} - \sqrt{B})}{A - B}; \frac{C}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} + \sqrt{B})}{A - B}$

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Phép đưa thừa số vào trong dấu căn

- Nếu a và b là hai số không âm thì $a \sqrt{b} = \sqrt{a^{2} b}$ .

- Nếu a là số âm và b là số không âm thì $a \sqrt{b} = - \sqrt{a^{2} b}$ .

Xem thêm

50 Bài tập Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức Toán 9 mới nhất

Câu 246:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

500 x 26=...

Xem đáp án

Lời giải

500 x 26=13000

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 247:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

500 x 3=....

Xem đáp án

Lời giải

500 x 3=1500

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 248:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$500 \times 63 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$500 \times 63 = 31500$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 249:

Lý thuyết Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tính nhẩm: 5000 + 1000 =

Xem đáp án

Lời giải

5000+1000=6000

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép cộng 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép cộng hai số tự nhiên

a + b = c

(số hạng) + (số hạng) = (tổng)

2. Tính chất của phép cộng các số tự nhiên

+ Phép cộng các số tự nhiên có các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0.

Tính chất	Phát biểu	Kí hiệu
Giao hoán	Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.	a + b = b + a
Kết hợp	Muốn cộng một tổng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.	(a + b) + c = a + (b + c)
Cộng với số 0	Bất kì số nào cộng với số 0 cũng bằng chính nó.	a + 0 = 0 + a = a

+ Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a + b + c có thể được tính theo một trong hai cách sau: a + b + c = (a + b) + c hoặc a + b + c = a + (b + c).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 250:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$54 \times 5 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$54 \times 5 = 270$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 251:

35 Bài tập Ôn tập phép nhân, phép chia hai phân số lớp 5 (có đáp án)

Tìm số tự nhiên n sao cho: $\frac{121}{27} \times \frac{54}{11} < n < \frac{100}{21} \div \frac{25}{126}$

Xem đáp án

Lời giải

121/27 x 54/11 < N < 100/21 : 25/126

= 22 < N < 24

vậy số lớn hơn 22 nhưng bé hơn 24 là 23

*Phương pháp giải:

đầu tiên tính 121/27 x 54/11 = 6534 / 297 = 22 ( đã rút gọn phân số)

tiếp đó tính 100/21 : 25/126 = 100/21 x 126/25 = 12600/525 = 24 ( đã rút gọn )

còn lại so sánh

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai phân số

– Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử số với nhau và các mẫu số với nhau.

Cho a, b, c, d ∈ ℤ; b≠0; d≠0.

Khi đó phép nhân hai phân số ta có:

2. Tính chất của phép nhân

Cho là các phân số với a, b, c, d, e, f ∈ ℤ; b≠0; d≠0; f≠0.

Khi đó ta có các tính chất của phép nhân như sau:

+ Tính giao hoán:

+ Tính kết hợp:

+ Tính nhân với 1:

+ Tính phân phối giữa phép nhân với phép cộng:

3. Phép chia phân số

a) Phân số nghịch đảo:

Phân số này được gọi là nghịch đảo của phân số kia nếu tích của chúng bằng 1

Cho a, b ∈ ℤ; a, b ≠ 0

Phân số là phân số nghịch đảo của phân số vì

Ví dụ 3:

Phân số là phân số nghịch đảo của phân số vì

b) Phép chia phân số

– Muốn chia một phân số cho một phân số khác 0, ta nhân số bị chia với phân số nghịch đảo của số chia.

với a, b, c, d ∈ ℤ; b≠0; c≠0; d≠0

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia phân số – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 252:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$55 \times 24 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$55 \times 24 = 1320$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 253:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm + Bài Tập) – Toán 8

$56^{2} + 31^{2} - 13^{2} + 56 \times 62$

Xem đáp án

Lời giải

$2) 56^{2} + 31^{2} - 13^{2} + 56.62$

$= (56^{2} + 56.62 + 31^{2}) - 13^{2}$

$= (56^{2} + 2.56.31 + 31^{2}) - 13^{2} (1)$

$= {(56 + 31)}^{2} - 13^{2}$

$= 87^{2} - 13^{2} (2)$

$= (87 - 13) (87 + 13)$

$= 74.100$

$= 7400$

*Phương pháp giải:

Áp dụng HĐT: A² – B² = (A – B)(A + B).

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Xem thêm

200 bài tập về những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 254:

Thực hiện phép tính (hợp lý nếu có thể):

a) 38 + 53 + 62 + 57 + 22

b) 25.15 + 47.95 + 25.38 – 47.70

c) (2³.9³+ 9².45) : (9².15 – 2.9²)

Xem đáp án

Lời giải

a) 38 + 53 + 62 + 57 + 22

= (38 + 62) + (53 + 57) + 22

= 100 + 110 + 22

= 232

b) 25.15 + 47.95 + 25.38 – 47.70

= 25.15 + 25.38 + 47.95 – 47.70

= 25.(15 + 38) + 47.(95 – 70)

= 25.53 + 47.25

= 25.(53 + 47)

= 25.100

= 2500

c) (2³.9³+ 9².45) : (9².15 – 2.9²)

= (2³.9³+ 9².9.5) : [9².(15 – 2)]

= (2³.9³+ 9³.5) : [9².(15 – 2)]

= [9³.(2³+ 5)] : (9².13)

= (9³.13) : (9².13)

= 9

*Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung rồi tính phép tính bên trong

Áp dụng công thức luỹ thừa cộn trừ nhân chia số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 255:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

579 x 26=...

Xem đáp án

Lời giải

579 x 26=15054

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 256:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$58 \times 4 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$58 \times 4 = 232$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 257:

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bài tập và cách giải – Toán 8

Tính $58 \times 75 + 58 \times 50 - 58 \times 25$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có : 58 x 75 + 58 x 50 - 58 x 25

= 58 x ( 75 + 50 - 25 )

= 58 x 100

= 5800

*Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung là 58 ra ngoài rồi thực hiện phép cộng trừ số tự nhiên trong ngoặc

*Lý thuyết:

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8

Câu 258:

Bài tập Phép chia hết và phép chia có dư lớp 3

$58 \div 7 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$58 \div 7 = \frac{58}{7}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép chia có dư

*Lý thuyết:

- Số bị chia = số chia x thương + số dư

- Số chia = (Số bị chia - số dư): thương

- Số dư lớn nhất trong phép chia là số nhỏ hơn số chia 1 đơn vị

- Số dư nhỏ nhất trong phép chia là 1

Lưu ý: Số dư luôn nhỏ hơn số chia

Xem thêm

Chuyên đề Phép chia hết, phép chia có dư lớp 3 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Câu 259:

Tính nhanh : 58x42+32x8+5x16

Xem đáp án

Lời giải

$54 \times 42 + 32 \times 8 + 5 \times 16$

$= 58 \times 42 + 2 \times 16 \times 8 + 5 \times 16$

$= 58 \times 21 \times 2 + 16 \times (2 \times 8 + 5)$

$= 58 \times 21 \times 2 + 16 \times 21$

$= 21 \times (58 \times 2 + 16)$

$= 21 \times (116 + 16)$

$= 21 \times 132$

$= 2772$

*Phương pháp giải:

Phân tích để xuất hiện nhân tử chung là 21 đặt ra ngoài và thực hiện phép tính bên trong

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 260:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (có đáp án ) - Toán 12

Tìm giá trị nhỏ nhất: C=5x2+15x+8

Xem đáp án

Lời giải

$C = 5 x^{2} + 15 x + 8$

$C = 5 (x^{2} + 3 x + \frac{8}{5})$

$C = 5 [x^{2} + 2 . x . \frac{3}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2} - \frac{13}{20}]$

$C = 5 [{(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{13}{20}]$

$C = 5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{13}{4} \geq \frac{- 13}{4}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $x = - \frac{3}{2}$

Vậy Min $C = \frac{- 13}{4}$ $\Leftrightarrow$ $x = - \frac{3}{2}$

*Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(a); f(x₁); f(x₂); …; f(x_n); f(b).

Bước 3: Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: $M = \max_{(a; b)} f (x); m = \min_{(a; b)} f (x)$

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M. Kí hiệu $M = \max_{D} f (x)$

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m. Kí hiệu $m = \min_{D} f (x)$

Chú ý:

- Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) (mà không cho rõ tập hợp D) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó.

- Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

* Các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 1: Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(a); f(x₁); f(x₂); …; f(x_n); f(b).

Bước 3: Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: $M = \max_{(a; b)} f (x); m = \min_{(a; b)} f (x)$

Xem thêm

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Câu 261:

35 Bài tập Quy đồng mẫu số các phân số lớp 4 (có đáp án)

Tính và rút gọn: $\frac{6}{x - 2} - \frac{12}{x (x - 2)} - \frac{7}{x}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{6}{x - 2} - \frac{12}{x (x - 2)} - \frac{7}{x}$

Điều kiện: $x \neq \{0; 2\}$

$\frac{6}{x - 2} - \frac{12}{x (x - 2)} - \frac{7}{x}$

$= \frac{6 x}{x (x - 2)} - \frac{12}{x (x - 2)} - \frac{7 (x - 2)}{x (x - 2)}$

$= \frac{6 x - 12 - 7 x + 14}{x (x - 2)} = \frac{- x + 2}{x (x - 2)}$

$= \frac{- (x - 2)}{x (x - 2)} = - \frac{1}{x}$

*Phương pháp giải:

Thực hiện quy đồng mẫu số và rút gọn

*Lý thuyết:

Khi quy đồng mẫu số hai phân số có thể làm như sau:

Lấy tử số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai.

Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ nhất.

Xem thêm

Lý thuyết Quy đồng mẫu số các phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 262:

35 Bài tập Quy đồng mẫu số các phân số lớp 4 (có đáp án)

Tính nhanh các giá trị của biểu thức sau $\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \times \frac{2}{7} + \frac{1}{7} \times \frac{5}{7}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \times \frac{2}{7} + \frac{1}{7} \times \frac{5}{7}$

$= \frac{1}{6} + \frac{1}{7} \times (\frac{2}{7} + \frac{5}{7})$

$= \frac{1}{6} + \frac{1}{7} \times \frac{7}{7}$

$= \frac{1}{6} + \frac{1}{7} \times 1$

$= \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$

$= \frac{7}{42} + \frac{6}{42}$

$= \frac{13}{42}$

*Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung 1/7 ra ngoài thực hiện phép tính trong ngoặc

Thực hiện quy đồng mẫu số

*Lý thuyết:

Khi quy đồng mẫu số hai phân số có thể làm như sau:

Lấy tử số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai.

Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ nhất.

Xem thêm

Lý thuyết Quy đồng mẫu số các phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 263:

Chuyên đề Phép cộng, phép trừ (tính hợp lí, giải toán có lời văn) lớp 3 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Hãy điền thêm dấu phép tính vào dãy số sau:

6 6 6 6 6

để được biểu thức có giá trị lần lượt bằng : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Xem đáp án

Lời giải

a, Bằng 0 :

( 6 – 6 ) x ( 6 + 6 +6 )

(6 – 6 ) : ( 6 + 6 + 6 ) ...

b, Bằng 1 :

6 + 6 – 66 : 6

6 – ( 66 : 6 – 6 ) ...

c, Bằng 2 :

( 6 + 6 ) : 6 x 6 : 6

( 6 x 6 : 6 + 6 ) : 6

6 : (6 x 6 : ( 6 + 6 )) ...

d, Bằng 3 :

6 : 6 + ( 6 + 6 ) : 6

6 : ( 6 : 6 + 6 : 6 ) ...

e, Bằng 4 :

6 – ( 6 : 6 + 6 : 6 )

(6 + 6 + 6 + 6 ) : 6 ...

g, Bằng 5 :

6 – 6 : 6 x 6 : 6

6 – 6 x 6 : 6: 6 ...

h, Bằng 6 :

66 – 66 + 6

6 : 6 – 6 : 6 + 6

6 x 6 – 6 x 6 + 6

*Phương pháp giải:

Thêm bớt các dấu phù hợp sao cho kết quả bằng đúng đề bài yêu cầu

*Lý thuyết:

- Trong một tổng, khi thay đổi vị trí các số hạng thì tổng không đổi: a + b = b + a.

- Khi cộng ba số hạng ta có thể: a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c

- Một số trừ đi một tổng: a - (b + c) = a - b - c = a - c - b

- Một số trừ đi một hiệu: a - (b - c) = (a - b) + c = (a + c) - b

- Cộng trừ với 0: a + 0 = 0 + a = a

a - 0 = a; a - a = 0

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 264:

Rút gọn phân số $\frac{63}{4}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{63}{4}$ là phân số tối giản không thể rút gọn được nữa

*Phương pháp giải:

+ Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

+ Chia tử số và mẫu số cho số đó.

+ Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

*Lý thuyết:

Dạng 1: Rút gọn phân số

1. Phương pháp giải

+ Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

+ Chia tử số và mẫu số cho số đó.

Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

2. Ví dụ minh họa

Dạng 2: Tìm phân số tối giản

1. Phương pháp giải

Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho một số tự nhiên nào lớn hơn 1, hay phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa.

Xem thêm

Lý thuyết Phân số bằng nhau.Rút gọn phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 265:

$R ú t g ọ n b i ể u t h ứ c : \frac{63}{13}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{63}{13}$ là phân số tối giản

*Phương pháp giải:

+ Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

+ Chia tử số và mẫu số cho số đó.

+ Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

*Lý thuyết:

Dạng 1: Rút gọn phân số

1. Phương pháp giải

+ Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

+ Chia tử số và mẫu số cho số đó.

Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.

2. Ví dụ minh họa

Dạng 2: Tìm phân số tối giản

1. Phương pháp giải

Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho một số tự nhiên nào lớn hơn 1, hay phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa.

Xem thêm

Lý thuyết Phân số bằng nhau.Rút gọn phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 266:

200 bài tập về những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án 2025) và cách giải

Viết biểu thức sau dưới dạng tích 64y ³ - 125x ³

Xem đáp án

Lời giải

$64 y^{3} - 125 x^{3}$

$= (4 y)^{3} - (5 x)^{3}$

$= (4 y - 5 x) [(4 y)^{2} + 4 y .5 x + (5 x)^{2}]$

$= (4 y - 5 x) (16 y^{2} + 20 x y + 25 x^{2})$

*Phương pháp giải:

Áp dụng HĐT : A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

*Lý thuyết:

1. Tổng hai lập phương

Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

Chú ý: A² – AB + B² được gọi là bình phương thiếu của một hiệu.

2. Hiệu hai lập phương

Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Chú ý: A² + AB + B² được gọi là bình phương thiếu của một tổng.

Xem thêm

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo) (năm + Bài Tập) – Toán 8

Câu 267:

Tính giá trị biểu thức $67 \times 36 + 67 \times 65 - 67$

Xem đáp án

Lời giải

$67.36 + 67.65 - 67$

$= 67.36 + 67.65 - 67 .1$

$= 67 . (36 + 65 - 1)$

$= 67.100$

$= 6700$

*Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung là 67 đặt ra ngoài và thực hiện phép tính bên trong

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 268:

50 bài tập Diện tích, Đơn vị đo diện tích lớp 4 và cách giải

5dam² 4m² = ...dam²

Xem đáp án

Lời giải

5dam² 4m² = 504 dam²

*Phương pháp giải:

Áp dụng bảng quy đổi diện tích

*Lý thuyết:

Các đơn vị đo diện tích đã học là: xăng-ti-mét vuông, đề-xi-mét vuông, mét vuông, ki-lô-mét vuông.

1km² = 1 000 000m²

1m² = 100dm² = 10 000cm²

1dm² = 100cm²

Ngoài ra, còn có các đơn vị: đề-ca-mét vuông, héc-to-mét vuông, mili mét vuông

1km² = 100hm² = 10000dam²

1hm² = 100dam²

1dam² = 100m²

1cm² = 100mm²

Xem thêm

35 Bài tập Đề-xi-mét vuông. Mét vuông lớp 4 (có đáp án)

Câu 269:

35 Bài tập Yến, tạ, tấn - Bảng đơn vị đo khối lượng lớp 4 (có lời giải)

6kg7hg + 1200g = ... dag

Xem đáp án

Lời giải

Ta có :

$1 k g = 100 d a g$

$1 h g = 10 d a g$

$1 g = \frac{1}{10} = 0, 1 d a g$

$6 k g = 100 \times 6 = 600 d a g$

$7 h g = 10 \times 7 = 70 d a g$

$1200 = 1200 \times \frac{1}{10} = 120 d a g$

Từ đó , ta có :

$6 k g 7 h g + 1200 g = 600 d a g + 70 d a g + 120 d a g = 790 d a g$

Vậy $6 k g 7 h g + 1200 g = 790 d a g$

*Phương pháp giải:

+ Khi thực hiện phép tính cộng hoặc trừ các khối lượng có kèm theo các đơn vị đo giống nhau, ta thực hiện tương tự như các phép tính với số tự nhiên, sau đó thêm đơn vị đo khối lượng vào kết quả.

+ Khi thực hiện phép tính có kèm theo các đơn vị đo khác nhau, trước hết ta phải đổi về cùng 1 đơn vị đo sau đó thực hiện tính bình thường.

+ Khi nhân hoặc chia một đơn vị đo khối lượng với một số, ta nhân hoặc chia số đó với một số như cách thông thường, sau đó thêm đơn vị đo khối lượng vào kết quả.

*Lý thuyết:

1. Yến, tạ, tấn

+ Để đo khối lượng các vật nặng hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn ki-lô-gam, người ta còn dùng những đơn vị: yến, tạ, tấn

+ Đổi đơn vị đo:

1 yến = 10kg;

1 tạ = 10 yến;

1 tạ = 100kg;

1 tấn = 10 tạ

1 tấn = 1000kg

2. Đề-ca-gam; Héc-tô-gam

+ Để đo khối lượng các vật nặng hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn gam, người ta còn dùng những đơn vị: đề-ca-gam, héc-tô-gam.

+ Đề-ca-gam viết tắt là dag. Héc-tô-gam viết tắt là hg.

+ Đổi đơn vị đo:

1dag = 10g; 1hg = 10dag; 1hg = 100g

3. Bảng đơn vị đo khối lượng

* Nhận xét: Mỗi đơn vị đo khối lượng đều gấp 10 lần đơn vị bé hơn, liền nó.

Xem thêm

Lý thuyết Yến, tạ, tấn. Bảng đơn vị đo khối lượng (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 270:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $6 x^{4} + x^{3} + 19 x^{2} - 31 x - 30$

Xem đáp án

Lời giải

$6 x^{4} + x^{3} + 19 x^{2} - 31 x - 30$

$= 6 x^{4} + 10 x ³ + 34 x ² + 20 x - 9 x ³ - 15 x ² - 51 x - 30$

$= 2 (3 x^{4} + 5 x ³ + 17 x ² + 10 x) - 3 (3 x ³ + 5 x ² + 17 x + 10)$

$= 2 x (3 x ³ + 5 x ² + 17 x + 10) - 3 (3 x ³ + 5 x ² + 17 x + 10)$

$= (2 x - 3) (3 x ³ + 5 x ² + 17 x + 10)$

$= (2 x - 3) (3 x ³ + 2 x ² + 3 x ² + 2 x + 15 x + 10)$

$= (2 x - 3) [x ² (3 x + 2) + x (3 x + 2) + 5 (3 x + 2)]$

$= (2 x - 3) (3 x + 2) (x ² + x + 5)$

*Phương pháp giải:

Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

*Lý thuyết:

Phân tích đa thức thành nhân tử:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung:

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm nhân tử:

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8

Câu 271:

35 Bài tập Bảng đơn vị đo thời gian lớp 5 (có đáp án)

7 phút bằng bao nhiêu giây?

Xem đáp án

Lời giải

7 phút =60.7=420 giây

*Phương pháp giải:

Vì 1 phút = 60 giây nên 7 phút thì lấy 7 nhân 60

*Lý thuyết:

1 thế kỉ = 100 năm

1 tuần lễ = 7 ngày

1 năm = 12 tháng

1 ngày = 24 giờ

1 năm = 365 ngày

1 giờ = 60 phút

1 năm nhuận = 366 ngày

1 phút = 60 giây

Cứ 4 năm lại có 1 năm nhuận.

Tháng một, tháng ba, tháng năm, tháng bảy, tháng tám, tháng mười, tháng mười hai có 31 ngày.

Tháng tư, tháng sáu, tháng chín, tháng mười một có 30 ngày.

Tháng hai có 28 ngày (vào năm nhuận có 29 ngày)

Xem thêm

Lý thuyết Bảng đơn vị đo thời gian(mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Câu 272:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$7 \times 3 \times 3 \times 3 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$7 \times 3 \times 3 \times 3 = 189$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 273:

Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán lớp 9 Cánh diều

Tìm x,y tự nhiên biết $7 {(x - 2004)}^{2} = 23 - y^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

$7 {(x - 2004)}^{2} = 23 - y^{2}$

$7 {(x - 2004)}^{2} = 23 - y^{2} \geq 0 \Leftrightarrow y^{2} \leq 23$

Mà $y \in ℕ \Leftrightarrow y \in {0; 1; 2; 3; 4}$

$+$ Với $y = 0 \Rightarrow 7 {(x - 2004)}^{2} = 23$ (loại)

$+$ Với $y = 1 \Rightarrow 7 {(x - 2004)}^{2} = 22 \Rightarrow {(x - 2004)}^{2} = \frac{22}{7}$ (loại)

$+$ Với $y = 2 \Rightarrow 7 {(x - 2004)}^{2} = 19 \Rightarrow {(x - 2004)}^{2} = \frac{19}{7}$ (loại)

$+$ Với $y = 3 \Rightarrow 7 {(x - 2004)}^{2} = 14 \Rightarrow {(x - 2004)}^{2} = 2$ (loại)

$+$ Với $y = 4 \Rightarrow 7 {(x - 2004)}^{2} = 7 \Rightarrow$ $[\begin{array}{l} x - 2004 = 1 \\ x - 2004 = - 1 \end{array}$

$\Rightarrow$ $[\begin{array}{l} x = 2005 \\ x = 2003 \end{array}$

Vậy $y = 4$ và $x \in {2005; 2003}$

*Phương pháp giải:

Vì $7 {(x - 2004)}^{2}$ luôn lớn hơn bằng 0 nên 23- $y^{2}$ luôn lớn hơn bằng 0

Tìm được y thay vào biểu thức ban đầu tìm x

*Lý thuyết:

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

– Khái niệm: Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là những số cho trước, a ≠ 0 hoặc b ≠ 0.

– Khái niệm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn:

Cho phương trình bậc nhất hai ẩn x, y: ax + by = c.

Nếu ax₀ + by₀ = c là một khẳng định đúng thì cặp số (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của phương trình ax + by = c.

Chú ý:

⦁ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình ax + by = c được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm (x₀; y₀) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (x₀; y₀).

⦁ Ta cũng áp dụng được quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân đã biết ở phương trình bậc nhất một ẩn để biến đổi phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nhận xét:

⦁ Mỗi nghiệm của phương trình ax + 0y = c hay ax = c với a ≠ 0, được biểu diễn bởi một điểm có tọa độ $(\frac{c}{a}; y_{0})$ (y₀ ∈ ℝ) nằm trên đường thẳng $d_{1} : x = \frac{c}{a} .$ Đường thẳng d₁ là đường thẳng đi qua điểm $\frac{c}{a}$ trên trục Ox và vuông góc với trục Ox (Hình vẽ):

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

– Khái niệm: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\{\begin{cases} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{cases} (I),$ ở đó mỗi phương trình ax + by = c và a’x + b’y = c’ đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.

– Khái niệm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Nếu cặp số (x₀; y₀) là nghiệm của từng phương trình trong hệ (I) thì cặp số (x₀; y₀) được gọi là nghiệm của hệ (I).

– Khái niệm giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án ) – Toán 9

Câu 274:

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Tính

$a . \frac{7}{12} + \frac{3}{4} \times \frac{2}{9} b . \frac{8}{9} - \frac{4}{15} : \frac{2}{5}$

Xem đáp án

Lời giải

$a . \frac{7}{12} + \frac{3}{4} \times \frac{2}{9} = \frac{3}{4} b . \frac{8}{9} - \frac{4}{15} : \frac{2}{5} = \frac{2}{9}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép cộng trừ nhân chia phân số

*Lý thuyết:

Dạng 1: Phép cộng phân số

1. Phương pháp giải

Phép cộng phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Cộng phân số cùng mẫu số: Ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Cộng phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi cộng các phân số đó lại với nhau.

Dạng 2: Phép trừ phân số

1. Phương pháp giải

Phép trừ phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Trừ phân số cùng mẫu số: Ta trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Trừ phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi trừ các phân số đó lại với nhau.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

-Muốn nhân các phân số với nhau, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Dạng 4: Phép chia phân số

1. Phương pháp giải

- Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

- Phân số đảo ngược là phân số đảo ngược tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.

Xem thêm

Lý thuyết Phép cộng. Phép trừ phân số đơn giản – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 275:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

700:5=...

Xem đáp án

Lời giải

700:25=28

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép chia 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

Phép chia hết

a : b = q $(b \neq 0)$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Ví dụ: 10 : 2 = 5; 30 : 5 = 6

Chú ý:

+ Nếu a : b = q thì q = bq

+ Nếu a : b = q và q $\neq$ 0 thì a : q = b

+ Thông thường, ta đặt tính chia để thực hiện phép chia.

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 276:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

Điền đáp án đúng vào ô trống:

70000 : 100 = ..............

Xem đáp án

Lời giải

70000:100=700

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép chia 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

Phép chia hết

a : b = q $(b \neq 0)$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Ví dụ: 10 : 2 = 5; 30 : 5 = 6

Chú ý:

+ Nếu a : b = q thì q = bq

+ Nếu a : b = q và q $\neq$ 0 thì a : q = b

+ Thông thường, ta đặt tính chia để thực hiện phép chia.

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 277:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

Điền đáp án đúng vào ô trống:

$76 \times 36 = . . . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$76 \times 36 = 2736$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 278:

35 Bài tập Bảng đơn vị đo thời gian lớp 5 (có đáp án)

8 giờ 3 phút 5 giây - 0,15 ngày=

Xem đáp án

Lời giải

$1$ ngày = $24$ giờ

$0, 15$ ngày = $0, 15 \times 24 = 3, 6$ giờ

$8$ giờ $3$ phút $5$ giây - $3, 6$ giờ

$= 8$ giờ $3$ phút $5$ giây - $3$ giờ $36$ phút

$= 4$ giờ $26$ phút $55$ giây

*Phương pháp giải:

$1$ ngày = $24$ giờ

$0, 15$ ngày = $0, 15 \times 24 = 3, 6$ giờ

*Lý thuyết:

1 thế kỉ = 100 năm

1 tuần lễ = 7 ngày

1 năm = 12 tháng

1 ngày = 24 giờ

1 năm = 365 ngày

1 giờ = 60 phút

1 năm nhuận = 366 ngày

1 phút = 60 giây

Cứ 4 năm lại có 1 năm nhuận.

Tháng một, tháng ba, tháng năm, tháng bảy, tháng tám, tháng mười, tháng mười hai có 31 ngày.

Tháng tư, tháng sáu, tháng chín, tháng mười một có 30 ngày.

Tháng hai có 28 ngày (vào năm nhuận có 29 ngày)

Xem thêm

Lý thuyết Bảng đơn vị đo thời gian(mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Câu 279:

Trọn bộ công thức lũy thừa cần nhớ và cách giải các dạng bài tập

Tính $A = \frac{8^{10} + 4^{10}}{8^{4} + 4^{11}}$

Xem đáp án

Lời giải

$A = \frac{8^{10} + 4^{10}}{8^{4} + 4^{11}}$

$\Rightarrow A = \frac{{(2^{3})}^{10} + {(2^{2})}^{10}}{{(2^{3})}^{4} + {(2^{2})}^{11}}$

$\Rightarrow A = \frac{2^{30} + 2^{20}}{2^{12} + 2^{22}}$

$\Rightarrow A = \frac{2^{20} . (1 + 2^{10})}{2^{12} . (1 + 2^{10})}$

$\Rightarrow A = \frac{2^{20}}{2^{12}}$

$\Rightarrow A = 2^{8} = 256$

*Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất luỹ thừa

*Lý thuyết:

Cho 2 số dương a, b; $m, n \in ℝ$ . Khi đó:

Xem thêm

50 bài toán về công thức lũy thừa, logarit (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 280:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$8 \times 17 = . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$8 \times 17 = 136$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 281:

Trọn bộ công thức lũy thừa cần nhớ và cách giải các dạng bài tập

Tính $\frac{8^{2} + 3 . 4^{2} + 128}{2^{5}}$

Xem đáp án

Lời giải

$d) \frac{8^{2} + 3 . 4^{2} + 128}{2^{5}}$

$= \frac{{(2^{3})}^{2} + 3 . {(2^{2})}^{2} + 2^{7}}{2^{5}}$

$= \frac{2^{6} + {3.2}^{4} + 2^{7}}{2^{5}}$

$= \frac{2^{2} (2^{4} + {3.2}^{2} + 2^{5})}{2^{5}}$

$= \frac{2^{4} + 3 . 2^{2} + 2^{5}}{2^{3}}$

$= \frac{16 + 3.4 + 32}{8}$

$= \frac{16 + 12 + 32}{8}$

$= \frac{60}{8} = \frac{15}{2}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất luỹ thừa

*Lý thuyết:

Cho 2 số dương a, b; $m, n \in ℝ$ . Khi đó:

Xem thêm

50 bài toán về công thức lũy thừa, logarit (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 282:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

Điền vào chỗ trống $800 \times 45 = . . . . . . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$800 \times 45 = 36000$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 283:

Lý thuyết Tỉ số phần trăm (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

$800 \times 6 % = . . . .$

Xem đáp án

Lời giải

$800 \times 6 % = 48$

*Phương pháp giải:

6%= $\frac{6}{100}$ lấy 800 $\times \frac{6}{100}$

*Lý thuyết:

$\frac{1}{100}$ có thể viết dưới dạng là 1% , hay $\frac{1}{100} = 1 %$ .

$\frac{15}{100}$ có thể viết dưới dạng là 15% , hay $\frac{15}{100} = 15 %$ ; ….

Tổng quát lại $\frac{a}{100}$ có thể viết dưới dạng là a%, hay $\frac{a}{100} = a %$ .

%: Kí hiệu phần trăm

Xem thêm

50 Bài toán về tỉ số phần trăm lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 284:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

$8000 \times 1000$ =....

Xem đáp án

Lời giải

$8000 \times 1000 = 8000000$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 285:

Lý thuyết Trừ hai số thập phân (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

$81, 92 - 38, 56 = . . . . .$

Xem đáp án

Lời giải

81,92-38,56=43,36

*Phương pháp giải:

Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.

*Lý thuyết:

Quy tắc: Muốn trừ một số thập phân cho một số thập phân ta làm như sau:

- Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.

- Trừ như trừ các số tự nhiên.

- Viết dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với các dấu phẩy của số bị trừ và số trừ.

Chú ý: Nếu số chữ số ở phần thập phân của số bị trừ ít hơn số chữ số ở phần thập phân của số trừ thì ta có thể viết thêm một số thích hợp chữ số $0$ vào bên phải phần thập phân của số bị trừ rồi trừ như trừ các số tự nhiên.

Xem thêm

35 Bài tập Phép cộng, phép trừ số thập phân lớp 5 (có đáp án)

Câu 286:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

Tìm x biết

a, 890 : x = 35 dư 15

b, 648 - 34 . x = 444

c, 1482 : x + 23 = 80

Xem đáp án

Lời giải

a, 890 : x = 35 dư 15

x = ( 890 - 15 ) : 35

x = 25

b, 648 - 34 × X = 444

34 × X = 648 - 444

34 × X = 204

X = 204 : 34

X = 6

c, 1428 : x + 23 = 80

1428 : x = 80 - 23

1428 : x = 57

x = 1428 : 57

x = 25 ( dư 3 )

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức a = b . q + r để tìm x

*Lý thuyết:

Phép chia có dư

Cho hai số tự nhiên a và b với $b \neq 0$ . Khi đó luôn tìm được đúng hai số tự nhiên q và r sao cho a = b . q + r, trong đó $0 \leq r < b$ .

Chú ý:

+ Khi r = 0 ta có phép chia hết.

+ Khi $r \neq 0$ ta có phép chia có dư. Ta nói: a chia cho b được thương là q và số dư là r.

Kí hiệu: a : b = q (dư r)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 287:

50 bài toán về phương trình mũ (có đáp án 2025) và cách giải

Nghiệm của phương trình 9^{2x + 1} = 27^{x – 3} là:

A.-9

B.11

C.9

D.-11

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Lời giải

Ta có: 9^{2x + 1} = 27^{x – 3}

⇔ 3^{2(2x + 1)} = 3^{3(x – 3)}

⇔ 2(2x + 1) = 3(x – 3)

⇔ x = – 11.

Vậy phương trình có nghiệm là x = –11.

*Phương pháp giải:

Biến đổi, quy về cùng cơ số: $a^{f (x)} = a^{g (x)} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 & < a k h á c 1 \\ f (x) & = g (x) \end{cases}$

*Lý thuyết:

a. Phương trình mũ cơ bản: $a^{x} = b (a > 0, a \neq 1)$ .

* Với b >0, ta có $a^{x} = b \Leftrightarrow x = \log_{a} b$

* Với $b \leq 0$ , phương trình vô nghiệm.

b. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản.

+ Biến đổi, quy về cùng cơ số:

Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích:

Đặt ẩn phụ đưa không hoàn toàn: là việc dùng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một một phương trình với một ẩn phụ mà hệ số vẫn còn ẩn rồi đưa về tích.

Xem thêm

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit (năm + Bài Tập) – Toán 12

Câu 288:

50 bài toán về phương trình mũ (có đáp án 2025) và cách giải

Tìm x biết 9^{x – 1} = 9.

Xem đáp án

Lời giải

9^{x – 1} = 9

⇔ 9^{x – 1} = 9¹

⇔ x – 1 = 1

⇔ x = 2

Vậy x = 2.

*Phương pháp giải:

Biến đổi, quy về cùng cơ số: $a^{f (x)} = a^{g (x)} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 & < a k h á c 1 \\ f (x) & = g (x) \end{cases}$

*Lý thuyết:

a. Phương trình mũ cơ bản: $a^{x} = b (a > 0, a \neq 1)$ .

* Với b >0, ta có $a^{x} = b \Leftrightarrow x = \log_{a} b$

* Với $b \leq 0$ , phương trình vô nghiệm.

b. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản.

+ Biến đổi, quy về cùng cơ số:

Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích:

Đặt ẩn phụ đưa không hoàn toàn: là việc dùng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một một phương trình với một ẩn phụ mà hệ số vẫn còn ẩn rồi đưa về tích.

Xem thêm

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit (năm + Bài Tập) – Toán 12

Câu 289:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

900 x 8=.......

Xem đáp án

Lời giải

$900 \times 8 = 7200$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 290:

Các phép toán với số thập phân lớp 5 và cách giải

Tính:

a) $93, 75 - 20, 5 - 6, 8$

b) $985, 28 : 3, 2$

c) $80, 08 + 27, 2 + 403, 6$

d) $105 \times 3, 063$

Xem đáp án

Lời giải

a) $93, 75 - 20, 5 - 6, 8$ =66,45

b) $985, 28 : 3, 2$ =307,9

c) $80, 08 + 27, 2 + 403, 6$ =510,88

d) $105 \times 3, 063$ =321,615

*Phương pháp giải:

Áp dụng các phép tính với số thập phân

*Lý thuyết:

Dạng 1: Cộng số thập phân

1. Phương pháp giải

- Muốn cộng hai số thập phân ta làm như sau:

+ Viết số hạng này dưới số hạng kia sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.

+ Cộng như cộng các số tự nhiên.

+ Viết dấu phẩy ở cột thẳng cột với các dấu phẩy của các số hạng

- Để tính tổng của nhiều số thập phân, ta làm tương tự như tính tổng của hai số thập phân.

Dạng 2: Trừ số thập phân

1. Phương pháp giải

- Muốn trừ một số thập phân cho một số thập ta làm như sau:

+ Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.

+ Trừ như trừ các số tự nhiên.

+ Viết dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với các dấu phẩy của số bị trừ và số trừ.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

- Nhân một số thập phân với một số tự nhiên:

+ Nhân như nhân các số tự nhiên

+ Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số, rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

- Nhân một số thập với 10, 100, 1000, ... ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên phải một, hai, ba,.. chữ số.

- Nhân một số thập phân với 0,1; 0,01; 0,001 ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba,.. chữ số.

- Nhân một số thập phân với một số thập ta làm như sau:

+ Nhân như nhân các số tự nhiên.

+ Đếm xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Dạng 4: Phép chia số thập phân

1. Phương pháp giải

- Chia một số thập phân cho một số tự nhiên:

+ Chia phần nguyên của số bị chia cho số chia.

+ Viết dấu phẩy vào bên phải thương đã tìm được trước khi lấy chữ số đầu tiên ở phần thập phân của số bị chia để tiếp tục thực hiện phép chia

+ Tiếp tục chia với từng chữ số ở phần thập phân của số bị chia

- Chia một số thập phân cho 10, 100, 1000,... ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba,... chữ số.

- Chia một số thập phân cho 0,1; 0,01; 0,001, ... thực chất là nhân một số thập phân với 10, 100, 1000,...

- Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà thương tìm được là một số thập phân:

+ Viết dấu phẩy vào bên phải số thương

+ Viết thêm vào bên phải số dư một chữ số 0 rồi chia tiếp

+ Nếu còn dư nữa, ta lại viết thêm vào bên phải số dư mới một chữ số 0 rồi tiếp tục chia, và có thể cứ làm như thế mãi.

- Chia một số tự nhiên cho một số thập phân:

+ Đếm xem có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của số chia thì viết thêm vào bên phải số bị chia bấy nhiêu chữ số 0

+ Bỏ dấu phẩy ở số chia rồi thực hiện phép chia như chia các số tự nhiên.

- Chia một số thập phân cho một số thập phân:

+ Đếm xem có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của số chia thì chuyển dấu phẩy ở số bị chia sang bên phải bấy nhiêu chữ số.

+ Bỏ dấu phẩy ở số chia rồi thực hiện phép chia như chia cho số tự nhiên.

Xem thêm

35 Bài tập Phép chia số thập phân lớp 5 (có đáp án)

Câu 291:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

900:60=.......

Xem đáp án

Lời giải

900:60=16

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép chia 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

Phép chia hết

a : b = q $(b \neq 0)$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Ví dụ: 10 : 2 = 5; 30 : 5 = 6

Chú ý:

+ Nếu a : b = q thì q = bq

+ Nếu a : b = q và q $\neq$ 0 thì a : q = b

+ Thông thường, ta đặt tính chia để thực hiện phép chia.

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 292:

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

Tính:

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép chia 2 số tự nhiên

*Lý thuyết:

Phép chia hết

a : b = q $(b \neq 0)$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Ví dụ: 10 : 2 = 5; 30 : 5 = 6

Chú ý:

+ Nếu a : b = q thì q = bq

+ Nếu a : b = q và q $\neq$ 0 thì a : q = b

+ Thông thường, ta đặt tính chia để thực hiện phép chia.

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 293:

Các phép toán với số thập phân lớp 5 và cách giải

Tính $998 \times 2 + 2 \times 2$

Xem đáp án

Lời giải

998 x 2 + 2 x 2

= 2 x (998 + 2)

= 2 x 1000

= 2000

*Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung là 2 ra ngoài rồi thực hiện phép tính nhân một số thập với 10, 100, 1000, ... ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên phải một, hai, ba,.. chữ số.

*Lý thuyết:

Nhân một số thập phân với một số tự nhiên:

+ Nhân như nhân các số tự nhiên

+ Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số, rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

- Nhân một số thập với 10, 100, 1000, ... ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên phải một, hai, ba,.. chữ số.

- Nhân một số thập phân với 0,1; 0,01; 0,001 ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba,.. chữ số.

- Nhân một số thập phân với một số thập ta làm như sau:

+ Nhân như nhân các số tự nhiên.

+ Đếm xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Xem thêm

35 Bài tập Phép chia số thập phân lớp 5 (có đáp án)

Câu 294:

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bài tập và cách giải – Toán 8

Để tính nhanh 999.1001 ta thường làm như sau:

A. 999.(1000+1)

B. 1001.(1000-1)

C. (1000-1).(1000+1)

D. Cả 3 ý trên đều đúng

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Lời giải

999.1001=1001.(1000-1)

*Phương pháp giải:

Tách 999=(1000-1)

*Lý thuyết:

1. Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

2. Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

3. Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8

Câu 295:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm + Bài Tập) – Toán 8

Tính nhanh: $9997^{2} - 3^{2} = ?$

Xem đáp án

Lời giải

$9997^{2} - 3^{2}$

$= (9997 - 3) (9997 + 3)$

$= 9994.10000$

$= 99940000$

*Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu 2 bình phương sau đó nhân một số thập với 10, 100, 1000, ... ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên phải một, hai, ba,.. chữ số.

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án ) - Toán 8

Câu 296:

35 Bài tập Cộng, trừ số đo thời gian lớp 5 (có đáp án)

9h sáng tới 7h tối là bao nhiêu tiếng?

Xem đáp án

Lời giải

9h sáng tới 7h tối là 10 tiếng

*Phương pháp giải

Ta đã biết 7h tối là 19h

Lấy 19h-9h=10h

*Lý thuyết

- Đặt tính thẳng hàng và thực hiện tính như đối với phép trừ các số tự nhiên.

- Khi tính sau mỗi kết quả ta phải ghi đơn vị đo tương ứng.

- Nếu số đo theo đơn vị nào đó ở số bị trừ bé hơn số đo tương ứng ở số trừ thì cần chuyển đổi 1 đơn vị hàng lớn hơn liền kề sang đơn vị nhỏ hơn rồi thực hiện phép trừ như bình thường .Xem thêm

Lý thuyết Trừ số đo thời gian (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Câu 297:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức (mới + Bài Tập) – Toán 8

Phân tích đa thức thành nhân tử : $9 {(x + 5)}^{2} - {(x - 7)}^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

9(x+5)^2-(x-7)^2

(3x+15-x+7) . (3x+15+x-7)

= (2x+22) . (4x+8)

*Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức : A² – B² = (A – B)(A + B)

*Lý thuyết:

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Khi áp dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần lưu ý:

- Trước tiên nhận xét xem các hạng tử của đa thức có chứa nhân tử chung không, nếu có thì áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung.

