Lý thuyết Tổng và hiệu hai lập phương Toán lớp 8( Kết nối tri thức)

Với lý thuyết Toán lớp 8 Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 8.

1 2,724 06/08/2026

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 8 Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương - Kết nối tri thức

Bài giảng Toán 8 Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Tổng và hiệu hai lập phương

+ Tổng hai lập phương

$A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$

Ví dụ: $x^{3} + 8 = x^{3} + 2^{3} = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

+ Hiệu hai lập phương

$A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$

Ví dụ: $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$

B. Bài tập Tổng và hiệu hai lập phương

Bài 1. Thay ? bằng biểu thức thích hợp.

a) 27x³ + 343 = (3x + 7)(9x² – ? + 49);

b) 729 – 8x³ = (? + 18x + 4x²)(? – 2x).

Hướng dẫn giải

a) 27x³ + 343 = (3x + 7)(9x² – 21x + 49);

b) 729 – 8x³ = (81 + 18x + 4x²)(9 – 2x).

Bài 2. Rút gọn biểu thức sau:

(2x – 5)(4x² + 10x + 25) + (2x + 5)(4x² – 10x + 25).

Hướng dẫn giải

(2x – 5)(4x² + 10x + 25) + (2x + 5)(4x² – 10x + 25)

= 8x³ – 125 + 8x³ + 125

= 16x³.

Bài 3. Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hay hiệu hai lập phương:

a) (2x + 3y)(4x² – 6xy + 9y²);

b) (5 – x)(25 + 5x + x²).

Hướng dẫn giải

a) (2x + 3y)(4x² – 6xy + 9y²)

= (2x)³ + (3y)³

= 8x³ + 27y³;

b) (5 – x)(25 + 5x + x²)

= 5³ – x³.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương

Câu 1. Chọn câu sai?

A. $A^{3} {+ B}^{3} {= (A + B)(A}^{2} - {AB + B}^{2})$

B. $A^{3} - B^{3} = (A - {B)(A}^{2} {+ AB + B}^{2})$

C. ${(A + B)}^{3} = {(B + A)}^{3}$

D. ${(A - B)}^{3} = {(B - A)}^{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Hằng đẳng thức tổng hai lập phương: $A^{3} {+ B}^{3} =$ $(A + B)(A^{2} - {AB + B}^{2})$ nên A đúng;

Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: $A^{3} - B^{3} =$ ${(A − B)(A}^{2} + AB + B^{2})$ nên B đúng;

$A + B = B + A \Rightarrow {(A + B)}^{3} {= (B + A)}^{3}$ nên C đúng;

$A - B \neq B - A \Rightarrow {(A - B)}^{3} \neq {(B - A)}^{3}$ nên D sai.

Câu 2. Viết biểu thức $(x - 3 y) (x^{2} + 3 x y + 9 y^{2})$ dưới dạng hiệu hai lập phương

A. $x^{3} + {(3 y)}^{3}$

B. $x^{3} + {(9y)}^{3}$

C. $x^{3} - {(3 y)}^{3}$

D. $x^{3} - {(9y)}^{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$(x - 3 y) (x^{2} + 3 x y + 9 y^{2})$

$= (x - 3 y) [x^{2} + x . 3 y + {(3 y)}^{2}]$

$= x^{3} - {(3 y)}^{3}$

Câu 3. Điền vào chỗ trống $x^{3} + 512 = (x + 8) (x^{2} - ..... + 64)$

A. – 8x

B. 8x

C. – 16x

D. 16x

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $x^{3} + 512 = (x + 8) (x^{2} - 8 x + 64)$

Vậy ta điền 8x.

Câu 4. Rút gọn biểu thức ${A = x}^{3} + 12 - (x + 2) (x^{2} - 2x + 4)$ ta được giá trị của A là

A. một số nguyên tố.

B. một số chính phương.

C. một số chia hết cho 3.

D. một số chia hết cho 5.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có:

${A = x}^{3} + 12 - (x + 2) (x^{2} - 2x + 4)$

$= x^{3} + 12 - (x^{3} + 8)$

$= x^{3} + 12 - x^{3} - 8$

= 4

$A = 4 ⋮ 2$ nên A không phải số nguyên tố.

