Lý thuyết Tính chất cơ bản của phân thức đại số Toán lớp 8 (Kết nối tri thức)

Với lý thuyết Toán lớp 8 Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 8.

1 3,464 06/08/2026

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 8 Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Tính chất cơ bản của phân thức đại số

1. Tính chất cơ bản của phân thức

- Tính chất cơ bản của phân thức:

Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{A . M}{B . M}$ (M là một đa thức khác đa thức không).

Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A : N}{B : N} = \frac{A}{B}$ (N là nhân tử chung).

- Quy tắc đổi dấu: Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$ ; $\frac{- A}{B} = \frac{A}{- B} = - \frac{A}{B}$ .

Ví dụ: Để biến đổi phân thức $\frac{x - y}{y^{2} - x^{2}}$ thành $\frac{- 1}{x + y}$ , ta chia cả tử và mẫu của phân thức $\frac{x - y}{y^{2} - x^{2}}$ cho y – x, khi đó

$\frac{x - y}{y^{2} - x^{2}} = \frac{- (y - x)}{(y - x) (y + x)} = \frac{- 1}{x + y}$

2. Rút gọn phân thức

Rút gọn một phân thức là biến đổi phân thức đó thành một phân thức mới bằng nó nhưng đơn giản hơn.

Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

3. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung;

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia MTC của mẫu thức đó;

- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\frac{1}{x^{2} + x}$ và $\frac{1}{x^{2} - x}$

MTC là: $x (x + 1) (x - 1)$

Ta có:

$[x (x + 1) (x - 1)] : [x (x + 1)] = x - 1; [x (x + 1) (x - 1)] : [x (x - 1)] = x + 1$

Khi đó: $\frac{1}{x^{2} + x} = \frac{1}{x (x + 1)} = \frac{x - 1}{x (x + 1) (x - 1)}; \frac{1}{x^{2} - x} = \frac{1}{x (x - 1)} = \frac{x + 1}{x (x - 1) (x + 1)}$

- Quy tắc đổi dấu: Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$ ; $\frac{- A}{B} = \frac{A}{- B} = - \frac{A}{B}$ .

Sơ đồ tư duy Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Lý thuyết Tính chất cơ bản của phân thức đại số – Toán lớp 8 Kết nối tri thức (ảnh 1)

B. Bài tập Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Đang cập nhật...

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Câu 1. Chọn câu sai. Với đa thức $B \neq 0$ ta có:

A. $\frac{A}{B} = \frac{A.M}{B.M}$ (với M khác đa thức 0)

B. $\frac{A}{B} = \frac{A:N}{B:N}$ (với N là một nhân tử chung, N khác đa thức 0)

C. $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$

D. $\frac{A}{B} = \frac{A + M}{B + M}$

Hiển thị đáp án

Theo tính chất cơ bản của phân thức đại số, ta có:

$\frac{A}{B} = \frac{A.M}{B.M}$ (với M khác đa thức 0) $\Rightarrow \frac{A}{B} = \frac{A (- 1)}{B (- 1)} = \frac{- A}{- B}$

$\frac{A}{B} = \frac{A:N}{B:N}$ (với N là một nhân tử chung, N khác đa thức 0)

Mệnh đề $\frac{A}{B} = \frac{A + M}{B + M}$ sai. Ví dụ: $\frac{2}{3} \neq \frac{3}{4} = \frac{2 + 1}{3 + 1}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2. Phân thức $\frac{x^{2} - 7x + 12}{x^{2} - 6x + 9}$ (với $x \neq 3$ ) bằng với phân thức nào sau đây?

A. $\frac{x - 4}{x + 3}$

B. $\frac{x + 4}{x + 3}$

C. $\frac{x - 4}{x - 3}$

D. $\frac{x + 4}{x - 3}$

Hiển thị đáp án

$\frac{x^{2} - 7x + 12}{x^{2} - 6x + 9} = \frac{x^{2} - 4x - 3x + 12}{{(x - 3)}^{2}}$ $= \frac{x (x - 4) - 3 (x - 4)}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{(x - 4) (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{x - 4}{x - 3}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3. Phân thức nào sau đây không bằng với phân thức $\frac{2 - 3 x}{2 + 3 x}$