- Nếu không thì ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức sau đây để phân tích đa thức thành nhân tử:

1) (A + B)² = A² + 2AB + B²

2) (A – B)² = A² – 2AB + B²

3) A² – B² = (A – B)(A + B)

4) (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

5) (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³

6) A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

7) A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hằng đẳng thức (có đáp án ) - Toán 8

Câu 298:

Tính nhanh

a, $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 299:

Lý thuyết Bất đẳng thức và tính chất – Toán lớp 9 Kết nối tri thức

Chứng minh bất đẳng thức $a^{2} + b^{2} \geq a b$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Đưa về bình phương 1 hiệu cộng với 1 số ta thấy luôn lớn hơn bằng 0

*Lý thuyết:

– Trên tập số thực, với hai số a và b có ba trường hợp sau:

• Số a bằng số b, kí hiệu a = b;

• Số a lớn hơn số b, kí hiệu a > b;

• Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu a < b.

1.2. Khái niệm bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng a > b (hay a < b, a ≥ b, a ≤ b), được gọi là bất đẳng thức và a được gọi là vế trái, b được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

1.3. Tính chất bắc cầu

Bất đẳng thức có tính chất quan trọng sau:

Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu của bất đẳng thức).

Chú ý: Tương tự, các thứ tự lớn hơn (>), lớn hơn hoặc bằng (≥), nhỏ hơn hoặc bằng (≤) cũng có tính chất bắc cầu.

2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b và c, ta có:

• Nếu a < b thì a + c < b + c.

• Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c.

• Nếu a > b thì a + c > b + c.

• Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c.

Xem thêm

Trắc nghiệm Bất đẳng thức có đáp án (Nhận biết)

Câu 300:

Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tìm các số nguyên a biết :

a) a + 2 là ước của 7

b) 2x + 1 là ước của 12

Xem đáp án

Lời giải

a) vì a+2 là ước của 7 nên a+2∈{±1;±7}

suy ra : a∈{-9;-3;-1;5}

b)vì 2x+1 là ước của 12 nên 2x+1∈{±1;±2;±3;±;±6;±12}

suy ra : x∈{0;-1;1/2;-3/2;1;-2;-5/2;3/2;5/2;-7/2;11/2;-13/2}

mà x là số nguyên nên x∈{-1;0;-2;1}

*Phương pháp giải:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất

Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.

*Lý thuyết:

1. Ước chung:

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC.

Kí hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC(a, b).

2. Ước chung lớn nhất:

Số lớn nhất trong các ước chung của hai số a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.

Quy ước: Viết tắt ước chung lớn nhất là ƯCLN.

Kí hiệu: ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b).

3. Tìm ước chung của hai số khi biết ƯCLN của hai số đó

Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.

Chú ý:

+ Nếu hai số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.

+ Nếu $a ⋮ b$ thì ƯCLN(a, b) = b. Chẳng hạn, ƯCLN(48, 16) = 16.

Xem thêm

TOP 17 câu Trắc nghiệm Ước và bội có đáp án - Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

Câu 301:

50 bài toán về thể tích khối chóp (có đáp án 2025) và cách giải

Cho khối hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB=BC=a.AD=2a và SA $⊥$ (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60. Tính thể tích khối chóp .

Xem đáp án

Lời giải

Cho khối hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB= BC= a, AD= 2a, SA vuông góc ( ABCD) và ( SCD) hợp với đáy một góc 60. (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AD

$C I = A B = \frac{A D}{2} \Rightarrow Δ A C D$ vuông tại C .

$\{\begin{matrix} (S C D) \cap (A B C D) = C D \\ C D ⊥ S C \\ C D ⊥ A C \end{matrix} \Rightarrow C D ⊥ (S C A)$ .

Do đó $(\hat{(S C D); (A B C D)}) = \hat{S C A} = 60^{\circ}$ .

$Δ A B C$ vuông cân tại B $\Rightarrow A C = a \sqrt{2}$ .

Trong $Δ S A C$ vuông tại A $\Rightarrow S A = A C . \tan 60^{\circ} = a \sqrt{2} . \sqrt{3} = a \sqrt{6}$ .

$V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} S A \frac{1}{2} A B (B C + A D) = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$ .

*Phương pháp giải:

Từ giả thiết của đề bài, ta xác định được đường cao h là cạnh bên vuông góc với đáy. Do vậy ở dạng toán này ta chỉ cần nắm vững các công thức tính độ dài và góc trong hình phẳng để áp dụng tìm cạnh, đoạn của đáy và đường cao. Từ đó ta tính được diện tích đáy và đường cao.

*Lý thuyết:

1. Hình chóp

Là hình có 1 đỉnh và 1 đáy là đa giác lồi. Các mặt còn lại gọi là mặt bên và luôn là tam giác.

+) Mặt đáy: ABCD.

+) Các mặt bên: (SAB), (SBC), (SCD), (SDA).

+) Các cạnh bên: SA, SB, SC, SD.

+) Đỉnh hình chóp: S.

2. Thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó.

Công thức:

$V = \frac{1}{3} B . h$

B: Diện tích mặt đáy.

h: Chiều cao của khối chóp.

Xem thêm

Công thức tính thể tích khối chóp và cách giải các dạng bài tập (2025) chi tiết nhất

Câu 302:

50 bài tập về Hình thang lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

a) Tính diện tích hình thang ABCD có các kích thước như hình sau:

b) Hình thoi MNPQ có diện tích bằng diện tích hình thang ABCD ở câu a, đường chéo MP = $\frac{35}{4} m$ . Tính độ dài NQ.

a) Tính diện tích hình thang ABCD có các kích thước như hình sau: (ảnh 2)

Xem đáp án

Lời giải

a) Diện tích hình thang ABCD bằng :

$\frac{(\frac{11}{3} + \frac{17}{2}) .3}{2} = \frac{3}{2} . (\frac{22}{6} + \frac{51}{6}) = \frac{3}{2} . \frac{73}{6} = \frac{73}{4}$ (m²).

b)

Do diện tích hình thoi MNPQ bằng diện tích hình thang ABCD ở câu a nên diện tích hình thoi MNPQ bằng $\frac{73}{4}$ m².

Ta có diện tích MNPQ bằng $\frac{M P . N Q}{2}$ nên độ dài NQ bằng:

$2. \frac{73}{4} : \frac{35}{4} = \frac{73}{2} . \frac{4}{35} = \frac{146}{35}$ (m)

Vậy độ dài NQ bằng $\frac{146}{35}$ m.

*Phương pháp giải:

- Để tính diện tích hình thang ta lấy tổng độ dài hai đáy nhân với chiều cao (cùng một đơn vị đo) rồi chia cho 2.

Công thức tính diện tích hình thang: $S = \frac{(a + b) x h}{2}$

*Lý thuyết:

- Hình thang là hình có 4 cạnh, trong đó có một cặp cạnh đối diện song song. Hai cạnh song song này được gọi là các cạnh đáy của hình thang.

- Chuyên đề này sẽ giúp các em tính chu vi và diện tích hình thang.

- Để tính chu vi hình thang ta tính tổng 4 cạnh của hình thang đó.

- Công thức tính chu vi hình thang: C = a + b + c + d (Cùng một đơn vị đo)

(C là chu vi; a, b, c, d là độ dài các cạnh của hình thang)

- Để tính được diện tích hình thang ta cần xác định được 2 đáy và chiều cao của hình thang.

- Hình thang ABCD có AB và DC là 2 cạnh đáy song song, AH là đường cao.

- Để tính diện tích hình thang ta lấy tổng độ dài hai đáy nhân với chiều cao (cùng một đơn vị đo) rồi chia cho 2.

Công thức tính diện tích hình thang: $S = \frac{(a + b) x h}{2}$

(S là diện tích; a, b là độ dài các cạnh đáy; h là chiều cao)

- Tính chiều cao khi biết độ dài 2 cạnh đáy và diện tích: h = 2xS : (a+b)

- Tính tổng độ dài 2 cạnh đáy khi biết diện tích và chiều cao: a+b = 2xS : h

Xem thêm

Lý thuyết Diện tích hình thang (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Câu 303:

Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật và bài tập vận dụng

Hình chữ nhật có là hình bình hành không, có là hình thang cân không? Tại sao?

Ta có tính chất sau đây về đường chéo của hình chữ nhật.

Xem đáp án

Lời giải

Ta đặt hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

Hình chữ nhật có là hình bình hành không, có là hình thang cân không? Tại sao? (ảnh 1)

Vì ABCD là hình chữ nhật .

Ta có: AB ⊥ AD; AB ⊥ BC suy ra AD // BC.

AB ⊥ AD; CD ⊥ AD suy ra AB // CD.

• Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC; AB // CD

Suy ra ABCD cũng là hình bình hành.

• Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD suy ra ABCD cũng là hình thang.

Hình thang ABCD có .

Do đó ABCD cũng là hình thang cân.

Vì ABCD vừa là hình bình hành vừa là hình thang cân nên có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

*Phương pháp giải:

Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ

*Lý thuyết:

1. Khái niệm

Hình chữ nhật trong hình học Ơclit là một hình tứ giác có bốn góc vuông. Từ định nghĩa này, ta thấy hình chữ nhật là một tứ giác lồi có bốn góc vuông hay hình bình hành có bốn góc vuông.

2. Tính chất hình chữ nhật

- Có tất cả các tính chất của hình thang cân và hình bình hành:

Các cặp cạnh đối song song và bằng nhau
Các góc đối bằng nhau và bằng 90°

- Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, đồng thời tạo thành 4 tam giác cân.

- Nội tiếp đường tròn có tâm là tâm của mình (giao điểm của hai đường chéo)

3. Công thức tính chu vi hình chữ nhật

Chu vi hình chữ nhật là tổng độ dài các cạnh cộng lại với nhau.

Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta lấy chiều dài cộng chiều rộng nhân với 2

Công thức: P = (a + b) x 2

Trong đó: P là chu vi; a là chiều dài; b là chiều rộng

Mở rộng:

- Nếu một cạnh tăng n đơn vị và giữ nguyên cạnh còn lại thì chu vi tăng gấp 2n đơn vị.

- Nếu một cạnh tăng n đơn vị, cạnh kia tăng m đơn vị thì chu vi tăng (n + m) x 2 đơn vị.

- Nếu một cạnh tăng n đơn vị, cạnh kia giảm m đơn vị thì:

Nếu n > m thì chu vi tăng (n – m) x 2 đơn vị
Nếu n < m thì chu vi giảm (m – n) x 2 đơn vị

4. Công thức tính diện tích hình chữ nhật

Diện tích hình chữ nhật chính là phần mặt phẳng mà chúng ta có thể nhìn thấy và được đo bằng độ lớn của bề mặt hình chữ nhật.

Vì vậy, diện tích của một hình chữ nhật được tính bằng tích chiều rộng nhân với chiều dài hình chữ nhật đó.

Công thức: S = a x b

Trong đó: S là diện tích; a là chiều rộng; b là chiều dài

Ngoài ra, để có thể dễ dàng ghi nhớ công thức tính chu vi, diện tích của hình chữ nhật dễ dàng hơn bạn đọc có thể tham khảo bài thơ sau:

"Diện tích hình chữ nhật tính sao

Dài nhân với rộng ra liền khó chi.

Chu vi chữ nhật cần gì

Chiều dài cộng rộng ta thì nhân hai"

Mở rộng:

- Nếu số đo một cạnh tăng n lần và giữ nguyên cạnh kia thì diện tích tăng n lần diện tích ban đầu.

- Nếu chiều dài gấp lên n lần, chiều rộng gấp lên m lần thì diện tích tăng lên (n x m) lần diện tích ban đầu

Chú ý: Khi tính chu vi hay diện tích hình chữ nhật thì số đo các cạnh trong hình phải thống nhất về cùng một đơn vị. Nếu chưa thống nhất đơn vị, chúng ta phải tiến hành đổi đơn vị trước khi tính toán.

Xem thêm

Lý thuyết Hình chữ nhật – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Câu 304:

Các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là các điểm đối xứng với H qua AB và AC.

a) Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

b) Tứ giác BDEC là hình thang vuông.

c) BC = BD + CE.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là các điểm (ảnh 1)

a) Ta có D là điểm đối xứng với H qua AB (giả thiết).

Suy ra AB là đường trung trực của đoạn DH.

Do đó AD = AH.

Tam giác ADH cân tại H (do AD = AH) có AB là đường trung trực.

Suy ra AB cũng là đường phân giác của tam giác ADH.

Do đó $\hat{D A B} = \hat{B A H}$ .

Chứng minh tương tự, ta được $\hat{H A C} = \hat{C A E}$ .

Ta có $\hat{D A E} = \hat{D A B} + \hat{B A H} + \hat{H A C} + \hat{C A E} = 2 \hat{B A H} + 2 \hat{H A C}$ .

$= 2 (\hat{B A H} + \hat{H A C}) = 2 \hat{B A C} = {2.90}^{\circ} = 180^{\circ}$ .

Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Ta có A, D, B lần lượt là các điểm đối xứng với các điểm A, H, B qua AB.

Suy ra ∆ADB = ∆AHB.

Do đó $\hat{A D B} = \hat{A H B} = 90^{\circ}$ .

Vì vậy BD ⊥ DE (1)

Chứng minh tương tự, ta được CE ⊥ DE (2)

Từ (1), (2), suy ra BD // CE và $\hat{B D E} = 90^{\circ}$ .

Vậy tứ giác BDEC là hình thang vuông.

c) Ta có AB là đường trung trực của đoạn DH (chứng minh trên).

Suy ra BD = BH.

Chứng minh tương tự, ta được CH = CE.

Ta có BC = BH + HC = BD + CE.

Vậy BC = BD + CE.

*Phương pháp giải:

a)Áp dụng tính chất góc bẹt

Chọn một điểm D bất kì: nếu ∠ABD + ∠DBC = 180 độ thì ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng

b)Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Ba điểm thẳng hàng là 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng

2. Mối quan hệ

3 điểm thẳng hàng thì 3 điểm đó phân biệt và cùng nằm trên một đường thẳng.

Chỉ có duy nhất 1 và chỉ một đường thẳng đi qua 3 điểm bất kì

3. Các phương pháp

Phương pháp 1: Áp dụng tính chất góc bẹt

Chọn một điểm D bất kì: nếu ∠ABD + ∠DBC = 180 độ thì ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng

Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề Ơ-cơ-lit

Cho 3 điểm A, B, C và 1 đường thẳng a. Nếu AB // a và AC // a thì ta có thể khẳng định ba điểm A; B; C thẳng hàng. (dựa trên cơ sở tiên đề Ơ-cơ-lít trong chương trình Toán lớp 7)

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc

Nếu đoạn thẳng AB ⊥ a; đoạn thẳng AC ⊥ a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

(Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Chỉ có 1 và chỉ 1 một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước)

Hoặc sử dụng tính chất A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng .(nằm trong chương trình toán học lớp 7)

Phương pháp 4: Sử dụng tính duy nhất tia phân giác

Nếu 2 tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ta có thể khẳng định 3 điểm O, A, B thẳng hàng

Cơ sở lý thuyết phương pháp trên: Một góc chỉ có một và chỉ một đường phân giác

* Hoặc : Hai tia OA và OB nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, ta có ∠xOA = ∠xOB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

Phương pháp 5: Sử dụng tính chất đường trung trực

Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng BD, điểm K’ là giao điểm của 2 đoạn thẳng BD và AC. Nếu điểm K’ là trung điểm BD và K’ trùng K. Từ đó ta có thể kết luận 3 điểm A, K, C thẳng hàng.

(Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất 1 trung điểm)

Phương pháp 6: Sử dụng tính chất các đường đồng quy

Chứng minh 3 điểm thuộc các đường đồng quy của tam giác.

Ví dụ: Chứng minh điểm E là trọng tâm tam giác ABC và đoạn thẳng AM là trung tuyến của góc A suy ra 3 điểm A, M, H thẳng hàng.

Bên cạnh đó, các em học sinh hoàn toàn có thể vận dụng cho tất cả các đường đồng quy khác của tam giác như 3 đường cao, 3 đường phân giác hoặc 3 đường trung trực trong tam giác.

Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp vectơ

Ta sử dụng tính chất của 2 vectơ có cùng phương để có thể chứng minh có đường thẳng đi qua cả 3 điểm (tức là 3 điểm thẳng hàng)

Ví dụ: Chứng minh vectơ AB và vectơ AC có cùng phương, hay vectơ CA và vectơ CB, hay vectơ AB vectơ và vectơ BC có cùng phương thì ta có thể kết luận 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

Xem thêm

Dấu hiệu nhận biết hình thang và bài tập vận dụng

Câu 305:

Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số – Toán lớp 12 Cánh diều

Xét dấu các biểu thức sau F(x)= 2x-3

Xem đáp án

Lời giải

$F(x)= 2x-3$

$=> Với 2x - 3 =0$

$=> x = 3/2$

$Ta có bảng$

$x -∞ 3/2 +∞$

$f(x) - 0 +$

$=> f(x) dương trên (3/2 ; +∞ ) và âm trên ( -∞ ; 3/2)$

*Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

*Lý thuyết:

1. Nhắc lại định nghĩa

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) nhỏ hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) < f(x₂).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) lớn hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) > f(x₂).

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f(x) đồng biến trên K $\Leftrightarrow \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0;$ $\forall x_{1}; x_{2} \in K; (x_{1} \neq x_{2})$

f(x) nghịch biến trên K $\Leftrightarrow \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0;$ $\forall x_{1}; x_{2} \in K; (x_{1} \neq x_{2})$

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

- Định lí:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

- Chú ý:

Nếu f’(x) = 0 với $\forall x \in K$ thì f(x) không đổi trên K.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (có đáp án ) - Toán 12

Câu 306:

50 bài tập về Cấp số cộng (có đáp án 2025) và cách giải

Giới hạn $l i m \frac{1 + 2 + 3 + . . . + n}{n^{2} + 2}$ có giá trị bằng

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: 1+ 2+ 3 + .. + n là tổng của n +1 số hạng của 1 cấp số cộng có $u_{1} = 1$ và d= 1 nên: $1 + 2 + 3 + .. + n = \frac{n (1 + n)}{2} = \frac{n^{2} + n}{2}$

$\Rightarrow \lim \frac{1 + 2 + 3 + ... + n}{n^{2} + 2} = \lim \frac{n^{2} + n}{2 n^{2} + 4} = \lim \frac{1 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{4}{n^{2}}} = \frac{1}{2}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng : Dãy số (u_n) là một cấp số cộng khi và chỉ khi u_{n + 1} – u_n = d không phụ thuộc vào n và d là công sai của cấp số cộng đó.

- Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u₁ và d. Tìm u₁ và d.

*Lý thuyết:

1) Cấp số cộng là gì?

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

- Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (u_n) là một cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi

$u_{n + 1} = u_{n} + d, n \in ℕ^{*}$

Nhận xét:

- Cấp số cộng (u_n) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0.

- Cấp số cộng (u_n) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0.

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

2) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n - 1)d với $n \geq 1, n \in ℕ$ .

3) Tính chất của cấp số cộng

Ba số hạng $u_{k - 1}, u_{k}, u_{k + 1} (k \geq 2)$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}$ .

4) Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức:

$S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2} = \frac{n [2 u_{1} + (n - 1) d]}{2}$

Xem thêm

Lý thuyết Cấp số cộng (mới + Bài Tập) – Toán 11

Câu 307:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án ) – Toán 9

Giải phương trình nghiệm nguyên: $m^{2} + n^{2} = 9 m + 13 n - 20$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Tính $Δ = b^{2} - 4 a c$ ( hoặc $Δ' = b'^{2} - a c$ với $b' = \frac{b}{2}$ )

+ Với $Δ > 0$ ( $Δ' > 0$ ) phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ ; $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

$(x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ'}}{a}; x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ'}}{a})$

+ Với $Δ = 0$ ( $Δ' = 0$ ) phương trình có nghiệm kép:

$x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a} (x_{1} = x_{2} = \frac{- b'}{a})$

+ Với $Δ \geq 0$ phương trình có nghiệm.

+ Với $Δ < 0$ ( $Δ' < 0$ ) phương trình vô nghiệm.

*Lý thuyết:

- Phương trình bậc hai một ẩn có dạng $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ). Ta có: $Δ = b^{2} - 4 a c$ là biệt thức của phương trình (còn có $Δ' = b'^{2} - a c$ với $b' = \frac{b}{2}$ )

- Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ):

+ Với $Δ > 0$ ( $Δ' > 0$ ) phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ ; $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

$(x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ'}}{a}; x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ'}}{a})$

+ Với $Δ = 0$ ( $Δ' = 0$ ) phương trình có nghiệm kép:

$x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a} (x_{1} = x_{2} = \frac{- b'}{a})$

+ Với $Δ < 0$ ( $Δ' < 0$ ) phương trình vô nghiệm.

- Định lí Vi – ét: Nếu phương trình bậc hai một ẩn $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ) có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thì ta có:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} \end{cases}$

- Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì u và v là các nghiệm của phương trình $x^{2} - S x + P = 0$ .

- Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ${ax}^{4} + b x^{2} + c = 0$ ( $a \neq 0$ )

- Chú ý:

+ Cho phương trình bậc hai một ẩn $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ).

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm $x_{1} = 1, x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm $x_{1} = - 1, x_{2} = - \frac{c}{a}$ .

+ Phân tích đa thức thành nhân tử: Cho đa thức P (x) = $a x^{2} + b x + c$ , nếu $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình P(x) = 0 thì đa thức $P (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Xem thêm

Các phương trình về phương trình bậc hai và cách giải bài tập hay nhất

Câu 308:

50 bài tập về Hai đường thẳng song song trong không gian (có đáp án 2025) và cách giải

Cho tam giác ABC qua a kẻ đường thẳng d song song với cạnh BC trên đường thẳng d Lấy điểm M sao cho AM = BC m và C nằm cùng phía so với AB.Chứng minh

a) $\overset{⏜}{M A C} = \overset{⏜}{B C A}$

b) $∆ M A C = ∆ B C A$

c) AB//MC

Xem đáp án

Lời giải

$a)$

Theo giả thiết:

$d / / B C$

$\Rightarrow \hat{M A C} = \hat{B C A}$ (so le trong)

$b)$

Xét $△ M A C$ và $△ B C A$ :

$A C$ chung

$A M = B C$

$\hat{M A C} = \hat{B C A}$

$\Rightarrow △ M A C = △ B C A (c . g . c)$

$c)$

Theo phần $b) :$

$△ M A C = △ B C A$

$\Rightarrow \hat{M C A} = \hat{B A C}$

Mà hai góc ở vị trí so le trong

$\Rightarrow$ $A B / / M C$ .

*Phương pháp giải:

Áp dụng hai góc ở vị trí đồng vị

*Lý thuyết:

+ Hai cặp góc so le trong

∠A₄ và ∠B₂; ∠B₃ và ∠A₁

+ Bốn cặp góc đồng vị

∠A₂ và ∠B₂; và ∠A₃ và ∠B₃; ∠A₄ và ∠B₄; ∠A₁ và ∠B₁

+ Hai cặp góc trong cùng phía

∠A₁ và ∠B₂; ∠A₄ và ∠B₃

Quan hệ giữa các cặp góc

Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì:

+ Hai góc so le trong còn lại bằng nhau

+ Hai góc đồng vị bằng nhau

+ Hai góc trong cùng phía bù nhau

Xem thêm

Cách phân biệt góc so le trong và góc đồng vị

Câu 309:

50 Bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 mới nhất

Tìm GTNN và GTLN của biểu thức $\frac{27 - 12 x}{x^{2} + 9}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(a); f(x₁); f(x₂); …; f(x_n); f(b).

Bước 3: Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: $M = \max_{(a; b)} f (x); m = \min_{(a; b)} f (x)$

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M. Kí hiệu $M = \max_{D} f (x)$

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m. Kí hiệu $m = \min_{D} f (x)$

Chú ý:

- Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) (mà không cho rõ tập hợp D) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó.

- Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

Xem thêm

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Câu 310:

Lý thuyết Hai tam giác đồng dạng – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu (O; R), vẽ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.

Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD

Xem đáp án

Lời giải

Giải bài 5 trang 49 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Hai đường thẳng MAB và MCD giao nhau xác định một mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C), ngoại tiếp tứ giác phẳng ABCD.

Giải bài 5 trang 49 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Xét ΔMAC và ΔMDB có:

Giải bài 5 trang 49 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ MA.MB = MC.MD (đpcm).

*Phương pháp giải:

Áp dụng hai tam giác đồng dạng

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

$\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C}; \hat{A^{'}} = \hat{A}, \hat{B^{'}} = \hat{B}, \hat{C^{'}} = \hat{C}$

Kí hiệu: $Δ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ Δ A B C$ (viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng).

Tỉ số $k = \frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C}$ là tỉ số đồng dạng của $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ với $Δ A B C$ .

Nhận xét:

- $Δ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ Δ A B C$ với tỉ số đồng dạng k thì $Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}$ . Ta nói hai tam giác A’B’C’ và ABC đồng dạng với nhau.

- Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau theo tỉ số đồng dạng k = 1. Mọi tam giác đồng dạng với chính nó.

- $Δ A^{″} B^{″} C^{″} ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ với tỉ số đồng dạng k và $Δ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ Δ A B C$ với tỉ số đồng dạng m thì $Δ A^{″} B^{″} C^{″} ∽ Δ A B C$ với tỉ số đồng dạng k.m.

2. Định lí

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác là song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

$Δ A B C, M N / / B C (M \in A B; N \in A C) \Rightarrow Δ A M N ∽ Δ A B C$

Chú ý. Định lí trên vẫn đúng nếu thay bằng đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh tam giác.

$E D / / B C \Rightarrow Δ A D E ∽ Δ A B C$

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Khái niệm về hai tam giác đồng dạng (có đáp án ) - Toán 8

Câu 311:

50 bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình (có đáp án 2025) và cách giải

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 60m và nếu mỗi cạnh giảm 2m thì diện tích khu vườn bằng 160 $m^{2}$ .Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn

Xem đáp án

Lời giải

gọi x là chiều dài của khu vườn (m)
      y là chiều rộng của khu vườn (m)
                    ĐK : x>y>0
một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 60m nên ta có PT : 2x +2y=60 (1)
nếu mỗi cạnh giảm 2m thì diện tích khu vườn bằng 160m² nên ta có pt :
         (x-2)(y-2)=160
⇔xy-2x-2y+4=160
⇔xy -2x-2y= 156(2)
 Từ (1) và (2) ta có hệ PT :
{x+y=30xy−2x−2y=156
⇔{y=30−xx²−30x+216=0 
⇔{y=30−x\([x=18(TM)x=12(tm)\) 
⇔[x=18=>y=12(TM)x=12=>y=18(loại) 
Vậy chiều dài là 18m và chiều rộng là 12 m

*Phương pháp giải:

Bước 1: Lập phương trình

- Đặt ẩn và tìm dữ kiện phù hợp với ẩn;

- Biểu diễn các dữ kiện bài toán chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình đã lập.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện và đưa ra kết luận của bài toán.

*Lý thuyết:

- Giải bài toán bằng cách lập phương trình là đưa những bài trong thực tế về phương trình toán học để tìm ra đáp án thỏa mãn điều kiện ban đầu.

- Giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm có 3 bước

Bước 1: Lập phương trình

- Đặt ẩn và tìm dữ kiện phù hợp với ẩn;

- Biểu diễn các dữ kiện bài toán chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình đã lập.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện và đưa ra kết luận của bài toán.

Chú ý: Một số chú ý về chọn ẩn như sau:

+ Thông thường bài toán tìm đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó.

+ Nếu x biểu thị là chữ số thì $0 \leq x \leq 9;x \in ℕ$ .

+ Nếu x biểu thị số tuổi, số sản phẩm, số học sinh,… thì $x \in ℕ^{*}$

+ Nếu x biểu thị các đại lượng đo lường như thời gian; vận tốc; quãng đường… thì $x > 0$ .

Xem thêm

Giải bài toán bằng cách lập phương trình (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 312:

Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ chính xác nhất

Một cửa hàng nhận làm những chiếc xô bằng nhôm hình trụ không có nắp đủ chứa được10 lít nước. Hỏi bán kính đáy (đơn vị cm, làm tròn đến hàng phần chục) của chiếc xô bằng bao nhiêu để cửa hàng tốn ít nguyên vật liệu nhất.

Xem đáp án

Lời giải

$10 lít nước = 10 d m^{3} = 10000 c m^{3}$

$V_{hình trụ} = π r^{2} h = 10000 \Rightarrow h = \frac{10000}{π r^{2}}$

$YCBT \Leftrightarrow S_{toàn phần} đạt GTNN$

$S (x) = S_{đáy} + S_{xung quanh} = π r^{2} + 2 π r h$

$= π^{2} + 2 π r \cdot \frac{10000}{π r^{2}}$

$= π^{2} + \frac{20000}{r}$

$S^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 2 π r^{3} - 20000 = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{\frac{20000}{2 π}} = \sqrt[3]{\frac{10000}{π}} \approx 14, 7$

Vậy bán kính đáy của chiếc xô bằng $14, 7$ $c m$ thì cửa hàng tốn ít nguyên vật liệu nhất.

*Phương pháp giải:

- Áp dụng diện tích toàn phần: S_tp = 2πRh + 2πR².

*Lý thuyết;

1. Hình trụ là gì?

Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh AB cố định, ta được một hình trụ.

- Hai hình tròn (A) và (B) bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song được gọi là hai đáy của hình trụ.

- Đường thẳng AB được gọi là trục của hình trụ.

- Mỗi vị trí của CD được gọi là một đường sinh. Các đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài của đường sinh là chiều cao của hình trụ.

Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h.

- Diện tích xung quanh: S_xq = 2πRh.

- Diện tích toàn phần: S_tp = 2πRh + 2πR².

- Thể tích: V = πR²h.

Xem thêm

50 Bài tập Hình Trụ, Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ Toán 9 mới nhất

Câu 313:

Lý thuyết Tam giác đều. Hình vuông. Lục giác đều chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Hãy kể tên một số vật dụng, họa tiết, công trình kiến trúc,.. có hình ảnh của hình tam giác đều, hình vuông, hình lục giác đều.

Xem đáp án

Lời giải

Tam giác đều: cái cầu, biển báo,mái nhà, logo,...

Hình vuông: Gạch lát nền, rubik, bàn cờ, quân xúc xắc, mặt bàn,

Hình lục giác đều: tổ ong, biển báo, huy chương, ốc vít, bút chì, đồng hồ, mạng nhện, ...

*Phương pháp giải:

Áp dụng cách nhận biết tam giác đều hình vuông và lục giác đều

*Lý thuyết:

I. Tam giác đều

1. Nhận biết tam giác đều

Tam giác đều ABC có

+ Ba cạnh bằng nhau: AB = BC = CA

+ Ba góc ở các đỉnh A, B, C bằng nhau.

Chú ý: Trong hình học nói chung, tam giác nói riêng, các cạnh bằng nhau (hay các góc bằng nhau) thường được chỉ rõ ràng bằng cùng một ký hiệu (xem hình vẽ trên).

2. Vẽ tam giác đều

Vẽ tam giác đều bằng thước và compa khi biết độ dài cạnh.

II. Hình vuông

1. Nhận biết hình vuông

Hình vuông ABCD có:

+ Bốn cạnh bằng nhau: AB = BC = CD = DA

+ Hai cạnh đối AB và CD; AD và BC song song với nhau.

+ Hai đường chéo bằng nhau: AC = BD

+ Bốn góc ở các đỉnh A, B, C, D là góc vuông.

2. Vẽ hình vuông

Dùng ê ke vẽ hình vuông khi biết độ dài cạnh.

III. Lục giác đều

Lục giác đều ABCDEF có:

+ Sáu cạnh bằng nhau: AB = BC = CD = DE = EF = FA

+ Ba đường chéo chính cắt nhau tại điểm O.

Ba đường chéo chính bằng nhau: AD = BE = CF

+ Sáu góc ở các đỉnh A, B, C, D, E, F bằng nhau.

Xem thêm

TOP 27 câu hỏi Trắc nghiệm Hình tam giác đều. Hình vuông. Hình lục giác đều có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 314:

Các công thức tính diện tích tam giác đầy đủ, chi tiết nhất

Một tam giác có diện tích là 15cm2 , độ dài đáy 7,5 cm . Chiều cao tương ứng của tam giác đó là

Xem đáp án

Lời giải

$a = (15 \times 2) : 7, 5$

$\Rightarrow a = 30 : 7, 5$

$\Rightarrow a = 4 (c m)$

Vậy chiều cao tương ứng với tam giác đó là $4 c m$

*Phương pháp giải:

Ta có công thức :

Diện tích tam giác $= \frac{a \times h}{2}$

Trong đó :

$a$ : Độ dài đáy

$h$ : Chiều cao

$\Rightarrow a \times h =$ Diện tích tam giác $\times 2$

$\Rightarrow a =$ ( Diện tích tam giác $\times 2$ ) $: h$

*Lý thuyết:

Cho tam giác có BC = a, AC = b, AB = c với:

• $h_{a}, h_{b}, h_{c}$ là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB

• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

• r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

• $p = \frac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi tam giác;

• S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC như sau:

+ Phương pháp giải: Dựa vào dữ kiện bài ra để sử dụng linh hoạt một trong các công thức ở trên.

Xem thêm

50 bài tập về công thức tính diện tích tam giác (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 315:

50 bài tập về Tỉ số lượng giác của góc nhọn (có đáp án 2025) và cách giải

Vòng quay Sun Wheel ở Đà Nẵng là một công trình lớn thứ nhất ở nước ta. Điểm cao nhất trên vòng quay cách mặt đất 115m, điểm thấp nhất cách mặt đất 5m. Tốc độ quay là 15p/1 vòng và quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Một người đang ở vị trí điểm M , biết góc lượng giác tạo bởi tia đầu OA và tia cuối OM bằng 30°. Hỏi sau 5 phút người đó ở độ cao cách mặt đất bao nhiêu mét

Xem đáp án

Lời giải

Ký hiệu như hình vẽ. Kẻ $B F ⊥ O D$

Ta có: $D E = 115, C E = 5$

$\to C D = D E - C E = 110$

$\to R = \frac{1}{2} C D = 55$

Giả sử sau $5$ phú thì người đó ở vị trí điểm $B$

$\to \hat{B O M} = \frac{5}{15} \cdot 360^{o} = 120^{o}$

$\to \hat{B O A} = \hat{B O M} + \hat{M O A} = 150^{o}$

$\to \hat{B O F} = \hat{B O A} - \hat{A D O} = 150^{o} - 90^{o} = 60^{o}$

Ta có:

$\cos \hat{B O F} = \frac{O F}{O B}$

$\to O F = O B \cos \hat{B O F} = 55 \cdot \cos 60^{o} = 27.5$

$\to$ Sau $5$ phút người đở độ cao: $55 + 5 + 27.5 = 87.5 (m)$

$\to C$

*Phương pháp giải:

Áp dụng

*Lý thuyết:

Cho tam giác ABC vuông tại A (như hình vẽ).

Ta có các tỉ số lượng giác của góc nhọn như sau:

Cách nhớ gợi ý: Sin đi học (đối / huyền) , Cos không hư (kề / huyền), Tan đoàn kết (đối / kề) , Cot kết đoàn (kề / đối).

Các tính chất:

(1) Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

Tức là: Cho hai góc $α, β$ , biết: $α + β = 90^{o}$

Khi đó, ta có:

$\sin α = \cos β;$ $\sin β = \cos α$

$\tan α = \cot β;$ $\tan β = \cot α$

(2) Nếu hai góc nhọn $α, β$ , có $\sin α = \sin β$ hoặc $\cos α = \cos β$ thì $α = β$ .

(3) Nếu là một góc nhọn bất kì thì

Xem thêm

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn (mới + Bài Tập) – Toán 9

Câu 316:

50 bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình (có đáp án 2025) và cách giải

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài , chiều rộng được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn (M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ A đến C qua vạch chắn MN, biết khi làm đường trên miền ABMN mỗi giờ làm được 15 m và khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm được 30 m. Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C.

A. $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

B. $\frac{10 + 2 \sqrt{725}}{30}$

C. $\frac{20 + \sqrt{725}}{30}$

D.5

Xem đáp án

Đáp án đúng là A

Lời giải

Do cần thời gian xây là ngắn nhất nên con đường làm trên mỗi miền phải là những đường thẳng.

Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB=25m , chiều rộng AD=20m (ảnh 1)

Gọi AE và EC lần lượt là đoạn đường cần làm. Với $N E = x (m) .$

$\Rightarrow E M = 25 - x (m) .$

Ta được $\{\begin{cases} A E = \sqrt{A N^{2} + E N^{2}} = \sqrt{100 + x^{2}} \\ E C = \sqrt{M C^{2} + E M^{2}} = \sqrt{100 + (25 - x^{2})} \end{cases} .$

Thời gian để làm đoạn đường từ A đến C là:

$t (x) = \frac{A E}{15} + \frac{E C}{30} = \frac{\sqrt{100 + x^{2}}}{15} + \frac{\sqrt{(25 - x^{2}) + 100}}{30} (h)$

$\Rightarrow t' (x) = \frac{x}{15 \sqrt{100 + x^{2}}} - \frac{25 - x}{30. \sqrt{{(25 - x)}^{2} + 100}} .$

Xét $t' (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{15 \sqrt{100 + x^{2}}} - \frac{25 - x}{30. \sqrt{{(25 - x)}^{2} + 100}} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 x \sqrt{{(25 - x)}^{2} + 100} = (25 - x) \sqrt{100 + x^{2}} \\ \Leftrightarrow 4 x^{2} ({(25 - x)}^{2} + 100) = {(25 - x)}^{2} (100 + x^{2}) \\ \Leftrightarrow 4 x^{2} {(25 - x)}^{2} + 400 x^{2} - 100 {(25 - x)}^{2} - {(25 - x)}^{2} x^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow 4 {(25 - x)}^{2} (x^{2} - 25) + x^{2} (20^{2} - {(25 - x)}^{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 5) (4 {(25 - x)}^{2} (x + 5) + x^{2} (45 - x)) = 0 \Leftrightarrow x = 5 \end{array}$

Ta được $t (0) = \frac{4 + \sqrt{29}}{6}; t (5) = \frac{2 \sqrt{5}}{3}; t (25) = \frac{1 + \sqrt{29}}{3} .$

Vậy thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C là $\frac{2 \sqrt{5}}{3} (h) .$

*Phương pháp giải:

Bước 1: Lập phương trình

- Đặt ẩn và tìm dữ kiện phù hợp với ẩn;

- Biểu diễn các dữ kiện bài toán chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình đã lập.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện và đưa ra kết luận của bài toán.

*Lý thuyết:

- Giải bài toán bằng cách lập phương trình là đưa những bài trong thực tế về phương trình toán học để tìm ra đáp án thỏa mãn điều kiện ban đầu.

- Giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm có 3 bước

Bước 1: Lập phương trình

- Đặt ẩn và tìm dữ kiện phù hợp với ẩn;

- Biểu diễn các dữ kiện bài toán chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình đã lập.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện và đưa ra kết luận của bài toán.

Chú ý: Một số chú ý về chọn ẩn như sau:

+ Thông thường bài toán tìm đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó.

+ Nếu x biểu thị là chữ số thì $0 \leq x \leq 9;x \in ℕ$ .

+ Nếu x biểu thị số tuổi, số sản phẩm, số học sinh,… thì $x \in ℕ^{*}$

+ Nếu x biểu thị các đại lượng đo lường như thời gian; vận tốc; quãng đường… thì $x > 0$ .

Xem thêm

Giải bài toán bằng cách lập phương trình (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 317:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án ) – Toán 9

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) $\{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Từ phương trình thứ nhất suy ra 2y = m + 1 – mx $\Rightarrow y = \frac{m + 1 - m x}{2}$

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

$2 x + m \cdot \frac{m + 1 - m x}{2} = 2 m - 1$

⇔ 4x + m² + m – m²x = 4m – 2

⇔ x(m²– 4) = m²– 3m + 2

⇔ x(m – 2)(m + 2) = (m – 2)(m – 1) (*)

Nếu m = 2 thì (*) ⇔ 0x = 0, phương trình này vô số nghiệm.

Nếu m = -2 thì (*) ⇔ 0x = 12, phương trình này vô nghiệm

Nếu m ≠ 2 và m ≠ -2 thì (*) ⇔ $x = \frac{m - 1}{m + 2} \Rightarrow y = \frac{m + 1 - m x}{2} = \frac{2 m + 1}{m + 2}$

Như vậy trong trường hợp này hệ có nghiệm duy nhất:

$\begin{array}{l} x = \frac{m - 1}{m + 2} = 1 - \frac{3}{m + 2} \\ y = \frac{2 m + 1}{m + 2} = 2 - \frac{3}{m + 2} \end{array}$

Ta cần tìm m ∈ ℤ sao cho x, y ∈ ℤ.

$\Rightarrow \frac{3}{m + 2} \in ℤ$ ⇔ m + 2 ∈ {-1, 1, 3, -3} ⇔ m ∈ {-3, -1, 1, -5}

Các giá trị này thỏa mãn m ≠ 2 và m ≠ -2.

Vậy m ∈ {-3, -1, 1, -5}

*Phương pháp giải:

Bước 1: Sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình cơ bản đã học như thế, cộng đại số, ta thu được phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2: Giải và biện luận phương trình mới, từ đó đi đến kết luận về giải và biện luận hệ phương trình đã cho.

*Lý thuyết:

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases} (*)$

- Để giải hệ phương trình (*) ta thường dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

- Từ hai phương trình của hệ phương trình (*), sau khi dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số, ta thu được một phương trình mới gồm một ẩn. Khi đó số nghiệm của phương trình mới bằng số nghiệm hệ phương trình đã cho.

Chú ý: Với trường hợp $a'; b'; c' \neq 0$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$ ;

Hệ phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$ ;

Hệ phương trình vô số nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$ .