A = 4 không chia hết cho 3.

A = 4 không chia hết cho 5.

A = 4 = 2² nên A là một số chính phương.

Câu 5. Giá trị của biểu thức $125 + (x - 5) (x^{3} + 5 x + 25)$ với x = − 5 là

A. 125.

B. −125.

C. 250.

D. −250.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

$125 + (x - 5) (x^{3} + 5 x + 25)$

$= 125 + x^{3} - 125$

$= x^{3}$

Thay x = − 5 vào biểu thức, ta có: ${(- 5)}^{3} = - 125$

Câu 6. Viết biểu thức $8 + {(4 x - 3)}^{3}$ dưới dạng tích

A. $(4 x - 1) (16 x^{2} - 16 x + 1)$

B. $(4 x - 1) (16 x^{2} - 32 x + 1)$

C. $(4 x - 1) (16 x^{2} + 32 x + 19)$

D. $(4 x - 1) (16 x^{2} - 32 x + 19)$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

$8 + {(4 x - 3)}^{3} = 2^{3} + {(4 x - 3)}^{3}$

$= (2 + 4 x - 3) [2^{2} - 2 . (4 x - 3) + {(4 x - 3)}^{2}]$

$= (4 x - 1) (4 - 8 x + 6 + 16 x^{2} - 24 x + 9)$

$= (4 x - 1) (16 x^{2} - 32 x + 19)$

Câu 7. Thực hiện phép tính ${(x + y)}^{3} - {(x - 2 y)}^{3}$

A. $9 x^{2} y - 9 {xy}^{2} + 9 y^{3}$

B. $9 x^{2} y - 9 xy + 9 y^{3}$

C. $9 x^{2} y - 9 {xy}^{2} + 9 y$

D. $9 xy - 9 {xy}^{2} + 9 y^{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

${(x + y)}^{3} - {(x - 2 y)}^{3}$

$= (x + y - x + 2 y) [{(x + y)}^{2} + (x + y) (x - 2 y) + {(x - 2 y)}^{2}]$

$= 3 y (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x^{2} + x y - 2 x y - 2 y^{2} + x^{2} - 4 x y + 4 y^{2})$

$= 3 y (3 x^{2} - 3 x y + 3 y^{2})$

$= 9 x^{2} y - 9 x y^{2} + 9 y^{3}$

Câu 8. Tìm x biết $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) - x (x^{2} - 3) = 21$

A. x = 2

B. x = – 2

C. x = – 4

D. x = 4

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) - x (x^{2} - 3) = 21$

$x^{3} + 27 - x^{3} + 3 x = 21$

$3 x + 27 = 21$

$3 x = 21 - 27$

$3 x = - 6$

$x = - 2$

Câu 9. Viết biểu thức $a^{6} - b^{6}$ dưới dạng tích

A. $(a^{2} {+ b}^{2}) (a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4})$

B. $(a - b) (a + b) (a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4})$

C. $(a - b) (a + b) (a^{2} + a b + b^{2})$

D. $(a - b) (a + b) (a^{4} {+ a}^{2} b^{2} + b^{4})$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

$a^{6} - b^{6} = (a^{2} - b^{2}) (a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4})$

$= (a - b) (a + b) (a^{4} {+ a}^{2} b^{2} + b^{4})$

Câu 10. Cho x + y = 1. Giá trị biểu thức $A = x^{3} + 3 x y + y^{3}$ là

A. – 1

B. 0

C. 1

D. 3xy

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$A = x^{3} + 3 x y + y^{3}$

$= x^{3} + y^{3} + 3 x y$

$= (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + 3 x y$

$= (x + y) (x^{2} + 2 x y + y^{2} - 3 x y) + 3 x y$

$= (x + y) [{(x + y)}^{2} - 3 xy] + 3 xy$

Thay x + y = 1 vào biểu thức A ta được:

$A = (x + y) [{(x + y)}^{2} - 3 xy] + 3 xy$

$= 1. (1^{2} - 3 x y) + 3 x y$

$= 1 - 3 x y + 3 x y$

= 1

Câu 11. Cho $A = 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + 7^{3} + 9^{3} + 11^{3}$ . Khi đó

