Đáp án đúng là A

Lời giải

*Phương pháp giải:

Các phép toán liên quan đến phân số đó là các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia, phân số.

*Lý thuyết:

Dạng 1: Phép cộng phân số

1. Phương pháp giải

Phép cộng phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Cộng phân số cùng mẫu số: Ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Cộng phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi cộng các phân số đó lại với nhau.

Dạng 2: Phép trừ phân số

1. Phương pháp giải

Phép trừ phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Trừ phân số cùng mẫu số: Ta trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Trừ phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi trừ các phân số đó lại với nhau.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

-Muốn nhân các phân số với nhau, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Dạng 4: Phép chia phân số

1. Phương pháp giải

- Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

- Phân số đảo ngược là phân số đảo ngược tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.

Xem thêm

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải 

Lời giải

Ta có: √(21 - 12√3) - √(13 - 4√3)) 
= √(9 - 12√3 + 12) - √(12 - 4√3 + 1)
= √(3 - 2√3)^2 - √(2√3 - 1)^2
= 2√3 - 3 - 2√3 + 1 = -2

*Phương pháp giải:

Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẩu của biểu thức lấy căn; trục căn thức ở mẫu).

*Lý thuyết:

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Phép đưa thừa số vào trong dấu căn

3. Trục căn thức ở mẫu

Cách trục căn thức ở mẫu

4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Xem thêm

Lý thuyết Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai – Toán lớp 9 Kết nối tri thức 

Đáp án đúng là A

Lời giải

*Phương pháp giải:

Nhóm các phân số có cùng hằng số với nhau rồi thực hiện phép cộng trừ phân số

*Lý thuyết:

1. Biểu thức số

- Các số được nối với nhau bởi dấu các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa tạo thành một biểu thức.

Chẳng hạn: 3 + 7 – 2; 4. 5: 2; 2. (5 + 8) là những biểu thức.

Những biểu thức như trên còn được gọi là biểu thức số.

2. Biểu thức đại số

Biểu thức bao gồm các số và các chữ (đại diện cho số) được nối với nhau bởi các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa được gọi là biểu thức đại số.

Trong biểu thức đại số:

- Những chữ đại diện cho một số tùy ý gọi là biến số;

- Những chữ đại diện cho một số xác định gọi là hằng số;

3. Giá trị của biểu thức đại số

Để tính giá trị của một biểu thức đại số ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Thay chữ bởi giá trị số đã cho (chú ý các trường hợp phải đặt số trong dấu ngoặc);

- Bước 2: Thực hiện các phép tính (chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính: thực hiện phép lũy thừa, rồi đến phép nhân chia, sau đó là phép cộng trừ).

Xem thêm

50 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai Toán 9 mới nhất 

Lý thuyết Biểu thức số, biểu thức đại số – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo 

Lời giải

$M=\left(\frac{2+x}{2-x}-\frac{4x^2}{x^2-4}-\frac{2-x}{2+x}\right):\frac{3x-x^2}{2x^2-x^3}=\left(\frac{{\left(2+x\right)}^2+4x^2-{\left(2-x\right)}^2}{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}\right):\frac{x\left(3-x\right)}{x^2\left(2-x\right)}$

$=\frac{4x^2+8x}{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}:\frac{3-x}{x\left(2-x\right)}$

$=\frac{4x\left(x+2\right)}{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}.\frac{x\left(2-x\right)}{3-x}$

$=\frac{4x^2}{3-x}$

Lời giải

$$\begin{gathered} {\left(-2\right)}^{4x+2}=\frac{1}{64} \\ {\left(-2\right)}^{4x+2}={\left(-2\right)}^{-4} \\ 4x+2=-4 \\ x=-\frac{3}{2} \end{gathered}$$

*Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính luỹ thừa

*Lý thuyết:

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

aⁿ = a.a.a… a (n thừa số a)

Với a ≠ 0, ta có: a⁰ = 1 và $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Trong biểu thức a^m ; ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

– Chú ý:

0⁰ và 0^–n không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

2. Phương trình xⁿ = b.

Đồ thị của hàm số y = x^{2k + 1} có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x³ và đồ thị hàm số y = x^2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x⁴.

Từ đó, ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình xⁿ = b như sau:

a) Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Trường hợp n chẵn:

Với b < 0, phương trình vô nghiệm.

Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.

Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối nhau.