Xem thêm

50 bài tập về Hệ phương trình có chứa tham số (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 318:

Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tìm số tự nhiên x sao cho:

a) n+2 chia hết cho n-12

b) n+1 chia hết cho 6-n

Xem đáp án

Lời giải

$a) .$

$n + 2 ⋮ n - 12$

$(n - 12) + 14 ⋮ n - 12$

$14 ⋮ n - 12$

$\Rightarrow n - 12 \in Ư (14) = {\pm 1; \pm 2; \pm 7; \pm 14}$

$\Rightarrow n \in {13; 11; 14; 10; 19; 5; 26; - 2}$

$b) .$

$n + 1 ⋮ 6 - n$

$- (6 - n) + 7 ⋮ 6 - n$

$7 ⋮ 6 - n$

$\Rightarrow n - 6 \in Ư (7) = {\pm 1; \pm 7}$

$\Rightarrow n \in {7; 5; 13; - 1} .$

*Phương pháp giải:

Tìm bằng cách tìm ước của số bị chia

*Lý thuyết:

I. Ước chung và ước chung lớn nhất

1. Ước chung:

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC.

Kí hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC(a, b).

Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của cả ba số a, b, c.

2. Ước chung lớn nhất:

Số lớn nhất trong các ước chung của hai số a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.

Quy ước: Viết tắt ước chung lớn nhất là ƯCLN.

Kí hiệu: ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b).

3. Tìm ước chung của hai số khi biết ƯCLN của hai số đó

Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Ước chung và ước chung lớn nhất (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 319:

Lý thuyết Số nguyên tố chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tất cả các số n + 1, n + 5, n + 7, n + 13, n + 17, n + 25, n + 37 đều là số nguyên tố.

Xem đáp án

Lời giải

n không thể là số lẻ vì lúc đó ít nhất 6 số chẵn > 2 nên không thể là số nguyên tố.

Dễ thấy với n = 2 số n + 7 = 9 là hợp số ⇒ loại

Với n = 4 số n + 5 = 9 là hợp số.

Với n = 6 dễ thấy cả 7 số đều là số nguyên tố.

Dễ thấy là trong 7 số đã cho có 1 số chia hết cho 7.

Thật thế 7 số đã cho khi chia cho 7 có cùng số dư với 7 số n + 1, n + 5, n + 7, n + 6, n + 3, n + 4, n + 2 mà trong 7 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 7.

⇒ với n ≥ 8 trong 7 số đã cho có 1 số chia hết cho 7 và > 7 nên là hợp số.

⇒ số duy nhất thỏa mãn là n = 6.

Vậy n = 6.

*Phương pháp giải:

Nắm chắc lý thuyết số nguyên tố và hợp số để phân biệt

*Lý thuyết:

1. Số nguyên tố và hợp số

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

- Hợp số là số tự nhiên lơn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Mọi số đều có thể phân tích ra tích của các thừa số nguyên tố

Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố:

+) Phương pháp phân tích bằng sơ đồ cây

+) Phương pháp phân tích bằng sơ đồ cột

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Số nguyên tố. Hợp số (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 320:

Lý thuyết Tập hợp các số hữu tỉ – Toán 7 Chân trời sáng tạo

Cho số hữu tỉ $x = \frac{n + 5}{3}$ . Với điều kiện nào của số $n$ thì:

$a)$ $x$ là số hữu tỉ dương.

$b)$ $x$ là số hữu tỉ âm.

$c)$ $x$ không là số hữu tỉ âm cũng không là số hữu tỉ dương.

Xem đáp án

Lời giải

a) Để x là số hữu tỉ dương thì:
n+5>0
⇔n>-5
Vậy để x là số hữu tỉ dương thì n>-5
b) Để x là số hữu tỉ âm thì:
n+5<0
⇔n<-5
Vậy để x là số hữu tỉ âm thì n<-5
c) Để x không âm cũng không dương hay x=0 thì:
n+5=0
⇔n=-5
Vậy để x không âm cũng không dương thì n=-5

*Phương pháp giải:

– Với hai số hữu tỉ bất kì x, y ta luôn có: hoặc x = y hoặc x < y hoặc x > y.

– Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương.

Số hữu tỉ bé hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm.

*Lý thuyết:

1. Số hữu tỉ

– Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ với a, b ∈ ℤ, b ¹ 0.

– Các phân số bằng nhau biểu diễn cùng một số hữu tỉ.

– Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là ℚ.

2. Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ

– Với hai số hữu tỉ bất kì x, y ta luôn có: hoặc x = y hoặc x < y hoặc x > y.

– Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương.

Số hữu tỉ bé hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm.

Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.

Chú ý: Số hữu tỉ dương luôn luôn lớn hơn số hữu tỉ âm.

3. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

– Trên trục số, mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một điểm. Điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.

– Với hai số hữu tỉ bất kì x, y, nếu x < y thì trên trục số nằm ngang, điểm x ở bên trái điểm y.

4. Số đối của một số hữu tỉ

– Hai số hữu tỉ có điểm biểu diễn trên trục số cách đều và nằm về hai phía điểm gốc O là hai số đối nhau, số này gọi là số đối của số kia.

– Số đối của số hữu tỉ x kí hiệu là −x.

Chú ý:

– Mọi số hữu tỉ đều có một số đối.

– Số đối của số 0 là số 0.

– Với hai số hữu tỉ âm, số nào có số đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.

Xem thêm

Trắc nghiệm Tập hợp Q các số hữu tỉ có đáp án - Toán lớp 7

Câu 321:

TOP 30 câu Trắc nghiệm Số nguyên âm và tập hợp các số nguyên có đáp án - Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

tìm số nguyên n sao cho a, n+7 trên 3n-1 là số nguyên

Xem đáp án

Lời giải

Để $\frac{n + 7}{3 n - 1}$ là số nguyên

$\Rightarrow n + 7 ⋮ 3 n - 1$

$\Rightarrow 6 n + 42 ⋮ 3 n - 1$

$\Rightarrow 6 n - 2 + 44 ⋮ 3 n - 1$

$\Rightarrow 2 (3 n - 1) + 44 ⋮ 3 n - 1$

$\Rightarrow 44 ⋮ 3 n - 1$ ( vì $2 (3 n - 1) ⋮ 3 n - 1$ )

$\Rightarrow 3 n - 1 \in Ư (44) = {\pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 11; \pm 44}$

$\Rightarrow 3 n \in {2; 0; 3; - 1; 5; - 3; 12; - 10; 45; - 43}$

$\Rightarrow n \in {\frac{2}{3}; 0; 1; \frac{- 1}{3}; \frac{5}{3}; - 1; 4; \frac{- 10}{3}; 15; \frac{- 43}{3}}$

Mà $n \in ℤ$

$\Rightarrow n \in {0; 1; - 1; 4; 15}$

*Phương pháp giải:

Để phân số là số nguyên thì tử phải chia hết cho mẫu

*Lý thuyết:

1. Làm quen với số nguyên âm

Số nguyên âm được ghi như sau: −1; −2; −3; … và được đọc là: âm một, âm hai, âm ba, … hoặc trừ một, trừ hai, trừ ba, …

Ví dụ: Ta lấy vị trí tại mặt đất làm mốc. Đáy vịnh Cam Ranh thấp hơn mặt đất là 32 m. Tức là, độ cao của đáy vịnh Cam Ranh là – 32 m.

2. Tập hợp số nguyên

Các số tự nhiên khác 0 còn được gọi là các số nguyên dương.

− Số nguyên dương có thể được viết là: +1; +2; +3; … hoặc thông thường bỏ đi dấu “+” và chỉ ghi là: 1; 2; 3; …

Các số −1; −2; −3; … là các số nguyên âm.

Số 0 không phải là số nguyên âm và cũng không phải là số nguyên dương.

Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương được gọi là tập hợp số nguyên.

Ta kí hiệu tập hợp số nguyên là $ℤ$ . Như vậy, ta có:

$ℤ$ = {…; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; …}.

3. Biểu diễn số nguyên trên trục số

Người ta biểu diễn các số nguyên như trong hình dưới đây.

Hình biểu diễn các số nguyên như trên gọi là trục số.

Điểm 0 (không) được gọi là điểm gốc của trục số.

Chiều từ trái sang phải gọi là chiều dương, chiều từ phải sang trái gọi là chiều âm của trục số.

Điểm biểu diễn số nguyên a trên trục số gọi là điểm a.

Xem thêm

Lý thuyết Tập hợp các số nguyên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 322:

Trắc nghiệm Mệnh đề có đáp án – Toán lớp 10

Tìm tất cả số tự nhiên n để $C = n^{4} - 8 n^{3} + 23 n^{2} - 26 n + 10$

Xem đáp án

Lời giải

$C = n^{4} - 8 n^{3} + 23 n^{2} - 26 n + 10$

$= (n^{2} - 2 n + 1) n^{2} - (n^{2} - 2 n + 1) . 6 n + (n^{- 2} n + 1) . 10$

$= (n^{2} - 2 n + 1) (n^{2} - 6 n + 10)$

$= {(n - 1)}^{2} (n^{2} - 6 n + 10)$

Xét $n = 1 \to C = 0 (t m)$

Xét $n \neq 1$ . Để $C$ là số chính phương thì

$n^{2} - 6 n + 10$ là số chính phương

Đặt $n^{2} - 6 n + 10 = k^{2} (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow {(n - 3)}^{2} - k^{2} = - 1$

$\Leftrightarrow (n - 3 - k) (n - 3 + k) = - 1$

Xét ${\begin{cases} n - 3 - k = 1 \\ n - 3 + k = - 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} n = 3 \\ k = - 1 \end{cases} (t m)$

Xét ${\begin{cases} n - 3 - k = - 1 \\ n - 3 + k = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} n = 3 \\ k = 1 \end{cases} (t m)$

Vậy $n = 1$ hoặc $n = 3$

*Phương pháp giải:

Áp dụng số chính phương

*Lý thuyết;

Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên (ví dụ 0, 1, 4, 9, 16, ...)

Xem thêm

Lý thuyết Xác suất của biến cố – Toán 10 Chân trời sáng tạo

Câu 323:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (mới + Bài Tập) – Toán 11

Chứng minh rằng nếu cos(a+b)=0 thì sin(a+2b)=sin a

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

+ Áp dụng khi a = 0; phương trình cosx = 0 có các nghiệm là: $x = \frac{π}{2} + k π; k \in ℤ$ .

*Lý thuyết:

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $|cosx| \leq 1$ với mọi x.

- Trường hợp $|a| \leq 1$ .

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x = \pm α + k 2 π; k \in ℤ$

- Chú ý:

a) Phương trình cosx = cosα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

b) Phương trình cos x= cosβ⁰ có các nghiệm là $x = \pm β^{0} + k 360^{0}; k \in ℤ$

c) Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\{\begin{matrix} 0 \leq α \leq π \\ \cos α = a \end{matrix}$ thì ta viết α = arccosa (đọc là ac – cosin- a, có nghĩa là cung có cosin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình cos x = a còn được viết là:

$x = \pm \arccos a + k 2 π; k \in ℤ$

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1; phương trình cosx = 1 có các nghiệm là: $x = k 2 π; k \in ℤ$ .

+ Khi a = – 1; phương trình cosx = – 1 có các nghiệm là: $x = π + k 2 π; k \in ℤ$

+ Khi a = 0; phương trình cosx = 0 có các nghiệm là: $x = \frac{π}{2} + k π; k \in ℤ$ .

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án ) – Toán 11

Câu 324:

Lý thuyết Số nguyên tố chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Tìm số nguyên tố o sao cho p + 2 ; p + 6 ; p + 8 ; p + 12 ; p + 14 cũng là các số nguyên tố.

Xem đáp án

Lời giải

Xét p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4 là hợp số [loại]

Xét p = 3 thì p + 6 = 3 + 6 = 9 là hợp số [loại]

Xét p = 5 thì p + 2 ; p + 6 ; p + 8 ; p + 12 ; p + 14 đều là SNT [thỏa mãn]

Xét p > 5 Thì có các dạng : 5k + 1; 5k + 2; 5k + 3; 5k + 4

Nếu p = 5k + 1 thì p + 14 = 5k + 1 + 14 = 5k + 15 là hợp số mà p > 5 nên p = 5k + 1 là hợp số [loại]

Nếu p = 5k + 2 thì p + 8 = 5k + 2 + 8 = 5k + 10 là hợp số [loại]

Nếu p = 5k + 3 thì p + 12 = 5k + 3 + 12 = 5k + 15 là hợp số [loại]

Nếu p = 5k + 4 thì p + 6 = 5k + 6 = 4 + 6 = 5k + 10 là hợp số [loại]

Do đó, trường hợp p > 5 không có số nào thỏa mãn

Vậy p = 5 thỏa mãn đề bài.

*Phương pháp giải:

Nắm chắc lý thuyết số nguyên tố và hợp số để phân biệt

*Lý thuyết:

1. Số nguyên tố và hợp số

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

- Hợp số là số tự nhiên lơn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Mọi số đều có thể phân tích ra tích của các thừa số nguyên tố

Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố:

+) Phương pháp phân tích bằng sơ đồ cây

+) Phương pháp phân tích bằng sơ đồ cột

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Số nguyên tố. Hợp số (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 325:

50 Bài tập Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức Toán 9 mới nhất

Tính giá trị của biểu thức P= 23+27-75-12

Xem đáp án

Lời giải

$P = 2 \sqrt{3} + \sqrt{27} - \sqrt{75} - \sqrt{12}$

$P = 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 ² .3} - \sqrt{5 ² .3} - \sqrt{2 ² .3}$

$P = 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

$P = - 2 \sqrt{3}$

*Phương pháp giải:

Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẩu của biểu thức lấy căn; trục căn thức ở mẫu).

*Lý thuyết:

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Nếu a là một số và b là một số không âm thì $\sqrt{a^{2} . b} = | a | \sqrt{b}$ .

Với những căn thức bậc hai mà biểu thức dưới dấu căn có mẫu, ta thường khử mẫu của biểu thức lấy căn (biến đổi căn thức bậc hai đó thành một biểu thức mà trong căn thức không còn mẫu).

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Phép đưa thừa số vào trong dấu căn

- Nếu a và b là hai số không âm thì $a \sqrt{b} = \sqrt{a^{2} b}$ .

- Nếu a là số âm và b là số không âm thì $a \sqrt{b} = - \sqrt{a^{2} b}$ .

3. Trục căn thức ở mẫu

Cách trục căn thức ở mẫu

- Với các biểu thức A, B và B > 0, ta có $\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A \sqrt{B}}{B}$ .

- Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0, A \neq B^{2}$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} + B} = \frac{C (\sqrt{A} - B)}{A - B^{2}}; \frac{C}{\sqrt{A} - B} = \frac{C (\sqrt{A} + B)}{A - B^{2}}$ .

- Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0, B \geq 0, A \neq B$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} - \sqrt{B})}{A - B}; \frac{C}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} + \sqrt{B})}{A - B}$ .

4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẩu của biểu thức lấy căn; trục căn thức ở mẫu).

Xem thêm

Lý thuyết Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai – Toán lớp 9 Kết nối tri thức

Câu 326:

Lý thuyết Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử – Toán lớp 8 Cánh diều

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức

*Lý thuyết:

1. Khái niệm

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp vận dụng trực tiếp bằng hằng đẳng thức

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^{2} - 8 x + 16$ thành nhân tử:

$x^{2} - 8 x + 16 = x^{2} - 2. x .4 + 4^{2} = (x - 4)^{2}$

3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp vận dụng hằng đẳng thức thông qua nhóm số hạng và đặt nhân tử chung

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hằng đẳng thức (có đáp án ) - Toán 8

Câu 327:

Lý thuyết Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử – Toán lớp 8 Cánh diều

Phân tích đa thức thành nhân tử

$x^{2}$ -5xy+6 $y^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

x² - 5xy + 6y²

⇔ x² - 5xy + $\frac{25}{4}$ y² - $\frac{1}{4}$ y²

⇔ ( x - $\frac{5}{2}$ )² - ( $\frac{1}{2}$ y)²

⇔ ( x - $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ )( x - $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ )

⇔ ( x - 2)( x - 3)

*Phương pháp giải:

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$

*Lý thuyết:

1. Khái niệm

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp vận dụng trực tiếp bằng hằng đẳng thức

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^{2} - 8 x + 16$ thành nhân tử:

$x^{2} - 8 x + 16 = x^{2} - 2. x .4 + 4^{2} = (x - 4)^{2}$

3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp vận dụng hằng đẳng thức thông qua nhóm số hạng và đặt nhân tử chung

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hằng đẳng thức (có đáp án ) - Toán 8

Câu 328:

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn (mới + Bài Tập) – Toán 9

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{2 x - 2}$ có đồ thị (C). Gọi $M (x_{0}; y_{0}), x_{0} > 0$ là điểm thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho $S_{Δ O I B} = 8 S_{Δ O I A}$ ( I là giao hai đường tiệm cận). Giá trị biểu thức $S = x_{0} - 4 y_{0}$ bằng

Cho hàm số y=2x-1/2x-2 có đồ thị (C). Gọi M(x0,y0),x0>0 là điểm thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng (ảnh 1)

A. $\frac{13}{4}$

B.-2

C.2

D. $\frac{7}{4}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Lời giải

Do góc $\hat{O I A} = \hat{O I B}$ nên $\frac{S_{Δ O I A}}{S_{Δ O I B}} = \frac{I A}{I B} = \frac{1}{8}$ .

Mà $|k| = \tan \hat{I B A} = \frac{I A}{I B}$ nên $|k| = \frac{1}{8} \Leftrightarrow k = \pm \frac{1}{8}$ .

Mặt khác $k = y^{'} (x_{0}) = \frac{- 2}{4 {(x_{0} - 1)}^{2}} < 0 \Rightarrow k = - \frac{1}{8}$

$\Leftrightarrow \frac{- 1}{2 {(x_{0} - 1)}^{2}} = - \frac{1}{8} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 3 \\ x_{0} = - 1 \end{array}$ .

Do $x_{0} > 0$ nên $x_{0} = 3 \Rightarrow y_{0} = \frac{5}{4} \Rightarrow S = x_{0} - 4 y_{0} = - 2$

*Phương pháp giải:

Áp dụng tỉ số lượng giác

*Lý thuyết:

1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cos α.

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α.

Nhận xét: Nếu α là một góc nhọn thì:

0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1; tan α > 0; cot α > 0.

Xem thêm

50 bài tập về Tỉ số lượng giác của góc nhọn (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 329:

Các dạng bài tập về Phương trình bậc hai một ẩn (2025) và cách giải

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n) = 360 − 10n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích để khối lượng cá sau một vụ thu được nhiều nhất?

A.12

B.18

C.36

D.40

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng giải phương trình bậc 2 một ẩn

*Lý thuyết:

- Dạng tổng quát: a $x^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Biệt thức: $Δ = b^{2}$ - 4ac; $Δ' = b'^{2}$ - ac (với b = 2b’)

- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}; x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

- Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn:

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = - \frac{b'}{a}$

+) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b' - \sqrt{Δ'}}{a}; x_{2} = \frac{- b' - \sqrt{Δ'}}{a}$

- Hệ thức Vi – ét: Cho phương trình bậc hai một ẩn a $x^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) . Nếu $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm của phương trình thì ta có:

$\{\begin{cases} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ P = x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} \end{cases}$

Xem thêm

Phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 330:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án ) – Toán 11

Phương trình sin5x - sinx = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[- 2018 π, 2018 π]$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:
$\sin 5 x - \sin x = 0$
$\to \sin 5 x = \sin x$
$\to 5 x = x + k 2 π$ hoặc $5 x = π - x + q 2 π$
$\to 4 x = k 2 π$ hoặc $6 x = π + q 2 π, (k, q \in Z)$
$\to x = \frac{1}{2} k π$ hoặc $x = \frac{1}{6} π + \frac{1}{3} q π$

Số nghiệm $x_{1} = \frac{1}{2} k π$ thuộc $[- 2018 π, 2018 π]$ là:
$- 2018 π \leq \frac{1}{2} k π \leq 2018 π$
$\to - 4036 \leq k \leq 4036$
$\to$ Có $8073$ nghiệm
Số nghiệm $x_{2} = \frac{1}{6} π + \frac{1}{3} q π$ thuộc đoạn $[- 2018 π, 2018 π]$ là:
$- 2018 π \leq \frac{1}{6} π + \frac{1}{3} q π \leq 2018 π$
$\to - 6054 \leq q \leq 6053$
$\to$ Có $12108$

Nếu $x_{1} = x_{2} \to \frac{1}{2} k π = \frac{1}{6} π + \frac{1}{3} q π$

$\to 3 k = 2 q + 1$

$\to k$ lẻ

$\to k = 2 m + 1, m \in Z$

$\to 3 (2 m + 1) = 2 q + 1 \to q = 3 m + 1$ $\to x_{3} = \frac{1}{6} π + \frac{1}{3} (3 m + 1) π$ là $2$ nghiệm trùng nhau

$\to$ Số nghiệm trùng nhau trong đoạn $[- 2018 π, 2018 π]$ là:

$- 2018 π \leq \frac{1}{6} π + \frac{1}{3} (3 m + 1) π \leq 2018 π$

$\to - 2018 \leq m \leq 2017$

$\to$ Số nghiệm trùng nhau là $4036$

$\to$ Số nghiệm của phương trình $\sin 5 x - \sin x = 0$ trong đoạn $[- 2018 π, 2018 π]$ là:

$8073 + 12108 - 4036 = 16145$

*Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác tìm nghiệm rồi cho nghiệm thuộc đoạn đề bài yêu cầu

*Lý thuyết:

Phương trình sinx = a.

Xét phương trình sinx = a (1)

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình (1) vô nghiệm vì |sinx| ≤ 1 với mọi x.

- Trường hợp |a| ≤ 1

Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình sinx = a có các nghiệm là:

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\{\begin{matrix} \frac{- π}{2} \leq α \leq \frac{π}{2} \\ \sin α = a \end{matrix}$ thì ta viết α = arcsina (đọc là ac-sin-a; nghĩa là cung có sin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là:

- Chú ý:

a) Phương trình sinx = sinα; với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x = α + k 2 π$ và $x = π - α + k 2 π; k \in ℤ$

Tổng quát:

b) Phương trình sinx = sinβ⁰ có các nghiệm là:

c) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lương giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1: Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là $x = \frac{π}{2} + k 2 π; k \in ℤ$ .

+ Khi a = – 1: Phương trình sinx = – 1 có các nghiệm là $x = - \frac{π}{2} + k 2 π; k \in ℤ$ .

+ Khi a = 0: Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là $x = k π; k \in ℤ$ .

Xem thêm

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (mới + Bài Tập) – Toán 11

Câu 331:

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Rút gọn $2^{3} \times 4$ bằng bao nhiêu

Xem đáp án

Lời giải

$2^{3} \times 4 = 32$

*Phương pháp giải:

Ta có $2^{3}$ =8 : 8.4=32

*Lý thuyết:

+ Lũy thừa bậc n của số tự nhiên a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

$a^{n} = \underset{n t h ö ø a s o á}{\underset{⏟}{a . a .... a}} (n \in ℕ^{*})$

aⁿ đọc là “a mũ n” hoặc “ a lũy thừa n”, a là cơ số, n là số mũ.

Chú ý: Ta có a¹= a.

a² cũng được gọi là a bình phương (hay bình phương của a);

a³ cũng được gọi là a lập phương (hay lập phương của a).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 332:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Rút gọn M = sin(x – y)cosy + cos(x – y)siny.

Xem đáp án

Lời giải

sin(x – y) cosy + cos(x – y) siny

= (sinx.cosy – cosx.siny).cosy + (cosx.cosy + sinx.siny).siny

= sinx .(cos²y + sin²y)

= sinx.

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 333:

Trọn bộ công thức lũy thừa cần nhớ và cách giải các dạng bài tập

Rút gọn hai biểu thức rồi quy đồng $\frac{2^{5} . 7 + 2^{5}}{2^{5} . 5^{2}} v à \frac{3^{4} . 5 - 3^{6}}{3^{4} . 13 + 3^{4}}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

*Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của luỹ thừa

Sau đó tìm BCNN rồi quy đồng

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau

2. Các loại lũy thừa

Dạng 1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Cho $a \in ℝ$ , $n \in ℕ^{*}$ . Khi đó: $a^{n} = \underset{n s ô a}{\underset{⏟}{a . a ... a}}$

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho $a \neq 0$ . Khi đó: $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}; a^{0} = 1$

VD: $2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$

- Chú ý: Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

+ $0^{0}$ và $0^{- n}$ không có nghĩa.

Dạng 2. Căn bậc n

- Cho số thực b và số nguyên dương $n \geq 2$ .

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu $a^{n} = b$

VD: 4 là căn bậc ba của 64 vì $4^{3} = 64$

- Khi n lẻ, $b \in ℝ$ : Tồn tại duy nhất $\sqrt[n]{b}$

Dạng 3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

- Cho số thực $a > 0$ và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ , trong đó $m \in ℤ, n \geq 2$

Khi đó: $a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ . VD: $2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$

Dạng 4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

- Giả sử a là một số dương, $α$ là một số vô tỉ, $(r_{n})$ là một dãy số hữu tỉ sao cho $\lim_{n \to + \infty} r_{n} = α$ . Khi đó: $a^{α} = \lim_{n \to + \infty} a^{r_{n}}$

Xem thêm

50 bài toán về công thức lũy thừa, logarit (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 334:

Lý thuyết Số nguyên âm chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Nêu nhận xét về lũy thừa bậc chẵn, bậc lẻ của một số nguyên âm?

Xem đáp án

Lời giải

Lũy thừa bậc chẵn của một số nguyên âm luôn lớn hơn hoặc bằng 0 tức là nguyên dương

Lũy thừa bậc âm của một số nguyên âm luôn bé hơn 0 tức là nguyên âm

*Phương pháp giải:

Nắm được lý thuyết số nguyên âm và nguyên dương

*Lý thuyết:

+ Các số – 1, – 2, – 3, ... là các số nguyên âm. Số nguyên âm được nhận biết bằng dấu “–” ở trước số tự nhiên khác 0.

+ Số nguyên âm được sử dụng trong nhiều tình huống thực tiễn cuộc sống.

Số tự nhiên khác 0 còn được gọi là số nguyên dương.

+ Các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương tạo thành tập hợp các số nguyên.

+ Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là $ℤ$

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Số nguyên âm (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 335:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới + Bài Tập) – Toán 8

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Tách S ra để xuất hiện nhân tử chung là 2^2 trong ngoặc sẽ giống với biểu thức M

*Lý thuyết:

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử (lưu ý tới tính chất A = – (– A)).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8

Câu 336:

Bài 2

a) Tính 1+2+3+.....+1999

b) Tính tổng tất cả các số tự nhiên có ba chữ số

c) Tính tổng tất cả số lẻ có ba chữ số

Xem đáp án

Lời giải

Bài 2:
a)
Số số hạng: (1999-1):1+1=1999 (số)
Tổng: (1+1999).1999:2=1999000
b)
Số số hạng: (999-100):1+1=900 (số)
Tổng: (100+999).900:2=454050
c)
Số số hạng: (999-101):2+1=450 (số)
Tổng: (101+999).450:2=247500
Công thức: Tổng = (Số đầu + Số cuối) . Số số hạng : 2
*Phương pháp giải:
Công thức: Tổng = (Số đầu + Số cuối) . Số số hạng : 2
*Lý thuyết;
Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một số chẵn... Vì vậy, nếu:
- Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn.
- Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng số lượng các số lẻ.
- Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số lẻ nhiều hơn các số chẵn là 1 số.
- Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lượng các số chẵn nhiều hơn các số lẻ là 1 số.
a. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lượng các số trong dãy số chính bằng giá trị của số cuối cùng của số ấy.
b. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số 1 thì số lượng các số trong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên.
Xem thêm
Chuyên đề Dãy số tự nhiên, dãy số theo quy luật lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án) 
50 bài tập về Dãy số (có đáp án 2025) và cách giải 

Câu 337:

Trọn bộ công thức lũy thừa cần nhớ và cách giải các dạng bài tập

Cho S= $4 + 4^{2} + 4^{3} + . . . . + 4^{9} + 4^{10}$ .Tìm số tự nhiên n biết 3S+4= $4^{n}$

Xem đáp án

Lời giải

Xét $S = 4 + 4^{2} + 4^{3} + ... + 4^{9} + 4^{10}$

$4 S = 4^{2} + 4^{3} + 4^{4} + ... + 4^{10} + 4^{11}$

$4 S - S = (4^{2} + 4^{3} + ... + 4^{10} + 4^{11}) - (4 + 4^{2} + ... + 4^{9} + 4^{10})$

$3 S = 4^{11} - 4$

$\Rightarrow 3 S + 4 = 4^{11} - 4 + 4 = 4^{11}$

Mà $3 S + 4 = 4^{n} \Rightarrow 4^{11} = 4^{n}$

$\Rightarrow n = 11$

Vậy $n = 11$

*Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của luỹ thừa

Sau đó tìm BCNN rồi quy đồng

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau

2. Các loại lũy thừa

Dạng 1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Cho $a \in ℝ$ , $n \in ℕ^{*}$ . Khi đó: $a^{n} = \underset{n s ô a}{\underset{⏟}{a . a ... a}}$

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho $a \neq 0$ . Khi đó: $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}; a^{0} = 1$

VD: $2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$

- Chú ý: Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

+ $0^{0}$ và $0^{- n}$ không có nghĩa.

Dạng 2. Căn bậc n

- Cho số thực b và số nguyên dương $n \geq 2$ .

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu $a^{n} = b$

VD: 4 là căn bậc ba của 64 vì $4^{3} = 64$

- Khi n lẻ, $b \in ℝ$ : Tồn tại duy nhất $\sqrt[n]{b}$

Dạng 3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

- Cho số thực $a > 0$ và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ , trong đó $m \in ℤ, n \geq 2$

Khi đó: $a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ . VD: $2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$

Dạng 4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

- Giả sử a là một số dương, $α$ là một số vô tỉ, $(r_{n})$ là một dãy số hữu tỉ sao cho $\lim_{n \to + \infty} r_{n} = α$ . Khi đó: $a^{α} = \lim_{n \to + \infty} a^{r_{n}}$

Xem thêm

50 bài toán về công thức lũy thừa, logarit (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 338:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án ) – Toán 11

Phương trình $\sin (πcos 2 x) = 1$ có nghiệm là:

Xem đáp án

Lời giải

và do đó phương trình đã cho tương đương với

*Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác

*Lý thuyết:

Phương trình cosx = a.

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $|cosx| \leq 1$ với mọi x.

- Trường hợp $|a| \leq 1$ .

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x = \pm α + k 2 π; k \in ℤ$

- Chú ý:

a) Phương trình cosx = cosα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

b) Phương trình cos x= cosβ⁰ có các nghiệm là $x = \pm β^{0} + k 360^{0}; k \in ℤ$

c) Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\{\begin{matrix} 0 \leq α \leq π \\ \cos α = a \end{matrix}$ thì ta viết α = arccosa (đọc là ac – cosin- a, có nghĩa là cung có cosin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình cos x = a còn được viết là:

$x = \pm \arccos a + k 2 π; k \in ℤ$

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1; phương trình cosx = 1 có các nghiệm là: $x = k 2 π; k \in ℤ$ .

+ Khi a = – 1; phương trình cosx = – 1 có các nghiệm là: $x = π + k 2 π; k \in ℤ$

+ Khi a = 0; phương trình cosx = 0 có các nghiệm là: $x = \frac{π}{2} + k π; k \in ℤ$ .

Xem thêm

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (mới + Bài Tập) – Toán 11

Câu 339:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án ) – Toán 11

Sin6x × sin2x = cos3x cosx

Xem đáp án

Lời giải

sin(2x).sin(6x) = cos(x).cos(3x)

( сos(6x-2x) - cos(6x+2x) ) / 2 = ( cos(3x+x) +cos(3x-x) ) / 2

cos4x -cos8x = cos4x + cos2x

cos8x +cos2x =0

2cos( (8x+2x)/2) .cos( (8x-2x)/2)=0

cos5x.cos3x =0

cos5x = 0 hoặc cos3x =0

⇒5x =π/2 +πk hoặc 3x =π/2 +πk (k∈ℤ)

⇔x =π/10 +πk/5 hoặc x =π/6 +πk/3 (k∈ℤ)

*Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác cosx

*Lý thuyết:

Phương trình cosx = a.

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $|cosx| \leq 1$ với mọi x.

- Trường hợp $|a| \leq 1$ .

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x = \pm α + k 2 π; k \in ℤ$

- Chú ý:

a) Phương trình cosx = cosα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

b) Phương trình cos x= cosβ⁰ có các nghiệm là $x = \pm β^{0} + k 360^{0}; k \in ℤ$

c) Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\{\begin{matrix} 0 \leq α \leq π \\ \cos α = a \end{matrix}$ thì ta viết α = arccosa (đọc là ac – cosin- a, có nghĩa là cung có cosin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình cos x = a còn được viết là:

$x = \pm \arccos a + k 2 π; k \in ℤ$

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1; phương trình cosx = 1 có các nghiệm là: $x = k 2 π; k \in ℤ$ .

+ Khi a = – 1; phương trình cosx = – 1 có các nghiệm là: $x = π + k 2 π; k \in ℤ$

+ Khi a = 0; phương trình cosx = 0 có các nghiệm là: $x = \frac{π}{2} + k π; k \in ℤ$ .

Xem thêm

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (mới + Bài Tập) – Toán 11

Câu 340:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Chứng minh $\sin a + \cos a = \sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4})$

Xem đáp án

Lời giải

$\sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} (\sin a . \cos \frac{π}{4} + \sin \frac{π}{4} . \cos a) = \sqrt{2} . (\sin a . \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} . \cos a)$

$= \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} . (\sin a + \cos a) = \sin a + \cos a$

$\sin a + \cos a = \sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4})$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 341:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

Áp dụng công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 342:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Chứng minh biểu thức lượng giác $\sin^{2} x - \tan^{2} x = \tan^{6} x . (\cos^{2} x - c o t^{2} x)$

Xem đáp án

Lời giải

$V P = \tan^{6} x . (\cos^{2} x - \cot^{2} x)$

$= \tan^{6} x . \frac{c o s^{2} x . \sin^{2} x - \cos^{2} x}{\sin^{2} x}$

$= \tan^{6} x . \frac{- \cos^{4} x}{\sin^{2} x}$

$= \frac{\sin^{6} x}{\cos^{6} x} . \frac{- \cos^{4} x}{\sin^{2} x}$

$= \frac{\sin^{4} x}{- \cos^{2} x}$

$= \frac{\sin^{2} x . \sin^{2} x}{- \cos^{2} x}$

$= \sin^{2} x . (- \tan^{2} x)$

$= V T$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 343:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Nếu sin⁡x + cos⁡ x = $\frac{1}{2}$ thì 3sin⁡x + 2cos⁡x bằng

A. $\frac{5 + \sqrt{7}}{4}$

B. $\frac{5 - \sqrt{5}}{7} h a y \frac{5 + \sqrt{5}}{4}$

C. $\frac{2 - \sqrt{3}}{5} h a y \frac{2 + \sqrt{3}}{5}$

D. $\frac{3 - \sqrt{2}}{5} h a y \frac{3 + \sqrt{2}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là A

Lời giải

Ta có:

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 344:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Chứng minh rằng: $\sin (\frac{π}{24}) . \sin (\frac{5 π}{24}) . \sin (\frac{7 π}{24}) . \sin (\frac{11 π}{24}) = \frac{1}{16}$

Xem đáp án

Lời giải

$V T = (\sin \frac{π}{24} . \sin \frac{11 π}{24}) . (\sin \frac{5 π}{24} . \sin \frac{7 π}{24})$

$= - \frac{1}{2} (\cos \frac{π}{2} - \cos \frac{5 π}{12}) . \frac{- 1}{2} . (\cos \frac{π}{2} - \cos \frac{π}{12})$

$= \frac{1}{4} . (- 1) . (- 1) . \cos \frac{5 π}{12} . \cos \frac{π}{12}$

$= \frac{1}{4} . \frac{1}{2} (\cos \frac{π}{2} + \cos \frac{π}{3})$

$= \frac{1}{4} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2}$

$= \frac{1}{16}$

$= V P$

*Phương pháp giải:

Áp dụng cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 345:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Chứng minh các đồng nhất thức: $\frac{\sin x + \sin (\frac{x}{2})}{1 + \cos x + \cos (\frac{x}{2})} = \tan (\frac{x}{2})$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{\sin x + \sin (\frac{x}{2})}{1 + \cos x + \cos (\frac{x}{2})}$

$= \frac{2 \sin (\frac{x}{2}) . \cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})}{1 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 1 + \cos (\frac{x}{2})}$

$= \frac{\sin (\frac{x}{2}) [2 \cos (\frac{x}{2}) + 1]}{\cos (\frac{x}{2}) [2 \cos (\frac{x}{2}) + 1]}$

$= \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

$= \tan (\frac{x}{2})$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác cơ bản

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 346:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Đơn giản biểu thức D= $\sin (\frac{5 π}{2} - a) + \cos (13 π + a) - 3 \sin (a - 5 π)$

Xem đáp án

Lời giải

Xét từng số hạng:
sin(5π/2 a) = sin(2π + π/2 a) = sin(π/2 a) = cos(a) (vì sin(π/2 x) = cos(x))
cos(13π + a) = cos(6π + π + a) = cos(π + a) = cos(a) (vì cos(π + x) = cos(x))
3sin(a 5π) = 3sin(a 4π π) = 3sin(π a) = 3sin(π + a) = 3cos(a)
Thay các kết quả vào D:

D = cos(a) cos(a) 3cos(a) = 3cos(a)\

*Phương pháp giải:

Công thức chẵn lẻ:
sin(x) = sin(x)
cos(x) = cos(x)
Công thức cộng góc:
sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ
Áp dụng vào biểu thức D:

D = sin(5π/2 a) + cos(13π + a) 3sin(a 5π)

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 347:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Đơn giản các biểu thức $B = \frac{\sin (900 + x) - \cos (450^{0} - x) + c o t (1080^{0} - x) - \tan (630^{0} - x)}{\cos (450^{0} - x) + \sin (630^{0} - x) - \tan (810^{0} + x) - \tan (810^{0} - x)}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có :

sin(900 + x) - cos(450 - x) + cot(1080 - x) + tan(630 - x)

= sin(pi + x + 4pi) - cos(pi/2 - x + 2pi) + cot(-x + 6pi) + tan(-1/2 pi - x + 4pi)

= sin(pi + x) - cos(pi/2 - x) + cot(-x) + tan(-1/2 pi - x)

= -sin(x) - sin(x) - cot(x) - tan(1/2pi + x)

= -2sin(x) - cot(x) + cot(x)

= -2sin(x)

cos(450 + x) + sin(x-630) - tan(810 + x) - tan(810 - x)

= cos(1/2 pi + x + 2pi) + sin(x + pi/2 - 4pi) - tan(1/2 pi + x + 4pi) - tan(1/2 pi - x + 4pi)

= cos(1/2 pi + x) + sin(x + pi/2) - tan(pi/2 + x) - tan(pi/2- x)

= -sin(x) + cos(x) + cot(x) - cot(x)

= cos(x) - sin(x)

=> B = 2sin(x)/(sin(x) - cos(x))

*Phương pháp giải:

Tách ra rút gọn tử rồi rút gọn mẫu riêng

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 348:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Nếu $\sin a = - \frac{\sqrt{2}}{3}$ thì $\sin (a + \frac{π}{4}) + \sin (a - \frac{π}{4})$ bằng:

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{- 2}{3}$

D. $\frac{- 1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Lời giải

Ta có:

$\sin (a + \frac{π}{4}) + \sin (a - \frac{π}{4})$

$= 2 \sin (\frac{a + \frac{π}{4} + a - \frac{π}{4}}{2}) \cos (\frac{a + \frac{π}{4} - a + \frac{π}{4}}{2})$

$= 2 \sin a \cos \frac{π}{4} = 2. (- \frac{\sqrt{2}}{3}) . \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{2}{3}$ .

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

$1 . \cos (a) + \cos (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 2 . \cos (a) - \cos (b) = - 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 3 . \sin (a) + \sin (b) = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 4 . \sin (a) - \sin (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 5 . \tan (a) + \tan (b) = \frac{\sin (a + b)}{\cos (a) . \cos (b)} 6 . \tan (a) - \tan (b) = \frac{\sin (a - b)}{\cos (a) . \cos (b)} 7 . \sin (a) + \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (a - \frac{π}{4}) 8 . \sin (a) - \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a - \frac{π}{4}) = - \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4}) 9 . \tan (a) + c o t (a) = \frac{2}{\sin (2 a)} 10 . c o t (a) - \tan (a) = 2 c o t (2 a) 11 . \sin^{4} (a) + \cos^{4} (a) = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 a) = \frac{1}{4} \cos (4 a) + \frac{3}{4} 12 . \sin^{6} (a) + \cos^{6} (a) = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} (2 a) = \frac{3}{8} \cos (4 a) + \frac{5}{8}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 349:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Tính tỉ số lượng giác của góc 22,5

Xem đáp án

Lời giải

$\sin 45^{o} = \sin (2.22, 5^{o}) = 2 \sin 22, 5^{o} . \cos 22, 5^{o}$

$\Rightarrow \sin 22, 5^{o} . \cos 22, 5^{o} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\Leftrightarrow (\sin 22, 5^{o} . \cos 22, 5^{o})^{2} = \frac{1}{8}$

$\Leftrightarrow \sin^{2} 22, 5^{o} . \cos^{2} 22, 5^{o} = \frac{1}{8}$

$\Leftrightarrow \sin^{2} 22, 5^{o} (1 - \sin^{2} 22, 5^{o}) = \frac{1}{8}$

Đặt $x = \sin^{2} 22, 5^{o}$

$\Rightarrow x (1 - x) = \frac{1}{8}$

$\Leftrightarrow x^{2} - x + \frac{1}{8} = 0$

$\Leftrightarrow x = \sin^{2} 22, 5^{o} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{4}$

Ta có $22, 5^{o} < 45^{o} \Rightarrow \sin 22, 5^{o} < \sin 45^{o}$

$\sin 45^{o} \approx 0, 7$

$+) \sin^{2} 22, 5^{o} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \Leftrightarrow \sin 22, 5^{o} \approx 0, 92$ (Loại)

$+) \sin^{2} 2, 5^{o} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

$\Leftrightarrow \sin 22, 5^{o} \approx 0, 383$ (TM)

$\Rightarrow \cos 22, 5^{o} = \sqrt{1 - \sin^{2} 22, 5^{o}} \approx 0, 924$

$\tan 22, 5^{o} = \frac{\sin 22, 5^{o}}{\cos 22, 5^{o}} \approx 0, 41$

$\cot 22, 5^{o} = \frac{1}{\tan 22, 5^{o}} \approx 2, 44$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác cơ bản

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

$1 . \cos (a) + \cos (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 2 . \cos (a) - \cos (b) = - 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 3 . \sin (a) + \sin (b) = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 4 . \sin (a) - \sin (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 5 . \tan (a) + \tan (b) = \frac{\sin (a + b)}{\cos (a) . \cos (b)} 6 . \tan (a) - \tan (b) = \frac{\sin (a - b)}{\cos (a) . \cos (b)} 7 . \sin (a) + \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (a - \frac{π}{4}) 8 . \sin (a) - \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a - \frac{π}{4}) = - \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4}) 9 . \tan (a) + c o t (a) = \frac{2}{\sin (2 a)} 10 . c o t (a) - \tan (a) = 2 c o t (2 a) 11 . \sin^{4} (a) + \cos^{4} (a) = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 a) = \frac{1}{4} \cos (4 a) + \frac{3}{4} 12 . \sin^{6} (a) + \cos^{6} (a) = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} (2 a) = \frac{3}{8} \cos (4 a) + \frac{5}{8}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 350:

Chứng minh: sin²x + cos²x = 1 (của 1 góc).

