Lý thuyết Phân thức đại số Toán lớp 8 (Kết nối tri thức)

Với lý thuyết Toán lớp 8 Bài 21: Phân thức đại số chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 8.

1 4,961 06/08/2026

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 8 Bài 21: Phân thức đại số - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Phân thức đại số

1. Phân thức đại số

Một phân thức đại số (hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ , trong đó A, B là hai đa thức và B khác đa thức 0.

A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Nhận xét. Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1.

Số 0 và số 1 cũng là các phân thức đại số

Ví dụ:

$\frac{2 x + 1}{x - 3}; \frac{a b}{a + b}; x^{2} + 3 x + 2; \sqrt{2}$ là các phân thức đại số.

$\sqrt{x}; \sqrt[3]{x}$ không phải là phân thức vì $\sqrt{x}; \sqrt[3]{x}$ không phải là đa thức.

2. Hai phân thức bằng nhau

Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C.

$\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ nếu AD = BC.

Ví dụ: Hai phân thức $\frac{x y^{2}}{x y + y}$ và $\frac{x y}{x + 1}$ bằng nhau vì $x y^{2} . (x + 1) = x y (x y + y)$

3. Giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến

Giá trị của phân thức tại các giá trị đã cho của biến là biểu thức số (nếu mẫu số nhận được là số khác 0) khi thay các biến trong phân thức đó bằng các số đã cho.

Để tính giá trị của phân thức tại những giá trị cho trước của biến, ta thay các giá trị cho trước của biến vào phân thức đó rồi tính giá trị của biểu thức số nhận được.

4. Điều kiện xác định của phân thức

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức B khác 0.

Ví dụ: Phân thức P = $\frac{x + 3}{x - 1}$ xác định khi $x - 1 \neq 0$ hay $x \neq 1$

Tại x = 3, $P = \frac{3 + 3}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$

Sơ đồ tư duy Phân thức đại số

Lý thuyết Phân thức đại số – Toán lớp 8 Kết nối tri thức (ảnh 1)

B. Bài tập Phân thức đại số

Đang cập nhật...

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 21: Phân thức đại số

Câu 1. Biểu thức nào sau đây không là phân thức đại số?

A. $\frac{1}{(x^{2} + 1)}$

B. $\frac{x + 3}{5}$

C. $x^{2} - 3 x + 1$

D. $\frac{x^{2} + 4}{0}$

Hiển thị đáp án

$\frac{1}{(x^{2} + 1)}$ có $A = 1; B = x^{2} + 1 > 0 \forall x \Rightarrow \frac{1}{x^{2} + 1}$ là phân thức đại số.

$\frac{x + 3}{5}$ có $A = x + 3;$ $B = 5 \Rightarrow \frac{x + 3}{5}$ là phân thức đại số.

$x^{2} - 3 x + 1$ có $A = x^{2} - 3 x + 1;$ $B = 1 \Rightarrow x^{2} - 3 x + 1$ là phân thức đại số.

$\frac{x^{2} + 4}{0}$ có $A = x^{2} + 4;$ $B = 0 \Rightarrow \frac{x^{2} + 4}{0}$ không là phân thức đại số.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2. Cặp phân thức nào sau đây bằng nhau?

A. $\frac{- x^{2} y}{3 x y}$ và $\frac{x y}{3 y}$

B. $\frac{- x^{2} y}{x y}$ và $\frac{3 y}{x y}$

C. $\frac{3}{24 x}$ và $\frac{2 y}{16 x y}$

D. $\frac{3 x y}{5}$ và $\frac{3 x^{2} y}{5 y}$

Hiển thị đáp án

$\frac{- x^{2} y}{3 x y} = \frac{- x}{3}; \frac{x y}{3 y} = \frac{x}{3}$

$\frac{- x}{3} \neq \frac{x}{3} \Rightarrow \frac{- x^{2} y}{3 x y} \neq \frac{x y}{3 y}$

$\frac{- x^{2} y}{x y} = - x; \frac{3 y}{x y} = \frac{3}{x}$

$- x \neq \frac{x}{3} \Rightarrow \frac{- x^{2} y}{x y} \neq \frac{3 y}{x y}$

$\frac{3}{24 x} = \frac{1}{8 x}; \frac{2 y}{16 x y} = \frac{1}{8 x}$ $\Rightarrow \frac{3}{24 x} = \frac{2 y}{16 x y}$

$\frac{3 x^{2} y}{5 y} = \frac{3 x^{2}}{5} \neq \frac{3 x y}{5}$ $\Rightarrow \frac{3 x y}{5} \neq \frac{3 x^{2} y}{5 y}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3. Trong các cặp phân thức sau, cặp phân thức nào có mẫu giống nhau:

A. $\frac{x - 5}{x^{2} + 2}$ và $\frac{x - 5}{x + 2}$

B. $\frac{3 y}{7 y^{2}}$ và $\frac{6 y}{14 y}$

C. $\frac{5 x}{4 x + 6}$ và $\frac{x + 3}{2 (2 x + 3)}$

D. $\frac{x + 1}{x^{2} + x + 1}$ và $\frac{2 x + 1}{x^{2} - x + 1}$

Hiển thị đáp án

$\frac{x - 5}{x^{2} + 2}$ có mẫu là $x^{2} + 2; \frac{x - 5}{x + 2}$ có mẫu là x + 2.