Xem thêm

Lý thuyết Lũy thừa (mới  + Bài Tập) – Toán 12 

Lời giải

a) Ta có:

*Phương pháp giảI:

Sử dụng hằng đẳng thức để phân tích rồi thực hiện

a) $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

b) Sử dụng phương pháp tách

*Lý thuyết:

1. Hằng đẳng thức

Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong đẳng thức bằng các số tùy ý.

Ví dụ: $a+b=b+a;a(a+2)=a^2+2a$ là những hằng đẳng thức.

$a^2-1=3a;a(a-1)=2a$ không phải là những hằng đẳng thức.

2. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương là gì?

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

Ví dụ: ${101}^2-{99}^2=(101-99)(101+99)=2.200=400$

3. Bình phương của một tổng

${\left(A+B\right)}^2=A^2+2AB+B^2$

Ví dụ: ${101}^2=(100+1{)}^2={100}^2+\mathrm{2.100.1}+1^2=10201$

4. Bình phương của một hiệu

${\left(A-B\right)}^2=A^2-2AB+B^2$

Ví dụ: ${99}^2=(100-1{)}^2={100}^2-\mathrm{2.100.1}+1^2=9801$

Xem thêm

Lý thuyết Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu – Toán lớp 8 Kết nối tri thức 

Lời giải

Ta có:  ${\left(3x-1\right)}^{10}={\left(3x-1\right)}^{20}\Rightarrow {\left(3x-1\right)}^{20}-{\left(3x-1\right)}^{10}=0$

 $\begin{array}{l}\Rightarrow {\left(3x-1\right)}^{10}\left[{\left(3x-1\right)}^{10}-1\right]=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}3x-1=0\\ {\left(3x-1\right)}^{10}=1\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ 3x-1=1\\ 3x-1=-1\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ x=\frac{2}{3}\\ x=0\end{array}\right.\\ \end{array}$

*Phương pháp giải:

Chuyển vế đặt nhân tử chúng rồi thực hiện phép tính

Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

*Lý thuyết:

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

 Khi áp dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần lưu ý:

- Trước tiên nhận xét xem các hạng tử của đa thức có chứa nhân tử chung không, nếu có thì áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung.

- Nếu không thì ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức sau đây để phân tích đa thức thành nhân tử:

1) (A + B)² = A² + 2AB + B²

2) (A – B)² = A² – 2AB + B²

3) A² –  B² = (A – B)(A + B)

4) (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

5) (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³

6) A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

7) A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Xem thêm

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới  + Bài Tập) – Toán 8 

Lời giải

*Phương pháp giải:

Nhóm thành hằng đẳng thức rồi thực hiện nhân đa thức

*Lý thuyết:

1. Nhân đơn thức với đa thức

+ Nhân hai đơn thức như thế nào?

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai phần biến với nhau.

Ví dụ: $(-3x^{2}y)(4xy)=\left[\left(-3.4\right)\right].(x^2.x).\left(y.y\right)=-12.x^3.y^2$

+ Nhân đơn thức với đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}3x^{2}y\left(2x^{2}y-xy+3y^2\right)\\ =(3x^{2}y).(2x^{2}y)-(3x^{2}y).(xy)+(3x^{2}y).(3y^2)\\ =\mathrm{3.2.}(x^2.x^2)\left(y.y\right)-3.(x^2.x).\left(y.y\right)+\mathrm{3.3.}{x}^2.\left(y.y^2\right)\\ =6x^4{y}^2-3x^3.y^2+9x^2{y}^3\end{array}$

2. Nhân đa thức với đa thức

+ Nhân hai đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Phép nhân đa thức cũng có các tính chất tương tự phép nhân các số.

+ Giao hoán: A.B = B.A

+ Kết hợp: (A.B).C = A.(B.C)

+ Phân phối của phép nhân đối với phép cộng: (A + B).C = AB + AC

Xem thêm

Lý thuyết Phép nhân đa thức – Toán lớp 8 Kết nối tri thức 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Nhân đa thức với đa thức (có đáp án ) – Toán 8 

$\iff -(9x^2-30x+25)+9(x^2+2x+1)=30$⇔48x=46⇔x=$\frac{23}{24}$

Lời giải

${\displaystyle (\frac{4}{15}+\frac{3}{5}):\frac{5}{6}+(\frac{11}{15}-\frac{8}{5}):\frac{5}{6}}$

${\displaystyle =(\frac{4}{15}+\frac{3}{5}+\frac{11}{15}-\frac{8}{5}):\frac{5}{6}}$

${\displaystyle =1+(-1):\frac{5}{6}}$
${\displaystyle =0:\frac{5}{6}}$

${\displaystyle =0}$

*Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung ra ngoài rồi thực hiện phép tính

*Lý thuyết:

1. Phép cộng các phân thức đại số

a) Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức (tương tự như cộng hai phân số cùng mẫu).