Xem đáp án

Lời giải

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\hat{x O M}$ = α

Từ M kẻ MH ⊥ Ox và MK ⊥ Oy. Khi đó:

cosα = $\frac{O H}{O M}$ , sinα = $\frac{O K}{O M}$

Xét tam giác OHK vuông tại O, ta có:

OH² + OK² = HK² (Py – ta – go)

Mà HK = OM

⇒ OH² + OK² = OM²

^{$\sin^{2} α + \cos^{2} α = {(\frac{O K}{O M})}^{2} + {(\frac{O H}{O M})}^{2} = \frac{O K^{2} + O H^{2}}{O M^{2}} = \frac{O M^{2}}{O M^{2}} = 1$}

Vậy sin²x + cos²x = 1

*Phương pháp giải:

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông để chứng minh

*Lý thuyết:

1. Định lí Pytago:

Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

∆ABC vuông tại A: BC²= AB² + AC²

2. Định lí Pytago đảo:

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

∆ABC có BC² = AB² + AC²thì ∆ABC vuông tại A

Xem thêm

Trắc nghiệm Định lý Py - ta - go có đáp án - Toán lớp 7

Định lí Pi-ta-go và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 7

Câu 351:

200 bài tập về những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án 2025) và cách giải

Chứng minh đẳng thức $\sin^{3} x + \cos^{3} x = (\sin x + \cos x) (1 - \sin x . \cos x)$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tổng hai lập phương $A^{3} + B^{3} =$ $(A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

2. Bình phương của một hiệu

${(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

3. Hiệu hai bình phương

$A^{2} - B^{2}$ = (A – B)(A + B)

4. Lập phương của một tổng

${(A + B)}^{3}$ $= A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$

5. Lập phương của một hiệu

${(A - B)}^{3} =$ $A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$

Xem thêm

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo) (năm + Bài Tập) – Toán 8

Câu 352:

Lý thuyết Tổng ba góc của một tam giác – Toán 7 Cánh diều

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

$\frac{\sin^{3} \frac{B}{2}}{\cos (\frac{A + 2 B + C}{2})} - \frac{\cos^{3} \frac{B}{2}}{\sin (\frac{A + 2 B + C}{2})}$ = $\tan A . c o t (B + C)$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{\sin^{3} \frac{B}{2}}{\cos (\frac{A + 2 B + C}{2})} - \frac{\cos^{3} \frac{B}{2}}{\sin (\frac{A + 2 B + C}{2})}$

$= \frac{\sin^{3} \frac{B}{2}}{\cos \frac{180^{o} + B}{2}} - \frac{\cos^{3} \frac{B}{2}}{\sin \frac{180^{o} + B}{2}}$

$= \frac{\sin^{3} \frac{B}{2}}{\cos (90^{o} + \frac{B}{2})} - \frac{\cos^{3} \frac{B}{2}}{\sin (90^{\oplus} \frac{B}{2})}$

$= \frac{\sin^{3} \frac{B}{2}}{- \sin \frac{B}{2}} - \frac{\cos^{3} \frac{B}{2}}{\cos \frac{B}{2}}$

$= - \sin^{2} \frac{B}{2} - \cos^{2} \frac{B}{2}$

$= - 1$ $(1)$

$\tan A \cdot \cot (B + C)$

$= \tan A \cdot \cot (180^{o} - A)$

$= - \tan A \cdot \cot A$

$= - 1$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow$ đpcm

*Phương pháp giải:

Áp dụng 3 góc trong một tam giác có tổng bằng 180

*Lý thuyết:

– Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng 180°.

– Chú ý:

+ Tam giác có ba góc cùng nhọn gọi là tam giác nhọn.

+ Tam giác có một góc vuông gọi là tam giác vuông.

+ Tam giác có một góc tù gọi là tam giác tù.

- Nhận xét: Trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°.

– Chú ý: Góc ngoài của tam giác

+ Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc trong của một tam giác đó.

+ Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Tổng các góc trong một tam giác (Kết nối tri thức ) có đáp án

Câu 353:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Chứng minh các hệ thức sau:

b) $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{{cos}^{2} α} (α \neq 90^{0});$

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có:

$1 + \tan^{2} α = 1 + {(\frac{\sin α}{\cos α})}^{2} = 1 + \frac{\sin^{2} α}{{cos}^{2} α} = \frac{{cos}^{2} α + \sin^{2} α}{{cos}^{2} α} = \frac{1}{{cos}^{2} α} (α \neq 90^{0});$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác cơ bản

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

$1 . \cos (a) + \cos (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 2 . \cos (a) - \cos (b) = - 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 3 . \sin (a) + \sin (b) = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 4 . \sin (a) - \sin (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 5 . \tan (a) + \tan (b) = \frac{\sin (a + b)}{\cos (a) . \cos (b)} 6 . \tan (a) - \tan (b) = \frac{\sin (a - b)}{\cos (a) . \cos (b)} 7 . \sin (a) + \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (a - \frac{π}{4}) 8 . \sin (a) - \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a - \frac{π}{4}) = - \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4}) 9 . \tan (a) + c o t (a) = \frac{2}{\sin (2 a)} 10 . c o t (a) - \tan (a) = 2 c o t (2 a) 11 . \sin^{4} (a) + \cos^{4} (a) = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 a) = \frac{1}{4} \cos (4 a) + \frac{3}{4} 12 . \sin^{6} (a) + \cos^{6} (a) = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} (2 a) = \frac{3}{8} \cos (4 a) + \frac{5}{8}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 354:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Chứng minh các hệ thức sau:

c) $1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α} (0^{0} < α < 180^{0}) .$

Xem đáp án

Lời giải

c) Ta có:

1 + \cot^{2} α = 1 + {(\frac{c o s α}{\sin α})}^{2} = 1 + \frac{c o s^{2} α}{{sin}^{2} α} = \frac{{cos}^{2} α + \sin^{2} α}{{sin}^{2} α} = \frac{1}{{sin}^{2} α} (0^{0} < α < 180^{0});

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác cơ bản

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

$1 . \cos (a) + \cos (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 2 . \cos (a) - \cos (b) = - 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 3 . \sin (a) + \sin (b) = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 4 . \sin (a) - \sin (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 5 . \tan (a) + \tan (b) = \frac{\sin (a + b)}{\cos (a) . \cos (b)} 6 . \tan (a) - \tan (b) = \frac{\sin (a - b)}{\cos (a) . \cos (b)} 7 . \sin (a) + \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (a - \frac{π}{4}) 8 . \sin (a) - \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a - \frac{π}{4}) = - \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4}) 9 . \tan (a) + c o t (a) = \frac{2}{\sin (2 a)} 10 . c o t (a) - \tan (a) = 2 c o t (2 a) 11 . \sin^{4} (a) + \cos^{4} (a) = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 a) = \frac{1}{4} \cos (4 a) + \frac{3}{4} 12 . \sin^{6} (a) + \cos^{6} (a) = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} (2 a) = \frac{3}{8} \cos (4 a) + \frac{5}{8}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 355:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Chứng minh rằng:

a) $\cos a - \sin a = \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4})$ ;

Xem đáp án

Lời giải

a) $V P = \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} (\cos a \cos \frac{π}{4} - \sin a \sin \frac{π}{4})$ $= \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a)$

$= \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos a - \sin a) = \cos a - \sin a = V T$ .

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng lượng giác

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

$1 . \cos (a) + \cos (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 2 . \cos (a) - \cos (b) = - 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 3 . \sin (a) + \sin (b) = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 4 . \sin (a) - \sin (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 5 . \tan (a) + \tan (b) = \frac{\sin (a + b)}{\cos (a) . \cos (b)} 6 . \tan (a) - \tan (b) = \frac{\sin (a - b)}{\cos (a) . \cos (b)} 7 . \sin (a) + \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (a - \frac{π}{4}) 8 . \sin (a) - \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a - \frac{π}{4}) = - \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4}) 9 . \tan (a) + c o t (a) = \frac{2}{\sin (2 a)} 10 . c o t (a) - \tan (a) = 2 c o t (2 a) 11 . \sin^{4} (a) + \cos^{4} (a) = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 a) = \frac{1}{4} \cos (4 a) + \frac{3}{4} 12 . \sin^{6} (a) + \cos^{6} (a) = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} (2 a) = \frac{3}{8} \cos (4 a) + \frac{5}{8}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 356:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Chứng minh rằng:

b) $\sin a + \sqrt{3} \cos a = 2 \sin (a + \frac{π}{3})$ .

Xem đáp án

Lời giải

b) $V P = 2 \sin (a + \frac{π}{3}) = 2 (\sin a \cos \frac{π}{3} + \cos a \sin \frac{π}{3})$

$= 2 (\frac{1}{2} \sin a + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos a)$ $= \sin a + \sqrt{3} \cos a = V T$ .

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng lượng giác

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

$1 . \cos (a) + \cos (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 2 . \cos (a) - \cos (b) = - 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 3 . \sin (a) + \sin (b) = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 4 . \sin (a) - \sin (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 5 . \tan (a) + \tan (b) = \frac{\sin (a + b)}{\cos (a) . \cos (b)} 6 . \tan (a) - \tan (b) = \frac{\sin (a - b)}{\cos (a) . \cos (b)} 7 . \sin (a) + \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (a - \frac{π}{4}) 8 . \sin (a) - \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a - \frac{π}{4}) = - \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4}) 9 . \tan (a) + c o t (a) = \frac{2}{\sin (2 a)} 10 . c o t (a) - \tan (a) = 2 c o t (2 a) 11 . \sin^{4} (a) + \cos^{4} (a) = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 a) = \frac{1}{4} \cos (4 a) + \frac{3}{4} 12 . \sin^{6} (a) + \cos^{6} (a) = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} (2 a) = \frac{3}{8} \cos (4 a) + \frac{5}{8}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 357:

Tất tần tật về Định lí Sin chi tiết nhất

Chứng minh với mọi tam giác ABC ta có : SinC =SinA.CosB + SinB.CosC

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R \\ \Rightarrow \frac{\sin A}{\sin C} = \frac{a}{c}; \frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c} \\ \frac{\sin A . \cos B + \sin B . cosA}{sinC} \\ = \frac{\sin A}{\sin C} . \cos B + \frac{\sin B}{\sin C} . cosA \\ = \frac{a}{c} . \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} + \frac{b}{c} . \frac{c^{2} + b^{2} - a^{2}}{2 c b} \\ = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 c^{2}} + \frac{c^{2} + b^{2} - a^{2}}{2 c^{2}} \\ = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2} + c^{2} + b^{2} - a^{2}}{2 c^{2}} \\ = \frac{2 c^{2}}{2 c^{2}} \\ = 1 \\ \Rightarrow \sin A \cos B + \sin B \cos A = \sin C \end{array}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng định lí sin

*Lý thuyết:

- Định lí sin: Cho tam giác ABC bất kì, R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có:

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A B}{\sin C} = \frac{A C}{\sin B} = 2 R$

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Định lí côsin và định lí sin (Chân trời sáng tạo ) có đáp án - Toán 10

Câu 358:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Chứng minh rằng:

a) sin x – cos x = $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ ;

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $V P = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} (\sin x \cos \frac{π}{4} - \cos x \sin \frac{π}{4})$

$= \sqrt{2} \sin x . \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \cos x . \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x - \cos x = V T$ (đpcm).

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng lượng giác

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

$1 . \cos (a) + \cos (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 2 . \cos (a) - \cos (b) = - 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 3 . \sin (a) + \sin (b) = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 4 . \sin (a) - \sin (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 5 . \tan (a) + \tan (b) = \frac{\sin (a + b)}{\cos (a) . \cos (b)} 6 . \tan (a) - \tan (b) = \frac{\sin (a - b)}{\cos (a) . \cos (b)} 7 . \sin (a) + \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (a - \frac{π}{4}) 8 . \sin (a) - \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a - \frac{π}{4}) = - \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4}) 9 . \tan (a) + c o t (a) = \frac{2}{\sin (2 a)} 10 . c o t (a) - \tan (a) = 2 c o t (2 a) 11 . \sin^{4} (a) + \cos^{4} (a) = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 a) = \frac{1}{4} \cos (4 a) + \frac{3}{4} 12 . \sin^{6} (a) + \cos^{6} (a) = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} (2 a) = \frac{3}{8} \cos (4 a) + \frac{5}{8}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 359:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Chứng minh rằng:

b) $\tan (\frac{π}{4} - x) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$ $(x \neq \frac{π}{2} + k π, x \neq \frac{3 π}{4} + k π, k \in Z)$ .

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có: $V T = \tan (\frac{π}{4} - x) = \frac{\tan \frac{π}{4} - \tan x}{1 + \tan \frac{π}{4} \tan x} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = V P$ $(d o \tan \frac{π}{4} = 1)$ .

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng lượng giác

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

$1 . \cos (a) + \cos (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 2 . \cos (a) - \cos (b) = - 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 3 . \sin (a) + \sin (b) = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 4 . \sin (a) - \sin (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 5 . \tan (a) + \tan (b) = \frac{\sin (a + b)}{\cos (a) . \cos (b)} 6 . \tan (a) - \tan (b) = \frac{\sin (a - b)}{\cos (a) . \cos (b)} 7 . \sin (a) + \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (a - \frac{π}{4}) 8 . \sin (a) - \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a - \frac{π}{4}) = - \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4}) 9 . \tan (a) + c o t (a) = \frac{2}{\sin (2 a)} 10 . c o t (a) - \tan (a) = 2 c o t (2 a) 11 . \sin^{4} (a) + \cos^{4} (a) = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 a) = \frac{1}{4} \cos (4 a) + \frac{3}{4} 12 . \sin^{6} (a) + \cos^{6} (a) = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} (2 a) = \frac{3}{8} \cos (4 a) + \frac{5}{8}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 360:

200 bài tập về những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án 2025) và cách giải

Biết sinx+cosx=m.
A) Tìm sinx.cosx và |sin4x-cos4x|.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có :

$A = \sin x \cos x$

$\to 2 A + 1 = 1 + 2 \sin x \cos x$

$\to 2 A + 1 = \sin^{2} x + \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x$

$\to 2 A + 1 = (\sin x + \cos x)^{2}$

$\to 2 A + 1 = m^{2}$

$\to 2 A = m^{2} - 1$

$\to A = \frac{1}{2} (m^{2} - 1)$

Lại có :

$B = | \sin^{4} x - \cos^{4} x |$

$\to B = | \sin^{2} x - \cos^{2} x | \cdot | \sin^{2} x + \cos^{2} x |$

$\to B = | (\sin x - \cos x) (\sin x + \cos x) | \cdot 1$

$\to B = | (\sin x - \cos x) (\sin x + \cos x) |$

$\to B = | (\sin x - \cos x) \cdot m |$

$\to B = | m | \cdot \sqrt{(\sin x - \cos x)^{2}}$

$\to B = | m | \cdot \sqrt{(\sin x + \cos x)^{2} - 4 \sin x \cdot \cos x}$

$\to B = | m | \cdot \sqrt{m^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} (m^{2} - 1)}$

$\to B = | m | \cdot | - m^{2} + 2 |$

Lại có :

$m = \sin x + \cos x$

$\to | m | = | \sin x + \cos x |$

$\to | m | = \sqrt{(\sin x + \cos x)^{2}}$

$\to | m | \leq \sqrt{2 (\sin^{2} x + \cos^{2} x)}$

$\to | m | \leq \sqrt{2}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức hằng đẳng thức

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

2. Bình phương của một hiệu

${(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

3. Hiệu hai bình phương

$A^{2} - B^{2}$ = (A – B)(A + B)

4. Lập phương của một tổng

${(A + B)}^{3}$ $= A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$

5. Lập phương của một hiệu

${(A - B)}^{3} =$ $A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$

Xem thêm

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo) (năm + Bài Tập) – Toán 8

Câu 361:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Chứng minh các đồng nhất thức: $\frac{\sin x + \sin (\frac{x}{2})}{1 + \cos x + \cos (\frac{x}{2})} = \tan (\frac{x}{2})$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tổng thành tích

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

$1 . \cos (a) + \cos (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 2 . \cos (a) - \cos (b) = - 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 3 . \sin (a) + \sin (b) = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 4 . \sin (a) - \sin (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 5 . \tan (a) + \tan (b) = \frac{\sin (a + b)}{\cos (a) . \cos (b)} 6 . \tan (a) - \tan (b) = \frac{\sin (a - b)}{\cos (a) . \cos (b)} 7 . \sin (a) + \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (a - \frac{π}{4}) 8 . \sin (a) - \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a - \frac{π}{4}) = - \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4}) 9 . \tan (a) + c o t (a) = \frac{2}{\sin (2 a)} 10 . c o t (a) - \tan (a) = 2 c o t (2 a) 11 . \sin^{4} (a) + \cos^{4} (a) = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 a) = \frac{1}{4} \cos (4 a) + \frac{3}{4} 12 . \sin^{6} (a) + \cos^{6} (a) = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} (2 a) = \frac{3}{8} \cos (4 a) + \frac{5}{8}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 362:

Lý thuyết Tập hợp các số hữu tỉ – Toán 7 Chân trời sáng tạo

Số 0 là số hữu tỉ âm hay dương?

Xem đáp án

Lời giải

Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không phải là số hữu tỉ âm

*Phương pháp giải:

Nắm chắc lý thuyết số hữu tỉ

*Lý thuyết;

1. Số hữu tỉ

– Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ với a, b ∈ ℤ, b ¹ 0.

– Các phân số bằng nhau biểu diễn cùng một số hữu tỉ.

– Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là ℚ.

– Chú ý: Mỗi số nguyên là một số hữu tỉ.

2. Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ

– Với hai số hữu tỉ bất kì x, y ta luôn có: hoặc x = y hoặc x < y hoặc x > y.

– Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương.

Số hữu tỉ bé hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm.

Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.

Chú ý: Số hữu tỉ dương luôn luôn lớn hơn số hữu tỉ âm.

Xem thêm

Trắc nghiệm Cộng, trừ số hữu tỉ có đáp án - Toán lớp 7

Câu 363:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án ) - Toán 12

Viết số 64 dưới dạng $a^{n}$ với a thuộc Z. Có bao nhiêu cách viết

Xem đáp án

Lời giải

Có $6$ cách viết:

$64 = 64^{1}$

$64 = 4^{3}$

$64 = 8^{2}$

$64 = {(- 8)}^{2}$

$64 = 2^{6}$

$64 = {(- 2)}^{6}$

*Phương pháp giải:

Cho số thực b và số nguyên dương $n \geq 2$ .

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu $a^{n} = b$

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau

2. Các loại lũy thừa

Dạng 1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Cho $a \in ℝ$ , $n \in ℕ^{*}$ . Khi đó: $a^{n} = \underset{n s ô a}{\underset{⏟}{a . a ... a}}$

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho $a \neq 0$ . Khi đó: $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}; a^{0} = 1$

- Chú ý: Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

+ $0^{0}$ và $0^{- n}$ không có nghĩa.

Dạng 2. Căn bậc n

- Cho số thực b và số nguyên dương $n \geq 2$ .

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu $a^{n} = b$

- Khi n lẻ, $b \in ℝ$ : Tồn tại duy nhất $\sqrt[n]{b}$

Dạng 3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

- Cho số thực $a > 0$ và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ , trong đó $m \in ℤ, n \geq 2$

Khi đó: $a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ . VD: $2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$

Dạng 4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

- Giả sử a là một số dương, $α$ là một số vô tỉ, $(r_{n})$ là một dãy số hữu tỉ sao cho $\lim_{n \to + \infty} r_{n} = α$ . Khi đó: $a^{α} = \lim_{n \to + \infty} a^{r_{n}}$

Xem thêm

Trọn bộ công thức lũy thừa cần nhớ và cách giải các dạng bài tập

Câu 364:

Lý thuyết Bất đẳng thức và tính chất – Toán lớp 9 Kết nối tri thức

Số a là số âm hay dương nếu: 12a < 15a

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: 12 < 15 (*). Để có bất đẳng thức cùng chiều là 12a < 15a ta phải nhân cả hai vế của (*) với số dương. Vậy a là số dương.

*Phương pháp giải:

Vì ta thấy 15>12 nên để 15a>12a thì a phải là số dương

*Lý thuyết:

– Trên tập số thực, với hai số a và b có ba trường hợp sau:

• Số a bằng số b, kí hiệu a = b;

• Số a lớn hơn số b, kí hiệu a > b;

• Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu a < b.

1.2. Khái niệm bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng a > b (hay a < b, a ≥ b, a ≤ b), được gọi là bất đẳng thức và a được gọi là vế trái, b được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Xem thêm

Trắc nghiệm Bất đẳng thức có đáp án (Nhận biết)

Câu 365:

Trắc nghiệm Toán 4 (có đáp án): Đơn vị, chục, trăm, nghìn

Số bé nhất có 9 chữ số.

Xem đáp án

Lời giải

Số bé nhất có 9 chữ số là 100 000 000

Phương pháp giải:

Để được số bé nhất thì chữ số hàng chục nghìn bằng 1, chữ số hàng đơn vị là 9.

*Lý thuyết;

Hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm hợp thành lớp đơn vị.

Hàng nghìn, hàng chục nghìn, hàng trăm nghìn hợp thành lớp nghìn.

Xem thêm

Lý thuyết Hàng và lớp. So sánh các số có nhiều chữ số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 366:

Chuyên đề Phép chia hết, phép chia có dư lớp 3 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Số dư của phép chia 479:47 nếu thương chỉ lấy đến hai chữ số ở phần thập phân là :

Xem đáp án

Lời giải

Vậy số dư sẽ là 0,07

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép chia có dư

*Lý thuyết:

- Số bị chia = số chia x thương + số dư

- Số chia = (Số bị chia - số dư): thương

- Số dư lớn nhất trong phép chia là số nhỏ hơn số chia 1 đơn vị

- Số dư nhỏ nhất trong phép chia là 1

Lưu ý: Số dư luôn nhỏ hơn số chia

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Chia hết và chia có dư. Tính chất chia hết của một tổng có đáp án - Toán lớp Chân trời sáng tạo

Câu 367:

Lý thuyết Tập hợp các số hữu tỉ – Toán 7 Chân trời sáng tạo

Trong các câu sau câu nào đúng câu nào sai”

a. Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số hữu tỉ dương

b. Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số tự nhiên

c. Số 0 là số hữu tỉ dương

d. Số nguyên âm không phải là số hữu tỉ âm

e. Tập hợp Q gồm các số hữu tỉ dương và các số hữu tỉ âm

Xem đáp án

Lời giải

a. Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số hữu tỉ dương. Đúng

b. Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số tự nhiên. Đúng

c. Số 0 là số hữu tỉ dương. Sai

Vì số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.

d. Số nguyên âm không phải là số hữu tỉ âm. Sai

Các số nguyên âm a luôn viết được dưới dạng: . Do đó, số nguyên âm có là số hữu tỉ âm.

e. Tập hợp Q gồm các số hữu tỉ dương và các số hữu tỉ âm. Sai

Vì tập hợp Q gồm các số hữu tỉ dương, các số hữu tỉ âm và số 0.

*Phương pháp giải:

Nắm chắc lý thuyết số hữu tỉ

*Lý thuyết;

1. Số hữu tỉ

– Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ với a, b ∈ ℤ, b ¹ 0.

– Các phân số bằng nhau biểu diễn cùng một số hữu tỉ.

– Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là ℚ.

– Chú ý: Mỗi số nguyên là một số hữu tỉ.

2. Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ

– Với hai số hữu tỉ bất kì x, y ta luôn có: hoặc x = y hoặc x < y hoặc x > y.

– Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương.

Số hữu tỉ bé hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm.

Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.

Chú ý: Số hữu tỉ dương luôn luôn lớn hơn số hữu tỉ âm.

Xem thêm

Trắc nghiệm Cộng, trừ số hữu tỉ có đáp án - Toán lớp 7

Câu 368:

Cách phân biệt góc so le trong và góc đồng vị

So le trong là gì?

Xem đáp án

Lời giải

– Hai góc so le trong:

+ Hai góc không chung gốc.

+ Hai góc đó phải nằm ở phía trong hai đường thẳng b và c.

+ Hai góc đó phải nằm ở vị trí so le nhau, hay nói cách khác, hai góc đó phải nằm ở khác phía so với đường thẳng a.

*Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết sole trong

*Lý thuyết:

Cho đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại hai điểm A và B tạo thành 4 góc đỉnh A và 4 góc đỉnh B được đánh số như trên hình vẽ:

Ta sắp xếp các góc thành từng cặp như sau:

a) Hai cặp góc so le trong

${\hat{A}}_{4}$ và ${\hat{B}}_{2}$ ; ${\hat{A}}_{3}$ và ${\hat{B}}_{1}$

b) Bốn cặp góc đồng vị

${\hat{A}}_{1}$ và ${\hat{B}}_{1}$ ; ${\hat{A}}_{2}$ và ${\hat{B}}_{2}$ ; ${\hat{A}}_{3}$ và ${\hat{B}}_{3}$ ; ${\hat{A}}_{4}$ và ${\hat{B}}_{3}$

c) Hai cặp góc trong cùng phía

${\hat{A}}_{4}$ và ${\hat{B}}_{1}$ ; ${\hat{A}}_{3}$ và ${\hat{B}}_{2}$

Xem thêm

Trắc nghiệm Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng có đáp án - Toán lớp 7

Câu 369:

Lý thuyết Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp Kết nối tri thức

Số liền trước là gì?

Xem đáp án

Lời giải

Số liền trước là những số đứng trước số đã cho và kém số đã cho 1 đơn vị

*Phương pháp giải:

Nắm được lý thuyết số liền trước và liền sau

*Lý thuyết:

• Trên tia số, mỗi số (khác 0) lớn hơn các số bên trái và bé hơn các số bên phải của nó

* Muốn tìm số liền trước của một số, ta lấy số đó trừ đi 1

* Muốn tìm số liền sau của một số, ta lấy số đó cộng thêm 1

Xem thêm

TOP 31 câu Trắc nghiệm Tập hợp số tự nhiên. Ghi số tự nhiên có đáp án - Toán lớp Chân trời sáng tạo

Câu 370:

Lý thuyết Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp Kết nối tri thức

Số liền trước số 9 là ?

Xem đáp án

Lời giải

Số liền trước số 9 là số 8

*Phương pháp giải:

Nắm được lý thuyết số liền trước và liền sau

*Lý thuyết:

• Trên tia số, mỗi số (khác 0) lớn hơn các số bên trái và bé hơn các số bên phải của nó

* Muốn tìm số liền trước của một số, ta lấy số đó trừ đi 1

* Muốn tìm số liền sau của một số, ta lấy số đó cộng thêm 1

Xem thêm

TOP 31 câu Trắc nghiệm Tập hợp số tự nhiên. Ghi số tự nhiên có đáp án - Toán lớp Chân trời sáng tạo

Câu 371:

Toán lớp 3 Chương 1: Bảng nhân, bảng chia – Cánh diều

Số nào nhân bằng 20?

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

4.5=20

10.2=20

2.10=20

5.4=20

*Phương pháp giải:

Nắm được bảng cửu chương

*Lý thuyết:

Xem thêm

Trắc nghiệm Toán lớp 3 Chương 2 có đáp án - Bảng nhân, bảng chia

Câu 372:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Số … nhân với 36 thì bằng tích của 90 và 3.

(Ghi chú: viết đáp án ở dạng gọn nhất)

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

90 x 3 = 270

Theo bài ra, ta có phép tính:

? x 36 = 270

Ta thấy số cần tìm trong phép nhân trên là thừa số chưa biết

Ta có:

270 : 36 = 7,5

Vậy số cần điền là 7,5

*Phương pháp giải:

Áp dụng nhân chia hai số tự nhiên

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

1. Phép chia hết

a : b = q $(b \neq 0)$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Ví dụ: 10 : 2 = 5; 30 : 5 = 6

Chú ý:

+ Nếu a : b = q thì q = bq

+ Nếu a : b = q và q $\neq$ 0 thì a : q = b

+ Thông thường, ta đặt tính chia để thực hiện phép chia.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép nhân, phép chia các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 373:

So sánh $A = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + . .. + \frac{1}{3^{99}}$ với $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Nhân vào cả hai vế với 3 rồi lấy 3A-A được 2A rồi lấy 2A chia 2

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 374:

Lý thuyết So sánh hai phân số khác mẫu số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

So sánh: $- \frac{13}{88}$ và $\frac{29}{- 88}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta cs:

$\frac{29}{- 88} = - \frac{29}{88}$

Ta cs:

$- 13 > - 29$

$\Rightarrow \frac{- 13}{88} > \frac{- 29}{88}$

$\Rightarrow - \frac{13}{88} > \frac{29}{- 88}$

Vậy $- \frac{13}{88} > \frac{29}{- 88}$

*Phương pháp giải:

Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

*Lý thuyết:

Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

Trong hai phân số (khác 0) có tử số bằng nhau, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.

Xem thêm

TOP 54 câu Trắc nghiệm So sánh phân số. Hỗn số dương có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 375:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án ) - Toán 12

So sánh $3^{20} v à 9^{11}$

Xem đáp án

Lời giải

$9^{11} = 3^{22} T a c ó 3^{20} < 3^{22} \Rightarrow 3^{20} < 9^{11}$

*Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số 3 rồi so sánh số mũ

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau

2. Các loại lũy thừa

Dạng 1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Cho $a \in ℝ$ , $n \in ℕ^{*}$ . Khi đó: $a^{n} = \underset{n s ô a}{\underset{⏟}{a . a ... a}}$

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho $a \neq 0$ . Khi đó: $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}; a^{0} = 1$

- Chú ý: Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

+ $0^{0}$ và $0^{- n}$ không có nghĩa.

Dạng 2. Căn bậc n

- Cho số thực b và số nguyên dương $n \geq 2$ .

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu $a^{n} = b$

- Khi n lẻ, $b \in ℝ$ : Tồn tại duy nhất $\sqrt[n]{b}$

Dạng 3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

- Cho số thực $a > 0$ và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ , trong đó $m \in ℤ, n \geq 2$

Khi đó: $a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ . VD: $2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$

Dạng 4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

- Giả sử a là một số dương, $α$ là một số vô tỉ, $(r_{n})$ là một dãy số hữu tỉ sao cho $\lim_{n \to + \infty} r_{n} = α$ . Khi đó: $a^{α} = \lim_{n \to + \infty} a^{r_{n}}$

Xem thêm

Trọn bộ công thức lũy thừa cần nhớ và cách giải các dạng bài tập

Câu 376:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

So sánh:

$\frac{3}{1^{2} {.2}^{2}} + \frac{5}{2^{2} {.3}^{2}} + \frac{7}{3^{2} {.4}^{2}} + ... + \frac{19}{9^{2} {.10}^{2}}$ và 1

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{3}{1^{2} \cdot 2^{2}} + \frac{5}{2^{2} \cdot 3^{2}} + \frac{7}{3^{2} \cdot 4^{2}} + \dots + \frac{19}{9^{2} \cdot 10^{2}}$ và 1

Ta có:

$\frac{3}{1^{2} \cdot 2^{2}} + \frac{5}{2^{2} \cdot 3^{2}} + \frac{7}{3^{2} \cdot 4^{2}} + \dots + \frac{19}{9^{2} \cdot 10^{2}} = \frac{1}{9^{1}} - \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} + \dots + \frac{1}{9^{2}} - \frac{1}{10^{2}} = 1 - \frac{1}{10^{2}} = \frac{99}{100} < 1$

Vậy $\frac{3}{1^{2} \cdot 2^{2}} + \frac{5}{2^{2} \cdot 3^{2}} + \frac{7}{3^{2} \cdot 4^{2}} + \dots + \frac{19}{9^{2} \cdot 10^{2}} < 1$

*Phương pháp giải:

Tách từ chung mẫu thành riêng mẫu

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

1. Phép chia hết

a : b = q $(b \neq 0)$

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Ví dụ: 10 : 2 = 5; 30 : 5 = 6

Chú ý:

+ Nếu a : b = q thì q = bq

+ Nếu a : b = q và q $\neq$ 0 thì a : q = b

+ Thông thường, ta đặt tính chia để thực hiện phép chia.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép nhân, phép chia các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 377:

Lý thuyết So sánh hai phân số khác mẫu số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

So sánh $\frac{- 313}{370} v à \frac{314}{- 371}$

Xem đáp án

Lời giải

$T a c ó \frac{- 313}{370} = \frac{- 313 . (- 371)}{370 . (- 371)} \frac{314}{- 371} = \frac{314.370}{- 371.370} \Rightarrow \frac{- 313}{370} < \frac{314}{- 371}$

*Phương pháp giải:

Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

*Lý thuyết:

Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

Trong hai phân số (khác 0) có tử số bằng nhau, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.

Xem thêm

TOP 54 câu Trắc nghiệm So sánh phân số. Hỗn số dương có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 378:

Lý thuyết So sánh hai phân số khác mẫu số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

So sánh $\frac{- 4}{9} v à \frac{7}{- 12}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{- 4}{9} = \frac{- 4 . (- 12)}{9 . (- 12)} \frac{7}{- 12} = \frac{7.9}{- 12.9} \frac{- 4}{9} < \frac{7}{- 12}$

*Phương pháp giải:

Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

*Lý thuyết:

Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

Trong hai phân số (khác 0) có tử số bằng nhau, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.

Xem thêm

TOP 54 câu Trắc nghiệm So sánh phân số. Hỗn số dương có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 379:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án ) - Toán 12

So sánh $6^{3 + 1} v à 6^{3} + 1$

Xem đáp án

Lời giải

$6^{3 + 1} = 6^{3} . 6^{1} = 6.6.6.6 = 1296 6^{3} + 1 = 6.6.6 + 1 = 217 \Rightarrow 6^{3 + 1} > 6^{3} + 1$

*Phương pháp giải:

bấm máy tính ra kết quả rồi so sánh

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau

2. Các loại lũy thừa

Dạng 1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Cho $a \in ℝ$ , $n \in ℕ^{*}$ . Khi đó: $a^{n} = \underset{n s ô a}{\underset{⏟}{a . a ... a}}$

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho $a \neq 0$ . Khi đó: $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}; a^{0} = 1$

- Chú ý: Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

+ $0^{0}$ và $0^{- n}$ không có nghĩa.

Dạng 2. Căn bậc n

- Cho số thực b và số nguyên dương $n \geq 2$ .

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu $a^{n} = b$

- Khi n lẻ, $b \in ℝ$ : Tồn tại duy nhất $\sqrt[n]{b}$

Dạng 3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

- Cho số thực $a > 0$ và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ , trong đó $m \in ℤ, n \geq 2$

Khi đó: $a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ . VD: $2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$

Dạng 4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

- Giả sử a là một số dương, $α$ là một số vô tỉ, $(r_{n})$ là một dãy số hữu tỉ sao cho $\lim_{n \to + \infty} r_{n} = α$ . Khi đó: $a^{α} = \lim_{n \to + \infty} a^{r_{n}}$

Xem thêm

Trọn bộ công thức lũy thừa cần nhớ và cách giải các dạng bài tập

Câu 380:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án ) - Toán 12

So sánh lũy thừa $2^{17} v à 2^{19}$

Xem đáp án

Lời giải

Vì 17<19 nên $2^{17} < 2^{19}$

*Phương pháp giải:

Ta thấy cùng cơ số nên ta chỉ cần so sánh số mũ

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau

2. Các loại lũy thừa

Dạng 1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Cho $a \in ℝ$ , $n \in ℕ^{*}$ . Khi đó: $a^{n} = \underset{n s ô a}{\underset{⏟}{a . a ... a}}$

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho $a \neq 0$ . Khi đó: $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}; a^{0} = 1$

- Chú ý: Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

+ $0^{0}$ và $0^{- n}$ không có nghĩa.

Dạng 2. Căn bậc n

- Cho số thực b và số nguyên dương $n \geq 2$ .

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu $a^{n} = b$

- Khi n lẻ, $b \in ℝ$ : Tồn tại duy nhất $\sqrt[n]{b}$

Dạng 3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

- Cho số thực $a > 0$ và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ , trong đó $m \in ℤ, n \geq 2$

Khi đó: $a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ . VD: $2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$

Dạng 4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

- Giả sử a là một số dương, $α$ là một số vô tỉ, $(r_{n})$ là một dãy số hữu tỉ sao cho $\lim_{n \to + \infty} r_{n} = α$ . Khi đó: $a^{α} = \lim_{n \to + \infty} a^{r_{n}}$

Xem thêm

Trọn bộ công thức lũy thừa cần nhớ và cách giải các dạng bài tập

Câu 381:

35 Bài tập So sánh phân số lớp 4 (có đáp án)

So sánh hai phân số bằng cách so sánh phần bù (hoặc phần hơn) với 1

a) $\frac{26}{27} v à \frac{96}{97}$

b) $\frac{102}{103} v à \frac{103}{105}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $1 - \frac{26}{27} = \frac{1}{27}; 1 - \frac{96}{97} = \frac{1}{97}$ . Vì $\frac{1}{27} > \frac{1}{97}$ nên $\frac{26}{27} < \frac{96}{97}$

b) Ta có: $1 - \frac{102}{103} = \frac{1}{103}; 1 - \frac{103}{105} = \frac{2}{105}$ . Vì $\frac{1}{103} = \frac{2}{206} < \frac{2}{105}$ nên $\frac{102}{103} > \frac{103}{105}$

*Phương pháp giải:

+ Nếu tử số bằng mẫu số thì phân số đó bằng 1

+ Nếu tử số bé hơn mẫu số thì phân số đó bé hơn 1

+ Nếu tử số lớn hơn mẫu số thì phân số đó lớn hơn 1

*Lý thuyết:

Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

Trong hai phân số (khác 0) có tử số bằng nhau, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.

Xem thêm

Lý thuyết So sánh hai phân số khác mẫu số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 382:

Trắc nghiệm Toán 4 (có đáp án): Đơn vị, chục, trăm, nghìn

Số tròn chục bé nhất có 3 chữ số là số gì?

Xem đáp án

Lời giải

Số tròn chục lớn nhất là 100

Phương pháp giải:

Nắm được lý thuyết đơn vị chục trăm

*Lý thuyết;

Hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm hợp thành lớp đơn vị.

Hàng nghìn, hàng chục nghìn, hàng trăm nghìn hợp thành lớp nghìn.

Xem thêm

Lý thuyết Hàng và lớp. So sánh các số có nhiều chữ số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 383:

Trắc nghiệm Toán 4 (có đáp án): Đơn vị, chục, trăm, nghìn

Số tròn nghìn nhỏ nhất có 5 chữ số là?

Xem đáp án

Lời giải

Số tròn nghìn nhỏ nhất có 5 chữ số là 10000

Phương pháp giải:

Nắm được lý thuyết đơn lớp nghìn

*Lý thuyết;

Hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm hợp thành lớp đơn vị.

Hàng nghìn, hàng chục nghìn, hàng trăm nghìn hợp thành lớp nghìn.

Xem thêm

Lý thuyết Hàng và lớp. So sánh các số có nhiều chữ số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 384:

Lý thuyết Số vô tỉ. Căn bậc hai số học – Toán 7 Chân trời sáng tạo

Chọn phát biểu đúng:

A. Số vô tỉ và số hữu tỉ là số thực

B. Số vô tỉ không phải là số thực

C. Số thập phân vô hạn tuần hoàn không phải là số thực

D. Số thập phân vô hạn không tuần hoàn không phải là số thực

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Lời giải

Số vô tỉ và số hữu tỉ là số thực.

*Phương pháp giải:

Số thập phân vô hạn tuần hoàn là số hữu tỉ. Do đó cũng là số thực.

Số thập phân vô hạn không tuần hoàn là số vô tỉ. Do đó cũng là số thực.

*Lý thuyết:

1. Biểu diễn thập phân của một số hữu tỉ

Với một số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ , ta chỉ có hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu $\frac{a}{b}$ bằng một phân số thập phân thì kết quả của phép chia $\frac{a}{b}$ là số thập phân bằng với phân số thập phân đó.

2. Số vô tỉ

– Số thập phân vô hạn mà ở phần thập phân của nó không có một chu kì nào cả được gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

– Mỗi số thập phân vô hạn không tuần hoàn là biểu diễn thập phân của một số, số đó gọi là số vô tỉ.

– Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là ?.

. Căn bậc hai số học

– Căn bậc hai số học của số a không âm là số x không âm sao cho x² = a.

Ta dùng kí hiệu $\sqrt{a}$ để chỉ căn bậc hai số học của a.

– Một số không âm a có đúng một căn bậc hai số học.