A. $- \frac{3 x - 2}{2 + 3 x}$

B. $\frac{9 x^{2} + 12 x + 4}{4 - 9 x^{2}}$

C. $\frac{4 - 9 x^{2}}{{(2 + 3 x)}^{2}}$

D. $\frac{4 - 6 x}{4 + 6 x}$

Hiển thị đáp án

A. $- \frac{3x - 2}{2 + 3x} = \frac{- (3x - 2)}{2 + 3x}$ $= \frac{- 3x + 2}{2 + 3x} = \frac{2 - 3x}{2 + 3x}$

B. $\frac{9 x^{2} + 12 x + 4}{4 - 9 x^{2}} = \frac{{(3x + 2)}^{2}}{(2 - 3x) (2 + 3x)}$ $= \frac{{(3x + 2)}^{2} : (2 + 3x)}{(2 - 3x) (2 + 3x) : (2 + 3x)}$ $= \frac{2 + 3x}{2 - 3x} \neq \frac{2 - 3x}{2 + 3x}$

C. $\frac{4 - {9x}^{2}}{{(2 + 3x)}^{2}} = \frac{(2 - 3x) (2 + 3x)}{{(2 + 3x)}^{2}}$ $= \frac{(2 - 3x) (2 + 3x) : (2 + 3x)}{{(2 + 3x)}^{2} : (2 + 3x)} = \frac{2 - 3x}{2 + 3x}$

D. $\frac{4 - 6x}{4 + 6x} = \frac{2 (2 - 3x)}{2 (2 + 3x)}$ $= \frac{2 (2 - 3x) :2}{2 (2 + 3x) :2} = \frac{2 - 3x}{2 + 3x}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4. Mẫu thức chung của các phân thức $\frac{5}{2 (x - 3)}, \frac{7}{{(x - 3)}^{3}}$ là?

A. (x - 3)³

B. x - 3

C. 2(x - 3)⁴

D. 2(x - 3)³

Hiển thị đáp án

Mẫu thức của hai phân thức $\frac{5}{2 (x - 3)}, \frac{7}{{(x - 3)}^{3}}$ là 2(x – 3) và (x – 3)³ nên mẫu thức chung có phần hệ số là 2, phần biến số là (x - 3)³

$\Rightarrow$ Mẫu thức chung là 2(x - 3)³

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5. Quy đồng mẫu thức các phân thức $\frac{1}{x}, \frac{2}{y}, \frac{3}{z}$ ta được:

A. $\frac{1}{x} = \frac{yz}{xyz}, \frac{2}{y} = \frac{2xz}{xyz}, \frac{3}{z} = \frac{3xy}{xyz}$

B. $\frac{1}{x} = \frac{yz}{xyz}, \frac{2}{y} = \frac{2xz}{xyz}, \frac{3}{z} = \frac{3y}{xyz}$

C. $\frac{1}{x} = \frac{yz}{xyz}, \frac{2}{y} = \frac{2z}{xyz}, \frac{3}{z} = \frac{3xy}{xyz}$

D. $\frac{1}{x} = \frac{yz}{xyz}, \frac{2}{y} = \frac{2xz}{xyz}, \frac{3}{z} = \frac{3}{xyz}$

Hiển thị đáp án

Mẫu chung của các phân thức là xyz

Nhân tử phụ của $\frac{1}{x}$ là $yz \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{yz}{xyz}$

Nhân tử phụ của $\frac{2}{y}$ là $xz \Rightarrow \frac{2}{y} = \frac{2xz}{xyz}$

Nhân tử phụ của $\frac{3}{z}$ là $xy \Rightarrow \frac{3}{z} = \frac{3xy}{xyz}$
Vậy quy đồng mẫu số các phân thức $\frac{1}{x}, \frac{2}{y}, \frac{3}{z}$ ta được $\frac{1}{x} = \frac{yz}{xyz},$ $\frac{2}{y} = \frac{2xz}{xyz},$ $\frac{3}{z} = \frac{3xy}{xyz}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 6. Cho $A= \frac{x^{2} + x - 6}{{2x}^{2} + 6x}$ . Khi đó:
A. $A= \frac{x - 2}{2}$