Với A, B, C là các đa thức,$B\ne 0$ ta có:

$\frac{A}{B}+\frac{C}{B}=\frac{A+C}{B}$

b) Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu thức

Bước 1: Quy đồng mẫu thức

Bước 2: Cộng hai phân thức cùng mẫu vừa tìm được.

Với A, B, C, D là các đa thức, $B,D\ne 0$ ta có:

$\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{A.D}{B.D}+\frac{C.B}{D.B}=\frac{A.D+C.B}{B.D}$

c) Tính chất của phép cộng

Cho ba phân thức $\frac{A}{B};\frac{C}{D};\frac{E}{F}$ với $\left(B;D;F\ne 0\right)$

+ Tính giao hoán: $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{C}{D}+\frac{A}{B}$

+ Tính kết hợp: $\left(\frac{A}{B}+\frac{C}{D}\right)+\frac{E}{F}=\frac{A}{B}+\left(\frac{C}{D}+\frac{E}{F}\right)$

+ Cộng với 0: $\frac{A}{B}+0=0+\frac{A}{B}=\frac{A}{B}$ .

2. Phép trừ các phân thức đại số

a) Phân thức đối

- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

- Phân thức $\frac{-A}{B}$ là phân thức đối của $\frac{A}{B}$ với $\left(B\ne 0\right)$ và ngược lại phân thức $\frac{A}{B}$ là phân thức đối của phân thức $\frac{-A}{B}$ .

Ta có: $\frac{-A}{B}+\frac{A}{B}=0$ .

Như vậy: $-\frac{A}{B}=\frac{-A}{B}$ và $-\frac{-A}{B}=\frac{A}{B}$.

b) Quy tắc trừ hai phân thức đại số

Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ ta lấy phân thức $\frac{A}{B}$ cộng với phân thức đối của $\frac{C}{D}$ :

$\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\left(\frac{-C}{D}\right)$ với $\left(B;D\ne 0\right)$ .

Xem thêm

50 bài tập về công thức cộng, trừ hai phân thức (có đáp án ) – Toán 8 

Lý thuyết Phép cộng và phép trừ phân thức đại số – Toán lớp 8 Kết nối tri thức 

Lời giải

Ta có:

(5x² – 2x + 10)² = (3x² + 10x – 8)²

⇔ (5x² – 2x + 10)² – (3x² + 10x – 8)² = 0

⇔ [(5x² – 2x + 10) + (3x² + 10x – 8)] . [(5x² – 2x + 10) – (3x² + 10x – 8)] = 0

⇔ (8x² + 8x + 2)(2x² – 12x + 18) = 0

⇔ 4(4x² + 4x + 1)(x² – 6x + 9) = 0

⇔ 4(2x + 1)²(x – 3)² = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}{\left(2\text{x}+1\right)}^2=0\\ {\left(x-3\right)}^2=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}2\text{x}+1=0\\ x-3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{-1}{2}\\ x=3\end{array}\right.$

Vậy $\text{x}\in \left\{\frac{-1}{2};3\right\}$.

PHương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức A² – B² = (A – B)(A + B).

Nhóm nhân tử chung rồi thực hiện phép tính 

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Xem thêm

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm + Bài Tập) – Toán 8 

Lời giải

$\left(5x^4-3x^3\right):2x^3=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow$$\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow$$$\begin{gathered} \frac{5}{2}x=2 \\ x=\frac{4}{5} \end{gathered}$$

*Phương pháp gỉai:

Chia từng số trong ngoặc cho $2x^3$ rồi thực hiện phép tính

*Lý thuyết:

- Muốn chia đa thức một biến A cho đa thức một biến B$\ne$0, trước hết ta phải sắp xếp các đa thức này theo lũy thừa giảm dần của cùng một biến và thực hiện phép chia như phép chia các số tự nhiên

- Với A và B là hai đa thức tùy ý cùng một biến số (B$\ne$0), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R.

Trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.

R$\ne$0 thì phép chia A cho B là phép chia có dư.