Chú ý:

– Số âm không có căn bậc hai số học.

– Ta có $\sqrt{a}$ ≥ 0 với mọi số a không âm.

– Với mọi số a không âm, ta luôn có ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ , ví dụ như ${(\sqrt{2})}^{2} = 2$ .

– Ta có $\sqrt{2}$ là độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 1.

Ví dụ: $\sqrt{4} = 2$ ; $\sqrt{81} = 9$ ; $\sqrt{0} = 0$ .

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Số vô tỉ. Căn bậc hai số học (Kết nối tri thức ) có đáp án

Câu 385:

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và bài tập hay nhất

$\sqrt{18 x + 9}$ - $\sqrt{8 x + 4}$ + $\frac{1}{3}$ $\sqrt{2 x + 1}$ = 4

Xem đáp án

Lời giải

ĐK: $x \geq - \frac{1}{2}$

$\sqrt{18 x + 9} - \sqrt{8 x + 4} + \frac{1}{3} \sqrt{2 x + 1} = 4$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{9 (2 x + 1)} - \sqrt{4 (2 x + 1)} + \frac{1}{3} \sqrt{2 x + 1} = 4$

$\Leftrightarrow$ $3 \sqrt{2 x + 1} - 2 \sqrt{2 x + 1} + \frac{1}{3} \sqrt{2 x + 1} = 4$

$\Leftrightarrow$ $\frac{4}{3} \sqrt{2 x + 1} = 4$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{2 x + 1} = 3$

$\Leftrightarrow$ $2 x + 1 = 9$

$\Leftrightarrow$ $x = 4$ (Thỏa mãn)

Vậy phương trình có tập nghiệm $x = 4$

*Phương pháp giải:

Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta có các phương pháp:

- Bình phương hai vế. (phép biến đổi này là phép biến đổi hệ quả nên khi tìm ra nghiệm x ta cần thay lại phương trình để kiểm tra).

*Lý thuyết:

- Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thường có dạng:

$\sqrt{f (x)} = \sqrt{g (x)}; \sqrt{f (x)} = g (x); \sqrt{f (x)} + \sqrt{g (x)} = \sqrt{h (x)}; \frac{1}{\sqrt{f (x)}} = g (x); \dots . .$

- Điều kiện xác định của $\sqrt{f (x)}$ là $f (x) \geq 0$

- Điều kiện xác định của $\frac{A}{\sqrt{f (x)}}$ là $f (x) > 0$ , với A là một số hoặc một biểu thức.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức (có đáp án ) – Toán 9

Câu 386:

Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức căn thức bậc hai (mới + Bài Tập) – Toán 9

Biểu thức $\sqrt{\sin^{4} x + 4 \cos^{2} x} + \sqrt{\cos^{4} x + 4 \sin^{2} x} + \tan^{2} x$ bằng biểu thức nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Lời giải

Ta có: $\sin^{4} x + 4 \cos^{2} x = \sin^{4} x + 4. (1 - \sin^{2} x) = {(\sin^{2} x - 2)}^{2}$

Và $\cos^{4} x + 4 \sin^{2} x = \cos^{4} x + 4 (1 - \cos^{2} x) = {(\cos^{2} x - 2)}^{2}$

Do đó

$\sqrt{\sin^{4} x + 4 \cos^{2} x} + \sqrt{\cos^{4} x + 4 \sin^{2} x} + \tan^{2} x$

$= \sqrt{{(\sin^{2} x - 2)}^{2}} + \sqrt{{(\cos^{2} x - 2)}^{2}} + \tan^{2} x$

$= | \sin^{2} x - 2 | + | \cos^{2} x - 2 | + \tan^{2} x$ (do $0 \leq \cos^{2} x; \sin^{2} x \leq 1$ )

$= 2 - \sin^{2} x + 2 - \cos^{2} x + \tan^{2} x$

$= 4 - (\cos^{2} x + \sin^{2} x) + \tan^{2} x$

$= 4 - 1 + \tan^{2} x = 3 + \tan^{2} x$ .

Vậy $\sqrt{\sin^{4} x + 4 \cos^{2} x} + \sqrt{\cos^{4} x + 4 \sin^{2} x} + \tan^{2} x$ = 3 + tan²x.

*Phương pháp giải:

Áp dụng

Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2} B} = A \sqrt{B}$ ;

Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2} B} = - A \sqrt{B}$ .

*Lý thuyết:

1. Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn

• Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có: $\sqrt{a^{2} b} = a \sqrt{b}$ . Phép biến đổi này được gọi là phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Đôi khi, ta phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng thích hợp rồi mới thực hiện được phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Có thể sử dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Tổng quát: Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0 ta có $\sqrt{A^{2} . B} = | A | \sqrt{B}$ , tức là:

Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2} B} = A \sqrt{B}$ ;

Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2} B} = - A \sqrt{B}$ .

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

• Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn có phép biến đổi ngược với nó là phép đưa thừa số vào trong dấu căn.

Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $A \sqrt{B} = \sqrt{A^{2} B}$ .

Với A < 0 và B ≥ 0 thì $A \sqrt{B} = - \sqrt{A^{2} B}$ .

Tổng quát: Với các biểu thức A, B mà A. B ≥ 0 và B ≠ 0, ta có:

$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A B}}{| B |}$ .

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức (có đáp án ) – Toán 9

Câu 387:

Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức căn thức bậc hai (mới + Bài Tập) – Toán 9

Giải phương trình: $(4 x + 2) \sqrt{x + 8} = 3 x^{2} + 7 x + 8$

Xem đáp án

Lời giải

+)ĐK xác định là: $x + 8 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 8$

$(4 x + 2) \sqrt{x + 8} = 3 x^{2} + 7 x + 8$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} + 7 x + 8 - (4 x + 2) \sqrt{x + 8} = 0$

$\Leftrightarrow (4 x^{2} + 1 + 4 x) + (x + 8) - 2. (2 x + 1) \sqrt{x + 8} - x^{2} - 1 + 2 x = 0$

$\Leftrightarrow [(2 x + 1)^{2} + {\sqrt{x + 8}}^{2} - 2. (2 x + 1) \sqrt{x + 8}] - (x^{2} + 1 - 2 x) = 0$

$\Leftrightarrow (2 x + 1 - \sqrt{x + 8})^{2} - (x - 1)^{2} = 0$

$\Leftrightarrow [(2 x + 1 - \sqrt{x + 8}) - (x - 1)] [(2 x + 1 - \sqrt{x + 8}) + (x - 1)] = 0$

$\Leftrightarrow [2 x + 1 - \sqrt{x + 8} - x + 1] [2 x + 1 - \sqrt{x + 8} + x - 1] = 0$

$\Leftrightarrow (x + 2 - \sqrt{x + 8}) (3 x - \sqrt{x + 8}) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + 2 - \sqrt{x + 8} = 0 \\ 3 x - \sqrt{x + 8} = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + 2 = \sqrt{x + 8} \\ 3 x = \sqrt{x + 8} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} (x + 2)^{2} = x + 8 \\ (3 x)^{2} = x + 8 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} + 4 + 4 x = x + 8 \\ 9 x^{2} = x + 8 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} + 3 x - 4 = 0 (phương trình này có a+b+c=1+3+(-4)=0) \\ 9 x^{2} - x - 8 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \in {1;-4} (thỏa mãn ĐK xác định) \\ 9 x^{2} - 9 - x + 1 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \in {1;-4} \\ 9 (x^{2} - 1) - (x - 1) = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \in {1;-4} \\ 9 (x + 1) (x - 1) - (x - 1) = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \in {1;-4} \\ ((9 x + 9) - 1) (x - 1) = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \in {1;-4} \\ (9 x + 8) (x - 1) = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \in {1;-4} \\ x - 1 = 0 \\ 9 x + 8 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \in {1;-4} \\ x = 1 \\ x = \frac{- 8}{9} \end{array} (thỏa mãn ĐK xác định)$

Vậy $x \in {1;-4; \frac{- 8}{9}}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng

Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2} B} = A \sqrt{B}$ ;

Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2} B} = - A \sqrt{B}$ .

*Lý thuyết:

1. Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn

• Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có: $\sqrt{a^{2} b} = a \sqrt{b}$ . Phép biến đổi này được gọi là phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Đôi khi, ta phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng thích hợp rồi mới thực hiện được phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Có thể sử dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Tổng quát: Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0 ta có $\sqrt{A^{2} . B} = | A | \sqrt{B}$ , tức là:

Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2} B} = A \sqrt{B}$ ;

Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2} B} = - A \sqrt{B}$ .

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

• Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn có phép biến đổi ngược với nó là phép đưa thừa số vào trong dấu căn.

Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $A \sqrt{B} = \sqrt{A^{2} B}$ .

Với A < 0 và B ≥ 0 thì $A \sqrt{B} = - \sqrt{A^{2} B}$ .

Tổng quát: Với các biểu thức A, B mà A. B ≥ 0 và B ≠ 0, ta có:

$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A B}}{| B |}$ .

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức (có đáp án ) – Toán 9

Câu 388:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Giải : ${(\sin (\frac{π}{2} - x) + \sin (10 π + x))}^{2} + {(\cos (\frac{3 π}{2} - x) + \cos (8 π - x))}^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l} \sin x = \cos (\frac{π}{2} - x) \\ \sin x = - \sin (- x) \\ \cos x = \cos (- x) \\ \sin x = \sin (π - x) \\ {[\sin (\frac{π}{2} - x) + \sin (10 π + x)]}^{2} + {[\cos (\frac{3 π}{2} - x) + \cos (8 π - x)]}^{2} \\ = {[\cos x + \sin (5.2 π + x)]}^{2} + {[\sin (\frac{π}{2} - (\frac{3 π}{2} - x)) + \cos (4.2 π - x)]}^{2} \\ = {[\cos x + \sin x]}^{2} + {[\sin (- π + x) + \cos (- x)]}^{2} \\ = \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x + {[- \sin (π - x) + \cos x]}^{2} \\ = \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x + {[- \sin x + \cos x]}^{2} \\ = \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x + \sin^{2} x - 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x \\ = 2 (\sin^{2} x + \cos^{2} x) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2.1 \\ = 2 \end{array}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cung liên kết đường tròn lượng giác

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

$1 . \cos (a) + \cos (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 2 . \cos (a) - \cos (b) = - 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 3 . \sin (a) + \sin (b) = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 4 . \sin (a) - \sin (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 5 . \tan (a) + \tan (b) = \frac{\sin (a + b)}{\cos (a) . \cos (b)} 6 . \tan (a) - \tan (b) = \frac{\sin (a - b)}{\cos (a) . \cos (b)} 7 . \sin (a) + \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (a - \frac{π}{4}) 8 . \sin (a) - \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a - \frac{π}{4}) = - \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4}) 9 . \tan (a) + c o t (a) = \frac{2}{\sin (2 a)} 10 . c o t (a) - \tan (a) = 2 c o t (2 a) 11 . \sin^{4} (a) + \cos^{4} (a) = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 a) = \frac{1}{4} \cos (4 a) + \frac{3}{4} 12 . \sin^{6} (a) + \cos^{6} (a) = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} (2 a) = \frac{3}{8} \cos (4 a) + \frac{5}{8}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 389:

50 bài tập về hình chữ nhật (có đáp án 2025) và cách giải

Cho $ΔABC$ cân tại A ( $\hat{A} < 90 °$ ) có đường cao AD và đường cao BE cắt nhau tại H. gọi F là điểm đối xứng với E qua điểm D.

a) Chứng minh rằng tứ giác BECF là hình chữ nhật.

b) AD kéo dài cắt CF tại K. Chứng minh BH = BK.

c) Vẽ hình bình hành AHBI. Chứng minh tứ giác AIBK là hình thang cân.

d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để ba điểm A, H, I là ba điểm thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Nắm được dấu hiệu cách chứng minh các hình

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật $\Leftrightarrow \hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{D} = 90^{o}$

Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, một hình thang cân

2. Tính chất

- Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân.

- Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

a) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

b) Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

c) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

d) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

Xem thêm

Lý thuyết Hình chữ nhật – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Câu 390:

50 bài tập về công thức tính diện tích tam giác (có đáp án 2025) và cách giải

Tam giác ABC, kéo dài BC thêm một đoạn CD = $\frac{1}{2}$ BC thì diện tích tam giác ABC tăng thêm 20 ${dm}^{2}$ . Diện tích tam giác ABC là :

A. 10 $d m^{2}$

B. $20 d m^{2}$

C. $30 d m^{2}$

D. $40 d m^{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Lời giải

Diện tích tam giác ABC là : 40 $d m^{2}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức diện tích tam giác

*Lý thuyết:

Cho tam giác có BC = a, AC = b, AB = c với:

• $h_{a}, h_{b}, h_{c}$ là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB

• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

• r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

• $p = \frac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi tam giác;

• S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC như sau:

+ Phương pháp giải: Dựa vào dữ kiện bài ra để sử dụng linh hoạt một trong các công thức ở trên.

Xem thêm

Các công thức tính diện tích tam giác đầy đủ, chi tiết nhất

Câu 391:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Tính tan(a- $\frac{π}{4}$ ) biết cos = $\frac{- 1}{3}$ và $\frac{π}{2}$ <a<π

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

$1 . \cos (a) + \cos (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 2 . \cos (a) - \cos (b) = - 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 3 . \sin (a) + \sin (b) = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 4 . \sin (a) - \sin (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 5 . \tan (a) + \tan (b) = \frac{\sin (a + b)}{\cos (a) . \cos (b)} 6 . \tan (a) - \tan (b) = \frac{\sin (a - b)}{\cos (a) . \cos (b)} 7 . \sin (a) + \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (a - \frac{π}{4}) 8 . \sin (a) - \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a - \frac{π}{4}) = - \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4}) 9 . \tan (a) + c o t (a) = \frac{2}{\sin (2 a)} 10 . c o t (a) - \tan (a) = 2 c o t (2 a) 11 . \sin^{4} (a) + \cos^{4} (a) = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 a) = \frac{1}{4} \cos (4 a) + \frac{3}{4} 12 . \sin^{6} (a) + \cos^{6} (a) = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} (2 a) = \frac{3}{8} \cos (4 a) + \frac{5}{8}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đ

Câu 392:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (mới + Bài Tập) – Toán 11

Giải:

cotx-tanx=sinx+cosx

Xem đáp án

Lời giải

ĐKXĐ: $x \neq \frac{k π}{2}$

Ta có:

$\begin{array}{l} \cot x - \tan x = \sin x + \cos x \\ \Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x + \cos x \\ \Leftrightarrow \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\sin x . \cos x} = \sin x + \cos x \\ \Leftrightarrow (\sin x + \cos x) (1 + \frac{\sin x - \cos x}{\sin x . \cos x}) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x + \cos x = 0 \\ \frac{\sin x - \cos x}{\sin x . \cos x} = - 1 \end{array} \end{array}$

+) TH1:

$\begin{array}{l} \sin x + \cos x = 0 \\ \Leftrightarrow \cos (x - \frac{π}{4}) = 0 \\ \Leftrightarrow x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + k π \\ \Leftrightarrow x = \frac{3 π}{4} + k π \end{array}$

+) TH2: $\frac{\sin x - \cos x}{\sin x . \cos x} = - 1 (1)$

Ta đặt $t = \sin x - \cos x (| t | \leq \sqrt{2})$

$\begin{array}{l} \Rightarrow t^{2} = \sin^{2} x - 2 \sin x . \cos x + \cos^{2} x = 1 - 2 \sin x . \cos x \\ \Rightarrow \sin x . \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2} \end{array}$

(1) trở thành:

$\begin{array}{l} \frac{t}{\frac{1 - t^{2}}{2}} = - 1 \\ \Leftrightarrow t^{2} - 2 t - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 + \sqrt{2} (loại) \\ t = 1 - \sqrt{2} (chọn) \end{array} \end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l} \sin x - \cos x = 1 - \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{4}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Leftrightarrow x + \frac{π}{4} = \pm \arccos (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) + k π (thỏa mãn) \end{array}$

Vậy phương trình có các họ nghiệm là:

$x = \frac{3 π}{4} + k π (k \in Z)$ ; $x + \frac{π}{4} = \pm \arccos (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) + k π (k \in Z)$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phương trình cos

*Lý thuyết:

Phương trình cosx = a.

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $|cosx| \leq 1$ với mọi x.

- Trường hợp $|a| \leq 1$ .

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x = \pm α + k 2 π; k \in ℤ$

- Chú ý:

a) Phương trình cosx = cosα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

b) Phương trình cos x= cosβ⁰ có các nghiệm là $x = \pm β^{0} + k 360^{0}; k \in ℤ$

c) Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\{\begin{matrix} 0 \leq α \leq π \\ \cos α = a \end{matrix}$ thì ta viết α = arccosa (đọc là ac – cosin- a, có nghĩa là cung có cosin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình cos x = a còn được viết là:

$x = \pm \arccos a + k 2 π; k \in ℤ$

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1; phương trình cosx = 1 có các nghiệm là: $x = k 2 π; k \in ℤ$ .

+ Khi a = – 1; phương trình cosx = – 1 có các nghiệm là: $x = π + k 2 π; k \in ℤ$

+ Khi a = 0; phương trình cosx = 0 có các nghiệm là: $x = \frac{π}{2} + k π; k \in ℤ$ .

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án ) – Toán 11

Câu 393:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Phương trình tanx + tan(x+ $\frac{π}{3}$ ) + tan(x + $\frac{2 π}{3}$ ) = 3 $\sqrt{3}$ tương đương với phương trình.

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cơ bản

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

$1 . \cos (a) + \cos (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 2 . \cos (a) - \cos (b) = - 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 3 . \sin (a) + \sin (b) = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 4 . \sin (a) - \sin (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 5 . \tan (a) + \tan (b) = \frac{\sin (a + b)}{\cos (a) . \cos (b)} 6 . \tan (a) - \tan (b) = \frac{\sin (a - b)}{\cos (a) . \cos (b)} 7 . \sin (a) + \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (a - \frac{π}{4}) 8 . \sin (a) - \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a - \frac{π}{4}) = - \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4}) 9 . \tan (a) + c o t (a) = \frac{2}{\sin (2 a)} 10 . c o t (a) - \tan (a) = 2 c o t (2 a) 11 . \sin^{4} (a) + \cos^{4} (a) = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 a) = \frac{1}{4} \cos (4 a) + \frac{3}{4} 12 . \sin^{6} (a) + \cos^{6} (a) = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} (2 a) = \frac{3}{8} \cos (4 a) + \frac{5}{8}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án

Câu 394:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (mới + Bài Tập) – Toán 11

Điều kiện xác định của hàm số $y = \frac{1 - \sin x}{\sin x + 1}$ là

Xem đáp án

Lời giải

Hàm số xác định khi $s inx+1 \neq 0$

$\Leftrightarrow s inx \neq - 1$

$\Leftrightarrow x \neq \frac{3 π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$

Vậy điều kiện xác định là $x \neq \frac{3 π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phương trình sin

*Lý thuyết:

Phương trình sinx = a.

Xét phương trình sinx = a (1)

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình (1) vô nghiệm vì |sinx| ≤ 1 với mọi x.

- Trường hợp |a| ≤ 1

Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình sinx = a có các nghiệm là:

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\{\begin{matrix} \frac{- π}{2} \leq α \leq \frac{π}{2} \\ \sin α = a \end{matrix}$ thì ta viết α = arcsina (đọc là ac-sin-a; nghĩa là cung có sin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là:

- Chú ý:

a) Phương trình sinx = sinα; với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x = α + k 2 π$ và $x = π - α + k 2 π; k \in ℤ$

Tổng quát:

b) Phương trình sinx = sinβ⁰ có các nghiệm là:

c) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lương giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1: Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là $x = \frac{π}{2} + k 2 π; k \in ℤ$ .

+ Khi a = – 1: Phương trình sinx = – 1 có các nghiệm là $x = - \frac{π}{2} + k 2 π; k \in ℤ$ .

+ Khi a = 0: Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là $x = k π; k \in ℤ$ .

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án ) – Toán 11

Câu 395:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (mới + Bài Tập) – Toán 11

Giải phương trình $2 \sin (4 x - \frac{π}{3})$ -1=0

Xem đáp án

Lời giải

$2 \sin (4 x - \frac{π}{3}) - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin (4 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{6} + k 2 π \\ 4 x - \frac{π}{3} = π - \frac{π}{6} + k 2 π \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4 x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ 4 x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{8} + k \frac{π}{2} \\ x = \frac{7 π}{24} + k \frac{π}{2} \end{array} .$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phương trình sin

*Lý thuyết:

Phương trình sinx = a.

Xét phương trình sinx = a (1)

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình (1) vô nghiệm vì |sinx| ≤ 1 với mọi x.

- Trường hợp |a| ≤ 1

Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình sinx = a có các nghiệm là:

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\{\begin{matrix} \frac{- π}{2} \leq α \leq \frac{π}{2} \\ \sin α = a \end{matrix}$ thì ta viết α = arcsina (đọc là ac-sin-a; nghĩa là cung có sin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là:

- Chú ý:

a) Phương trình sinx = sinα; với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x = α + k 2 π$ và $x = π - α + k 2 π; k \in ℤ$

Tổng quát:

b) Phương trình sinx = sinβ⁰ có các nghiệm là:

c) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lương giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1: Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là $x = \frac{π}{2} + k 2 π; k \in ℤ$ .

+ Khi a = – 1: Phương trình sinx = – 1 có các nghiệm là $x = - \frac{π}{2} + k 2 π; k \in ℤ$ .

+ Khi a = 0: Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là $x = k π; k \in ℤ$ .

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án ) – Toán 11

Câu 396:

Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới + Bài Tập) – Toán 12

Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = mx²– (m + 6)x nghịch biến trên khoảng (–1; +∞).

Xem đáp án

Lời giải

y′ = 2mx − (m+6)

Xét y′ = 0:

y′ = 0

⇔ 2mx − (m + 6) = 0

⇔ (2m − 1)x = 6 – m

Nếu 2m – 1 = 0

⇒ m = $\frac{1}{2}$

⇒ Phương trình trở thành 0x = 6 – $\frac{1}{2}$ , vô nghiệm trên khoảng (−1; +∞).

Nếu 2m – 1 ≠ 0

⇒ m ≠ $\frac{1}{2}$

⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất trên khoảng (−1; +∞) là $x = \frac{6 - m}{2 m - 1}$ .

Để hàm số y = mx² − (m + 6)x nghịch biến trên khoảng (−1; +∞), tham số m phải thỏa mãn hai điều kiện sau: ${\begin{cases} m > - 6 \\ m \neq \frac{1}{2} \end{cases}$

Vậy, tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = mx² − (m + 6)x nghịch biến trên khoảng (−1; +∞) là m ∈ (−6, $\frac{1}{2}$ ) ∪ ( $\frac{1}{2}$ , +∞).

*Phương pháp giải:

- Bước 1. Tìm tập xác định.

- Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x_i ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

*Lý thuyết:

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) nhỏ hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) < f(x₂).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) lớn hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) > f(x₂).

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f(x) đồng biến trên K $\Leftrightarrow \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0;$ $\forall x_{1}; x_{2} \in K; (x_{1} \neq x_{2})$

f(x) nghịch biến trên K $\Leftrightarrow \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0;$ $\forall x_{1}; x_{2} \in K; (x_{1} \neq x_{2})$

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Xem thêm

50 bài tập về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 397:

50 bài tập về cách chia đa thức một biến đã sắp xếp (có đáp án 2025) và cách giải

Tìm a để đa thức A chia hết cho đa thức B với:

A = $2 x^{3} - 7 x^{2}$ - 11x + a - 8 và B = 2 $x^{2}$ + 3x + 4.

Xem đáp án

Lời giải

Thực hiện chia đa thức A cho B được đa thức dư là a + 12

Từ A chia hết cho B Þ a + 12 = 0 Û a = -12.

*Phương pháp giải:

- Phép chia có dư là phép chia có đa thức dư khác 0.

Quy tắc chia: Làm tương tự phép chia hết đến khi thu được đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

*Lý thuyết:

- Muốn chia đa thức một biến A cho đa thức một biến B $\neq$ 0, trước hết ta phải sắp xếp các đa thức này theo lũy thừa giảm dần của cùng một biến và thực hiện phép chia như phép chia các số tự nhiên

- Với A và B là hai đa thức tùy ý cùng một biến số (B $\neq$ 0), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R.

Trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.

R $\neq$ 0 thì phép chia A cho B là phép chia có dư.

Q được gọi là đa thức thương, R được gọi là dư trong phép chia A cho B.

Xem thêm

Lý thuyết Chia đa thức một biến đã sắp xếp (mới + Bài Tập) – Toán 8

Câu 398:

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Tìm GTNN hoặc GTLN của B = $\frac{9 x}{x^{2} + x + 1}$

Xem đáp án

Lời giải

A=9x2+2x−1A=9x2+2x−1

vì 9x29x2luôn ≥0≥0∀x∈Q∀x∈Q

⇒9x2+2x−1⇒9x2+2x−1≥2x−1≥2x−1∀x∈Q∀x∈Q

dấu ''='' xảy ra <=> 9x2=09x2=0

⇔x2=0⇔x=0⇔x2=0⇔x=0

*Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(a); f(x₁); f(x₂); …; f(x_n); f(b).

Bước 3: Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: $M = \max_{(a; b)} f (x); m = \min_{(a; b)} f (x)$

*Lý thuyết:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M. Kí hiệu $M = \max_{D} f (x)$

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m. Kí hiệu $m = \min_{D} f (x)$

Chú ý:

- Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) (mà không cho rõ tập hợp D) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó.

- Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

Xem thêm

50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 399:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (mới + Bài Tập) – Toán 11

Cho phương trình :sin(x+ $\frac{π}{3}$ )-sin2x=0

Giải phương trình trên, tìm nghiệm x€(0;2π)

Xem đáp án

Lời giải

$\Leftrightarrow s i n 2 x = s i n (x + \frac{π}{3})$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x = x + \frac{π}{3} + k 2 π \\ 2 x = \frac{2 π}{3} - x + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{2 π}{9} + \frac{k 2 π}{3} \end{matrix}$

$0 < x < 2 π \Rightarrow [\begin{matrix} 0 < \frac{π}{3} + k 2 π < 2 π \\ 0 < \frac{2 π}{9} + \frac{k 2 π}{3} < 2 π \end{matrix}$ $\Rightarrow [\begin{matrix} - \frac{1}{6} < k < \frac{5}{6} \\ - \frac{1}{3} < k < \frac{8}{3} \end{matrix}$

$\Rightarrow [\begin{matrix} k = 0 \\ k = {0; 1; 2} \end{matrix}$ $\Rightarrow x = {\frac{π}{3}; \frac{2 π}{9}; \frac{8 π}{9}; \frac{14 π}{9}}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phương trình sin

*Lý thuyết:

Phương trình sinx = a.

Xét phương trình sinx = a (1)

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình (1) vô nghiệm vì |sinx| ≤ 1 với mọi x.

- Trường hợp |a| ≤ 1

Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình sinx = a có các nghiệm là:

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\{\begin{matrix} \frac{- π}{2} \leq α \leq \frac{π}{2} \\ \sin α = a \end{matrix}$ thì ta viết α = arcsina (đọc là ac-sin-a; nghĩa là cung có sin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là:

- Chú ý:

a) Phương trình sinx = sinα; với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x = α + k 2 π$ và $x = π - α + k 2 π; k \in ℤ$

Tổng quát:

b) Phương trình sinx = sinβ⁰ có các nghiệm là:

c) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lương giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1: Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là $x = \frac{π}{2} + k 2 π; k \in ℤ$ .

+ Khi a = – 1: Phương trình sinx = – 1 có các nghiệm là $x = - \frac{π}{2} + k 2 π; k \in ℤ$ .

+ Khi a = 0: Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là $x = k π; k \in ℤ$ .

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án ) – Toán 11

Câu 400:

Lý thuyết Quan hệ chia hết. Tính chất chia hết chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tìm các chữ số a, b để:

a) A = $\bar{3 a b}$ chia hết cho cả 2; 3; 5; 9

b) B = $\bar{a 27 b}$ chia hết cho cả 2; 3; 5; 9

c ) C= $\bar{10 a 5 b}$ chia hết cho 45

d) D = $\bar{26 a 3 b}$ chia hết cho 5 và 18

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng dấu hiệu chia hết cho các số

*Lý thuyết:

1. Khái niệm về chia hết

Cho hai số tự nhiên a và b $(b \neq 0)$ .

Nếu có số tự nhiên q sao cho a = b . q thì ta nói a chia hết cho b.

Khi a chia hết cho b, ta nói a là bội của b và b là ước của a.

Lưu ý:

+ Nếu số dư trong phép chia a cho b bằng 0 thì a chia hết cho b, kí hiệu là $a ⋮ b$ .

+ Nếu số dư trong phép chia a cho b khác 0 thì a không chia hết cho b, kí hiệu là $a ⋮ b$ .

Lưu ý: Với a là số tự nhiên khác 0 thì:

+ a là ước của a;

+ a là bội của a;

+ 0 là bội của a;

+ 1 là ước của a.

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Chia hết và chia có dư. Tính chất chia hết của một tổng có đáp án - Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

Câu 401:

Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 2 $x^{2}$ - 146 - ( x - 3 )( 2y - 3) = 0

Xem đáp án

Lời giải

$2 x^{2} - 146 - (x - 3) (2 y - 3) = 0$

$\Rightarrow 2 x^{2} - 18 - (x - 3) (2 y - 3) - 128 = 0$

$\Rightarrow 2 (x^{2} - 9) - (x - 3) (2 y - 3) = 128$

$\Rightarrow 2 (x - 3) (x + 3) - (x - 3) (2 y - 3) = 128$

$\Rightarrow (x - 3) [2 (x + 3) - (2 y - 3)] = 128$

$\Rightarrow (x - 3) (2 x + 6 - 2 y + 3) = 128$

$\Rightarrow (x - 3) (2 x - 2 y + 9) = 128$

$\Rightarrow x - 3, 2 x - 2 y + 9 \in Ư (128) = {\pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 8; \pm 16; \pm 32; \pm 64; \pm 128}$

Mà $2 x - 2 y + 9$ là số lẻ

$\Rightarrow 2 x - 2 y + 9 \in {- 1; 1}$

$+ T H 1 :$ ${\begin{cases} x - 3 = 128 (1) \\ 2 x - 2 y + 9 = 1 (2) \end{cases}$

Từ phương trình $(1)$ ta có: $x = 128 + 3 = 131$

Thay vào phương trình $(2)$ ta được:

$2 \cdot 131 - 2 y + 9 = 1$

$\Rightarrow 2 y = 2 \cdot 131 + 9 - 1$

$\Rightarrow 2 y = 270$

$\Rightarrow y = 270 : 2$

$\Rightarrow y = 135$

$+ T H 2 :$ ${\begin{cases} x - 3 = - 128 (3) \\ 2 x - 2 y + 9 = - 1 (4) \end{cases}$

Từ phương trình $(3)$ ta có: $x = - 128 + 3 = - 125$

Thay vào phương trình $(4)$ ta được:

$2 \cdot (- 125) - 2 y + 9 = - 1$

$\Rightarrow 2 y = 2 \cdot (- 125) + 9 + 1$

$\Rightarrow 2 y = - 240$

$\Rightarrow y = - 240 : 2$

$\Rightarrow y = - 120$

Vậy các cặp số nguyên $(x, y)$ cần tìm là: $(131, 135); (- 125, - 120)$

*Phương pháp giải:

Khai triển đa thức đưa về ước của 128 chia làm hai trường hợp số chẵn và số lẻ

*Lý thuyết:

1. Ước chung:

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC.

Kí hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC(a, b).

Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của cả ba số a, b, c.

2. Ước chung lớn nhất:

Số lớn nhất trong các ước chung của hai số a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.

Quy ước: Viết tắt ước chung lớn nhất là ƯCLN.

Kí hiệu: ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b).

3. Tìm ước chung của hai số khi biết ƯCLN của hai số đó

Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Ước chung và ước chung lớn nhất (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 402:

TOP 30 câu Trắc nghiệm Số nguyên âm và tập hợp các số nguyên có đáp án - Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

Tìm các số nguyên x, y biết: $\frac{1}{18} < \frac{x}{12} < \frac{y}{9} < \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $\frac{2}{36} < \frac{3 x}{36} < \frac{4 y}{36} < \frac{9}{36}$ . Suy ra nếu x = 1 thì y = 1 hoặc x = 2 thì y = 2

*Phương pháp giải:

Quy đồng đưa về chung mẫu số là 36 rồi suy ra tử

*Lý thuyết:

Các số tự nhiên khác 0 còn được gọi là các số nguyên dương.

− Số nguyên dương có thể được viết là: +1; +2; +3; … hoặc thông thường bỏ đi dấu “+” và chỉ ghi là: 1; 2; 3; …

Các số −1; −2; −3; … là các số nguyên âm.

Số 0 không phải là số nguyên âm và cũng không phải là số nguyên dương.

Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương được gọi là tập hợp số nguyên.

Ta kí hiệu tập hợp số nguyên là $ℤ$ . Như vậy, ta có:

$ℤ$ = {…; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; …}.

Xem thêm

Chuyên đề Số nguyên lớp 6 (Kết nối tri thức) | Chuyên đề dạy thêm Toán 6

Câu 403:

Lý thuyết Các phép toán với đa thức nhiều biến – Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo

Tìm đơn thức B biết: $(B + 2 x^{2} y^{3}) (- 3 x y) = - 3 x^{2} y^{2} - 6 x^{3} y^{4}$

A. $x^{2} y$

B. -xy

C. x+1

D. xy

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Lời giải

Ta có: $(B + {2x}^{2} y^{3}) . (- 3 x y) = - {3x}^{2} y^{2} - {6x}^{3} y^{4}$

$B + {2x}^{2} y^{3} = (- {3x}^{2} y^{2} - {6x}^{3} y^{4}) : (- 3 x y)$

$B + {2x}^{2} y^{3} = x y + 2 x^{2} y^{3}$

$B = x y + 2 x^{2} y^{3} - {2x}^{2} y^{3}$

$B = x y$

*Phương pháp giải:

Muốn chia một đa thức cho một đơn thức (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó, rồi cộng các kết quả tìm được với nhau.

*Lý thuyết:

1. Cộng và trừ hai đa thức

Để cộng, trừ hai đa thức ta thực hiện các bước:

- Bỏ dấu ngoặc (sử dụng quy tắc dấu ngoặc);

- Nhóm các đơn thức đồng dạng (sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp);

- Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng

2. Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các lũy thừa cùng biến, rồi nhân các kết quả đó với nhau.

Ví dụ: $(- 3 x^{2} y) (4 x y) = [(- 3.4)] . (x^{2} . x) . (y . y) = - 12. x^{3} . y^{2}$

3. Nhân đơn thức với đa thức

Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các kết quả với nhau.

4. Nhân hai đa thức

Để nhân hai đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với đa thức kia, rồi cộng các kết quả với nhau.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Chia đa thức cho đơn thức (có đáp án ) - Toán 8

Câu 404:

Lý thuyết Các phép toán với đa thức nhiều biến – Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo

Tìm dư khi chia $x^{99} + x^{55} + x^{11} + x + 7 c h o x^{2} + 1$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Muốn chia một đa thức cho một đơn thức (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó, rồi cộng các kết quả tìm được với nhau.

*Lý thuyết:

1. Cộng và trừ hai đa thức

Để cộng, trừ hai đa thức ta thực hiện các bước:

- Bỏ dấu ngoặc (sử dụng quy tắc dấu ngoặc);

- Nhóm các đơn thức đồng dạng (sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp);

- Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng

2. Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các lũy thừa cùng biến, rồi nhân các kết quả đó với nhau.

Ví dụ: $(- 3 x^{2} y) (4 x y) = [(- 3.4)] . (x^{2} . x) . (y . y) = - 12. x^{3} . y^{2}$

3. Nhân đơn thức với đa thức

Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các kết quả với nhau.

4. Nhân hai đa thức

Để nhân hai đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với đa thức kia, rồi cộng các kết quả với nhau.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Chia đa thức cho đơn thức (có đáp án ) - Toán 8

Câu 405:

Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác chi tiết - Toán lớp 11

Tìm giá trị lớn nhất của sinx + cosx.

Xem đáp án

Lời giải

sinx + cosx = $\sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$

Ta có: $- 1 \leq \sin (x + \frac{π}{4}) \leq 1$

Suy ra: $- \sqrt{2} \leq \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) \leq \sqrt{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của sinx + cos x là $\sqrt{2}$

Dấu “=” khi $\sin (x + \frac{π}{4}) = 1$

⇔ $x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$ .

*Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

Bước 2: Đánh giá $- 1 \leq \sin (x + α) \leq 1 \forall x \in ℝ$

*Lý thuyết:

a) Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

$- 1 \leq \sin [u (x)] \leq 1$ ; $0 \leq \sin^{2} [u (x)] \leq 1$ ; $0 \leq |\sin [u (x)]| \leq 1$

$- 1 \leq \cos [u (x)] \leq 1$ ; $0 \leq \cos^{2} [u (x)] \leq 1$ ; $0 \leq |\cos [u (x)]| \leq 1$

b) Dạng y = asinx + bcosx + c

Bước 1: Đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

y = asinx + bcosx + c $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cos x) + c$

$\Leftrightarrow y = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . \sin (x + α) + c$ với $α$ thỏa mãn

$\cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}; \sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 2: Đánh giá $- 1 \leq \sin (x + α) \leq 1 \forall x \in ℝ$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Hàm số lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 406:

Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác chi tiết - Toán lớp 11

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sinx + cosx.

Xem đáp án

Lời giải

y = sinx + cosx

$\Leftrightarrow y = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$

Ta có: −1 ≤ sinx ≤ 1

$\Rightarrow - \sqrt{2} \leq \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) \leq \sqrt{2}$

Vậy $M i n = - \sqrt{2}$ .

*Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

Bước 2: Đánh giá $- 1 \leq \sin (x + α) \leq 1 \forall x \in ℝ$

*Lý thuyết:

a) Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

$- 1 \leq \sin [u (x)] \leq 1$ ; $0 \leq \sin^{2} [u (x)] \leq 1$ ; $0 \leq |\sin [u (x)]| \leq 1$

$- 1 \leq \cos [u (x)] \leq 1$ ; $0 \leq \cos^{2} [u (x)] \leq 1$ ; $0 \leq |\cos [u (x)]| \leq 1$

b) Dạng y = asinx + bcosx + c

Bước 1: Đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

y = asinx + bcosx + c $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cos x) + c$

$\Leftrightarrow y = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . \sin (x + α) + c$ với $α$ thỏa mãn

$\cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}; \sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 2: Đánh giá $- 1 \leq \sin (x + α) \leq 1 \forall x \in ℝ$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Hàm số lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 407:

Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác chi tiết - Toán lớp 11

Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = sin² x + cosx + 2

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: y = sin² x + cosx + 2

= 1 − cos² x + cosx + 2

= −cos² x + cosx + 3

$= - (\cos^{2} x - \cos x + \frac{1}{4}) + \frac{13}{4}$

$= - {(\cos x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{13}{4}$

Do −1 ≤ cos x ≤ 1

$\Rightarrow - \frac{3}{2} \leq \cos x - \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow 0 \leq {(\cos x - \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{9}{4}$

$\Rightarrow - \frac{9}{4} \leq - {(\cos x - \frac{1}{2})}^{2} \leq 0$

$\Rightarrow 1 \leq - {(\cos x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{13}{4} \leq \frac{13}{4}$

+) min y = 1

Dấu “=” xảy ra Û x = −p + k2p, (k Î ℤ)

+) $max y = \frac{13}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π, (k \in Z)$

Vậy GTNN của hàm số là 1 khi x = −p + k2p, (k Î ℤ) và GTLN của hàm số là $\frac{13}{4}$ khi $x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π, (k \in Z)$ .

*Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

Bước 2: Đánh giá $- 1 \leq \sin (x + α) \leq 1 \forall x \in ℝ$

*Lý thuyết:

a) Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

$- 1 \leq \sin [u (x)] \leq 1$ ; $0 \leq \sin^{2} [u (x)] \leq 1$ ; $0 \leq |\sin [u (x)]| \leq 1$

$- 1 \leq \cos [u (x)] \leq 1$ ; $0 \leq \cos^{2} [u (x)] \leq 1$ ; $0 \leq |\cos [u (x)]| \leq 1$

b) Dạng y = asinx + bcosx + c

Bước 1: Đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

y = asinx + bcosx + c $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cos x) + c$

$\Leftrightarrow y = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . \sin (x + α) + c$ với $α$ thỏa mãn

$\cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}; \sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 2: Đánh giá $- 1 \leq \sin (x + α) \leq 1 \forall x \in ℝ$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Hàm số lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 408:

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Tìm GTLN của biểu thức $\frac{4 x^{2} - 6 x + 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Xem đáp án

Lời giải

Đặt 2x – 1 = a nên $x = \frac{a + 1}{2}$

⇒ $B = \frac{{(a + 1)}^{2} - 3 (a + 1) + 1}{a^{2}} = \frac{a^{2} - a - 1}{a^{2}}$

$B = 1 - \frac{1}{a} - \frac{1}{a^{2}}$

$B = - (\frac{1}{a^{2}} + 2. \frac{1}{a} . \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) + \frac{5}{4} = - {(\frac{1}{a} + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

Vì $- {(\frac{1}{a} + \frac{1}{2})}^{2} \leq 0, \forall a$ suy ra: $- {(\frac{1}{a} + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{5}{4} \leq \frac{5}{4}$

Vậy max B = $\frac{5}{4}$ khi a = -2 hay $x = - \frac{1}{2}$

*Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(a); f(x₁); f(x₂); …; f(x_n); f(b).

Bước 3: Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: $M = \max_{(a; b)} f (x); m = \min_{(a; b)} f (x)$

*Lý thuyết:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M. Kí hiệu $M = \max_{D} f (x)$

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m. Kí hiệu $m = \min_{D} f (x)$

Chú ý:

- Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) (mà không cho rõ tập hợp D) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó.

- Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

Xem thêm

50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 409:

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x + 2y = 1. Tìm GTLN của biểu thức P = xy.