B. $A= \frac{x - 2}{2x + 6}$

C. $A= \frac{x - 2}{x + 3}$

D. $A= \frac{x - 2}{2x}$

Hiển thị đáp án

$A= \frac{x^{2} + x - 6}{{2x}^{2} + 6x} = \frac{x^{2} + 3x - 2x - 6}{2 (x^{2} + 3x)}$ $= \frac{x (x + 3) - 2 (x + 3)}{2x (x + 3)}$ $= \frac{(x - 2) (x + 3)}{2x (x + 3)} = \frac{x - 2}{2x}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7. Rút gọn phân thức $\frac{{(a + b)}^{2} - c^{2}}{a + b + c}$ ta được phân thức có tử là:

A. a + b + c

B. a – b – c

C. a – b + c

D. a + b – c

Hiển thị đáp án

$\frac{{(a + b)}^{2} - c^{2}}{a + b + c} = \frac{[(a + b) - c][(a + b) + c]}{a + b + c}$ $= \frac{(a + b - c) (a + b + c)}{a + b + c} = \frac{a + b - c}{1}$

Vậy khi rút gọn phân thức $\frac{{(a + b)}^{2} - c^{2}}{a + b + c}$ ta được phân thức có tử là: a + b – c

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8. Mẫu thức của phân thức $\frac{x^{2} - xy - x + y}{x^{2} + xy - x - y}$ sau khi thu gọn có thể là:

A. x – y

B. $\frac{x - y}{x + y}$

C. x + y

D. (x – 1)(x + y)

Hiển thị đáp án

$\frac{x^{2} - xy - x + y}{x^{2} + xy - x - y} = \frac{x (x - y) - (x - y)}{x (x + y) - (x + y)}$ $= \frac{(x - 1) (x - y)}{(x - 1) (x + y)} = \frac{x - y}{x + y}$

Vậy mẫu thức của phân thức $\frac{x^{2} - xy - x + y}{x^{2} + xy - x - y}$ sau khi thu gọn là x + y

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9. Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức $\frac{1}{2 - x}, \frac{2x + 1}{{(x - 2)}^{2}}, \frac{{3x}^{2} - 1}{x^{2} + 4x + 4}$

A. $(x - 2) {(x + 2)}^{2}$

B. $(2 - x) {(x - 2)}^{2} {(x + 2)}^{2}$

C. ${(x - 2)}^{2} {(x + 2)}^{2}$

D. ${(x - 2)}^{2}$

Hiển thị đáp án

Ta có các phân thức $\frac{1}{2 - x}, \frac{2x + 1}{{(x - 2)}^{2}}, \frac{{3x}^{2} - 1}{x^{2} + 4x + 4}$ có mẫu thức lần lượt là: $2 - x, {(x - 2)}^{2}$ và $x^{2} + 4 x + 4 = {(x + 2)}^{2}$ nên mẫu thức chung là ${(x - 2)}^{2} {(x + 2)}^{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 10. Quy đồng mẫu thức các phân thức $\frac{1}{x^{3} + 1}, \frac{2}{3x + 3}, \frac{x}{{2x}^{2} - 2x + 2}$ ta được các phân thức lần lượt là:

A. $\frac{1}{x^{3} + 1}; \frac{x^{2} - x + 1}{3 (x^{3} + 1)}; \frac{x^{2} + x}{2 (x^{3} + 1)}$

B. $\frac{1}{6 (x^{3} + 1)}; \frac{x^{2} - x + 1}{3 (x^{3} + 1)}; \frac{{3x}^{2} + 3x}{6 (x^{3} + 1)}$

C. $\frac{6}{6 (x^{3} + 1)}; \frac{{4x}^{2} - 4x + 4}{6 (x^{3} + 1)}; \frac{{3x}^{2} + 3x}{6 (x^{3} + 1)}$

D. $\frac{{3x}^{2} + 3x}{6 (x^{3} + 1)}; \frac{{4x}^{2} - 4x + 4}{6 (x^{3} + 1)}; \frac{6}{6 (x^{3} + 1)}$

Hiển thị đáp án

Ta có: $x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1);$ $3 x + 3 = 3 (x + 1);$ $2 x^{2} - 2 x + 2 = 2 (x^{2} - x + 1)$ và BCNN(2;3) = 6 nên mẫu thức chung của các phân thức $\frac{1}{x^{3} + 1}, \frac{2}{3x + 3}, \frac{x}{{2x}^{2} - 2x + 2}$ là $6 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 6 (x^{3} + 1)$