Q được gọi là đa thức thương, R được gọi là dư trong phép chia A cho B

Xem thêm

50 bài tập về cách chia đa thức một biến đã sắp xếp (có đáp án ) – Toán 8 

Lý thuyết Phép chia đa thức một biến – Toán lớp 7 Kết nối tri thức 

Lời giải

Ta có: (a+1)(a+2)(a+3)(a+4)−3

=(a+1)(a+4)(a+2)(a+3)−3

=($a^2$
+5a+4)($a^2$+5a+6)−3

^{=${\left(a^2+5a+5\right)}^2-1-3$}

^{=${\left(a^2+5a+5\right)}^2-4$}

=$\left(a^2+5a+7\right)\left(a+5a+3\right)$

PHương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức A² – B² = (A – B)(A + B).

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Xem thêm

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm + Bài Tập) – Toán 8 

Lời giải

Áp dụng BĐT AM-GM với 3 số a, b, c ta luôn có:

$a+b\ge 2\sqrt{ab}$ , dấu bằng xảy ra khi a = b.

$b+c\ge 2\sqrt{bc}$ , dấu bằng xảy ra khi b = c.

$a+c\ge 2\sqrt{ac}$ , dấu bằng xảy ra khi a = c.

$\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\ge 2\sqrt{bc}.2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}=8abc$ 

Lại có: 

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)\le (\frac{1}{8}+1)(a+b)(b+c)(c+a)$

$\iff (a+b+c)(ab+bc+ca)\le \frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)$

$\iff (a+b)(b+c)(c+a)\ge \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)(đpcm)$

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c$.

Vậy ta có BĐT cần Chứng minh.

*Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức cosi

*Lý thuyết:

1. Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức Cô-si là một trong những bất đẳng thức cổ điển. Tên chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, nhiều người gọi là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean). Do nhà toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), người đã đưa ra một cách chừng mình đặc sắc nên nhiều người hay gọi là bất đẳng thức Cauchy.

2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x₁, x₂, x₃ ,…, x_n là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: $\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n }\ge \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}$

Dạng 2: x₁ + x₂ +...+x_n $\ge n.\sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}$

Dạng 3: ${\left(\frac{x_{1 }+x_2+...+x_n}{n}\right)}^n\ge x_1.x_2...x_n$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x₁ = x₂ =....= x_n

Cho x₁, x₂, x₃ ,…, x_n là các số thực dương ta có:

Dạng 1:_{$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\ge \frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n}$}

Dạng 2: (x₁ + x₂ + ... + xn) $(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n})\ge n^2$

b) Các bất đẳng thức côsi đặc biệt

c) Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cô si

d) Chú ý khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM

• Khi áp dụng bất đẳng thức cô si thì các số phải là những số không âm
• Bất đẳng thức côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích
• Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau
• Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng

Xem thêm

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức ( + Bài tập) 

Lời giải:

*Phương pháp giải:

Áp dụng bình phương một tổng (A + B)² = A² + 2AB + B².

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Xem thêm

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm + Bài Tập) – Toán 8 

Lời giải:

*Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác cơ bản

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$$\begin{gathered} 1. \tan \left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)} \\ 2.cot\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)} \\ 3. {\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)=1 \\ 4. \tan \left(x\right).cot\left(x\right)=1 (x\ne k\frac{\mathrm{\pi }}{2}, k\in Z) \\ 5. 1+{\tan }^2\left(x\right)= \frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)} (x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{Z}) \\ 6. 1+{\cot }^2\left(\mathrm{x}\right)= \frac{1}{{\sin }^2\left(\mathrm{x}\right)} (\mathrm{x}\ne \mathrm{k\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{Z}) \end{gathered}$$

2. Công thức cộng lượng giác

$$\begin{gathered} \cos \left(x+y\right)=\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)-\sin \left(x\right)\sin \left(y\right) \\ \cos \left(x-y\right)=\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)+\sin \left(x\right)\sin \left(y\right) \\ \sin \left(x+y\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)+\sin \left(y\right)\cos \left(x\right) \\ \sin \left(x-y\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)-\sin \left(y\right)\cos \left(x\right) \\ \tan \left(x+y\right)=\frac{\tan \left(x\right)+\tan \left(y\right)}{1-\tan \left(x\right)\tan \left(y\right)} \\ \tan \left(x-y\right)=\frac{\tan \left(x\right)-\tan \left(y\right)}{1+\tan \left(x\right)\tan \left(y\right)} \end{gathered}$$

Xem thêm

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác (2024) đầy đủ, chi tiết nhất 

Lời giải:

*Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất sau đó giải hệ phương trình tìm nghiệm (x;y) theo tham số m.