Xem đáp án

Lời giải

Từ x + 2y = 1 x = 1 – 2y

Ta có: P = xy = (1 – 2y). y = $- 2 y^{2} + y = - 2 (y^{2} - \frac{1}{2} y + \frac{1}{16}) + \frac{1}{8}$ $= - 2 {(y - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{1}{8} \leq \frac{1}{8}$

Hay P ≤ $\frac{1}{8}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}; y = \frac{1}{4}$

*Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(a); f(x₁); f(x₂); …; f(x_n); f(b).

Bước 3: Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: $M = \max_{(a; b)} f (x); m = \min_{(a; b)} f (x)$

*Lý thuyết:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M. Kí hiệu $M = \max_{D} f (x)$

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m. Kí hiệu $m = \min_{D} f (x)$

Chú ý:

- Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) (mà không cho rõ tập hợp D) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó.

- Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

Xem thêm

50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 410:

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Tìm GTLN của biểu thức d= $\frac{5}{{(2 x - 1)}^{2} + 3}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(a); f(x₁); f(x₂); …; f(x_n); f(b).

Bước 3: Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: $M = \max_{(a; b)} f (x); m = \min_{(a; b)} f (x)$

*Lý thuyết:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M. Kí hiệu $M = \max_{D} f (x)$

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m. Kí hiệu $m = \min_{D} f (x)$

Chú ý:

- Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) (mà không cho rõ tập hợp D) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó.

- Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

Xem thêm

50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 411:

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x^{2}}$ trên khoảng $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $y^{'} = 1 - \frac{8}{x^{3}} = \frac{x^{3} - 8}{x^{3}}; y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{3} = 8 \Leftrightarrow x = 2.$

Bảng biến thiên:

Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 4/x^2 trên khoảng (0;+ vô cực) (ảnh 1)

Vậy $min_{(0; + \infty)} y = 3.$

*Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(a); f(x₁); f(x₂); …; f(x_n); f(b).

Bước 3: Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: $M = \max_{(a; b)} f (x); m = \min_{(a; b)} f (x)$

*Lý thuyết:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M. Kí hiệu $M = \max_{D} f (x)$

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m. Kí hiệu $m = \min_{D} f (x)$

Chú ý:

- Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) (mà không cho rõ tập hợp D) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó.

- Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

Xem thêm

50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 412:

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= x⁴-4x²-1 trên [ -1; 2].

Xem đáp án

Lời giải

Bảng biến thiên

*Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(a); f(x₁); f(x₂); …; f(x_n); f(b).

Bước 3: Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: $M = \max_{(a; b)} f (x); m = \min_{(a; b)} f (x)$

*Lý thuyết:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M. Kí hiệu $M = \max_{D} f (x)$

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m. Kí hiệu $m = \min_{D} f (x)$

Chú ý:

- Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) (mà không cho rõ tập hợp D) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó.

- Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

Xem thêm

50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 413:

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + 2045.

Xem đáp án

Lời giải

A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + 2045

A = (x – 1)(x + 6)(x + 2)(x + 3) + 2045

A = (x² + 5x – 6)(x² + 5x + 6) + 2045.

A = (x² + 5x)² – 6² + 2045

A = (x² + 5x)² + 2009

Vì (x² + 5x)² ≥ 0 với mọi x nên A ≥ 2009.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2009 khi: x² + 5x = 0

Suy ra: x = 0 hoặc x = – 5.

*Phương pháp giải:

Đưa về dạng bình phương một tổng cộng với 1 số rồi biện luận

*Lý thuyết:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M. Kí hiệu $M = \max_{D} f (x)$

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m. Kí hiệu $m = \min_{D} f (x)$

Chú ý:

- Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) (mà không cho rõ tập hợp D) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó.

- Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

Xem thêm

50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 414:

50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2025) và cách giải

Tim GTLN:

a/ 2x - 2xy - $2 x^{2} - y^{2}$

b/ 7 - $x^{2} - y^{2}$ - 2(x + y)

Xem đáp án

Lời giải

$a, 2 x - 2 x y - 2 x^{2} - y^{2}$

$= - (x^{+} 2 x y + y^{2}) - (x^{2} - 2 x + 1) + 1$

$= - {(x + y)}^{2} - {(x - 1)}^{2} + 1 \leq 1$

dấu = xảy ra khi

${\begin{cases} y = - x = - 1 \\ x = 1 \end{cases}$

$b, 7 - x^{2} - y^{2} - 2 (x + y)$ \

$= - (x^{2} + 2 x + 1) - (y^{2} + 2 y + 1) + 9$

$= - {(x + 1)}^{2} - {(y + 1)}^{2} + 9 \leq 9$

dấu = xảy ra khi

${\begin{cases} y == - 1 \\ x = - 1 \end{cases}$

*Phương pháp giải:

+ Với mọi x:

+ Với mọi a; b ta có:

. Dấu = xảy ra khi a+ b = 0 Và . Dấu = xảy ra khi a- b = 0

*Lý thuyết:

• Cho biểu thức A(x):

+ Nếu thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu thì giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu

+ Với mọi A; B ta có:

Xem thêm

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Câu 415:

50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2025) và cách giải

Tìm GTNN của A= $\frac{2 a + 3}{a} v ớ i a \geq 2$

Xem đáp án

Lời giải

$A = 2 a + \frac{3}{a}$

$= (\frac{3 a}{4} + \frac{3}{a}) + \frac{5 a}{4}$

$>= 2 \sqrt{\frac{3 a}{4} . \frac{3}{a}} + \frac{5.2}{4}$

$>= \frac{11}{2}$

Dấu " $=$ " xảy ra khi: $a = 2$

$A_{m i n} = \frac{11}{2} <=> a = 2$

*Phương pháp giải:

+ Với mọi x:

+ Với mọi a; b ta có:

. Dấu = xảy ra khi a+ b = 0 Và . Dấu = xảy ra khi a- b = 0

*Lý thuyết:

• Cho biểu thức A(x):

+ Nếu thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu thì giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu

+ Với mọi A; B ta có:

Xem thêm

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Câu 416:

50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2025) và cách giải

Tìm GTNN $\frac{3}{x (x + 3)}$

Xem đáp án

Lời giải

Để -3/x(x+3) có gtnn thì 3/x(x+3)>0 có gtln

=>x(x+3)>0 có gtnn

Nếu x(x+3)=1 (loại x là số nguyên)

Nếu x(x+3)=2 (loại x là số nguyên )

Nếu x(x+3)=3 (loại x la số nguyên)

Nếu x(x+3)=4 =>x=1 hoặc -4

Vậy -3/x(x+3) có gtnn=-3/4 khi x=1 hoặc -4

*Phương pháp giải:

+ Với mọi x:

+ Với mọi a; b ta có:

. Dấu = xảy ra khi a+ b = 0 Và . Dấu = xảy ra khi a- b = 0

*Lý thuyết:

• Cho biểu thức A(x):

+ Nếu thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu thì giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu

+ Với mọi A; B ta có:

Xem thêm

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Câu 417:

Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Tìm 2 số tự nhiên hơn kém nhau 12 đơn vị biết tích của chúng bằng 20 lần số lớn cộng với 6 lần số bé

Xem đáp án

Lời giải

Gọi $a$ là số lớn và $b$ là số bé

$(a; b \in N; a > b; a \geq 12)$

Vì hai số hơn kém nhau $12$ đơn vị nên ta có:

$a - b = 12$ $(1)$

Vì tích của hai số bằng $20$ lần số lớn cộng với $6$ lần số bé nên ta có:

$a b = 20 a + 6 b$ $(2)$

Từ $(1); (2)$ ta có hệ phương trình:

${\begin{cases} a - b = 12 \\ a b = 20 a + 6 b \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} a = b + 12 \\ (b + 12) b = 20. (b + 12) + 6 b \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} a = b + 12 \\ b^{2} - 14 b - 240 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} a = 24 + 12 = 36 \\ b = 24 (T M) h o ặ c b = - 10 (K T M) \end{cases}$

Vậy hai số cần tìm là $36$ và $24$

*Phương pháp giải:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

*Lý thuyết:

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Xem thêm

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Câu 418:

Tìm k thuộc n để 19k là số nguyên tố

Xem đáp án

Lời giải

Bài 4: Ta có: Một số nguyên tố luôn luôn lớn hơn 1
⇒19.k là một số nguyên dương lớn hơn 1
⇒k là một số nguyên dương bé hơn hoặc bằng 1
TH1:k=1 thì 19k=19 mà 19 là một số nguyên tố ( Do số 19 chỉ chia hết cho 1 và 19)
⇒ Khi k=1 thì 19k sẽ là một số nguyên tố 
TH2:k≤2 
Khi đó 19k có hơn 3 ước. Do khi đó 19k chia hết cho 19;1 và n( Vì n khác 0 và n>1)
⇒k≤2 thì 19k luôn luôn không phải một số nguyên tố
⇔k=1 thì 19k là một số nguyên tố
*Phương pháp giải:
 Áp dụng số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
*Lý thuyết:
 Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
• Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.
Lưu ý:
+ Số 0 và số 1 không là số nguyên tố và cũng không là hợp số.
+ Để chứng tỏ số tự nhiên a lớn hơn 1 là hợp số, ta chỉ cần tìm một ước của a khác 1 và khác a.
Lưu ý: Nếu số nguyên tố p là ước của số tự nhiên a thì p được gọi là ước nguyên tố của a.
Nhận xét: Số nguyên tố nhỏ nhất là số 2 và đó là số nguyên tố chẵn duy nhất.
Xem thêm
Lý thuyết Số nguyên tố. Hợp số chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều 
TOP 40 câu Trắc nghiệm Số nguyên tố. Hợp số (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6 

Câu 419:

Lý thuyết Tập hợp và các phép toán trên tập hợp - Toán 10 Kết nối tri thức

Cho hai tập khác rỗng A = (m – 1; 4], B = (–2; 2m + 2), m ∈ ℝ. Tìm m để A ∩ B ≠ ∅.

A.-1<m<5

B.1<m<5

C.-2<m<5

D.m>-3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Lời giải

Vì tập A khác rỗng nên ta có m – 1 < 4.

Û m < 5 (1)

Vì tập B khác rỗng nên ta có –2 < 2m + 2.

Û –4 < 2m.

Û m > –2 (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra tập hợp A và B đều khác rỗng khi và chỉ khi –2 < m < 5 (*).

Để A ∩ B ≠ ∅ thì m – 1 < 2m + 2.

Nghĩa là, m > –3 (**).

Giao (*) và (**) lại với nhau, ta thu được kết quả –2 < m < 5.

*Phương pháp giải:

- Giao của hai tập hợp: $x \in A \cap B \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in A \\ x \in B \end{cases}$

- Hợp của hai tập hợp: $x \in A \cup B \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \in A \\ x \in B \end{array}$

- Hiệu của hai tập hợp: $x \in A \ B \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in A \\ x \notin B \end{cases}$

*Lý thuyết:

1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp

1.1. Tập hợp

• Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách sau:

Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp;

Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

a ∈ S: phần tử a thuộc tập hợp S.
a ∉ S: phần tử a không thuộc tập hợp S.

Chú ý: Số phần tử của tập hợp S được kí hiệu là n(S).

1.2. Tập hợp con

• Nếu mọi phần tử của tập hợp T đều là phần tử của tập hợp S thì ta nói T là một tập hợp con (tập con) của S và viết là T ⊂ S (đọc là T chứa trong S hoặc T là tập con của S).

- Thay cho T ⊂ S, ta còn viết S ⊃ T (đọc là S chứa T).

- Kí hiệu T ⊄ S để chỉ T không là tập con của S.

Nhận xét:

- Từ định nghĩa trên, T là tập con của S nếu mệnh đề sau đúng:

∀ x, x ∈ T ⇒ x ∈ S.

- Quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

• Người ta thường minh họa một tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven.

Minh họa T là một tập con của S như sau:

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Các phép toán trên tập hợp (Chân trời sáng tạo ) có đáp án - Toán 10

Câu 420:

Cực trị của hàm số và cách giải các dạng bài tập (2025) mới nhất

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x - m^{3} + m$ có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng $\sqrt{2}$ lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1)$

Hàm số (1) có cực trị thì PT $y^{'} = 0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0$ có 2 nhiệm phân biệt

Khi đó, điểm cực đại $A (m - 1; 2 - 2 m)$ và điểm cực tiểu $B (m + 1; - 2 m)$

Ta có $O A = \sqrt{2} O B \Leftrightarrow m^{2} + 6 m + 1 = 0$

*Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính f '(x) . Giải phương trình f '(x) và ký hiệu x_i= $(i = 1, 2, 3, ...)$ là các nghiệm.

Bước 3: Tính f ”(x) và f ”(x_i ) .

Bước 4: Dựa vào dấu của f ”(x_i ) suy ra tính chất cực trị của điểm x_i .

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm $x_{0} \in (a; b)$ .

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) < f (x₀) với mọi $x \in (x_{0} - h; x_{0} + h)$ và $x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀ .

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) > f (x₀) với mọi $x \in (x_{0} - h; x_{0} + h)$ và $x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀ .

2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x_o. Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm tại điểm x_othì f‘(x_o) = 0.

Lưu ý:

- Đạo hàm f‘(x) có thể bằng 0 tại điểm x_o nhưng hàm số f(x) không đạt cực trị tại điểm x_o.

- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

- Hàm số đạt cực trị tại x_o và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm (x_o ; f(x_o)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm số y = x³

3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = ( x₀ -h: x₀ +h ) và có đạo hàm trên K hoặc trên $K \ {x_{0}}$ , với h >0 .

- Nếu f '(x) > 0 trên khoảng (x₀ - h; x₀) và trên $(x_{0}; x_{0} + h)$ thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x) .

- Nếu f '(x) < 0 trên khoảng (x₀ - h; x₀) và f '(x) > 0 trên $(x_{0}; x_{0} + h)$ thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) .

Minh họa bằng bảng biến thiến

Lưu ý:

- Như vậy: Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D (D ⊂ ℝ). Nếu f’(x) không đổi dấu thì hàm số không có cực trị.

(Nhấn mạnh: x_o ∈ (a; b)⊂ D nghĩa là x_o là một điểm nằm ở giữa trong của D).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Cực trị hàm số (có đáp án ) - Toán 12

Câu 421:

Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới + Bài Tập) – Toán 12

Tập hợp các giá trị của $m$ để hàm số $y = - m x^{3} + x^{2} - 3 x + m - 2$ nghịch biến trên khoảng $(- 3; 0)$ là

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $y^{'} = - 3 m x^{2} + 2 x - 3$ .

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 3; 0)$ nên $y^{'} \leq 0 \Leftrightarrow - 3 m x^{2} + 2 x - 3 \leq 0, \forall x \in (- 3; 0)$

$\Leftrightarrow m \geq \frac{2 x - 3}{3 x^{2}} = f (x), \forall x \in (- 3; 0)$ $\Leftrightarrow m \geq max_{(- 3; 0)} f (x) .$

Ta có $f^{'} (x) = {(\frac{2 x - 3}{3 x^{2}})}^{'} = \frac{2 (3 - x)}{3 x^{3}} < 0, \forall x \in (- 3; 0)$ $\Rightarrow f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- 3; 0) .$

Do đó $f (x) < f (- 3) = - \frac{1}{3} \Rightarrow max_{(- 3; 0)} f (x) = - \frac{1}{3} \Rightarrow m \geq - \frac{1}{3} \Leftrightarrow m \in [- \frac{1}{3}; + \infty) .$

*Phương pháp giải:

- Bước 1. Tìm tập xác định.

- Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x_i ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

*Lý thuyết:

1. Nhắc lại định nghĩa

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) nhỏ hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) < f(x₂).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) lớn hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) > f(x₂).

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f(x) đồng biến trên K $\Leftrightarrow \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0;$ $\forall x_{1}; x_{2} \in K; (x_{1} \neq x_{2})$

f(x) nghịch biến trên K $\Leftrightarrow \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0;$ $\forall x_{1}; x_{2} \in K; (x_{1} \neq x_{2})$

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

- Định lí:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

- Chú ý:

Nếu f’(x) = 0 với $\forall x \in K$ thì f(x) không đổi trên K.

Xem thêm

50 bài tập về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 422:

Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác chi tiết - Toán lớp 11

3sinx +4cosx+mx+1 tập các giá trị của m để hs nghịch biến trên R

Xem đáp án

Lời giải

Xét hso

$y = 3 \sin x + 4 \cos x + m x + 1$

Ta có

$y^{'} = 3 \cos x - 4 \sin x + m$

$= 5 (\frac{3}{5} \cos x - \frac{4}{5} \sin x) + m$

Đặt $\cos a = \frac{3}{5}, \sin a = \frac{4}{5}$ . Khi đó, ta có

$y^{'} = 5 \cos (x + a) + m$

Mặt khác, ta lại có

$- 1 \leq \cos (x + a) \leq 1$ với mọi $x$

$< - > - 5 \leq \frac{1}{5} \cos (x + a) \leq 5$ với mọi $x$

$< - > - 5 + m \leq y^{'} \leq 5 + m$ với mọi $x$

Để hso nghịch biến với mọi $x$ thì $y^{'} < 0$ với mọi $x$ , do đó

$5 + m < 0$

$< - > m < - 5$

Vậy $m < - 5$ .

*Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

Bước 2: Đánh giá $- 1 \leq \sin (x + α) \leq 1 \forall x \in ℝ$

*Lý thuyết:

a) Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

$- 1 \leq \sin [u (x)] \leq 1$ ; $0 \leq \sin^{2} [u (x)] \leq 1$ ; $0 \leq |\sin [u (x)]| \leq 1$

$- 1 \leq \cos [u (x)] \leq 1$ ; $0 \leq \cos^{2} [u (x)] \leq 1$ ; $0 \leq |\cos [u (x)]| \leq 1$

b) Dạng y = asinx + bcosx + c

Bước 1: Đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

y = asinx + bcosx + c $= \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cos x) + c$

$\Leftrightarrow y = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . \sin (x + α) + c$ với $α$ thỏa mãn

$\cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}; \sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 2: Đánh giá $- 1 \leq \sin (x + α) \leq 1 \forall x \in ℝ$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Hàm số lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 423:

Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tậpchi tiết nhất

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Xem đáp án

Lời giải

b) Vì M thuộc Oz nên M(0; 0; z).

Khi đó $\vec{B M} = (- 1; - 1; z + 1)$ và $\vec{A C} = (- 3; 1; - 1)$ .

Vì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên $\vec{B M} . \vec{A C} = 0$

$\Leftrightarrow (- 1) . (- 3) + (- 1) .1 + (z + 1) . (- 1) = 0$

$\Leftrightarrow (z + 1) = 2$

$\Leftrightarrow z = 1$ .

Vậy M(0; 0; 1).

*Phương pháp giải:

- Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Trong mặt phẳng $(O; \vec{i}, \vec{j})$ , cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2})$ . Khi đó: $\vec{a} . \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ . Và với hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2})$ đều khác $\vec{0}$ thì $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$ .

*Lý thuyết:

- Định nghĩa góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác vectơ $\vec{0}$ . Từ điểm O bất kì vẽ $\vec{O A} = \vec{a}$ , $\vec{O B} = \vec{b}$ , khi đó góc $\hat{A O B}$ ( $0^{o} \leq \hat{A O B} \leq 180^{o}$ ) là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Kí hiệu: $(\vec{a}, \vec{b})$ .

- Định nghĩa tích vô hướng: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ( $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$ ), khi đó tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ kí hiệu là $\vec{a} . \vec{b}$ và xác định bởi công thức: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

- Chú ý:

+) Khi ít nhất một trong hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng vectơ $\vec{0}$ ta quy ước: $\vec{a} . \vec{b} = 0$ .

+) Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (), ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$ .

+) Tích vô hướng $\vec{a} . \vec{a}$ được kí hiệu là ${\vec{a}}^{2}$ và ta có: ${\vec{a}}^{2} = {|\vec{a}|}^{2}$ .

Xem thêm

50 bài toán về tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 424:

50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2025) và cách giải

Tìm GTLN

$a) B = 2 - 5 x^{2} - y^{2} - 4 x y + 2 x$

Xem đáp án

Lời giải

$a .$

$B = 2 - 5 x^{2} - y^{2} - 4 x y + 2 x$

$B = - (4 x^{2} + 4 x y + y^{2}) - (x^{2} - 2 x + 1) + 3$

$B = 3 - {(2 x + y)}^{2} - {(x - 1)}^{2}$

Vì ${(x - 1)}^{2} \geq 0 \forall x; {(2 x + y)}^{2} \geq 0 \forall x; y$

$\Rightarrow B \leq 3$

Dấu $=$ xảy ra khi $x - 1 = 0$ và $2 x + y = 0$

$\Leftrightarrow x = 1$ và $2 + y = 0$

$\Leftrightarrow x = 1; y = - 2$

Vậy $B max = 3$ tại $x = 1; y = - 2$

*Phương pháp giải:

+ Với mọi x:

+ Với mọi a; b ta có:

. Dấu = xảy ra khi a+ b = 0 Và . Dấu = xảy ra khi a- b = 0

*Lý thuyết:

• Cho biểu thức A(x):

+ Nếu thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu thì giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu

+ Với mọi A; B ta có:

Xem thêm

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Câu 425:

50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2025) và cách giải

Tìm GTNN của P = x² + 2y² + 2xy – 6x – 8y + 2024.

Xem đáp án

Lời giải

P = x² + 2y² + 2xy – 6x – 8y + 2024

P = x² + y² + y² + 2xy – 6x – 6y – 2y + 2024

P = (x² + 2xy + y²) – (6x + 6y) + 9 + y² – 2y + 1 + 2014

P = (x + y)² – 2(x + y)3 + 3² + (y – 1)² + 2014

P = (x + y – 3)² + (y – 1)² + 2014

Ta thấy (x + y – 3)² + (y – 1)² ≥ 0 với mọi x, y

Nên P ≥ 2014

Vậy GTNN của P là 2014 khi $\{\begin{cases} x + y = 3 \\ y - 1 = 0 \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$ .

*Phương pháp giải:

+ Với mọi x:

+ Với mọi a; b ta có:

. Dấu = xảy ra khi a+ b = 0 Và . Dấu = xảy ra khi a- b = 0

*Lý thuyết:

• Cho biểu thức A(x):

+ Nếu thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu thì giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu

+ Với mọi A; B ta có:

Xem thêm

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Câu 426:

Lý thuyết Phép nhân và phép chia các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp Cánh diều

Tìm người khỏe mạnh bình thường mỗi phút đập khoảng 75 lần. Hãy tính số lần đập của tim người đó trong 24 giờ.

Xem đáp án

Lời giải

Trong 1 giờ tim người đó đập số lần là:

75 x 60 = 4500(lần)

Trong 24 giờ, tim người đó đập số lần là:

4500 x 24 = 108000 (lần)

Đáp số: 108000 lần.

*Phương pháp giải:

Áp dụng phép nhân hai ba chữ số

*Lý thuyết:

1. Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Ví dụ: 5 x 2 = 10; 20 x 3 = 60

Quy ước:

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.”

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

2. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a . b = b . a

+ Kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1: a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

Xem thêm

35 Bài tập Nhân với số có hai chữ số. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11 lớp 4 (có đáp án)

Câu 427:

Lý thuyết Phép chia đa thức cho đơn thức – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Tìm số nguyên n để

a) 10 $n^{2}$ + n - 10 chia hết cho n - 1

Xem đáp án

Lời giải

$a,$

$10 n^{2} + n - 10 ⋮ n - 1$

$\Rightarrow 10 n^{2} - 10 n + 11 n - 11 + 1 ⋮ n - 1$

$\Rightarrow 10 n (n - 1) + 11 (n - 1) + 1 ⋮ n - 1$

$\Rightarrow (n - 1) (10 n + 11) + 1 ⋮ n - 1$

$\Rightarrow 1 ⋮ n - 1$

$\Rightarrow n - 1 \in Ư (1) = {1; - 1}$

$\Rightarrow n \in {2; 0}$ (T/m)

Vậy $n \in {2; 0}$ để $10 n^{2} + n - 10 ⋮ n - 1$

*Phương pháp giải:

Áp dụng định lí bezout

*Lý thuyết:

Định lý này phát biểu rằng: "Đa thức $f(x)$ khi chia cho nhị thức $x-a$ được dư là $R$ thì $R=f(a)$ ".

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Đa thức một biến (Kết nối tri thức ) có đáp án

Câu 428:

Lý thuyết Phép chia đa thức cho đơn thức – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Tìm số nguyên n để

b) $n^{3}$ - 3 chia hết cho n - 2

Xem đáp án

Lời giải

$b,$

$n^{3} - 3 ⋮ n - 2$

$\Rightarrow n^{3} - 2 n^{2} + 2 n^{2} - 4 n + 4 n - 8 + 5 ⋮ n - 2$

$\Rightarrow n^{2} (n - 2) + 2 n (n - 2) + 4 (n - 2) + 5 ⋮ n - 2$

$\Rightarrow (n - 2) (n^{2} + 2 n + 4) + 5 ⋮ n - 2$

$\Rightarrow 5 ⋮ n - 2$

$\Rightarrow n - 2 \in Ư (5) = {1; - 1; 5; - 5}$

$\Rightarrow n \in {3; 1; 7; - 3}$ (T/m)

Vậy $n \in {3; 1; 7; - 3}$ để $n^{3} - 3 ⋮ n - 2$

*Phương pháp giải:

Áp dụng định lí bezout

*Lý thuyết:

Định lý này phát biểu rằng: "Đa thức $f(x)$ khi chia cho nhị thức $x-a$ được dư là $R$ thì $R=f(a)$ ".

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Đa thức một biến (Kết nối tri thức ) có đáp án

Câu 429:

Lý thuyết Phép chia đa thức cho đơn thức – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Tìm số nguyên n để

c) $n^{2}$ + 3n + 3 chia hết cho 2n + 1

Xem đáp án

Lời giải

$c,$

$n^{2} + 3 n + 3 ⋮ 2 n + 1$

$\Rightarrow 4 n^{2} + 12 n + 12 ⋮ 2 n + 1$

$\Rightarrow 4 n^{2} + 2 n + 10 n + 5 + 7 ⋮ 2 n + 1$

$\Rightarrow 2 n (2 n + 1) + 5 (2 n + 1) + 7 ⋮ 2 n + 1$

$\Rightarrow (2 n + 1) (2 n + 5) + 7 ⋮ 2 n + 1$

$\Rightarrow 7 ⋮ 2 n + 1$

$\Rightarrow 2 n + 1 \in Ư (7) = {1; - 1; 7; - 7}$

$\Rightarrow n \in {0; - 1; 3; - 4}$ (T/m)

Vậy $n \in {0; - 1; 3; - 4}$ để $n^{2} + 3 n + 3 ⋮ 2 n + 1$

*Phương pháp giải:

Áp dụng định lí bezout chia đa thức có dư

*Lý thuyết:

Định lý này phát biểu rằng: "Đa thức $f(x)$ khi chia cho nhị thức $x-a$ được dư là $R$ thì $R=f(a)$ ".

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Đa thức một biến (Kết nối tri thức ) có đáp án

Câu 430:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (mới + Bài Tập) – Toán 11

Giải phương trình tanx + 2cotx - 3 = 0

Xem đáp án

Lời giải

$\tan x + 2 \cot x - 3 = 0$

ĐKXĐ: ${\begin{cases} \cos x \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{k π}{2}$

$P T \Leftrightarrow \tan x + \frac{2}{\tan x} - 3 = 0$

$\Leftrightarrow \tan^{2} x - 3 \tan x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow$ $[\begin{array}{l} \tan x = 1 \\ \tan x = 2 \end{array}$

$\Leftrightarrow$ $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k π \\ x = \arctan 2 + k π \end{array}$ $(k \in ℤ)$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phương trình tanx

*Lý thuyết:

- Điều kiện xác định của phương trình là $x \neq \frac{π}{2} + k π; k \in ℤ$ .

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: $x = \arctan a + k π; k \in ℤ$

- Chú ý:

a) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x = α + k π; k \in ℤ$

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) $\Rightarrow f (x) = g (x) + k π; k \in ℤ$ .

b) Phương trình tanx = tanβ⁰ có các nghiệm là: $x = β^{0} + k {.180}^{0}; k \in ℤ$ .

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án ) – Toán 11

Câu 431:

Bất phương trình bậc nhất và cách giải bài tập chi tiết nhất

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn $\frac{x + 3}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} < \frac{2 x}{2 x - x^{2}}$ ?

A.0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Lời giải

Điều kiện: $\{\begin{cases} x^{2} - 4 \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \\ 2 x - x^{2} \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq \pm 2 \end{cases} .$ Bất phương trình:

$\frac{x + 3}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} < \frac{2 x}{2 x - x^{2}} \Leftrightarrow \frac{x + 3}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} + \frac{2 x}{x^{2} - 2 x} < 0 \Leftrightarrow \frac{2 x + 9}{x^{2} - 4} < 0.$

Bảng xét dấu:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn x+3/x^2-4/ 1/x+2< 2x/ 2x-x^2? (ảnh 1)

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $\frac{2 x + 9}{x^{2} - 4} < 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - \frac{9}{2}) \cup (- 2; 2) .$

Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của $x (x = 1)$ thỏa mãn yêu cầu.

*Phương pháp giải:

Giải và biện luận bất phương trình dạng: $a x + b > 0$ (1).

+) Nếu $a > 0$ thì $(1) \Leftrightarrow a x > - b \Leftrightarrow x > - \frac{b}{a}$

$\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S = (- \frac{b}{a}; + \infty) \cdot$

+) Nếu $a < 0$ thì $(1) \Leftrightarrow a x > - b \Leftrightarrow x < - \frac{b}{a}$

$\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S = (- \infty; - \frac{b}{a}) \cdot$

+) Nếu a=0 thì $(1) \Leftrightarrow 0. x > - b .$ Khi đó, ta xét:

Với $- b \geq 0 \Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \emptyset$

Với $- b < 0 \Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S = ℝ$

*Lý thuyết:

b. Một số phép biến đổi bất phương trình:

- Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng). Ta dùng kí hiệu “ $\Leftrightarrow$ ” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

- Một số phép biến đổi tương đương:

Gọi D là điều kiện xác định của bất phương trình P(x) < Q(x); f(x) là biểu thức xác định với $\forall x \in D$ thì:

+) P(x) < Q(x) $\Leftrightarrow$ P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

Nhận xét: P(x) < Q(x) + f(x) $\Leftrightarrow$ P(x) − f(x) < Q(x)

+) P(x) < Q(x) $\Leftrightarrow$ P(x).f(x) < Q(x).f(x) nếu f(x) > 0, $\forall x$

P(x) < Q(x) $\Leftrightarrow$ P(x).f(x) > Q(x).f(x) nếu f(x) < 0, $\forall x$

+) P(x) < Q(x) $\Leftrightarrow P^{2} (x) < Q^{2} (x)$ nếu $P (x) \geq 0, Q (x) \geq 0, \forall x .$

- Bất phương trình bậc nhất là bất phương trình có dạng: $a x + b > 0, a x + b < 0,$ $a x + b \geq 0, a x + b \leq 0$ với $a, b \in ℝ .$

- Giải và biện luận bất phương trình dạng: $a x + b > 0$ (1).

+) Nếu $a > 0$ thì $(1) \Leftrightarrow a x > - b \Leftrightarrow x > - \frac{b}{a}$

$\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S = (- \frac{b}{a}; + \infty) \cdot$

+) Nếu $a < 0$ thì $(1) \Leftrightarrow a x > - b \Leftrightarrow x < - \frac{b}{a}$

$\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S = (- \infty; - \frac{b}{a}) \cdot$

+) Nếu a=0 thì $(1) \Leftrightarrow 0. x > - b .$ Khi đó, ta xét:

Với $- b \geq 0 \Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \emptyset$

Với $- b < 0 \Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S = ℝ$

Lưu ý: Ta giải tương tự với $a x + b < 0, a x + b \leq 0, a x + b \geq 0.$

Xem thêm

50 bài tập về Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp (có đáp án 2025) chi tiết nhất

Câu 432:

50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2025) và cách giải

Tìm GTLN

$b) A = - 4 x^{2} - 5 y^{2} + 8 x y + 10 y + 12$

Xem đáp án

Lời giải

$b .$

$A = - 4 x^{2} - 5 y^{2} + 8 x y + 10 y + 12$

$A = - (4 x^{2} - 8 x y + 4 y^{2}) - (y^{2} - 10 y + 25) + 37$

$A = 37 - {(2 x - 2 y)}^{2} - {(y - 5)}^{2}$

Vì ${(y - 5)}^{2} \geq 0 \forall y; {(2 x - 2 y)}^{2} \geq 0 \forall x; y$

$\Rightarrow A \leq 37$ tại $y - 5 = 0$ và $2 x - 2 y = 0$

$\Leftrightarrow y = 5$ và $2 x - 2 \cdot 5 = 0$

$\Leftrightarrow x = 5$ và $y = 5$

Vậy $A max = 37$ tại $x = 5$ và $y = 5$

*Phương pháp giải:

+ Với mọi x:

+ Với mọi a; b ta có:

. Dấu = xảy ra khi a+ b = 0 Và . Dấu = xảy ra khi a- b = 0

*Lý thuyết:

• Cho biểu thức A(x):

+ Nếu thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu thì giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu

+ Với mọi A; B ta có:

Xem thêm

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Câu 433:

Chuyên đề Số nguyên lớp 6 (Kết nối tri thức) | Chuyên đề dạy thêm Toán 6

Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn: -10 < x < 15.

Xem đáp án

Lời giải

Các số nguyên x thỏa mãn -10 < x < 15 là:

x ∈ { -9; -8; -7; ...; -1; 0; 1; 2; ...; 13; 14}

*Phương pháp giải:

- Dạng điền kí hiệu: $(\in; \notin; \subset; \cap) :$

- Tập hợp số tự nhiên $ℕ = {0; 1; 2; 3; ...};$

- Tập hợp số nguyên gồm các số nguyên âm, số 0 và số nguyên dương

$ℤ = {...; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; ...};$ $A \subset B$ nếu mọi phần tử của A đều thuộc B

*Lý thuyết:

+ Số nguyên là tập hợp bao gồm các số: Số không, số tự nhiên dương và các số đối của chúng còn gọi là số tự nhiên âm.

+ Số nguyên được chia làm hai loại là số nguyên dương và số nguyên âm.

* Số nguyên dương là tập hợp các số nguyên lớn hơn 0 (ví dụ: $+ 1; + 2; + 3; + 4; + 5...$ đôi khi còn viết $+ 1; + 2; + 3 . . .$ nhưng dấu $" + "$ thường được bỏ đi).

* Số nguyên âm là tập hợp các số nguyên nhỏ hơn 0 ( ví dụ: $- 1; - 2; - 3; - 4; - 5...)$

Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là $ℤ$

Lưu ý: Số không phải là số nguyên dương cũng không phải là số nguyên âm.

2. Biểu diễn số nguyên trên trục số:

- Số nguyên âm có thể được biểu diễn trên tia đối của tia số đó, gọi là trục số. Điểm được gọi là điểm gốc của trục số. Trục số có thể được vẽ theo hướng ngang (nằm) hoặc hướng dọc (đứng).

- Khi vẽ trục số ngang, chiều từ trái sang phải gọi là chiều dương (thường được đánh dấu bằng mũi tên), chiều từ phải sang trái gọi là chiều âm.

- Tương tự như vậy, khi vẽ trục số dọc, chiều từ dưới lên trên gọi là chiều dương (cũng được đánh dấu bằng mũi tên), chiều từ trên xuống dưới gọi là chiều âm.

- Điểm biểu diễn số nguyên trên trục số được gọi là điểm $a$

- Như vậy một trục số là một đường thẳng trên đó đã chọn điểm $0$ gọi là điểm gốc, thường chọn chiều từ trái sang phải làm chiều dương và một đơn vị độ dài , mỗi số tự nhiên (hay số nguyên dương) được biểu diễn bởi một điểm ở bên phải điểm, mỗi số nguyên âm được biểu diễn bởi một điểm ở bên trái điểm 0

Xem thêm

TOP 30 câu Trắc nghiệm Số nguyên âm và tập hợp các số nguyên có đáp án - Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

Câu 434:

50 bài tập về Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp (có đáp án 2025) chi tiết nhất

Giải phương trình nghiệm nguyên dương $x^{3} - y^{3} = x y + 61$

Xem đáp án

Lời giải

$x^{3} - y^{3} = x y + 61$

$\Leftrightarrow 27 x^{3} - 27 y^{3} - 27 x y - 1 = 1646$

$\Leftrightarrow {(3 x)}^{3} + {(- 3 y)}^{3} + {(- 1)}^{3} - 3.3 x . (- 3 y) . (- 1) = 1646$

Áp dụng hđt sau $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a)$ đc

$(3 x - 3 y - 1) (9 x^{2} + 9 y^{2} + 1 + 9 x y - 3 y + 3 x) = 1646$

CÓ $1646 = 1.1646 = 2.823$

Mà $\hept {\begin{cases} 3 x - 3 y - 1 < 9 x^{2} + 9 y^{2} + 1 + 9 x y - 3 y + 3 x \\ 3 x - 3 y - 1 \equiv 2 (m o d 3) \end{cases}$

$\Rightarrow 3 x - 3 y - 1 = 2$

$\Rightarrow x = y + 1$

THay vào đề bài

${(y + 1)}^{3} - y^{3} = (y + 1) y + 61$

$\Leftrightarrow y^{2} + y - 30 = 0$

$\Leftrightarrow \orbr {\begin{cases} y = 5 (t m) \\ y = - 6 (l o a i) \end{cases}$

VỚi y = 5 thì x = y + 1 = 6

*Phương pháp giải:

*Lý thuyết:

- Phương trình bậc hai một ẩn có dạng $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ). Ta có: $Δ = b^{2} - 4 a c$ là biệt thức của phương trình (còn có $Δ' = b'^{2} - a c$ với $b' = \frac{b}{2}$ )

- Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ):

+ Với $Δ > 0$ ( $Δ' > 0$ ) phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ ; $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

$(x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ'}}{a}; x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ'}}{a})$

+ Với $Δ = 0$ ( $Δ' = 0$ ) phương trình có nghiệm kép:

$x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a} (x_{1} = x_{2} = \frac{- b'}{a})$

+ Với $Δ < 0$ ( $Δ' < 0$ ) phương trình vô nghiệm.

Xem thêm

Các phương trình về phương trình bậc hai và cách giải bài tập hay nhất

Câu 435:

Lý thuyết Cách ghi số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Tìm số tự nhiên có tận cùng bằng 3, biết rằng nếu xóa chữ số hàng đơn vị thì số đó giảm đi 1992 đơn vị.

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Gọi số tự nhiên đó ra rồi sử dụng câc dữ liệu đề bài cho để tìm số cần tìm

*Lý thuyết:

1. Hệ thập phân

+ Cách ghi số tự nhiên trong hệ thập phân

- Trong hệ thập phân, mỗi số tự nhiên được viết dưới dạng một dãy những chữ số lấy trong 10 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 và 9; vị trí của các chữ số trong dãy gọi là hàng.

- Cứ 10 đơn vị ở một hàng thì bằng 1 đơn vị ở hàng liền trước nó. Chẳng hạn, 10 chục thì bằng 1 trăm; 10 trăm thì bằng 1 nghìn; …

Chú ý: Khi viết các số tự nhiên ta quy ước:

1. Với các số tự nhiên khác 0, chữ số đầu tiên (từ trái sang phải) khác 0.

2. Để dễ đọc với các số có bốn chữ số ta viết tách riêng từng lớp. Mỗi lớp là một nhóm ba chữ số kể từ phải sang trái.

+ Mỗi số tự nhiên viết trong hệ thập phân đều biểu diễn được thành tổng giá trị các chữ số của nó. Chẳng hạn như số có ba chữ số $\bar{a b c} (a, b, c \in ℕ)$ được viết dưới dạng tổng giá trị các chữ số của nó như sau: $\bar{a b c} = a \times 100 + b \times 10 + c .$

Xem thêm

TOP 13 câu Trắc nghiệm Cách ghi số tự nhiên có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 436:

Các dạng toán về Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và cách giải– Toán lớp 7

Tìm tất cả các số nguyên dương x,y,z thoả mãn:

$\frac{2 z - 4 x}{3} = \frac{3 x - 2 y}{4} = \frac{4 y - 3 z}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} \frac{2 z - 4 x}{3} = \frac{3 x - 2 y}{4} = \frac{4 y - 3 z}{2} \\ \Rightarrow \frac{3 (2 z - 4 x)}{9} = \frac{4 (3 x - 2 y)}{16} = \frac{2 (4 y - 3 z)}{4} \\ = \frac{6 z - 12 x + 12 x - 8 y + 8 y - 6 z}{9 + 16 + 4} = 0 \end{array}$

$\Rightarrow {\begin{cases} 2 z - 4 x = 0 \\ 3 x - 2 y = 0 \\ 4 y - 3 z = 0 \end{cases} \Rightarrow y = \frac{3}{4} z$

mà $200 < y^{2} + z^{2} < 450$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 200 < {(\frac{3}{4} z)}^{2} + z^{2} < 450 \\ \Leftrightarrow 200 < \frac{25}{16} z^{2} < 450 \\ \Leftrightarrow 128 < z^{2} < 288 \end{array}$

Vì z là số nguyên dương $\Rightarrow \sqrt{128} < z < \sqrt{288}$

$\Rightarrow z \in {12; 13; 14; 15; 16}$

mà y là số nguyên dương và $y = \frac{3}{4} z$

$\Rightarrow z \in {12; 16}$

Thế vào $y = \frac{3}{4} z$ và $2 z - 4 x = 0$

+) Với $z = 12 \Rightarrow y = \frac{3}{4} .12 = 6$

$2.12 - 4 x = 0 \Rightarrow x = 6$

Với $z = 16 \Rightarrow y = \frac{3}{4} . 16 = 12$

$2.16 - 4 x = 0 \Rightarrow x = 8$

Vậy ta có các cặp nghiệm là: $(x; y; z) = {(6; 9; 12); (8; 12; 16)}$

*Phương pháp giải

*Lý thuyết

1. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

2. Khi nói các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c tức là ta có $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$

Ta cũng viết: x : y : z = a : b : c.