Nhân tử phụ của $\frac{1}{x^{3} + 1}$ là 6. $\Rightarrow \frac{1}{x^{3} + 1} = \frac{6}{6 (x^{3} + 1)}$

Nhân tử phụ của $\frac{2}{3x + 3}$ là $2 (x^{2} - x + 1) .$ $\Rightarrow \frac{2}{3x + 3} = \frac{2.2 (x^{2} - x + 1)}{3 (x + 1) 2 (x^{2} - x + 1)}$ $= \frac{{4x}^{2} - 4x + 4}{6 (x^{3} + 1)}$

Nhân tử phụ của $\frac{x}{{2x}^{2} - 2x + 2}$ là 3(x + 1).

$\Rightarrow \frac{x}{{2x}^{2} - 2x + 2}$ $= \frac{x.3 (x + 1)}{2 (x^{2} - x + 1) 3 (x + 1)} = \frac{{3x}^{2} + 3x}{6 (x^{3} + 1)}$

Đáp án cần chọn là: C

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. Cho phân thức $P = \frac{x^{3} - 9 x}{{(x + 3)}^{2}} .$

a) Với $x \neq 3$ thì phân thức P có nghĩa.

b) $P = \frac{x (x - 3)}{x + 3}$ .

c) Với x = -2 thì P = 1.

d) Có một giá trị của x để P = -3.

Hiển thị đáp án

a) Đúng.

P xác định khi (x + 3)² $\neq$ 0 hay x + 3 $\neq$ 0 suy ra x $\neq$ -3. Vậy x $\neq$ -3 thì phân thức P có nghĩa.

b) Đúng.

Ta có: $P = \frac{x^{3} - 9 x}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{x (x^{2} - 9)}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{x (x - 3) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{x (x - 3)}{x + 3}$ . Vậy $P = \frac{x (x - 3)}{x + 3} .$

c) Sai.

Với x = -2 (thỏa mãn) ta có: $P = \frac{(- 2) (- 2 - 3)}{(- 2) + 3} = \frac{10}{1} = 10 .$ Vậy với x = -2 thì P = 10.

d) Sai.

Với P = -3 ta có: $\frac{x (x - 3)}{x + 3} = - 3$

x(x - 3) = (-3)(x + 3)

x² - 3x = -3x - 9

x² = -9 (vô lí).

Vậy không có giá trị nào của x để P = -3.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Tính giá trị của phân thức $\frac{{(x - a)}^{2} - x^{2}}{- a^{2} + 2 a x} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án: -1

Ta có: $\frac{{(x - a)}^{2} - x^{2}}{- a^{2} + 2 a x} = \frac{x^{2} - 2 a x + a^{2} - x^{2}}{- a^{2} + 2 a x} = \frac{a^{2} - 2 a x}{- (a^{2} - 2 a x)} = - 1 .$

Vậy giá trị của phân thức $\frac{{(x - a)}^{2} - x^{2}}{- a^{2} + 2 a x}$ bằng -1.

Câu 2. Tìm giá trị của a sao cho hai phân thức $\frac{- a x^{2} - a x}{x^{2} - 1}$ và $\frac{- 5 x}{x - 1}$ bằng nhau.

Hiển thị đáp án

Đáp án: 5

Ta có: $\frac{- a x^{2} - a x}{x^{2} - 1} = \frac{- a x (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{- a x}{x - 1} .$

Do đó, để hai phân thức $\frac{- a x^{2} - a x}{x^{2} - 1}$ và $\frac{- 5 x}{x - 1}$ bằng nhau thì $\frac{- a x}{x - 1} = \frac{- 5 x}{x - 1}$ , suy ra a = 5.

Vậy a = 5 thì hai phân thức $\frac{- a x^{2} - a x}{x^{2} - 1}$ và $\frac{- 5 x}{x - 1}$ bằng nhau.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Lý thuyết Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Lý thuyết Bài 25: Phương trình bậc nhất một ẩn

Lý thuyết Bài 26: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Lý thuyết Bài 27: Khái niệm hàm số và đồ thị của hàm số

Xem thêm tài liệu Toán lớp 8:

Giải Toán 8 Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Giải SBT Toán 8 Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Giáo án Tính chất cơ bản của phân thức đại số lớp 8

Giáo án điện tử Tính chất cơ bản của phân thức đại số lớp 8

1 3,464 06/08/2026

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3