Bước 2: Thế x và y vừa tìm được vào biểu thức điều kiện, sau đó giải tìm m.

Bước 3: Kết luận.

*Lý thuyết:

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c \left(1\right)\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'} \left(2\right)\end{array}\right.$

Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước, x và y gọi là ẩn số.

- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm

chung của hai đường thẳng 𝑑: ax + by = c và d’: a’x + b’y= c’.

Trường hợp: $d\cap d\text{'}=A(x_0;y_0)$⇔ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x₀; y₀)

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ $\frac{a}{a\text{'}}\ne \frac{b}{b\text{'}}$

Xem thêm

50 bài tập về Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay (có đáp án ) - Toán 9 

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (mới  + Bài Tập) – Toán 9 

Lời giải

(n-1).(n+1)-(n-7).(n-5)

=n²-1-(n²-5n-7n+35)

=n²-1-n²+5n-7n-35

=-2n-36

Vậy với N thuộc Z thì (n-1).(n+1)-(n-7).(n-5) chia hết cho 12

*Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức A² – B² = (A – B)(A + B) và thực hiện phép nhân đa thức

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

Xem thêm

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm + Bài Tập) – Toán 8 

Lời giải

B= (n-1) (n+6) -(n+1) (n-6)

=$n^2$ +5n+6 -($n^2$ -5n-6)

=$n^2$+5n+6 -$n^2$+5n+6

=10n

Vậy B chia hết cho 10 với mọi n thuộc Z

*Phương pháp giải:

Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức

*Lý thuyết:

Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Tổng quát: Với A, B, C, D là các đơn thức, ta có:

(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD.

Nhận xét: Tích của hai đa thức là một đa thức.

Xem thêm

Lý thuyết Nhân đa thức với đa thức (năm  + Bài Tập) – Toán 8 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Nhân đa thức với đa thức (có đáp án ) – Toán 8 

* Lời giải

${\displaystyle (x-13)(x+8)+3x(x-13)=0}$

${\displaystyle \Rightarrow (x-13)(x+8+3x)=0}$

${\displaystyle \Rightarrow (x-13)(4x+8)=0}$

${\displaystyle \Rightarrow x-13=0;4x+8=0}$

${\displaystyle \Rightarrow x=13;4x=-8}$

${\displaystyle \Rightarrow x=13;x=-2}$

Vậy ${\displaystyle x=13;x=-2}$.

*Phương pháp giải:

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung

*Lý thuyết:

* Phân tích đa thức thành nhân tử:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung:

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^3+x$ thành nhân tử: $x^3+x=x.x^2+x=x(x^2+1)$

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm nhân tử:

Ví dụ: Phân tích đa thức $xy+3z+xz+3y$ thành nhân tử:

$$\begin{gathered} xy+3z+xz+3y=(xy+xz)+(3z+3y) \\ =x(y+z)+3(z+y)=(x+3)(y+z) \end{gathered}$$

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức như thế nào?

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^2-8x+16$ thành nhân tử: $x^2-8x+16=x^2-2.x.4+4^2=(x-4{)}^2$

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8 

Lời giải

Do x, y là số nguyên dương nên 40x < 41x; 41 ≤41y , khi đó ta có:

( x + y )⁴ = 40x + 41 < 41x + 41y = 41( x + y )

Suy ra ( x + y )⁴ < 41( x + y )

$\iff {\left(x+y\right)}^3<41<64=4^3$
⇒x+y<4( 1 )

Ta thấy x là số nguyên dương nên 40x+41≥40×1+41=81

${\left(x+y\right)}^4\ge 81$

x+y≥3 ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra 3≤x+y<4

Mà (x+y∈N∗)⇒x+y=3

Suy ra ( x ; y ) = (1; 2 ) ; ( 2 ; 1 ) ( do x, y là số nguyên dương )

Thử lại chỉ có x = 1 ; y = 2 thỏa mãn

*Phương pháp giải:

- Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là phương trình có dạng: ax + by = c

trong đó a, b, c là các số cho trước, $a\ne 0;b\ne 0$.

- Nếu số thực $x_0;y_0$ thỏa mãn $a{x}_0+b{y}_0=c$ thì cặp số $\left(x_0;y_0\right)$ được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm $\left(x_0;y_0\right)$ của phương trình ax + by = c được biểu diễn bởi điểm có tọa độ $\left(x_0;y_0\right)$.

*Lý thuyết:

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

– Khái niệm: Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là những số cho trước, a ≠ 0 hoặc b ≠ 0.