A. A chia hết cho 12 và 5.

B. A không chia hết cho cả 12 và 5.

C. A chia hết cho 12 nhưng không chia hết cho 5.

D. A chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 12.

Hiển thị đáp án

Đáp án cần chọn là: C

$A = 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + 7^{3} + 9^{3} + 11^{3}$

$= (1^{3} + 11^{3}) + (3^{3} + 9^{3}) + (5^{3} + 7^{3})$

$= (1 + 11) (1^{2} - 11 + 11^{2}) + (3 + 9) (3^{2} - 3.9 + 9^{2})$ $+ (5 + 7) (5^{2} - 5.7 + 7^{2})$

$= 12 (1^{2} - 11 + 11^{2}) + 12 (3^{2} - 3.9 + 9^{2}) + 12 (5^{2} - 5.7 + 7^{2})$

Vì mỗi số hạng trong tổng đều chia hết cho 12 nên $A ⋮ 12$

$A = 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + 7^{3} + 9^{3} + 11^{3}$

$= (1^{3} + 9^{3}) + (3^{3} + 7^{3}) + 5^{3} + 11^{3}$

$= (1 + 9) (1^{2} - 9 + 9^{2}) + (3 + 7) (3^{2} - 3.7 + 7^{2}) + 5^{3} + 11^{3}$

$= 10 (1^{2} - 9 + 9^{2}) + 10 (3^{2} - 3.7 + 7^{2}) + 5^{3} + 11^{3}$

Ta có: $10 (1^{2} - 9 + 9^{2}) ⋮ 5; 10 (3^{2} - 3.7 + 7^{2}) ⋮ 5; 5^{3} ⋮ 5$

Mà 11³ không chia hết cho 5 nên A không chia hết cho 5.

Câu 12. Rút gọn biểu thức ${(x - y)}^{3} + (x - y) (x^{2} + xy + y^{2})$ $+ 3 (x^{2} y - {xy}^{2})$ ta được

A. $x^{3} - y^{3}$

B. $x^{3} + y^{3}$

C. $2 x^{3} - 2 y^{3}$

D. $2 x^{3} + 2 y^{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có

${(x - y)}^{3} + (x - y) (x^{2} + xy + y^{2}) + 3 (x^{2} y - {xy}^{2})$

$= x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + x^{3} - y^{3} + 3 x^{2} y - 3 x y^{2}$

$= 2 x^{3} - 2 y^{3}$

Câu 13. Cho a, b, m và n thỏa mãn các đẳng thức: a + b = m và a – b = n. Giá trị của biểu thức $A = a^{3} + b^{3}$ theo m và n là

A. $A = \frac{m^{3}}{4}$

B. $A = \frac{1}{4} {m(5n}^{2} {+ m}^{2})$

C. $A = \frac{1}{4} {m(3n}^{2} {+ m}^{2})$

D. $A = \frac{1}{4} {m(3n}^{2} - m^{2})$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\{\begin{matrix} a + b = m \\ a - b = n \end{matrix}$ suy ra $\{\begin{matrix} a = \frac{m + n}{2} \\ b = \frac{m - n}{2} \end{matrix}$

$\Rightarrow a b = \frac{(m + n) (m - n)}{2.2} = \frac{m^{2} - n^{2}}{4}$

Biến đổi biểu thức A, ta được:

$A = a^{3} + b^{3}$

$= (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

$= (a + b) [(a^{2} - ab + b^{2}) + ab]$

$= (a + b) [{(a - b)}^{2} + ab]$

Thay a + b = m; a – b = n; $a b = \frac{m^{2} - n^{2}}{4}$ vào A ta có:

$A = m (n^{2} + \frac{m^{2} - n^{2}}{4})$

$= m \cdot \frac{{4n}^{2} + m^{2} - n^{2}}{4}$

$= \frac{1}{4} m ({3n}^{2} {+m}^{2})$

Câu 14. Cho x, y, a và b thỏa mãn các đẳng thức: x – y = a – b (1) và $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2} (2)$ . Biểu thức $x^{3} - y^{3} = ?$

A. $(a - b) (a^{2} + b^{2})$

B. $a^{3} - b^{3}$

C. ${(a - b)}^{3}$

D. ${(a - b)}^{2} (a^{2} {+b}^{2})$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Từ x - y = a - b

Suy ra (x - y)² = (a - b)²

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Mà $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ suy ra -2xy = -2ab nên xy = ab.