Vì $x^{2} + 2 \neq x + 2$ nên $\frac{x - 5}{x^{2} + 2}$ và $\frac{x - 5}{x + 2}$ không có mẫu giống nhau.

$\frac{3 y}{7 y^{2}}$ có mẫu là $7 y^{2}; \frac{6 y}{14 y}$ có mẫu là 14y.

Vì $7 y^{2} \neq 14 y$ nên $\frac{3 y}{7 y^{2}}$ và $\frac{6 y}{14 y}$ không có mẫu giống nhau.

$\frac{5 x}{4 x + 6}$ có mẫu là $4 x + 6; \frac{x + 3}{2 (2 x + 3)}$ có mẫu là 2(2x + 3).

Vì $4 x + 6 = 2 (2 x + 3)$ nên $\frac{5 x}{4 x + 6}$ và $\frac{x + 3}{2 (2 x + 3)}$ có mẫu giống nhau.

$\frac{x + 1}{x^{2} + x + 1}$ có mẫu là $x^{2} + x + 1;$ $\frac{2 x + 1}{x^{2} - x + 1}$ có mẫu là x² – x + 1.

Vì $x^{2} + x + 1 \neq x^{2} - x + 1$ nên $\frac{x + 1}{x^{2} + x + 1}$ và $\frac{2 x + 1}{x^{2} - x + 1}$ không có mẫu giống nhau.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 4. Với điều kiện nào của x thì phân thức $\frac{5 x - 7}{x^{2} - 9}$ có nghĩa?

A. $x \neq 3$

B. $x \neq \frac{7}{5}$

C. $x \neq - 3$

D. $x \neq \pm 3$

Hiển thị đáp án

Phân thức $\frac{5 x - 7}{x^{2} - 9}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

$x^{2} - 9 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 3$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5. Phân thức nào dưới đây bằng với phân thức $\frac{5 x^{2} y^{3}}{3}$ ?

A. $\frac{25 x^{3} y^{4}}{15 x^{2} y}$

B. $\frac{25 x^{4} y^{3}}{15 x^{2} y}$

C. $\frac{25 x^{4} y^{3}}{15 x y}$

D. $\frac{25 x^{4} y^{4}}{15 x^{2} y}$

Hiển thị đáp án

Ta có: $5 x^{2} y^{3} .15 x^{2} y = 75 x^{4} y^{4}$ và $3.25 x^{4} y^{4} = 75 x^{4} y^{4}$

$\Rightarrow 5 x^{3} y^{3} .15 x^{2} y = 3.25 x^{4} y^{4}$ $\Rightarrow \frac{5 x^{2} y^{3}}{3} = \frac{25 x^{4} y^{4}}{15 x^{2} y}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6. Phân thức $\frac{7 x + 2}{5 - 3 x}$ có giá trị bằng $\frac{11}{7}$ khi x bằng:

A. 1

B. $\frac{1}{2}$

C. 2

D. Không có giá trị x thỏa mãn

Hiển thị đáp án

Điều kiện: $5 - 3 x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{5}{3}$

Để $\frac{7 x + 2}{5 - 3 x} = \frac{11}{7}$

$\Leftrightarrow (7 x + 2) 7 = 11 (5 - 3 x)$

$\Leftrightarrow 49 x + 14 = 55 - 33 x$

$\Leftrightarrow 82 x = 41 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn điều kiện)

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7. Có bao nhiêu giá trị của x để phân thức $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$ có giá trị bằng 0?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hiển thị đáp án

Điều kiện: $x^{2} - 2 x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} \neq 0$ $\Leftrightarrow x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$

Ta có: $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1} = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 \neq 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 1 = 0$

$x^{2} - 2 x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow x^{2} = 1$ 13 Bài tập Phân thức đại số (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 8

Vậy có 1 giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8. Chọn câu sai

A. $\frac{5 x + 5}{5 x} = \frac{x + 1}{x}$

B. $\frac{x^{2} - 4}{x + 2} = x - 2$

C. $\frac{x + 3}{x^{2} - 9} = \frac{1}{x - 3}$

D. $\frac{5 x + 5}{5 x} = 5$

Hiển thị đáp án

$(5 x + 5) x = 5 (x + 1) x = 5 x (x + 1)$ $\Rightarrow \frac{5 x + 5}{5 x} = \frac{x + 1}{x}$

$(x - 2) (x + 2) = x^{2} - 2 x + 2 x - 4$ $= x^{2} - 4 \Rightarrow \frac{x^{2} - 4}{x + 2} = x - 2$

$(x + 3) (x - 3) = x^{2} + 3 x - 3 x - 9$ $= x^{2} - 9 \Rightarrow \frac{x + 3}{x^{2} - 9} = \frac{1}{x - 3}$