– Khái niệm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn:

Cho phương trình bậc nhất hai ẩn x, y: ax + by = c.

Nếu ax₀ + by₀ = c là một khẳng định đúng thì cặp số (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của phương trình ax + by = c.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

– Khái niệm: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a^{\text{'}}x+b^{\text{'}}y=c^{\text{'}}\end{array}\right.\left(I\right),$ ở đó mỗi phương trình ax + by = c và a’x + b’y = c’ đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.

– Khái niệm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Nếu cặp số (x₀; y₀) là nghiệm của từng phương trình trong hệ (I) thì cặp số (x₀; y₀) được gọi là nghiệm của hệ (I).

– Khái niệm giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình 

Xem thêm

Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán lớp 9 Cánh diều 

Lời giải

 ${\displaystyle (x^2+3x-4).(x^2+x-6)-24}$

${\displaystyle =(x^2+4x-x-4).(x^2+3x-2x-6)-24}$

${\displaystyle =[x.(x+4)-1.(x+4)].[x.(x+3)-2.(x+3)]-24}$

${\displaystyle =(x-1).(x+4).(x-2).(x+3)-24}$

${\displaystyle =[(x-1).(x+3)].[(x-2).(x+4)]-24}$

${\displaystyle =(x^2+3x-x-3).(x^2+4x-2x-8)-24}$

${\displaystyle =(x^2+2x-3).(x^2+2x-8)-24}$

Ta đặt: ${\displaystyle x^2+2x-3=t}$ ta được:

${\displaystyle =t.(t-5)-24}$

${\displaystyle =t^2-5t-24}$

${\displaystyle =t^2-8t+3t-24}$

${\displaystyle =t.(t-8)+3.(t-8)}$

${\displaystyle =(t+3).(t-8)}$

${\displaystyle =(x^2+2x-3+3).(x^2+2x-3-8)}$

${\displaystyle =(x^2+2x).(x^2+2x-11)}$

${\displaystyle =x.(x+2).(x^2+2x-11).}$

*Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp thêm bớt và đặt nhân tử chung để làm bài

*Lý thuyết:

Phân tích đa thức thành nhân tử:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung:

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^3+x$ thành nhân tử: $x^3+x=x.x^2+x=x(x^2+1)$

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm nhân tử:

Ví dụ: Phân tích đa thức $xy+3z+xz+3y$ thành nhân tử:

$$\begin{gathered} xy+3z+xz+3y=(xy+xz)+(3z+3y) \\ =x(y+z)+3(z+y)=(x+3)(y+z) \end{gathered}$$

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức như thế nào?

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^2-8x+16$ thành nhân tử: $x^2-8x+16=x^2-2.x.4+4^2=(x-4{)}^2$

Xem thêm

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử – Toán lớp 8 Kết nối tri thức 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án ) - Toán 8 

Lời giải:

*Phương pháp giải:

Giải phương trình tích: Cho phương trình A(x).B(x)...C(x) = 0 (1), trong đó A(x).B(x)...C(x) là các phương trình ẩn x.

Bước 1: Biến đổi tương đương A(x).B(x)...C(x) = 0 

Bước 2: Lần lượt giải các phương trình A(x) = 0; B(x) = 0;... C(x) = 0.

Bước 3: Kết luận.

*Lý thuyết:

- Phương trình bậc hai có dạng ${\text{ax}}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$)

- Cách giải và biện luận phương trình bậc hai:

+ Với $\Delta =b^2-4ac$

Nếu $\Delta >0$ thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$,$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

Nếu $\Delta =0$ thì phương trình bậc hai có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$

Nếu $\Delta <0$ thì phương trình bậc hai vô nghiệm.

+ Với $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2-ac$ với $b\text{'}=\frac{b}{2}$

Nếu $\Delta \text{'}>0$ thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$,$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$

Nếu $\Delta \text{'}=0$ thì phương trình bậc hai có nghiệm kép:$x_1=x_2=\frac{-b\text{'}}{a}$

Nếu $\Delta \text{'}<0$ thì phương trình bậc hai vô nghiệm.

- Đối với các phương trình quy về phương trình bậc hai ta có thể dùng các phép biến đổi như nhân đa thức, quy đồng mẫu số, chuyển vế, lấy nhân tử chung … để đưa phương trình đã cho về dạng $$${\text{ax}}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$).

Xem thêm

Công thức giải phương trình bậc hai chi tiết nhất