Mặt khác:

$\{\begin{matrix} x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + xy + y^{2}) \\ a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) \end{matrix}$

Vì $x - y = a - b; x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ và xy = ab nên $x^{3} - y^{3} = a^{3} - b^{3}$

Câu 15. Với mọi a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 thì giá trị của biểu thức $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$ là:

A. 0.

B. 1.

C. −3abc.

D. $a^{3} + b^{3} + c^{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có ${(a + b)}^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$ . Suy ra $a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b)$ .

Khi đó:

$a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$

$= {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b) + c^{3} - 3 a b c$

$= {(a + b)}^{3} + c^{3} - 3 a b (a + b + c)$

$= (a + b + c) [{(a + b)}^{2} - (a + b) c + c^{3}] - 3 ab (a + b + c)$

$= (a + b + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c - b c + c^{2} - 3 a b)$

$= (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - a c - b c)$

Vì $a + b + c = 0$ nên $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = 0$

Như vậy, với a + b + c = 0, ta có: $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ .

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. Cho biểu thức $P = 8 x^{3} - (2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) + 2$

a) Thu gọn biểu thức P ta được $P = 3 x + 4.$

b) Giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của x

c) Nếu $B = x^{2} - 2 x + 1$ thì $B + P > 0$ với mọi giá trị của x

d) Có hai giá trị của x để $P = 0.$

Hiển thị đáp án

a) Sai.

$P = 8 x^{3} - (2 x + 1) [{(2 x)}^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}] + 2$

$P = 8 x^{3} - [{(2 x)}^{3} + 1] + 2$

$P = 8 x^{3} - 8 x^{3} - 1 + 2$

$P = 1$

b) Đúng.

Vì $P = 1$ nên giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của biến x

c) Đúng.

Vì $B = {(x - 1)}^{2}$ nên $B + P = {(x + 1)}^{2} + 1 > 0$ với mọi giá trị của biến x

d) Sai.

Vì $P = 1 > 0$ nên không có giá trị nào của x để $P = 0.$

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Điền vào “…” để được đáp án đúng:

${(\frac{1}{3} x - 1)}^{3} + {(2 - \frac{1}{3} x)}^{3} = ... [{(\frac{1}{3} x - 1)}^{2} - (\frac{1}{3} x - 1) (2 - \frac{1}{3} x) + {(2 - \frac{1}{3} x)}^{2}]$

Hiển thị đáp án

Đáp án: 1

${(\frac{1}{3} x - 1)}^{3} + {(2 - \frac{1}{3} x)}^{3}$

$= (\frac{1}{3} x - 1 + 2 - \frac{1}{3} x) [{(\frac{1}{3} x - 1)}^{2} - (\frac{1}{3} x - 1) (2 - \frac{1}{3} x) + {(2 - \frac{1}{3} x)}^{2}]$

$= 1 \cdot [{(\frac{1}{3} x - 1)}^{2} - (\frac{1}{3} x - 1) (2 - \frac{1}{3} x) + {(2 - \frac{1}{3} x)}^{2}]$

Vậy giá trị cần điền là 1.

Câu 2. Với giá trị nào của x thì $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) - x (x + 5) (x - 5) = 39 ?$

Hiển thị đáp án

Đáp án: - 1

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) - x (x + 5) (x - 5) = 39$

$x^{3} + 4^{3} - x (x^{2} - 5^{2}) = 39$

$x^{3} + 64 - x^{3} + 25 x = 39$

$25 x = - 25$

x = -1

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử

Lý thuyết Bài 10: Tứ giác

Lý thuyết Bài 11: Hình thang cân

Lý thuyết Bài 12: Hình bình hành

Lý thuyết Bài 13: Hình chữ nhật

Xem thêm tài liệu Toán lớp 8:

Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8

Giải Toán 8 Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương

Giải SBT Toán 8 Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương

Giáo án Tổng và hiệu hai lập phương lớp 8

Giáo án điện tử Tổng và hiệu hai lập phương lớp 8

1 2,724 06/08/2026

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3