$5.5 x = 25 x \neq 5 x + 5$ $\Rightarrow \frac{5 x + 5}{5 x} \neq 5$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 9. Phân thức nào sau đây không bằng với phân thức $\frac{3 - x}{3 + x}$

A. $- \frac{x - 3}{3 + x}$

B. $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{9 - x^{2}}$

C. $\frac{9 - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

D. $\frac{x - 3}{- 3 - x}$

Hiển thị đáp án

A. $- \frac{x - 3}{3 + x} = \frac{- (x - 3)}{3 + x}$ $= \frac{- x + 3}{3 + x} = \frac{3 - x}{3 + x}$

$(3 - x) (9 - x^{2}) = (3 - x) (3 - x) (3 + x)$ $= {(3 - x)}^{2} (3 + x)$

$(x^{2} + 6 x + 9) (3 + x)$ $= {(3 + x)}^{2} (3 + x) = {(3 + x)}^{3}$

$\Rightarrow \frac{3 - x}{3 + x} \neq \frac{x^{2} + 6 x + 9}{9 - x^{2}}$

$(9 - x^{2}) (3 + x) = (3 - x) (3 + x) (3 + x)$ $= (3 - x) {(3 + x)}^{2}$

$\Rightarrow \frac{9 - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}} = \frac{3 - x}{3 + x}$

$(- 3 - x) (3 - x) = (- 1) (3 + x) (3 - x)$ $= (3 + x) (x - 3)$

$\Rightarrow \frac{3 - x}{3 + x} = \frac{x - 3}{- 3 - x}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 10. Với điều kiện nào của x thì phân thức $\frac{x^{2}}{x^{2} + 4 x + 5}$ xác định?

A. $x \neq - 1$ và $x \neq 3$

B. $x \neq 1$

C. $x \neq - 2$

D. $x \in R$

Hiển thị đáp án

Phân thức $\frac{x^{2}}{x^{2} + 4 x + 5}$ xác định khi và chỉ khi $x^{2} + 4 x + 5 \neq 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + 4 x + 4 + 1 \neq 0$

$\Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} + 1 \neq 0$

$\Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} \neq - 1$ (luôn đúng vì ${(x + 2)}^{2} \geq 0 \forall x$ )

Vậy phân thức xác định với mọi $x \in R$ .

Đáp án cần chọn là: D

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. Cho một phân thức có tử thức bằng x và mẫu thức bằng x² + x. Khi đó:

a) Phân thức đó có dạng $\frac{x^{2} + 1}{x} .$

b) Điều kiện xác định của phân thức là x² + x $\neq$ 0.

c) Rút gọn phân thức ta được $\frac{1}{x + 1} .$

d) Giá trị của phân thức tại x = 2 là $\frac{1}{3} .$

Hiển thị đáp án

a) Sai.

Vì phân thức trên có tử thức bằng x và mẫu thức bằng x² + x nên phân thức có dạng $\frac{x}{x^{2} + x} .$

b) Đúng.

Điều kiện xác định của phân thức là x² + x $\neq 0 .$

c) Đúng.

Ta có: x² + x = x(x + 1) nên $\frac{x}{x^{2} + x} = \frac{1}{x + 1}$ .

Vậy rút gọn phân thức có dạng $\frac{1}{x + 1} .$

d) Đúng.

Với x = 2 (thỏa mãn ĐKXĐ) , thay vào phân thức, ta có: $\frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$ .

Vậy giá trị của phân thức tại x = 2 là $\frac{1}{3}$ .

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Cho các biểu thức: $\frac{x + y}{2 y}; \frac{x - 7}{0}; \frac{\frac{1}{x + 5}}{x^{2} - x + 1}; x + 5 .$ Có bao nhiêu biểu thức là phân thức đại số trong các phân thức đã cho?

Hiển thị đáp án

Đáp án: 2

Ta có: x + 5 = $\frac{x + 5}{1}$ .

Có 2 biểu thức là phân thức đại số trong các phân thức đã cho là: $\frac{x + y}{2 y}; x + 5 .$

Câu 2. Cho các phân thức: $\frac{x - 2}{x + 5};$ $\frac{x + 7}{x - 2};$ $x - 2;$ $\frac{1}{x - 2};$ $\frac{2 (x - 2)}{x - 4} .$ Có bao nhiêu phân thức có tử thức là x - 2 trong các phân thức đã cho?

Hiển thị đáp án

Đáp án: 2

Ta có: x - 2 = $\frac{x - 2}{1}$ .

Các phân thức có tử thức bằng x - 2 là: $\frac{x - 2}{x + 5}; x - 2 .$

Vậy có 2 phân thức có tử thức là x - 2 trong các phân thức đã cho.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Lý thuyết Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Lý thuyết Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Lý thuyết Bài 25: Phương trình bậc nhất một ẩn

Lý thuyết Bài 26: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Xem thêm tài liệu Toán lớp 8:

Giải Toán 8 Bài 21: Phân thức đại số

Giải SBT Toán 8 Bài 21: Phân thức đại số

Giáo án Phân thức đại số lớp 8

Giáo án điện tử Phân thức đại số lớp 8

1 4,961 06/08/2026

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3