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (Kết nối tri thức ) có đáp án

Câu 437:

Các phép toán trên tập hợp và cách giải bài tập hay nhất

Tìm tham số thực m để trong tập hợp A=(m-1;m] ∩ (3;5) có đúng 1 số tự nhiên

Xem đáp án

Lời giải

Do tập $(3, 5)$ có $1$ số tự nhiên là $4$ thuộc tập

Để tập $A$ ∩ $(3, 5)$ có đúng 1 số tự nhiên thì

$4 \in A$

$\Rightarrow m - 1 < 4 \leq m$

$\Rightarrow 4 \leq m < 5$

Vậy m nằm trong nửa khoảng $[4, 5)$

*Phương pháp giải:

- Giao của hai tập hợp: tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu: $C = A \cap B$ .

Vậy: $A \cap B$ = {x| $x \in A$ và $x \in B$ }.

*Lý thuyết:

1. Lý thuyết

- Giao của hai tập hợp: tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu: $C = A \cap B$ .

Vậy: $A \cap B$ = {x| $x \in A$ và $x \in B$ }.

- Hợp của hai tập hợp: tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B. Kí hiệu: $C = A \cup B$ .

Vậy: $A \cup B$ = {x| $x \in A$ hoặc $x \in B$ }

- Hiệu của hai tập hợp: tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A và B. Kí hiệu: C = A \ B.

Vậy: A \ B = {x| $x \in A$ và $x \in B$ }.

- Phần bù của hai tập hợp: Khi $B \subset A$ thì A \ B gọi là phần bù của B trong A. Kí hiệu: $C_{A} B$ .

2. Phương pháp giải

- Giao của hai tập hợp: $x \in A \cap B \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in A \\ x \in B \end{cases}$

- Hợp của hai tập hợp: $x \in A \cup B \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \in A \\ x \in B \end{array}$

- Hiệu của hai tập hợp: $x \in A \ B \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \in A \\ x \notin B \end{cases}$

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Các phép toán trên tập hợp (Chân trời sáng tạo ) có đáp án - Toán 10

Câu 438:

Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên A= $\frac{2 x + 5}{x + 1}$

Xem đáp án

Lời giải

A=2x+5x+1=2+3x+1
Để A∈Z
Thì 3x+1 ∈Z
⇒3⋮(x+1)
⇒x+1∈Ư(3)
Mà Ư(3)={-3;-1;1;3}
⇒x+1∈{-3;-1;1;3}
⇒x∈{-4;-2;0;2}
Vậy ∈{-4;-2;0;2}         
*Phương pháp giải:
Để phân số là 1 số nguyên thì tử phải chia hết cho mẫu nên mẫu sẽ thuộc ước của mẫu
*Lý thuyết:
1. Ước chung:
Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.
Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC.
Kí hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC(a, b).
Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của cả ba số a, b, c.
Ví dụ: Số 14 chia hết cho 7 nên 7 là ước của 14, 21 chia hết cho 7 nên 7 là ước của 21, 49 chia hết cho 7 nên 7 là ước của 49. Vậy 7 là ước chung của ba số 14, 21, 49.
2. Ước chung lớn nhất:
Số lớn nhất trong các ước chung của hai số a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.
Quy ước: Viết tắt ước chung lớn nhất là ƯCLN.
Xem thêm
Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều 
TOP 40 câu Trắc nghiệm Ước chung và ước chung lớn nhất (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6 

Câu 439:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới + Bài Tập) – Toán 8

$\frac{x - 10}{30} + \frac{x - 14}{43} + \frac{x - 5}{95} + \frac{x - 148}{8} = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{x - 10}{30} + \frac{x - 14}{43} + \frac{x - 5}{95} + \frac{x - 148}{8} = 0$

$\Rightarrow \frac{x - 10}{30} - 3 + \frac{x - 14}{43} - 2 + \frac{x - 5}{95} - 1 + \frac{x - 148}{8} + 6 = 0$

$\Rightarrow \frac{x - 100}{30} + \frac{x - 100}{43} + \frac{x - 100}{95} + \frac{x - 100}{8} = 0$

$\Rightarrow (x - 100) . (\frac{1}{30} + \frac{1}{43} + \frac{1}{95} + \frac{1}{8}) = 0$

$V ì$ $\frac{1}{30} + \frac{1}{43} + \frac{1}{95} + \frac{1}{8} \neq 0$

$\Rightarrow x - 100 = 0$

$\Rightarrow x = 0 + 100$

$\Rightarrow x = 100$

$V ậ y$ , $x = 100$ .

*Phương pháp giải:

Phaân tích để xuất hiện nhân tử chung trên tử rồi đặt ra ngoài biện luận

*Lý thuyết:

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8

Câu 440:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới + Bài Tập) – Toán 8

Tìm x biết : x+20202018+x+20202019=x+20202020+x+20202021

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{x + 2020}{2018} + \frac{x + 2020}{2019} = \frac{x + 2020}{2020} + \frac{x + 2020}{2021}$

$\Rightarrow \frac{x + 2020}{2018} + \frac{x + 2020}{2019} - \frac{x + 2020}{2020} - \frac{x + 2020}{2021} = 0$

$\Rightarrow (x + 2020) . (\frac{1}{2018} + \frac{1}{2019} - \frac{1}{2020} - \frac{1}{2021}) = 0$

Mà: $\frac{1}{2018} + \frac{1}{2019} - \frac{1}{2020} - \frac{1}{2021} \neq 0$

$\Rightarrow x + 2020 = 0$

$\Rightarrow x = - 2020$

Vậy $x = - 2020$

*Phương pháp giải:

Phân tích để xuất hiện nhân tử chung trên tử rồi đặt ra ngoài biện luận

*Lý thuyết:

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8

Câu 441:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới + Bài Tập) – Toán 8

Tìm $x :$ $\frac{x - 3}{13} + \frac{x - 3}{14} = \frac{x - 3}{15} + \frac{x - 3}{16}$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Phân tích để xuất hiện nhân tử chung trên tử rồi đặt ra ngoài biện luận

*Lý thuyết:

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8

Câu 442:

200 bài tập về những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án 2025) và cách giải

Tìm x biết

b) ( x + 1 )³ - ( x - 1 )³ - 6( x - 1 )² = - 10.

Xem đáp án

Lời giải

b) Áp dụng hằng đẳng thức ( a - b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

( a - b )² = a² - 2ab + b²

Khi đó ta có: ( x + 1 )³ - ( x - 1 )³ - 6( x - 1 )² = - 10.

⇔ ( x³ + 3x² + 3x + 1 ) - ( x³ - 3x² + 3x - 1 ) - 6( x² - 2x + 1 ) = - 10

⇔ 6x² + 2 - 6x² + 12x - 6 = - 10

⇔ 12x = - 6 ⇔ x = - 1/2.

Vậy giá trị x cần tìm là x= - 1/2

*Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức ( a - b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

*Lý thuyết:

1. Lập phương của một tổng

Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất cộng ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai cộng lập phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

2. Lập phương của một hiệu

Lập phương của một hiệu bằng lập phương số thứ nhất trừ ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai trừ lập phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3 AB² – B³

Xem thêm

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo) (năm + Bài Tập) – Toán 8

Câu 443:

Phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất

Tìm x, biết |x + 3| = 10.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có |x + 3| = 10

suy ra x + 3 = 10

hoặc

x + 3 = −10.

Xét trường hợp x + 3 = 10

⇒ x = 10 − 3 = 7.

Xét trường hợp x + 3 = −10

⇒ x = −10 − 3 = −13.

*Phương pháp giải

+ Dùng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối.

*Lý thuyết

- Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối như:

+ Dùng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối.

+ Bình phương hai vế phương trình đã cho.

+ Đặt ẩn phụ.

$|f (x)| = |g (x)| \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = g (x) \\ f (x) = - g (x) \end{array} |f (x)| = |g (x)| \Leftrightarrow f^{2} (x) = g^{2} (x) |f (x)| = g (x) \Leftrightarrow \{\begin{cases} g (x) \geq 0 \\ f^{2} (x) = g^{2} (x) \end{cases} |f (x)| = g (x) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (x) = g (x) \\ f (x) \geq 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} - f (x) = g (x) \\ f (x) < 0 \end{cases} \end{array}$

Xem thêm

50 Bài tập Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Toán 8 mới nhất

Câu 444:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới + Bài Tập) – Toán 8

Tìm x: $(4 x^{4} + 3 x^{3}) : (- x^{3}) + (15 x^{2} + 6 x) : 3 x = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l} (4 x^{4} + 3 x^{3}) : (- x^{3}) + (15 x^{2} + 6 x) : 3 x = 0 \\ \Leftrightarrow [x^{3} . (4 x + 3)] : (- x^{3}) + [3 x . (5 x + 2)] : 3 x = 0 \\ \Leftrightarrow - (4 x + 3) + (5 x + 2) = 0 \\ \Leftrightarrow x - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow x = 1 \end{array}$

Vậy $x = 1$

*Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung rồi thưucj hiện phép tính

*Lý thuyết:

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8

Câu 445:

Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Cho biểu thức M= $\frac{3}{\sqrt{x} - 2}$ .Tìm x để M= $\frac{\sqrt{x}}{8}$

Xem đáp án

Lời giải

$Đ K X Đ : x \geq 0; x \neq 4$

$M = \frac{\sqrt{x}}{8}$

$\Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x}}{8}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) = 3.8$

$\Leftrightarrow x - 2 \sqrt{x} = 24$

$\Leftrightarrow x - 2 \sqrt{x} + 1 = 25$

$\Leftrightarrow {(\sqrt{x} - 1)}^{2} = {(\pm 5)}^{2}$

$\Leftrightarrow$ $[\begin{array}{l} \sqrt{x} - 1 = 5 \\ \sqrt{x} - 1 = - 5 \end{array}$ $\Leftrightarrow$ $[\begin{array}{l} \sqrt{x} = 5 + 1 \\ \sqrt{x} = - 5 + 1 \end{array}$

$\Leftrightarrow$ $[\begin{array}{l} \sqrt{x} = 6 \\ \sqrt{x} = - 4 (Vô lý) \end{array}$ $\Leftrightarrow x = 36 (TM)$

Vậy $x = 36$ thì $M = \frac{\sqrt{x}}{8}$

*Phương pháp giải:

• Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta thường vận dụng thích hợp các tính chất (giao hoán, kết hợp, phân phối) của các phép tính, quy tắc về thứ tự thực hiện phép tính và các phép biến đổi đã biết.

*Lý thuyết:

1. Trục căn thức ở mẫu

• Đối với những biểu thức chứa căn thức ở mẫu, ta thường biến đổi để khử căn thức ở mẫu đó. Phép biến đổi như vậy gọi là trục căn thức ở mẫu.

• Với biểu thức $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (a ≥ 0, b > 0), ta biến đổi:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} . \sqrt{b}}{\sqrt{b} . \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a b}}{b} .$

Chú ý:

• Với số thực a không âm và số thực b dương, ta thường biến đổi

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} . \sqrt{b}}{\sqrt{b} . \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a b}}{b}$ hoặc $\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a b}{b^{2}}} = \frac{\sqrt{a b}}{\sqrt{b^{2}}} = \frac{\sqrt{a b}}{b}$

để khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn.

• Tổng quát hơn, với hai biểu thức A và B thỏa mãn AB ≥ 0, B ≠ 0, ta có:

$\sqrt{\frac{A}{B}} = \sqrt{\frac{A B}{B^{2}}} = \frac{\sqrt{A B}}{\sqrt{B^{2}}} = \frac{\sqrt{A B}}{|B|} .$

• Trong câu a của ví dụ trên, để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức $\sqrt{5} + 1.$ Ta gọi biểu thức $\sqrt{5} - 1$ và biểu thức $\sqrt{5} + 1$ là hai biểu thức liên hợp với nhau.

• Với hai biểu thức A, B mà B > 0, ta có $\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A \sqrt{B}}{B} .$

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0 và A ≠ B², ta có

$\frac{C}{\sqrt{A} + B} = \frac{C (\sqrt{A} - B)}{A - B^{2}};$ $\frac{C}{\sqrt{A} - B} = \frac{C (\sqrt{A} + B)}{A - B^{2}} .$

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B, ta có

$\frac{C}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} - \sqrt{B})}{A - B};$ $\frac{C}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} + \sqrt{B})}{A - B} .$

Xem thêm

50 Bài tập Phương trình chứa ẩn ở mẫu Toán 8 mới nhất

Câu 446:

Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai - Toán 9 Chân trời sáng tạo

Giải phương trình $\sqrt{2 x^{2} - 8 x + 12} + \sqrt{3 x^{2} - 12 x + 13} = 3$

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

• Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta thường vận dụng thích hợp các tính chất (giao hoán, kết hợp, phân phối) của các phép tính, quy tắc về thứ tự thực hiện phép tính và các phép biến đổi đã biết.

*Lý thuyết:

1. Trục căn thức ở mẫu

• Đối với những biểu thức chứa căn thức ở mẫu, ta thường biến đổi để khử căn thức ở mẫu đó. Phép biến đổi như vậy gọi là trục căn thức ở mẫu.

• Với biểu thức $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (a ≥ 0, b > 0), ta biến đổi:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} . \sqrt{b}}{\sqrt{b} . \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a b}}{b} .$

Chú ý:

• Với số thực a không âm và số thực b dương, ta thường biến đổi

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} . \sqrt{b}}{\sqrt{b} . \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a b}}{b}$ hoặc $\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a b}{b^{2}}} = \frac{\sqrt{a b}}{\sqrt{b^{2}}} = \frac{\sqrt{a b}}{b}$

để khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn.

• Tổng quát hơn, với hai biểu thức A và B thỏa mãn AB ≥ 0, B ≠ 0, ta có:

$\sqrt{\frac{A}{B}} = \sqrt{\frac{A B}{B^{2}}} = \frac{\sqrt{A B}}{\sqrt{B^{2}}} = \frac{\sqrt{A B}}{|B|} .$

• Trong câu a của ví dụ trên, để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức $\sqrt{5} + 1.$ Ta gọi biểu thức $\sqrt{5} - 1$ và biểu thức $\sqrt{5} + 1$ là hai biểu thức liên hợp với nhau.

• Với hai biểu thức A, B mà B > 0, ta có $\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A \sqrt{B}}{B} .$

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0 và A ≠ B², ta có

$\frac{C}{\sqrt{A} + B} = \frac{C (\sqrt{A} - B)}{A - B^{2}};$ $\frac{C}{\sqrt{A} - B} = \frac{C (\sqrt{A} + B)}{A - B^{2}} .$

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B, ta có

$\frac{C}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} - \sqrt{B})}{A - B};$ $\frac{C}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} + \sqrt{B})}{A - B} .$

Xem thêm

50 Bài tập Phương trình chứa ẩn ở mẫu Toán 8 mới nhất

Câu 447:

Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tìm x thuộc z để a thuộc z và tìm giá trị đó:

a) A = $\frac{x + 3}{x - 2}$

b) B= $\frac{1 - 2 x}{x + 3}$

Xem đáp án

Lời giải

$a)$

Ta có: $A = \frac{x + 3}{x - 2} = \frac{(x - 2) + 5}{x - 2} = 1 + \frac{5}{x - 2}$ $(x \neq 2)$

Để $A$ đạt giá trị nguyên thì:
$\frac{5}{x - 2}$ là số nguyên

$\Rightarrow 5 ⋮ x - 2$ $(x \in ℤ)$

$\Rightarrow x - 2 \in Ư (5) = {\pm 1; \pm 5}$

$\Rightarrow x \in {1; 3; - 3; 7}$

Vậy, $x \in {1; 3; - 3; 7}$ thì $A$ đạt giá trị nguyên

$b)$

Ta có: $B = \frac{1 - 2 x}{x + 3} = \frac{- 2 (x + 3) + 7}{x + 3} = - 2 + \frac{7}{x + 3}$ $(x \neq - 3)$

Để $B$ đạt giá trị nguyên thì:
$\frac{7}{x + 3}$ là số nguyên

$\Rightarrow 7 ⋮ x + 3$ $(x \in ℤ)$

$\Rightarrow x + 3 \in Ư (7) = {\pm 1; \pm 7}$

$\Rightarrow x \in {- 4; - 2; - 10; 4}$

Vậy, $x \in {- 4; - 2; - 10; 4}$ thì $B$ đạt giá trị nguyên

*Phương pháp giải:

Để phân số là 1 số nguyên thì tử phải chia hết cho mẫu nên mẫu sẽ thuộc ước của mẫu

*Lý thuyết:

1. Ước chung:

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC.

Kí hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC(a, b).

Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của cả ba số a, b, c.

Ví dụ: Số 14 chia hết cho 7 nên 7 là ước của 14, 21 chia hết cho 7 nên 7 là ước của 21, 49 chia hết cho 7 nên 7 là ước của 49. Vậy 7 là ước chung của ba số 14, 21, 49.

2. Ước chung lớn nhất:

Số lớn nhất trong các ước chung của hai số a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.

Quy ước: Viết tắt ước chung lớn nhất là ƯCLN.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Ước chung và ước chung lớn nhất (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 448:

Tìm giá trị của x ∈ ℕ để B có giá trị là số nguyên.

Cho biểu thức: với x > 0.

Xem đáp án

Lời giải

Với x > 0, ta có:

Với x ∈ ℕ* thì B có giá trị là số nguyên khi hay ∈ Ư(2) = {1; –1; 2; –2}.

Mà với x > 0, suy ra hoặc

Do đó x = 1 hoặc x = 4 (đều thoả mãn x > 0).

Vậy x ∈ {1; 4} thì B có giá trị là số nguyên.

*Phương pháp giải:

Phân tích phân số thành 1 số cộng với 1 phân số rồi để phân số là 1 số nguyên thì tử phải chia hết cho mẫu nên mẫu sẽ thuộc ước của mẫu

*Lý thuyết:

1. Ước chung:

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC.

Kí hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC(a, b).

Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của cả ba số a, b, c.

2. Ước chung lớn nhất:

Số lớn nhất trong các ước chung của hai số a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.

Quy ước: Viết tắt ước chung lớn nhất là ƯCLN.

Xem thêm

Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

TOP 40 câu Trắc nghiệm Ước chung và ước chung lớn nhất (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 449:

Các dạng toán về Tỉ lệ thức và cách giải – Toán lớp 7

Tìm x,y biết: x+y=3xy= $\frac{x}{3 y}$

Xem đáp án

Lời giải

$3 x y = \frac{x}{3 y}$ . ĐK: $y \neq 0$

$\Rightarrow \frac{1}{3 x y} = \frac{3 y}{x}$ . ĐK: $x \neq 0$

$\Rightarrow x = 9 x y^{2}$

$\Rightarrow 9 y^{2} = 1$

$\Rightarrow y^{2} = \frac{1}{9}$

$\Rightarrow y = \pm \frac{1}{3} (t m)$

TH1: $y = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow x + \frac{1}{3} = 3 x . \frac{1}{3}$

$\Rightarrow x + \frac{1}{3} = x$ (Vô lí)

TH2: $y = - \frac{1}{3}$

$\Rightarrow x - \frac{1}{3} = 3 x . (- \frac{1}{3})$

$\Rightarrow x - \frac{1}{3} = - x$

$\Rightarrow x + x = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow 2 x = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow x = \frac{1}{6} (T M)$

Vậy $x = \frac{1}{6}; y = - \frac{1}{3}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất 1: Nếu thì ad = bc

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

Hay được viết: a:b=c:d . Trong đó a, d là các số hạng ngoài (ngoại tỉ), b, c là các số hạng trong (trung tỉ).

2. Tính chất:

Tính chất 1: Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì ad = bc.

Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

Xem thêm

Trắc nghiệm Nhân, chia số hữu tỉ có đáp án - Toán lớp 7

Câu 450:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử – Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo

Tìm nghiệm nguyên 2x²+6y²+7xy-x-y=25

Xem đáp án

Lời giải

đưa về dạng $2 x^{2} + (7 y - 1) x + 6 y^{2} - y + a = b$ với $b - a = 25$

Sao cho vế trái tách được thành nhân tử

$\Rightarrow Δ = {(7 y - 1)}^{2} - 8 (6 y^{2} - y + a)$ là 1 bình phương

$\Rightarrow y^{2} - 6 y - 8 a + 1$ là 1 bình phương

$\Rightarrow 1 - 8 a = 9 \Rightarrow a = - 1$

Khi đó: $Δ = {(y - 3)}^{2} \Rightarrow {\begin{matrix} x = \frac{- 7 y + 1 - y + 3}{4} = - 2 y + 1 \\ x = \frac{- 7 y + 1 + y - 3}{4} = \frac{- 3 y - 1}{2} \end{matrix}$

$\Rightarrow [\begin{matrix} x + 2 y - 1 = 0 \\ 2 x + 3 y + 1 = 0 \end{matrix}$ hay vế trái khi đó sẽ được tách thành:

$(x + 2 y - 1) (2 x + 3 y + 1)$

Vậy ta làm như sau:

$\Leftrightarrow 2 x^{2} + 6 y^{2} + 7 x y - x - y - 1 = 24$

$\Leftrightarrow (x + 2 y - 1) (2 x + 3 y + 1) = 24$

*Phương pháp giải:

Đưa về dạng $2 x^{2} + (7 y - 1) x + 6 y^{2} - y + a = b$ với $b - a = 25$

*Lý thuyết:

1. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung như thế nào?

3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhóm hạng tử như thế nào?

4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức như thế nào?

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8

Câu 451:

Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tìm x,y nguyên thoả mãn $9 x^{2} - 10 y^{2} - 9 x y + 3 x - 5 y = 9$

Xem đáp án

Lời giải

$9 x^{2} - 10 y^{2} - 9 x y + 3 x - 5 y = 9$

$\Leftrightarrow (9 x^{2} + 6 x y + 3 x) - (15 x y + 10 y^{2} + 5 y) = 9$

$\Leftrightarrow 3 x (3 x + 2 y + 1) - 5 y (3 x + 2 y + 1) = 9$

$\Leftrightarrow (3 x + 2 y + 1) (3 x - 5 y) = 9$

$\Rightarrow 3 x + 2 y + 1; 3 x - 5 y \in Ư_{(9)} = {\pm 1; \pm 3; \pm 9}$

$\begin{array}{ccc} 3x+2y+1 & -9 & -3 & -1 & 1 & 3 & 9 \\ 3x-5y & -1 & -3 & -9 & 9 & 3 & 1 \\ x & \emptyset & \emptyset & \emptyset & \emptyset & \emptyset & 2 \\ y & \emptyset & \emptyset & \emptyset & \emptyset & \emptyset & 1 \end{array}$

Vậy $x = 2; y = 1$

*Phương pháp giải:

Tách -9xy=-15xy+6xy nhóm các phần tử thuộc ước của 9

*Lý thuyết:

1. Ước chung:

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC.

Kí hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC(a, b).

Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của cả ba số a, b, c.

2. Ước chung lớn nhất:

Số lớn nhất trong các ước chung của hai số a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.

Quy ước: Viết tắt ước chung lớn nhất là ƯCLN.

Kí hiệu: ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Ước chung và ước chung lớn nhất (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 452:

Trắc nghiệm Mệnh đề có đáp án – Toán lớp

Tìm cặp số nguyên x,y thoả mãn : $5 x^{2} + y^{2} = 17 + 2 x y$

Xem đáp án

Lời giải

$5 x^{2} + y^{2} = 17 + 2 x y$

$\Leftrightarrow 5 x^{2} + y^{2} - 2 x y = 17$

$\Leftrightarrow 4 x^{2} + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 17$

$\Leftrightarrow {(2 x)}^{2} + {(x - y)}^{2} = 17$

Vì $x, y \in ℤ$

$\Rightarrow {(2 x)}^{2}$ và ${(x - y)}^{2} \leq 17$

Mà $17$ là tổng $2$ số chính phương

$\Rightarrow 1^{2} + 4^{2} = 17$

Mà $x \in ℤ \Rightarrow 2 x$ là số chẵn

Trường hợp $1$ :

${\begin{cases} 2 x = 4 \\ x - y = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$

Trường hợp $2$ :

${\begin{cases} 2 x = - 4 \\ x - y = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x = - 2 \\ y = - 3 \end{cases}$

Trường hợp $3$ :

${\begin{cases} 2 x = 4 \\ x - y = - 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$

Trường hợp $4$ :

${\begin{cases} 2 x = - 4 \\ x - y = - 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x = - 2 \\ y = - 1 \end{cases}$

Vậy các cặp $(x; y)$ thỏa mãn là : $(- 2; - 1); (2; 3); (- 2; - 3); (2; 1)$

*Phương pháp giải:

Phân tích thành hằng đăng thức cộng với 1 số bình phương rồi quy về số chính phương

*Lý thuyết:

Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên (ví dụ 0, 1, 4, 9, 16, ...).

Xem thêm

Lý thuyết Xác suất của biến cố – Toán 10 Chân trời sáng tạo

Câu 453:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức (mới + Bài Tập) – Toán 8

Tìm $x, y, z$ biết: $x^{2} - 6 x + y^{2} + 10 y + 34 = - {(4 z - 1)}^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

$x^{2} - 6 x + y^{2} + 10 y + 34 = - {(4 z - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} - 6 x + y^{2} + 10 y + 34 + {(4 z - 1)}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 6 x + y^{2} + 10 y + 9 + 25 + {(4 z - 1)}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow (x^{2} - 6 x + 9) + (y^{2} + 10 y + 25) + {(4 z - 1)}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow (x^{2} - 2 . x .3 + 3^{2}) + (y^{2} + 2 . y .5 + 5^{2}) + {(4 z - 1)}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} + {(y + 5)}^{2} + {(4 z - 1)}^{2} = 0$

Để ${(x - 3)}^{2} + {(y + 5)}^{2} + {(4 z - 1)}^{2} = 0$

thì: ${\begin{cases} x - 3 = 0 \\ y + 5 = 0 \\ 4 z - 1 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x = 3 \\ y = - 5 \\ z = \frac{1}{4} \end{cases}$

Vậy: $x = 3; y = - 5; z = \frac{1}{4}$

*Phương pháp giải:

Phân tích đưa về 3 hằng đẳng thức cộng với nhau bằng 0

*Lý thuyết:

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Khi áp dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần lưu ý:

- Trước tiên nhận xét xem các hạng tử của đa thức có chứa nhân tử chung không, nếu có thì áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung.

- Nếu không thì ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức sau đây để phân tích đa thức thành nhân tử:

1) (A + B)² = A² + 2AB + B²

2) (A – B)² = A² – 2AB + B²

3) A² – B² = (A – B)(A + B)

4) (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

5) (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³

6) A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

7) A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hằng đẳng thức (có đáp án ) - Toán 8

Câu 454:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức (mới + Bài Tập) – Toán 8

Tìm x,y biết $4 x^{2} + y^{2} - 4 x + 10 y + 26 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$4 x^{2} + y^{2} - 4 x + 10 y + 26 = 0$

$\Leftrightarrow 4 x^{2} - 4 x + 1 + y^{2} + 10 y + 25 = 0$

$\Leftrightarrow {(2 x - 1)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow 2 x - 1 = 0$ và $y + 5 = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ và $y = - 5$

Vậy $x = \frac{1}{2}$ và $y = - 5$

*Phương pháp giải:

Phân tích đưa về 3 hằng đẳng thức cộng với nhau bằng 0

*Lý thuyết:

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Khi áp dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần lưu ý:

- Trước tiên nhận xét xem các hạng tử của đa thức có chứa nhân tử chung không, nếu có thì áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung.

- Nếu không thì ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức sau đây để phân tích đa thức thành nhân tử:

1) (A + B)² = A² + 2AB + B²

2) (A – B)² = A² – 2AB + B²

3) A² – B² = (A – B)(A + B)

4) (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

5) (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³

6) A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

7) A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hằng đẳng thức (có đáp án ) - Toán 8

Câu 455:

50 bài tập Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó lớp 4 và cách giải

Tìm hai số có tổng bằng 140, biết rằng nếu gấp số hạng thứ nhất lên 5 lần và gấp số hạng thứ hai lên 3 lần thì tổng mới là 508.

Xem đáp án

Lời giải

Tổng mới hơn tổng cũ là:

508 - 140 = 368

Số hạng thứ hai là:

368 : 2 =184

Tổng khi Số hạng thứ nhất gấp lên 5 lần hơn tổng cũ là

184 - 140 = 48

Số hạng thứ hai là

48 : 2 = 24

*Phương pháp giải:

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

*Lý thuyết:

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

(Học sinh có thể tiến hành thêm bước thử lại để kiểm chứng kết quả)

Xem thêm

Lý thuyết Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 456:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm + Bài Tập) – Toán 8

Rút gọn biểu thức:

A = (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)(2³² + 1).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có

Vậy A = 2⁶⁴ – 1.

*Phương pháp giải:

Tách (2+1)=(2-1)(2+1) nhóm thành hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Xem thêm

200 bài tập về những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 457:

Tính chất tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông cân đầy đủ, chi tiết hay nhất - Toán lớp 7

Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30o thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền.

Xem đáp án

Lời giải

Xét ΔABC, ta có: ∠A= 90o; ∠B= 30o

Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = AC

Ta có: ΔACD cân tại C

Mà ∠C + ∠B = 90o (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: ∠C = 90o - ∠B = 90o - 30o = 60o

Suy ra: ΔACD đều

Suy ra: AC = AD = DC và ∠A1= 60o

Ta có: ∠A1+ ∠A2 = ∠BAC = 90o

⇒ ∠A2 = 90o - ∠A1 = 90o - 60o = 30o

Trong ΔADB, ta có: ∠A2 = ∠B= 30o

Suy ra: ΔADB cân tại D (vì có 2 góc kề cạnh AB bằng nhau)

Hay AD = DB

Suy ra: AC = CD = DB mà CD + DB = BC

Vậy AC = 1/2 BC.

*Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất tam giác vuông : AB, AC là hai cạnh góc vuông, BC là cạnh huyền.

Ta có: $\hat{B} + \hat{C} = 90 °$

*Lý thuyết:

a) Định nghĩa

Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.

b) Tính chất

Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.

Xét hình vẽ: Tam giác ABC vuông tại A

AB, AC là hai cạnh góc vuông, BC là cạnh huyền.

Ta có: $\hat{B} + \hat{C} = 90 °$

c) Dấu hiệu nhận biết

+ Nếu một tam giác có một góc vuông thì tam giác đó là tam giác vuông.

+ Nếu một tam giác có hai góc phụ nhau thì tam giác đó là tam giác vuông.

Xem thêm

TOP 20 câu Trắc nghiệm Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông (Kết nối tri thức ) có đáp án

Câu 458:

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn (mới + Bài Tập) – Toán 9

Một người đứng cách gốc cây 20 m nhìn thấy ngọn cây với góc 36° so với phương nằm ngang. Biết mắt người ấy cách mặt đất 1,7 m và cây mọc thẳng đứng (H.4.21a). Tính chiều cao của cây (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Xem đáp án

Lời giải

(H.4.21b)

Gọi điểm mắt người nhìn là A, ngọn cây là O, gốc cây là H, giao điểm của đường thẳng qua A song song với mặt đất là B. Ta cần tính đoạn OH.

Ta có AB = 20 m và tam giác ABO vuông tại B.

Trong tam giác vuông ABO có

$O B = A B . \tan A = 20. \tan 36^{\circ} \approx 14, 5$ (m).

Ta có OH = OB + BH = 14,5 + 1,7 = 16,2 (m).

Vậy cây cao 16,2 m.

*Phương pháp giải:

Áp dụng tỉ số lượng giác tan

*Lý thuyết:

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cos α.

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α.

Xem thêm

50 bài tập về Tỉ số lượng giác của góc nhọn (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 459:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Cho góc lượng giác α thỏa mãn $\cos α = \frac{4}{5}$ . Tính cos⁡2α.

A. $\frac{- 17}{25}$

B. $\frac{7}{25}$

C. $\frac{57}{25}$

D. $\frac{- 7}{25}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Lời giải

$\cos 2 α$

$= 2 \cos^{2} α - 1$

$= 2 . {(\frac{4}{5})}^{2} - 1$

$= 2 . \frac{16}{25} - 1$

$= \frac{32}{25} - 1$

$= \frac{7}{25}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức hạ bậc

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

$1 . \cos (a) + \cos (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 2 . \cos (a) - \cos (b) = - 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 3 . \sin (a) + \sin (b) = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 4 . \sin (a) - \sin (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 5 . \tan (a) + \tan (b) = \frac{\sin (a + b)}{\cos (a) . \cos (b)} 6 . \tan (a) - \tan (b) = \frac{\sin (a - b)}{\cos (a) . \cos (b)} 7 . \sin (a) + \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (a - \frac{π}{4}) 8 . \sin (a) - \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a - \frac{π}{4}) = - \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4}) 9 . \tan (a) + c o t (a) = \frac{2}{\sin (2 a)} 10 . c o t (a) - \tan (a) = 2 c o t (2 a) 11 . \sin^{4} (a) + \cos^{4} (a) = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 a) = \frac{1}{4} \cos (4 a) + \frac{3}{4} 12 . \sin^{6} (a) + \cos^{6} (a) = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} (2 a) = \frac{3}{8} \cos (4 a) + \frac{5}{8}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 460:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2025) đầy đủ, chi tiết nhất

Cho cos a = 0,2 với π < a < 2π. Tính sin $\frac{a}{2}$ ,cos $\frac{a}{2}$ ,tan $\frac{a}{2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Do π < a < 2π nên $\frac{π}{2} < \frac{a}{2} < π$ . Suy ra $\sin \frac{a}{2} > 0, \cos \frac{a}{2} < 0$ .

Ta có: $\sin^{2} \frac{a}{2} = \frac{1 - \cos a}{2} = \frac{1 - 0, 2}{2} = 0, 4$ , suy ra $\sin \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Do đó, $\cos \frac{a}{2} = - \sqrt{1 - \sin^{2} \frac{a}{2}} = - \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{2}} = - \frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$\tan \frac{a}{2} = \frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{- \frac{\sqrt{15}}{5}} = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác cơ bản và công thức hạ bậc

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$1 . \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} 2 . c o t (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} 3 . \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 4 . \tan (x) . c o t (x) = 1 (x \neq k \frac{π}{2}, k \in Z) 5 . 1 + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) 6 . 1 + \cot^{2} (x) = \frac{1}{\sin^{2} (x)} (x \neq kπ, k \in Z)$

2. Công thức cộng lượng giác

$\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) \cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) \sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x) \sin (x - y) = \sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x) \tan (x + y) = \frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} \tan (x - y) = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{π}{2}$

+ cos( $\frac{π}{2}$ + x) = - sinx

+ sin( $\frac{π}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) \tan (2 x) = \frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

$1 . \cos (a) + \cos (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 2 . \cos (a) - \cos (b) = - 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 3 . \sin (a) + \sin (b) = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) . \cos (\frac{a - b}{2}) 4 . \sin (a) - \sin (b) = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) . \sin (\frac{a - b}{2}) 5 . \tan (a) + \tan (b) = \frac{\sin (a + b)}{\cos (a) . \cos (b)} 6 . \tan (a) - \tan (b) = \frac{\sin (a - b)}{\cos (a) . \cos (b)} 7 . \sin (a) + \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (a - \frac{π}{4}) 8 . \sin (a) - \cos (a) = \sqrt{2} \sin (a - \frac{π}{4}) = - \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4}) 9 . \tan (a) + c o t (a) = \frac{2}{\sin (2 a)} 10 . c o t (a) - \tan (a) = 2 c o t (2 a) 11 . \sin^{4} (a) + \cos^{4} (a) = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 a) = \frac{1}{4} \cos (4 a) + \frac{3}{4} 12 . \sin^{6} (a) + \cos^{6} (a) = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} (2 a) = \frac{3}{8} \cos (4 a) + \frac{5}{8}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 461:

Lý thuyết Ôn tập: Khái niệm về phân số. Tính chất cơ bản của phân số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Tính nhanh B = $\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60} + . . . + \frac{1}{480}$

Xem đáp án

Lời giải

$B = \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60} + . . + \frac{1}{480}$

$B = 2 . (\frac{1}{4.6} + \frac{1}{6.8} + \frac{1}{8.10} + ... ... . + \frac{1}{30.32})$

$B = 2 . (\frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{10} + ... ... ... ... + \frac{1}{30} - \frac{1}{32})$

$B = 2 . (\frac{1}{4} - \frac{1}{32})$

$B = 2 . \frac{7}{32}$

$B = \frac{7}{16}$

*Phương pháp giải;

- Áp dụng hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

*Lý thuyết;

1. Khái niệm phân số

- Phân số bao gồm tử số và mẫu số, trong đó tử số là một số tự nhiên viết trên dấu gạch ngang, mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới dấu gạch ngang.

- Cách đọc phân số: Khi đọc phân số ta đọc tử số trước rồi đọc “phần” sau đó đọc đến mẫu số.

- Có thể dùng phân số để ghi kết quả của phép chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0. Phân số đó cũng được gọi là thương của phép chia đã cho.

- Mọi số tự nhiên đều có thể viết thành phân số có mẫu số là 1.

- Số 1 có thể viết thành phân số có tử số và mẫu số bằng nhau và khác 0.

- Số 0 có thể viết thành phân số có tử số là 0 và mẫu số khác 0.

2. Tính chất cơ bản của phân số

- Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

- Nếu chia hết cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

Xem thêm

TOP 31 câu Trắc nghiệm Hai bài toán về phân số (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán6

Câu 462:

Lý thuyết Các phép tính trong tập hợp số tự nhiên – Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

Tính giá trị của biểu thức: 555.554555 - 554.555554

Xem đáp án

Lời giải

555.554555 - 554.555554

= 554555 + 554.554555 - 554.555554

= 554555 + 554.(554555 - 555554)

= 554555 + 554.(-999)

= 555 + 554000 + 554.(-999)

= 555 + 554.1000 + 554.(-999)

= 555 + 554 + 554.999 + 554.(-999)

= 555 + 554 + ( 554.999 + 554.(-999) )

= 555 + 554

= 1109

*Phương pháp giải;

Tách 555=554+1 rồi nhóm các phần tử phù hợp

*Lý thuyết;

1. Phép cộng và phép nhân

Phép cộng (+) và phép nhân (×) các số tự nhiên đã được biết đến ở tiểu học.

Chú ý: Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số ta có thể không viết dấu nhân ở giữa các thừa số; dấu “×” trong tích các số cũng có thể thay bằng dấu “.”.

2. Tính chất của phép cộng và phép nhân số tự nhiên

Với a, b, c là các số tự nhiên, ta có:

− Tính chất giao hoán:

a + b = b + a

a . b = b . a

− Tính chất kết hợp:

(a + b) + c = a + (b + c)

(a . b) . c = a . (b . c)

− Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

a . (b + c) = a . b + a . c

− Tính chất cộng với số 0, nhân với số 1:

a + 0 = a

a . 1 = a.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 463:

35 Bài tập Nhân với 10, 100, 1000,… Chia cho 10, 100, 1000,… lớp 4 (có đáp án)

Tính hợp lý 25.208:100

Xem đáp án

Lời giải

$25 \cdot 208 : 100$

$= 5200 : 100$

$= 52$

*Phương pháp giải:

Khi chia số tròn chục cho 10 ta chỉ việc bỏ bớt đi một chữ số 0 ở bên phải số đó.

*Lý thuyết:

1. Nhân với 10. Chia cho 10.

Khi nhân một số tự nhiên với 10 ta chỉ việc viết thêm một chữ số 0 vào bên phải số đó.

Khi chia số tròn chục cho 10 ta chỉ việc bỏ bớt đi một chữ số 0 ở bên phải số đó.

2. Nhân với 100, 1000. Chia cho 100, 1000.

Tương tự, ta có:

a) 35 x 100 = 3500

3500 : 100 = 35

b) 35 x 1000 = 35000

35000 : 1000 = 35

3. Nhận xét chung:

- Khi nhân số tự nhiên với 10, 100, 1000, … ta chỉ việc viết thêm một, hai, ba,… chữ số 0 vào bên phải số đó.

- Khi chia số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn,… cho 10, 100, 1000,… ta chỉ việc bỏ bớt một, hai, ba, … chữ số 0 ở bên phải số đó.

Xem thêm

Lý thuyết Nhân với 10, 100, 1000. Chia cho 10, 100, 1000 (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Câu 464:

Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có thể): $A = 53.47 + 53^{2} - 2021^{0}$

Xem đáp án

Lời giải

53.47+ $53^{2}$ - $2021^{0}$

= 53.47 + 53 . 53 - 1

= ( 53 . 47 + 53 . 53) - 1

= [ 53 . (47 + 53 )] - 1

= 53.100 - 1

= 5300 - 1

= 5299

*Phương pháp giải:

Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 465:

Tính nhanh $\frac{5}{3} . 7 + \frac{5}{7} . 11 + \frac{5}{11} . 15 + . . . . + \frac{5}{85} . 89$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{5}{3.7}$ + $\frac{5}{7.11}$ + $\frac{5}{11.15}$ +....+ $\frac{5}{85.89}$

$= \frac{1}{3}$ - $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ - $\frac{1}{11}$ + $\frac{1}{11}$ - $\frac{1}{15}$ +...+ $\frac{1}{85}$ - $\frac{1}{89}$

$= \frac{1}{3}$ - $\frac{1}{89}$

$= \frac{89}{267}$ - $\frac{3}{267}$

$= \frac{86}{267}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng phân số đối

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 466:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Cho A = 1- $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + . . . . + \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018} + \frac{1}{2019}$

B= $\frac{1}{1010} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{1012} + . . . . + \frac{1}{2018} + \frac{1}{2019}$

Tính giá trị của biểu thức ${(A - B)}^{2019}$

Xem đáp án

Lời giải

$A = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018} + \frac{1}{2019}$

$\Rightarrow A = (1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{2018} + \frac{1}{2019}) - 2 . (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2018})$

$\Rightarrow A = (1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{2018} + \frac{1}{2019}) - (1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{1009})$

$\Rightarrow A = \frac{1}{1010} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{1012} + ... + \frac{1}{2018} + \frac{1}{2019}$

$\Rightarrow A = B$

$M à$ $A = B \Rightarrow A - B = 0$

$\Rightarrow {(A - B)}^{2019} = 0^{2019} = 0$ .

