Lý thuyết Đường trung bình của tam giác và cách giải các dạng bài tập Toán lớp 8 (Kết nối tri thức )

Lý thuyết Đường trung bình của tam giác (chính xác nhất) và cách giải các dạng bài tập

I. Lý thuyết Đường trung bình của tam giác

1. Đường trung bình của tam giác là gì?

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

2. Tính chất đường trung bình của tam giác

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

Chú ý: Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Ví dụ:

DE là đường trung bình của tam giác ABC, khi đó DE // BC và $DE=\frac{1}{2}BC$.

II. Các dạng bài tập đường trung bình

Dạng 1: Chứng minh các hệ thức về cạnh và góc. Tính các cạnh và góc.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang.

+ Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+ Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

+ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

+ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Dạng 2: Chứng minh một cạnh là đường trung bình của tam giác.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa đường trung bình của tam giác và hình thang.

+ Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+ Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

III. Bài tập Đường trung bình của tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = $\frac{1}{2}$ DC. Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh: AI = IM.

Hướng dẫn giải

Gọi E là trung điểm của DC.

Trong ΔBDC, ta có:

M là trung điểm của BC (giả thiết).

E là trung điểm của CD (ta gọi).

Nên ME là đường trung bình của ∆BCD.

⇒ ME // BD (tính chất đường trung bình tam giác).

Suy ra: DI // ME.

Lại có: AD = $\frac{1}{2}$ DC (giả thiết).

DE = $\frac{1}{2}$ DC (vì E là trung điểm của DC).

Suy ra AD = DE nên D là trung điểm của AE.

Xét tam giác AME có D là trung điểm của AE và DI // ME (cmt).

Suy ra I là trung điểm của AM (tính chất đường trung bình của tam giác)

Vậy AI = IM.

Bài 2: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD và AC, F là trung điểm của EC. Tính tỉ số $\frac{AE}{EC}$ .

Hướng dẫn giải

Xét ∆BEC có:

M là trung điểm của BC;

F là trung điểm của EC.

Do đó, MF là đường trung bình của ∆BEC.

Suy ra MF // BE.

Xét ∆AMF có:

D là trung điểm của AM;

DE // MF (do MF // BE).

Do đó, DE là đường trung bình của ∆AMF.

Suy ra E là trung điểm của AF nên AE = EF.

Mà EF = FC = $\frac{1}{2}$ EC (do F là trung điểm của EC)

Do vậy, AE = EF = FC = $\frac{1}{2}$ EC.

Suy ra $\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$ .

Bài 3: Tính độ dài đoạn AE, biết DE // BC và AC = 8 cm.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có: D là trung điểm AB và DE // BC

⇒ E là trung điểm của AC.

Suy ra: AE = $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 8=4cm$ .

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 16: Đường trung bình của tam giác và cách giải các dạng bài tập

Câu 1. Chọn câu đúng.

A. Đường trung bình của tam giác là đường nối trung điểm ba cạnh của hình tam giác.

B. Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

C. Trong một tam giác chỉ có một đường trung bình.

D. Đường trung bình của tam giác là đường nối từ một đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện.

Câu 2. Cho tam giác ABC có E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC. Phát biểu nào sau đây là đúng:

A. EF có độ dài bằng hai lần BC.

B. EF có độ dài bằng hai lần AB.

C. EF có độ dài bằng một nửa AC.

D. EF có độ dài bằng một nửa BC.

Câu 3. Cho tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Phát biểu nào sau đây sai?

A. DE là đường trung bình của tam giác ABC.

B. DE song song với BC.

C. DECB là hình thang cân.

D. DE có độ dài bằng nửa BC.

Câu 4. Chọn câu đúng. Cho hình vẽ sau:

Đường trung bình của tam giác ABC là:

A. DE

B. DF

C. EF

D. Cả A, B, C đều đúng

Câu 5. Cho các khẳng định dưới đây:

1) Trong một tam giác chỉ có một đường trung bình.

2) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

3) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng cạnh ấy.

Trong các khẳng định trên, số khẳng định đúng là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 6. Đường trung bình của tam giác là:

A. Là đoạn thẳng nối hai điểm bất kì trên hai cạnh của tam giác

B. Là đoạn thẳng cắt hai cạnh của tam giác, song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

C. Là đường thẳng đi qua trực tâm của tam giác.

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 7. Cho tam giác MNP có A, B theo thứ tự là trung điểm của NP, MN. Biết AB = 3dm. Khi đó:

A. MP = 6dm

B. MN = 5,5dm

C. NP = 4dm

D. MP = 1,5dm

Câu 8. Cho tam giác ABC, gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. Hỏi có bao nhiêu hình thang trong hình vẽ?

A. 7

B. 6

C. 8

D. 9

Câu 9. Cho tam giác ABC có BC = 6cm, các đường trung tuyến BE, CD. Khi đó độ dài cạnh DE là:

A. 12cm

B. 6cm

C. 3cm

D. 2cm

Câu 10. Cho tam giác AMN như hình vẽ dưới đây. Biết AF = FN; EF = 9cm. Độ dài đoạn thẳng MN là:

A. 12cm

B. 16cm

C. 18cm

D. 5cm

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu 1. Cho hình vẽ:

a) DE là đường trung tuyến của tam giác ABC

b) $DE=\frac{1}{2}AB.$

c) Diện tích $\Delta CDE$ là: $S_{\Delta CDE}=\frac{1}{2}AC\cdot AB.$

d) Diện tích tam giác ABC gấp bốn lần diện tích tam giác CDE

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Cho $\Delta ABC$ có chu vi bằng 40cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của $AB,AC.$ Chu vi $\Delta AMN$ bằng bao nhiêu cm?

Câu 2. Cho tam giác ABC có $BC=12\text{\hspace{0.33em}cm.}$ Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của $AB,AC,BC.$ Gọi I là giao điểm của AE và MN. Tính độ dài IN (Đơn vị: cm).

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 17: Tính chất đường phân giác của tam giác

Lý thuyết Bài 18: Thu thập và phân loại dữ liệu

Lý thuyết Bài 19: Biểu diễn dữ liệu bằng bảng, biểu đồ

Lý thuyết Bài 20: Phân tích số liệu thống kê dựa vào biểu đồ

Lý thuyết Bài 21: Phân thức đại số

Xem thêm tài liệu môn Toán lớp 8:

Giải Toán 8 Bài 16: Đường trung bình của tam giác

Giải SBT Toán 8 Bài 16: Đường trung bình của tam giác

Giáo án Đường trung bình của tam giác lớp 8

Giáo án điện tử Đường trung bình của tam giác lớp 8