*Phương pháp giải:

Rút gọn A ta thấy được A=B nên (A-B)^2019 =0

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

Cách tính nhanh lớp

Câu 467:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm + Bài Tập) – Toán 8

Tính nhanh:

a) 38 . 42;

Xem đáp án

Lời giải

a) 38 . 42 = (40 – 2).(40 + 2) = 40² – 2² = 1 600 – 4 = 1 596.

*Phương pháp giải

Áp dụng A2 – B2 = (A – B)(A + B).

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Xem thêm

200 bài tập về những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 468:

50 bài tập về Dãy số (có đáp án 2025) và cách giải

Tính nhanh:

a.1+2+3+...+2021+2022

b.132+128+124+...+76+72+68

Xem đáp án

Lời giải

a) 1 + 2 + 3 + ... + 2021 + 2022

Số số hạng là :

(2022 - 1) + 1 = 2022

(số hạng)
Tổng bằng là:

(2022 + 1) \times 2022 : 2 = 2045253

b) 132 + 128 + 124 + ... + 76 + 72 + 68

Số các số hạng là :

$(132 - 68) : 4 + 1 = 17$ ( số hạng )

Tổng là :

$(132 + 68) \times 17 : 2 = 1700$

*Phương pháp giải:

Tính các số hạng : Số cuối trừ số đầu cộng 1

Áp dụng công thức tính tổng

*Lý thuyết:\

Ta có công thức:

Số các số hạng của dãy = Số khoảng cách + 1

Nếu dãy số có quy luật cách đều nghĩa là mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền trước cộng với số không đổi d thì:

Số các số hạng của dãy = (Số hạng lớn nhất – Số hạng nhỏ nhất) : d + 1

Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy

Số số hạng của dãy số = (số hạng lớn nhất trong dãy – số hạng bé nhất trong dãy) : khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Bước 2: Tính tổng của dãy số cách đều

Tổng của dãy số = (số hạng lớn nhất trong dãy + số hạng bé nhất trong dãy) x số số hạng của dãy số : 2

Xem thêm

Lý thuyết Dãy số – Toán 11 Kết nối tri thức

Câu 469:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới + Bài Tập) – Toán 8

Tính

1/ 16,87 . 91 - 6,2 . 188 + 16,87 . 97 - 0,67 . 188

Xem đáp án

Lời giải

$1) 16, 87.91 - 6, 2.188 + 16, 87.97 - 0, 67.188$

$= (16, 87.91 + 16, 87.97) - (6, 2.188 + 0, 67.188)$

$= 16, 87 . (91 + 97) - (6, 2 + 0, 67) . 188$

$= 16, 87.188 - 6, 87.188$

$= (16, 87 - 6, 87) . 188$

$= 10.188$

$= 1880$

*Phương pháp giải:

Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung

*Lý thuyết:

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8

Câu 470:

Công thức tổ hợp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 11

Cho tập hợp A = {x₁; x₂; x₃; ... ; x_n} có n phần tử. Tính số tập hợp con của A.

Xem đáp án

Lời giải

Vì A có n phần tử nên số tập hợp con có k phần tử của tập hợp A là: $C_{n}^{k} .$

Như vậy tổng số tập con của tập hợp A là: $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ... + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} .$

Lại có $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ... + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} = 2^{n}$ (theo luyện tập 2).

Vậy tập hợp A có tất cả 2ⁿ tập con.

*Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất tổ hợp

*Lý thuyết:

Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, ( $1 \leq k \leq n$ ). Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.

- Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là: $C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$ .

- Tính chất:

$\begin{array}{l} C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1 \\ C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}, (0 \leq k \leq n) \\ C_{n + 1}^{k + 1} = C_{n}^{k} + C_{n}^{k + 1}, (1 \leq k \leq n) \end{array}$

- Đặc điểm: Tổ hợp là chọn phần tử không quan trọng thứ tự, số phần tử được chọn là k: $0 \leq k \leq n$

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hoán Vị - Chỉnh Hợp – Tổ Hợp (có đáp án ) – Toán 11

Câu 471:

Công thức tổ hợp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 11

Cho tập A gồm n phần tử $n \geq 1$ . Số tập con gồm k phần tử của tập A được xác định bởi công thức

Xem đáp án

Lời giải

Công thức tổ hợp chập k của n phần tử.

*Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết tổ hợp

*Lý thuyết:

Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, ( $1 \leq k \leq n$ ). Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.

- Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là: $C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$ .

- Tính chất:

$\begin{array}{l} C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1 \\ C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}, (0 \leq k \leq n) \\ C_{n + 1}^{k + 1} = C_{n}^{k} + C_{n}^{k + 1}, (1 \leq k \leq n) \end{array}$

- Đặc điểm: Tổ hợp là chọn phần tử không quan trọng thứ tự, số phần tử được chọn là k: $0 \leq k \leq n$

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hoán Vị - Chỉnh Hợp – Tổ Hợp (có đáp án ) – Toán 11

Câu 472:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Tính tổng sau bằng cách thuận tiện.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = …………………………….

Xem đáp án

Lời giải

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5

= 10 + 10 + 10 + 10 + 5

= 45

*Phương pháp giải:

Nhóm các số có tổng là 10 với nhau rồi cộng

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

Cách tính nhanh lớp

Câu 473:

Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác (mới + Bài Tập) – Toán 8

Bài 1: Cho ∆ ABC vuông tại A, AB = 36cm, AC = 48cm, đường phân giác AK. Tia phân giác của góc B cắt AK ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC theo thứ tự ở D, E. a) Tính độ dài BK ?

b) Tính tỉ số AI/AK

c) Tính độ dài DE?

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết đường phân giác

*Lý thuyết:

1. Định lý

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

2. Chú ý

Định lí vẫn đúng với đường phân giác của góc ngoài của tam giác

Nếu AE’ là phân giác của góc $\hat{BAx}$

Ta có: $\frac{AB}{AC} = \frac{DB'}{D' C}$ .

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Tính chất đường phân giác của tam giác (có đáp án ) - Toán 8

Câu 474:

50 bài tập về Dãy số (có đáp án 2025) và cách giải

Hãy tính dãy số sau đây: 1 + 2 + 3 +....+ 99 ?

Xem đáp án

Lời giải

Dãy tổng trên có số số hạng là:

(99 – 1 ) : 1 + 1 = 99 (số hạng)

Tổng của dãy tổng trên là:

(99 + 1) x 99 : 2 = 4950

Vậy 1 + 2 + 3 + ............ + 99 = 4950.

*Phương pháp giải:

Tính các số hạng : Số cuối trừ số đầu cộng 1

Áp dụng công thức tính tổng

*Lý thuyết:\

Ta có công thức:

Số các số hạng của dãy = Số khoảng cách + 1

Nếu dãy số có quy luật cách đều nghĩa là mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền trước cộng với số không đổi d thì:

Số các số hạng của dãy = (Số hạng lớn nhất – Số hạng nhỏ nhất) : d + 1

Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy

Số số hạng của dãy số = (số hạng lớn nhất trong dãy – số hạng bé nhất trong dãy) : khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Bước 2: Tính tổng của dãy số cách đều

Tổng của dãy số = (số hạng lớn nhất trong dãy + số hạng bé nhất trong dãy) x số số hạng của dãy số : 2

Xem thêm

Lý thuyết Dãy số – Toán 11 Kết nối tri thức

Câu 475:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Tính nhanh: f) 2+4+6+....+88+90

Xem đáp án

Lời giải

2+4+6+....+88+90

= (88+2) + (86+4) + (84 +6)+.....+90

= 90 + 90+90+....+90 ( cs 23 số 90)

= 90 x 23

= 2070

*Phương pháp giải:

Nhóm các số có tổng là 90 với nhau rồi cộng

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

Cách tính nhanh lớp

Câu 476:

50 bài tập về Cấp số cộng (có đáp án 2025) và cách giải

Tính tổng T= $1000^{2} - 999^{2} + 998^{2} - 997^{2} . . . + 2^{2} - 1^{2}$ (Bài cấp số cộng)

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

$S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2} = \frac{n [2 u_{1} + (n - 1) d]}{2}$

*Lý thuyết:

1) Cấp số cộng là gì?

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

- Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (u_n) là một cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi

$u_{n + 1} = u_{n} + d, n \in ℕ^{*}$

Nhận xét:

- Cấp số cộng (u_n) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0.

- Cấp số cộng (u_n) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0.

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

2) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n - 1)d với $n \geq 1, n \in ℕ$ .

3) Tính chất của cấp số cộng

Ba số hạng $u_{k - 1}, u_{k}, u_{k + 1} (k \geq 2)$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}$ .

4) Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức:

$S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2} = \frac{n [2 u_{1} + (n - 1) d]}{2}$

Xem thêm

Công thức tính Cấp số cộng và cách giải các dạng bài tập (2025) chi tiết nhất

Câu 477:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Số nguyên tố. Hợp số (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 . Biết p+2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p+1 chia hết cho 6

Xem đáp án

Lời giải

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ, do đó p+12 (1)

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2.

Dạng 3k+1 không xảy ra.

Dạng 3k+2 cho ta p+13 (2).

Từ (1) và (2) cho ta p+16

*Phương pháp giải:

• Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

*Lý thuyết:

• Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

• Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

Lưu ý:

+ Số 0 và số 1 không là số nguyên tố và cũng không là hợp số.

+ Để chứng tỏ số tự nhiên a lớn hơn 1 là hợp số, ta chỉ cần tìm một ước của a khác 1 và khác a.

Lưu ý: Nếu số nguyên tố p là ước của số tự nhiên a thì p được gọi là ước nguyên tố của a.

Nhận xét: Số nguyên tố nhỏ nhất là số 2 và đó là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Xem thêm

Lý thuyết Số nguyên tố. Hợp số chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Câu 478:

Trắc nghiệm Mệnh đề có đáp án – Toán lớp 10

Xác định tính đúng sai của mệnh đề và tìm phủ định của nó:

$a) A :" \forall x \in R, x^{2} \geq 0 "$

$b) B :$ "Tồn tại số tự nhiên là số nguyên tố"

$c) C :" \exists x \in N, x$ chia hết cho $x + 1 "$

$d) D : A :" \forall n \in N, n^{4} - n^{2} + 1$ là hợp số"

$e) E$ :"Tồn tại hình thang là hình vuông"

$f) F$ :"Tồn tại số thực $a$ sao cho $a + 1 + \frac{1}{a + 1} \leq 2 "$

Xem đáp án

Lời giải

$a) A :" \forall x \in R, x^{2} \geq 0 "$

Mệnh đề đúng do $x^{2} \geq 0 \forall x \in R$

Mệnh đề phủ định: $\bar{A} :" \exists x \in R, x^{2} < 0 "$

$b) B :$ "Tồn tại số tự nhiên là số nguyên tố"

Mệnh đề đúng do 2 là số tự nhiên và 2 cũng là số nguyên tố

Mệnh đề phủ định: $\bar{B} :$ "Mọi số tự nhiên đều không là số nguyên tố"

$c) C :" \exists x \in N, x$ chia hết cho $x + 1 "$

Mệnh đề đúng do $0 \in N, 0 ⋮ 1$

Mệnh đề phủ định: $\bar{C} :" \forall x \in N, x$ không chia hết cho $x + 1 "$

$d) D : A :" \forall n \in N, n^{4} - n^{2} + 1$ là hợp số"

Mệnh đề sai do $2 \in N; 2^{4} - 2^{2} + 1 = 13$ là số nguyên tố

Mệnh đề phủ định: $\bar{D} :" \exists n \in N, n^{4} - n^{2} + 1$ không là hợp số"

$e) E$ :"Tồn tại hình thang là hình vuông"

Mệnh đề đúng

Mệnh đề phủ định: $\bar{E}$ : "Mọi hình thang đều không là hình vuông"

$f) F$ :"Tồn tại số thực $a$ sao cho $a + 1 + \frac{1}{a + 1} \leq 2 "$

Mệnh đề đúng do $a = 0 \in R; a + 1 + \frac{1}{a + 1} = 2$

Mệnh đề phủ định: $\bar{F} :"$ Với mọi số thực $a, a + 1 + \frac{1}{a + 1} > 2 "$

*Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết mệnh đề

*Lý thuyết:

1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến

1.1. Mệnh đề

- Những khẳng định có tính đúng hoặc sai gọi là mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề). Những câu không xác định được tính đúng sai không phải là mệnh đề.

- Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Chú ý:

- Người ta thường sử dụng các chữ cái P, Q, R, … để biểu thị các mệnh đề.

- Những mệnh đề liên quan đến toán học được gọi là mệnh đề toán học.

- Những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu cầu khiến không phải là mệnh đề.

1.2. Mệnh đề chứa biến

- Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập D nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc vào D ta được một mệnh đề.

- Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P(n); mệnh đề chứa biến x, y là P(x, y), ….

2. Mệnh đề phủ định

- Để phủ định một mệnh đề P, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề P. Ta kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề P là $\bar{P}$ .

- Mệnh đề P và mệnh đề $\bar{P}$ là hai phát biểu trái ngược nhau. Nếu P đúng thì $\bar{P}$ sai, còn nếu P sai thì $\bar{P}$ đúng.

Xem thêm

Lý thuyết Mệnh đề - Toán 10 Kết nối tri thức

Câu 479:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (mới + Bài Tập) – Toán 11

Tổng các nghiệm của phương trình 2sin $(x + 40^{0}) = \sqrt{3}$ trên khoảng (-180,180)

Xem đáp án

Lời giải

$2 \sin (x + 40^{o}) = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \sin (x + 40^{o}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow$ $[\begin{matrix} x + 40^{o} = 60^{o} + 360^{o} . k \\ x + 40^{o} = 180^{o} - 60^{o} + 360^{o} k \end{matrix}$

$\Leftrightarrow$ $[\begin{matrix} x = 20^{o} + 360^{o} . k \\ x = 80^{o} + 360^{o} k \end{matrix}$

Vì $x \in (- 180^{o}; 180^{o}) \Rightarrow k = 0$

$\Rightarrow x \in {20^{o}; 80^{o}}$

$\Rightarrow$ Tổng các nghiệm là $20^{o} + 80^{o} = 100^{o}$

*Phương pháp giải:

Sử dụng phương trình lượng giác sinx

*Lý thuyết:

Phương trình sinx = a.

Xét phương trình sinx = a (1)

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình (1) vô nghiệm vì |sinx| ≤ 1 với mọi x.

- Trường hợp |a| ≤ 1

Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình sinx = a có các nghiệm là:

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\{\begin{matrix} \frac{- π}{2} \leq α \leq \frac{π}{2} \\ \sin α = a \end{matrix}$ thì ta viết α = arcsina (đọc là ac-sin-a; nghĩa là cung có sin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là:

- Chú ý:

a) Phương trình sinx = sinα; với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x = α + k 2 π$ và $x = π - α + k 2 π; k \in ℤ$

Tổng quát:

b) Phương trình sinx = sinβ⁰ có các nghiệm là:

c) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lương giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1: Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là $x = \frac{π}{2} + k 2 π; k \in ℤ$ .

+ Khi a = – 1: Phương trình sinx = – 1 có các nghiệm là $x = - \frac{π}{2} + k 2 π; k \in ℤ$ .

+ Khi a = 0: Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là $x = k π; k \in ℤ$ .

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án ) – Toán 11

Câu 480:

Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Tổng của 2 số là 43,75 . nếu thêm vào số lớn 3,6 và bớt ở số bé đi 2,5 thì hiệu của 2 số là 20,15.Tìm 2 số đó

Xem đáp án

Lời giải

Vì số trừ giảm và số bị trừ tăng suy ra hiệu tăng

Hiệu ban đầu của 2 số là: 20, 5 - ( 2, 5 + 3, 6 ) = 14, 05

Số lớn là: ( 14, 05 + 43, 75 ) : 2 = 28, 9

Số bé là: 47, 75 - 28, 9 = 14, 85

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính số lớn số bé

*Lý thuyết:

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Xem thêm

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Câu 481:

Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Tổng hai số là 53 hiệu hai số là 19 số lớn là?

Xem đáp án

Lời giải

Số lớn là:
(53+19):2=36

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính số lớn số bé

*Lý thuyết:

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Xem thêm

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Câu 482:

Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Tổng 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp nhau là 94.Tìm hai số đó

Xem đáp án

Lời giải

Hai số tự nhiên chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị

Số lớn là: (94 + 2) : 2 = 48

Số bé là: 94 - 48 = 46

Đáp số: Số bé: 46

Số lớn: 48

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính số lớn số bé

*Lý thuyết:

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Xem thêm

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Câu 483:

Lý thuyết Tổng hợp kiến thức cơ bản (mới + Bài Tập) - Toán lớp 4

Tổng tất cả các số lẻ từ nhỏ hơn 100

Xem đáp án

Lời giải

Số lớn nhất nhỏ hơn 100 là số 99.

Từ 1 đến 99 có tất cả là 50 số lẻ

Ta có:

1+99=100;3+97=100;5+95=100…..

Như vậy, có 25 căp số lẻ có tổng bằng 100

Vậy tổng tất cả các số lẻ từ 1 đến 99 là

25 x 100 = 2500

ĐS : 2500

*Phương pháp giải:

Ta thấy có 25 cặp số có tổng bằng 100 nên để tính tổng ta lấy 25.100

*Lý thuyết:

- Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 là số chẵn.

- Các số có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9 là số lẻ

Chú ý:

• Các số chẵn chia hết cho 2.

• Các số lẻ không chia hết cho 2.

Xem thêm

Vở bài tập Toán lớp 4 Bài 3: Số chẵn, số lẻ – Kết nối tri thức

Câu 484:

Lý thuyết Các góc ở vị trí đặc biệt – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

*Lý thuyết:

1. Hai góc kề bù

Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và không có điểm trong chung.

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng 180⁰.

Hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau gọi là hai góc kề bù.

2. Hai góc đối đỉnh

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

3. Tính chất của hai góc đối đỉnh

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Chú ý: Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O tạo thành bốn góc $\hat{O_{1}}$ , $\hat{O_{2}}$ , $\hat{O_{3}}$ , $\hat{O_{4}}$ .

Do tính chất của hai góc đối đỉnh hoặc kề bù, ta thấy trong bốn góc nêu trên, nếu có một góc vuông thì ba góc còn lại cũng là góc vuông.

Khi đó, ta nói hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau và kí hiệu là a ⊥ b, hoặc b ⊥ a.

Xem thêm

Trắc nghiệm Toán 7 Bài 1. Góc ở vị trí đặc biệt có đáp án

Câu 485:

50 Bài tập Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Toán 8 mới nhất

Cho P= $\frac{\sqrt[2]{x} + 1}{\sqrt[2]{x} - 1}$ Tìm x để giá trị tuyệt đối của P lớn hơn P

Xem đáp án

Lời giải

$P = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ (ĐK: $x \geq 0; x \neq 1$ )

Để $| P | > P$

$\Leftrightarrow$ $[\begin{array}{l} P > P (l) \\ P < - P \end{array}$

$\to \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} < \frac{- \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}$

$\Leftrightarrow 2 . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} < 0$

Do $\sqrt{x} + 1 > 0$ với $\forall x \geq 0$

$\to \sqrt{x} - 1 < 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} < 1$

$\Leftrightarrow x < 1$

Kết hợp ĐKXĐ: $0 \leq x < 1$

Vậy $0 \leq x < 1$ thì $| P | < P$

*Phương pháp giải:

Áp dụng với mọi biểu thức f(x) có: $|f (x)| \geq 0$ , $|f (x)| \geq f (x)$ , $|f (x)| \geq - f (x)$

*Lý thuyết:

Để giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối để khử dấu.

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất như sau:

Với mọi biểu thức f(x) có: $|f (x)| \geq 0$ , $|f (x)| \geq f (x)$ , $|f (x)| \geq - f (x)$

Với mọi biểu thức f(x) và số thực a > 0 có:

$|f (x)| \leq a \Leftrightarrow - a \leq f (x) \leq a$

$|f (x)| \geq a \Leftrightarrow f (x) \leq - a$ hoặc $f (x) \geq a$

II. Các công thức.

Cho biểu thức f(x), ta có:

Xem thêm

Công thức giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất

Câu 486:

Lý thuyết Các góc ở vị trí đặc biệt – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

Trong hai câu sau, câu nào đúng, câu nào sai? Hãy bác bỏ câu sai bằng hình vẽ.

a. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau

b. Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh

Xem đáp án

Lời giải

a. Câu a đúng vì theo định nghĩa hai góc đối đỉnh

b. Câu b sai ví hai góc bằng nhau chưa chắc đối đỉnh

Hình vẽ:

*Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết các góc ở vị trí đặc biệt

*Lý thuyết:

1. Hai góc kề bù

Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và không có điểm trong chung.

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng 180⁰.

Hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau gọi là hai góc kề bù.

2. Hai góc đối đỉnh

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

3. Tính chất của hai góc đối đỉnh

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Chú ý: Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O tạo thành bốn góc $\hat{O_{1}}$ , $\hat{O_{2}}$ , $\hat{O_{3}}$ , $\hat{O_{4}}$ .

Do tính chất của hai góc đối đỉnh hoặc kề bù, ta thấy trong bốn góc nêu trên, nếu có một góc vuông thì ba góc còn lại cũng là góc vuông.

Khi đó, ta nói hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau và kí hiệu là a ⊥ b, hoặc b ⊥ a.

Xem thêm

Trắc nghiệm Toán 7 Bài 1. Góc ở vị trí đặc biệt có đáp án

Câu 487:

Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ - Toán 10 Kết nối tri thức

Trong không gian $O x y z$ cho ba vectơ $\vec{a} = (3; - 2; 4),$ $\vec{b} = (5; 1; 6)$ , $\vec{c} = (- 3; 0; 2)$ . Tìm vectơ $\vec{x}$ sao cho vectơ $\vec{x}$ đồng thời vuông góc với $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$

Xem đáp án

Lời giải

$\overset{⇀}{x} . \overset{⇀}{a} = \overset{⇀}{x} . \overset{⇀}{b} = \overset{⇀}{x} . \overset{⇀}{c} = 0 \Rightarrow \overset{⇀}{x} = (0, 0, 0)$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tích vô hướng

+) $\vec{u}$ ⊥ $\vec{v}$ ⇔ $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = 0.

*Lý thuyết:

1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ . Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ $\vec{A B} = \vec{u}$ và $\vec{A C} = \vec{v}$ . Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ hay đơn giản là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , kí hiệu là ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ).

Chú ý :

+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{0}$ có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0° đến 180°.

+ Nếu ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 90° thì ta nói rằng $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau. Kí hiệu $\vec{u}$ ⊥ $\vec{v}$ hoặc $\vec{v}$ ⊥ $\vec{u}$ . Đặc biệt được coi là vuông góc với mọi vectơ.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là một số, kí hiệu là $\vec{u}$ . $\vec{v}$ , được xác định bởi công thức sau:

$\vec{u}$ . $\vec{v}$ = | $\vec{u}$ |.| $\vec{v}$ |.cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ )

Chú ý:

+) $\vec{u}$ ⊥ $\vec{v}$ ⇔ $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = 0.

+) $\vec{u}$ . $\vec{u}$ còn được viết là ${\vec{u}}^{2}$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\vec{u}$ .

Ta có ${\vec{u}}^{2} = | \vec{u} | . | \vec{u} | . \cos 0 ° = {(\vec{u})}^{2}$ .

(Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.)

Xem thêm

Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vecto có đáp án – Toán lớp 10

Câu 488:

Phương trình đường thẳng (Lý thuyết, công thức), các dạng bài tập và cách giải

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;3;1), B(2;1;0) và C(-3;-1;1). Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và $s_{A B C D} = 3 s_{A B c}$

Xem đáp án

Lời giải

Vì ABCD là hình thang

=>Phương trình đường thẳng AD là

Ta có

Mà diện tích tam giác ABC là

Mặt khác

Vì ABCD là hình thang => D(-12;-1;3)

*Phương pháp giải:

Áp dụng:

Lý thuyết viết phương trình đường thẳng AD

Công thức diện tích tam giác

*Lý thuyết:

1. Phương trình tham số của đường thẳng

a. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\vec{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu $\vec{u}$ ≠ $\vec{0}$ và giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét:

– Nếu $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của ∆ thì k $\vec{u}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của ∆.

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

b. Phương trình tham số của đường thẳng

Hệ $\{\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \end{cases}$ (a² + b² > 0 và t là tham số) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua M₀(x₀ ; y₀₎và nhận $\vec{u}$ = (a ; b) làm vectơ chỉ phương.

Nhận xét: Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \end{cases}$ (a² + b² > 0 và t là tham số).

+ Với mỗi giá trị cụ thể của t, ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆. Ngược lại, với mỗi điểm trên đường thẳng ∆, ta xác định được một giá trị cụ thể của t.

+ Vectơ $\vec{u}$ = (a ; b) là một vectơ chỉ phương của ∆.

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

a. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ $\vec{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu $\vec{n}$ ≠ $\vec{0}$ và giá của vectơ $\vec{n}$ vuông góc với ∆.

Nhận xét:

– Nếu $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của ∆ thì k $\vec{n}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆.

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

– Nếu một đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}$ = (a ; b) thì vectơ $\vec{n}$ = (–b ; a) là một vectơ pháp tuyến của ∆.

b. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nhận xét:

– Đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ (x₀ ; y₀) và nhận $\vec{n}$ = (a ; b) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0 ⇔ ax + by + (–ax₀ – by₀) = 0.

– Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng ∆ trong mặt phẳng tọa độ nhận một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}$ = (a ; b).

Xem thêm

50 Bài tập Phương trình đường thẳng Toán 12 mới nhất

Câu 489:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án ) - Toán 12

Phép cộng, trừ 2 số cùng số mũ.

Xem đáp án

Lời giải

Không có công thức về cộng, trừ lũy thừa, ta thực hiện phép tính lũy thừa sau đó thực hiện cộng, trừ thông thường.

Ví dụ: 3² – 2² = 9 – 4 = 5

3² – 2² ≠ (3 – 2)² = 1.

*Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất sau:

*Lý thuyết:

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

aⁿ = a.a.a… a (n thừa số a)

Với a ≠ 0, ta có: a⁰ = 1 và $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

Trong biểu thức a^m ; ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

– Chú ý:

0⁰ và 0^–n không có nghĩa.

2. Phương trình xⁿ = b.

Đồ thị của hàm số y = x^{2k + 1} có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x³ và đồ thị hàm số y = x^2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x⁴.

Từ đó, ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình xⁿ = b như sau:

a) Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Trường hợp n chẵn:

Với b < 0, phương trình vô nghiệm.

Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.

Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối nhau.

Xem thêm

Câu 490:

50 bài tập về Quy tắc đếm (có đáp án 2025) và cách giải

Bạn Kí đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 216. Bạn Kí phải viết tất cả bao nhiêu chữ số?

Xem đáp án

Lời giải

Số chữ số để dùng đánh số trang từ 1 đến 9 là: (9 - 1) : 1 + 1 = 9 (chữ số).

Số chữ số để dánh số trang từ 10 đến 99 là: [(99 - 10) : 1 + 1] . 2 = 180 (chữ số).

Số chữ số để dánh số trang từ 100 đến 216 là : [(216 - 100) : 1 +1] . 3 = 351 (chữ số).

Từ 1 đến 216 là : 9 + 180 + 351 = 540 (chữ số).

*Phương pháp giải:

* Lập số tự nhiên thỏa mãn điều kiện:

- Gọi số tự nhiên có ba chữ số là $\bar{a b c}$ với $a, b, c \in ℕ; 1 \leq a \leq 9; 0 \leq b, c \leq 9$ .

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là $\bar{a b c d}$ với $a, b, c, d \in ℕ; 1 \leq a \leq 9; 0 \leq b, c, d \leq 9$ .

Tương tự với số có hai, năm, sáu,… chữ số.

- Chọn chữ số có điều kiện trước, chữ số không có điều kiện sau (Chẳng hạn chọn chữ số a trước vì có điều kiện $a \neq 0$ . Ở bài toán đếm số chẵn, lẻ, chia hết cho 2, 5, 10 thì đếm chữ số hàng đơn vị trước)

- Dùng quy tắc cộng, nhân để đếm số cần lập.

*Lý thuyết:

a) Quy tắc cộng

* Định nghĩa:

Giả sử một công việc A được thực hiện theo k phương án khác nhau.

Phương án A₁ có m₁ cách thực hiện;

Phương án A₂ có m₂ cách thực hiện;

…

Phương án A_k có m_k cách thực hiện;

Và mỗi phương án A_i không trùng với bất kì cách thực hiện các phương án A_j (với $j \neq i; i, j \in \{1; 2; ...; k\}$ )

Thì có m₁ + m₂ + … + m_k cách thực hiện A.

* Công thức quy tắc cộng:

Nếu A₁; A₂; … ; A_k đôi một rời nhau. Khi đó

$|A_{1} \cup A_{2} \cup ... \cup A_{k}| = |A_{1}| + |A_{2}| + ... + |A_{k}|$

Với |A_i| là số phần tử của tập hợp A_i (với $i \in \{1; 2; ...; k\}$ )

$|A_{1} \cup A_{2} \cup ... \cup A_{k}|$ là số phần tử của tập hợp $A_{1} \cup A_{2} \cup ... \cup A_{k}$ .

b) Quy tắc nhân

Giả sử một công việc A được thực hiện theo k công đoạn liên tiếp.

Công đoạn A₁ có m₁ cách thực hiện;

Công đoạn A₂ có m₂ cách thực hiện;

…

Công đoạn A_k có m_k cách thực hiện;

Thì có m₁.m₂. … m_k cách thực hiện A.

* Công thức quy tắc nhân:

Nếu A₁; A₂; … ; A_k đôi một rời nhau. Khi đó

$|A_{1} \cap A_{2} \cap ... \cap A_{k}| = |A_{1}| . |A_{2}| .... |A_{k}|$

Với |A_i| là số phần tử của tập hợp A_i (với $i \in \{1; 2; ...; k\}$ )

$|A_{1} \cap A_{2} \cap ... \cap A_{k}|$ là số phần tử của tập hợp $A_{1} \cap A_{2} \cap ... \cap A_{k}$ .

c) Cách đếm

* Đếm trực tiếp:

- Chia các trường hợp có thể xảy ra

- Đếm số phương án thực hiện trong các trường hợp

- Kết quả của bài toán đếm là tổng số phương án đếm được trong các trường hợp trên.

* Đếm gián tiếp (Đếm phần bù): Dùng khi thực hiện công viêc phải chia nhiều trường hợp.

Xem thêm

Lý thuyết Các phép tính trong tập hợp số tự nhiên – Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

Câu 491:

Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ - Toán 10 Kết nối tri thức

Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác?

A.6

B. 8

C. 10

D. 12

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Lời giải

Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi 2 điểm phân biệt.

Từ 4 điểm ban đầu ta có 4 cách chọn điểm đầu và 3 cách chọn điểm cuối.

Do đó; có tất cả 4.3= 12 vecto được tạo ra.

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức vecto

*Lý thuyết:

1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ . Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ $\vec{A B} = \vec{u}$ và $\vec{A C} = \vec{v}$ . Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ hay đơn giản là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , kí hiệu là ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ).

Chú ý :

+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{0}$ có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0° đến 180°.

+ Nếu ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 90° thì ta nói rằng $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau. Kí hiệu $\vec{u}$ ⊥ $\vec{v}$ hoặc $\vec{v}$ ⊥ $\vec{u}$ . Đặc biệt được coi là vuông góc với mọi vectơ.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là một số, kí hiệu là $\vec{u}$ . $\vec{v}$ , được xác định bởi công thức sau:

$\vec{u}$ . $\vec{v}$ = | $\vec{u}$ |.| $\vec{v}$ |.cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ )

Chú ý:

+) $\vec{u}$ ⊥ $\vec{v}$ ⇔ $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = 0.

+) $\vec{u}$ . $\vec{u}$ còn được viết là ${\vec{u}}^{2}$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\vec{u}$ .

Ta có ${\vec{u}}^{2} = | \vec{u} | . | \vec{u} | . \cos 0 ° = {(\vec{u})}^{2}$ .

(Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.)

Xem thêm

Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vecto có đáp án – Toán lớp 10

Câu 492:

Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Tìm tất cả các ước của: -3

Xem đáp án

Lời giải

Các ước tự nhiên của 3 là 1, 3. Do đó các ước của là

*Phương pháp giải:

Ta có thể tìm các ước của a (a > 1), ta có thể lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xét xem a chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của a.

*Lý thuyết:

1. Ước chung:

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC.

Kí hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC(a, b).

Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của cả ba số a, b, c.

2. Ước chung lớn nhất:

Số lớn nhất trong các ước chung của hai số a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.

Quy ước: Viết tắt ước chung lớn nhất là ƯCLN.

Kí hiệu: ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b).

3. Tìm ước chung của hai số khi biết ƯCLN của hai số đó

Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.

Xem thêm

TOP 17 câu Trắc nghiệm Ước và bội có đáp án - Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

Câu 493:

Công thức lượng giác và cách giải bài tập chi tiết nhất

Rút gọn biểu thức $\frac{\cos a - \cos 3 a + \cos 5 a - \cos 7 a}{\sin a + \sin 3 a + \sin 5 a + \sin 7 a}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$c o s a - c o s 3 a + c o s 5 a - c o s 7 a$

$= (c o s a + c o s 5 a) - (c o s 3 a + c o s 7 a)$

$= 2 c o s 3 a . c o s 2 a - 2 c o s 5 a . c o s 2 a$

$= 2 c o s 2 a (c o s 3 a - c o s 5 a)$

$= 2 c o s 2 a . (- 2) s i n 4 a . s i n a$

$= - 4 c o s 2 a . s i n 4 a . s i n a$

$s i n a + s i n 3 a + s i n 5 a + s i n 7 a$

$= (s i n a + s i n 5 a) + (s i n 3 a + s i n 7 a)$

$= 2 s i n 3 a . c o s 2 a + 2 s i n 5 a . c o s 2 a$

$= 2 c o s 2 a (s i n 3 a + s i n 5 a)$

$= 2 c o s 2 a .2 s i n 4 a . c o s a$

$= 4 c o s 2 a . s i n 4 a . c o s a$

Vậy $O = \frac{- 4 c o s 2 a . s i n 4 a . s i n a}{4 c o s 2 a . s i n 4 a . c o s a} = - t a n a$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác rút gọn tử rồi đến mẫu

*Lý thuyết:

1. Công thức cộng lượng giác

2. Công thức nhân, hạ bậc lượng giác

* Công thức nhân đôi:

* Công thức hạ bậc:

* Công thức nhân ba:

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

4. Công thức biển đổi tổng thành tích

5. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác

a) Phương trình lượng giác cơ bản

b) Phương trình lượng giác đặc biệt

6. Bảng xét dấu của các giá trị lượng giác

7. Bảng giá trị lương giác của các góc đặc biệt

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11

Câu 494:

Cách phân biệt góc so le trong và góc đồng vị

Vẽ OT là tia phân giác của góc xOy = 70 độ. Trên tia Ot lấy điểm A, từ A vẽ đường thẳng d song song với tia Ox và cắt Oy tại B. Chứng tỏ rằng góc BAO = góc AOB

Xem đáp án

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng :

+ Hai góc sole trong

+ tia phân giác

*Lý thuyết:

1. Tia phân giác là gì?

Tia phân giác của một góc là tia nằm trong góc và tạo với hai cạnh của góc đó hai góc bằng nhau.

2. Vẽ tia phân giác của một góc

Cho góc xOy. Để vẽ tia phân giác của góc xOy ta có các cách sau:

Cách 1: Vẽ tia phân giác của một góc bằng thước thẳng và compa.

Bước 1: Trên tia Ox lấy điểm A bất kì (A khác O). Vẽ một phần đường tròn tâm O bán kính OA, cắt tia Oy tại điểm B.

Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính AO.

Bước 3: Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính AO, cắt phần đường tròn tâm A bán kính AO tại điểm C nằm trong góc xOy.

Bước 4: Vẽ tia OC, ta được tia phân giác của góc xOy.

Xem thêm

Lý thuyết Tia phân giác của một góc và cách giải các dạng bài tập (chính xác nhất)

Câu 495:

Lý thuyết Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian – Toán lớp 12 Cánh diều

Cho hình lập phương ABCD. $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , Tìm giá trị của k thích hợp để $\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{B_{1} C_{1}} + \overset{⇀}{D D_{1}} = k \overset{⇀}{A C_{1}}$

A. 4

B. 1

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Lời giải

*Phương pháp giải:

Áp dụng hai vecto bằng nhau hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi hai vectơ cùng hướng và độ dài bằng nhau.

*Lý thuyết:

1. Khái niệm vectơ trong không gian

• Vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Chú ý:

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B thì ta có một vectơ, kí hiệu là $\vec{A B}$ , đọc là “vectơ AB”.

Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là $\vec{a}$ , $\vec{b}, \vec{u}, \vec{v},$ ...

• Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian như: giá của vectơ, độ dài của vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ – không, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau, … được phát biểu tương tự như trong mặt phẳng.

2. Các phép toán vectơ trong không gian

2.1. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

- Tổng của hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{B C} = \vec{b}$ .

Vectơ $\vec{A C}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là $\vec{A C} = \vec{a} + \vec{b}$ .

Chú ý:

• Phép lấy tổng hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

• Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, chẳng hạn: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ – không. Do đó, ta cũng định nghĩa được tổng của ba vectơ trong không gian.

• Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong mặt phẳng.

Đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các quy tắc sau:

• Với ba điểm A, B, C trong không gian, ta có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ (quy tắc ba điểm);

• Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ (quy tắc hình bình hành).

• Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp thì $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A'} = \vec{A C'}$ (quy tắc hình hộp).

Xem thêm

75 câu trắc nghiệm Vectơ nâng cao

Câu 496:

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm + Bài Tập) – Toán 8

Viết dưới dạng tổng hai bình phương $4 x^{2} + y^{2} - 4 x + 10 y + 26 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$4 x^{2} + y^{2} - 4 x + 10 y + 26 = 0$

$\Leftrightarrow 4 x^{2} - 4 x + 1 + y^{2} + 10 y + 25 = 0$

$\Leftrightarrow {(2 x - 1)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 0$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức bình phương 1 tổng: (A + B)² = A² + 2AB + B².

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Xem thêm

200 bài tập về những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 497:

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) $3^{6} . 3^{7};$

b) $5 . 5^{4} . 5^{2} . 5^{5};$

c) $a^{4} . a^{5} . a^{10};$

d) $x^{10} . x^{4} . x$ .

Xem đáp án

Lời giải

a) $3^{13}$

b) $5^{12}$

c) $a^{19}$

d) $x^{15}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và công các số mũ:

a^m.aⁿ= a^m+n.

*Lý thuyết:

+ Lũy thừa bậc n của số tự nhiên a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

$a^{n} = \underset{n t h ö ø a s o á}{\underset{⏟}{a . a .... a}} (n \in ℕ^{*})$

aⁿ đọc là “a mũ n” hoặc “ a lũy thừa n”, a là cơ số, n là số mũ.

Chú ý: Ta có a¹= a.

a² cũng được gọi là a bình phương (hay bình phương của a);

a³ cũng được gọi là a lập phương (hay lập phương của a).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6

Câu 498:

Lý thuyết Hỗn số (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Hỗn số $5 \frac{7}{100}$ được viết dưới dạng số thập phân là:

A.5,007

B. 5,07

C. 5,7

D. 57

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Lời giải

$5 \frac{7}{100} = 5, 07$

*Phương pháp giải:

- Để chuyển đổi hỗn số sang phân số ta cần làm theo những bước sau:

+ Lấy mẫu số nhân với phần nguyên rồi cộng với tử số. Kết quả nhận được ta viết lên tử số.

+ Mẫu số giữ nguyên, ta viết dưới tử số vừa tính được. Như vậy ta được phân số mới từ hỗn số đã cho.

*Lý thuyết:

1. Khái niệm phân số thập phân

Các phân số có mẫu số là 10; 100; 1000; .... được gọi là các phân số thập phân.

Ví dụ:

Các phân số ; ... là những phân số thập phân.

2. Chuyển đổi một số phân số không phải là phân số thập phân thành phân số thập phân

– Những phân số mà 10; 100; 1 000; … chia hết cho mẫu số thì có thể viết dưới dạng phân số thập phân.

– Những phân số mà 10; 100; 1 000; … không chia hết cho mẫu số thì không thể viết dưới dạng phân số thập phân.

– Cách viết phân số thành phân số thập phân:

+ Lấy 10; 100; 1000;… chia cho mẫu số.

+Được bao nhiêu ta nhân cả tử số và mẫu số với số đó. Ta được phân số mới là phân số thập phân.

Hoặc:

+ Lấy mẫu số chia cho 10; 100; 1000;…

+Được bao nhiêu ta lấy cả tử số và mẫu số chia cho số đó. Ta được phân số mới là phân số thập phân.

Xem thêm

35 Bài tập tổng hợp Phân số và hỗn số lớp 5 (có đáp án)

Câu 499:

50 bài tập Diện tích, Đơn vị đo diện tích lớp 4 và cách giải

Viết số thích hợp vào ô chấm: (1 điểm)

0,839 m² = …………. cm²	4 m² 17 dm² = ….………… m²
5 m² 5 dm² = …………….. m²	60 400 000 cm² = ………………. m²

Xem đáp án

Lời giải

Viết số thích hợp vào ô chấm: (1 điểm) 0,839 m2 = …………. cm2 4 m2 17 dm2 = ….………… m2 5 m2 5 dm2 = …………….. m2 60 400 000 cm2 = ………………. m2 (ảnh 1)

*Phương pháp giải:

Nắm được cách quy đổi đơn vị diện

*Lý thuyết:

Các đơn vị đo diện tích đã học là: xăng-ti-mét vuông, đề-xi-mét vuông, mét vuông, ki-lô-mét vuông.

1km² = 1 000 000m²

1m² = 100dm² = 10 000cm²

1dm² = 100cm²

Ngoài ra, còn có các đơn vị: đề-ca-mét vuông, héc-to-mét vuông, mili mét vuông

1km² = 100hm² = 10000dam²

1hm² = 100dam²

1dam² = 100m²

1cm² = 100mm²

Xem thêm

Lý thuyết Ki-lô-mét vuông (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Câu 500: