Lý thuyết Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu Toán lớp 8 (Kết nối tri thức)

Với lý thuyết Toán lớp 8 Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 8.

1 2,232 06/08/2026

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 8 Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu - Kết nối tri thức

Bài giảng Toán 8 Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

Lập phương của một tổng:

${(A + B)}^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$

Ví dụ: ${(x + 3)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} .3 + 3 x {.3}^{2} + 3^{3} = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Lập phương của một hiệu:

${(A - B)}^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$

Ví dụ: ${(x - 3)}^{3} = x^{3} - 3 x^{2} .3 + 3 x {.3}^{2} - 3^{3} = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$

B. Bài tập Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

Bài 1. Tính nhanh giá trị biểu thức:

a) 125 + 75x + 15x² + x³ tại x = 5;

b) x³ – 9x² + 27x – 27 tại x = 7.

Hướng dẫn giải

a) 125 + 75x + 15x² + x³ = (5 + x)³

Thay x = 5, ta được (5 + 5)³ = 10³ = 1000.

b) x³ – 9x² + 27x – 27 = (x – 3)³

Thay x = 7, ta được (7 – 3)³ = 4³ = 64.

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x – y)³ + (x + y)³;

b) (3x + 4)³ + (3x – 4)³.

Hướng dẫn giải

a) (x – y)³ + (x + y)³

= x³ – 3x²y + 3xy² – y³ + x³ + 3x²y + 3xy² + y³

= 2x³ + 6xy²;

b) (3x + 4)³ + (3x – 4)³

= 27x³ + 108x² + 144x + 64 + 27x³ – 108x² + 144x – 64

= 54x³ + 288x.

Bài 3. Khai triển:

a) (x + y²)³;

b)( ${(x - \frac{1}{2} y))}^{3} .$

Hướng dẫn giải

a) (x + y²)³ = x³ + 3x²y² + 3xy⁴ + y⁶;

b) Lý thuyết Toán 8 Kết nối tri thức Lý thuyết Toán 8 Kết nối tri thức Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

Bài 4. Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu.

a) 125 + 150x + 60x² + 8x³;

b) 64x³ – 48x² + 12x – 1.

Hướng dẫn giải

a) 125 + 150x + 60x² + 8x³ = 5³ + 3.2x.5² + 3.(2x)².5 + (2x)³ = (5 + 2x)³

b) 64x³ – 48x² + 12x – 1 = (4x)³ – 3.(4x)².1 + 3.4x.(–1)² – (1)³ = (4x – 1)³.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

Câu 1. Chọn câu đúng?

A. ${(A + B)}^{3} {= A}^{3} {+ 3A}^{2} {B + 3AB}^{2} {+ B}^{3}$

B. ${(A - B)}^{3} {=A}^{3} - {3A}^{2} B - {3AB}^{2} - B^{3}$

C. ${(A + B)}^{3} {= A}^{3} {+ B}^{3}$

D. ${(A - B)}^{3} {= A}^{3} - B^{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

${(A + B)}^{3} {= A}^{3} {+ 3A}^{2} {B + 3AB}^{2} {+ B}^{3}$

Câu 2. Viết biểu thức $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ dưới dạng lập phương của một tổng

A. ${(x + 1)}^{3}$

B. ${(x + 3)}^{3}$

C. ${(x - 1)}^{3}$

D. ${(x - 3)}^{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

$x^{3} {+ 3x}^{2} + 3 x + 1 = {(x + 1)}^{3}$

Câu 3. Khai triển hằng đẳng thức ${(x - 2)}^{3}$ ta được

A. $x^{3} - {6x}^{2} + 12x - 8$

B. $x^{3} {+ 6x}^{2} + 12x + 8$

C. $x^{3} - {6x}^{2} - 12x - 8$

D. $x^{3} {+ 6x}^{2} - 12x + 8$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

${(x - 2)}^{3} {= x}^{3} - {3.x}^{2} {.2 + 3.x.2}^{2} - 2^{3} {= x}^{3} - {6x}^{2} + 12x - 8$

Câu 4. Cho $A + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x + 1 = {(B + 1)}^{3}$ . Khi đó

A. $A = - \frac{x^{3}}{8}; B = \frac{x}{2}$

B. $A = - \frac{x^{3}}{8}; B = - \frac{x}{2}$

C. $A = - \frac{x^{3}}{8}; B = - \frac{x}{8}$

D. $A = \frac{x^{3}}{8}; B = \frac{x}{8}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có (B + 1)³ = B³ + 3B² + 3B + 1.

Mà $A + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x + 1 = {(B + 1)}^{3}$ nên $A+ \frac{3}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x + 1 =$ B³ + 3B² + 3B + 1.

Khi đó:

• $- \frac{3}{2} x = 3 B,$ suy ra $B = - \frac{1}{2} x .$

• $\frac{3}{4} x^{2} = 3 B^{2},$ suy ra $B^{2} = \frac{1}{4} x^{2} .$ Do đó $B = \frac{1}{2} x$ hoặc $B = - \frac{1}{2} x .$

Từ hai điều kiện trên ta thu được $B = - \frac{1}{2} x .$

Ta lại có $A = B^{3} = {(- \frac{1}{2} x)}^{3} = - \frac{1}{8} x^{3}$

Vậy $A = - \frac{1}{8} x^{3}$ và $B = - \frac{1}{2} x .$

Câu 5. Viết biểu thức ${8 − 36x + 54x}^{2} - 27 x^{3}$ dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu ta được

A. ${(3 x + 2)}^{3}$

B. ${(2 - 3 x)}^{3}$

C. ${(8 - 27 x)}^{3}$

D. ${(3 x - 2)}^{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

${8 − 36x + 54x}^{2} - 27 x^{3} = 2^{3} - 3 {.2}^{2} . (3x) + 3 .2. {(3x)}^{2} - {(3x)}^{3}$

$= {(2 - 3 x)}^{3}$

Câu 6. Kết quả phép nhân: $(x^{2} - 2 x + 1) (x - 1) =$

A. $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

B. $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1$ ;

C. $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ ;

D. $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $(x^{2} - 2 x + 1) (x - 1) = {(x - 1)}^{2} (x - 1)$

$= {(x - 1)}^{3} = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 .$

Câu 7. Cho biểu thức

$H= (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) - {(2 x + 1)}^{3}$ $+ 7 {(x - 1)}^{3} - 3 x (- 1 1x + 5)$ . Khi đó

A. H là một số chia hết cho 12.

B. H là một số nguyên tố.

C. H là một số lẻ.

D. H là một số chính phương.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

$H = (x+ 5) (x^{2} - 5 x + 25) - {(2x + 1)}^{3} + 7 {(x - 1)}^{3}$ $- 3 x (- 11 x + 5)$

${= x}^{3} - 5 x^{2} + 25 x+ 5 x^{2} - 25 x+ 125$ $- (8 x^{3} + 12 x^{2} + 6x + 1)$ $+7 (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) + {33x}^{2} - 1 5x$

${= x}^{3} + 125 - 8 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x - 1 + 7 x^{3} - 21 x^{2}$ $+ 2 1x - 7 + 3 {3x}^{2} - 1 5x$

$= (x^{3} - 8 x^{3} + 7 x^{3}) + (- 12 x^{2} - 21 x^{2} + 33 x^{2})$ $+ (- 6 x + 21 x - 15 x) + (125 - 1 - 7)$

= 117

Vậy H là một số lẻ, không chia hết cho 12, không phải số nguyên tố, không phải số chính phương.

Câu 8. Tính giá trị của biểu thức $M = {(x + 2 y)}^{3} - 6 {(x + 2 y)}^{2}$ $+ 12 (x + 2 y) - 8$ tại x = 20, y = 1

A. 4000

B. 6000

C. 8000

D. 2000

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

$M= {(x + 2 y)}^{3} - 6 {(x + 2 y)}^{2} + 12 (x + 2 y) - 8$

$= {(x + 2 y)}^{3} - 3 . {(x + 2 y)}^{2} . 2 + 3 . (x + 2 y) . 2^{2} - 2^{3}$

$= {(x + 2 y - 2)}^{3}$

Thay x = 20, y = 1 vào biểu thức M ta có $M = {(20 + 2.1 - 2)}^{3} = 20^{3} = 8000$

Câu 9. Cho hai biểu thức

$P = {(4 x + 1)}^{3} - (4 x + 3) (16 x^{2} + 3);$

$Q = {(x - 2)}^{3} - x (x + 1) (x - 1) + 6 x (x - 3) + 5 x .$

Tìm mối quan hệ giữa hai biểu thức P, Q?

A. P = – Q

B. P = 2Q

C. P = Q

D. $P = \frac{1}{2} Q$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

$P = {(4 x + 1)}^{3} - (4 x + 3) (16 x^{2} + 3)$

$= {(4 x)}^{3} + 3. {(4 x)}^{2} .1 + 3.4 x {.1}^{2} + 1^{3} - (64 x^{3} + 12 x + 48 x^{2} + 9)$

$= 64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x + 1 - 64 x^{3} - 12 x - 48 x^{2} - 9$

= – 8

$Q = {(x - 2)}^{3} - x (x + 1) (x - 1) + 6 x (x - 3) + 5 x$

$= x^{3} - 3. x^{2} .2 + 3 x {.2}^{2} - 2^{3} - x (x^{2} - 1) + 6 x^{2} - 18 x + 5 x$

$= x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 - x^{3} + x + 6 x^{2} - 18 x + 5 x$

= - 8

$\Rightarrow$ P = Q

Câu 10. Rút gọn biểu thức

$P = 8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3} + 12 x^{2} - 12 x y + 3 y^{2} + 6 x - 3 y + 11$ ta được

A. $P = {(2x - y - 1)}^{3} + 10$

B. $P = {(2 x + y - 1)}^{3} + 10$

C. $P = {(2 x - y + 1)}^{3} + 10$

D. $P = {(2 x - y - 1)}^{3} - 10$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

$P = 8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3} + 12 x^{2} - 12 x y + 3 y^{2} + 6 x - 3 y + 11$

$= (8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}) + (12 x^{2} - 12 x y + 3 y^{2})$ $+ (6 x - 3 y) + 11$

$= {(2 x - y)}^{3} + 3 {(2 x - y)}^{2} + 3 (2 x - y) + 1 + 10$

$= {(2 x - y + 1)}^{3} + 10$

Câu 11. Cho biết

$Q = {(2 x - 1)}^{3} - 8 x (x + 1) (x - 1) + 2 x (6 x - 5)$ $= ax - b (a, b \in ℤ)$ . Khi đó

A. a = – 4; b = 1

B. a = 4; b = – 1

C. a = 4; b = 1

D. a = – 4; b = – 1

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có

$Q = {(2 x - 1)}^{3} - 8 x (x + 1) (x - 1) + 2 x (6 x - 5)$

$= 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1 - 8 x (x^{2} - 1) + 12 x^{2} - 10$

$= 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1 - 8 x^{3} + 8 x + 12 x^{2} - 10 x$

$= 4 x - 1$

Theo bài, Q = ax - b nên a = 4; b = 1.

Câu 12. Cho x – y = –2 và x³ – y³ = –26. Giá trị của xy là

A. 3.

B. –3.

C. 9.

D. –9.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

${(x - y)}^{3} = x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$ $= x^{3} - y^{3} - 3 x y (x - y)$ .

Suy ra $(x^{3} - y^{3}) - {(x - y)}^{3} = 3 x y (x - y) .$

Thay số: (–26) – (–2)³ = 3xy(–2).

Do đó –6xy = –18 nên xy = 3.

Câu 13. Cho 2x - y = 9. Giá trị của biểu thức $A = 8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3} + 12 x^{2}$ $- 12 x y + 3 y^{2} + 6 x - 3 y + 11$ là

A. A = 1001

B. A = 1000

C. A = 1010

D. A = 900

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có

$A = 8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3} + 12 x^{2} - 12 x y + 3 y^{2} + 6 x - 3 y + 11$

$= {(2 x)}^{3} - 3. {(2 x)}^{2} . y + 3.2 x . y + y^{3} + 3 (4 x^{2} - 4 x y + y^{2}) + 3 (2 x - y) + 11$

$= {(2 x - y)}^{3} + 3 {(2 x - y)}^{2} + 3 (2 x - y) + 1 + 10$

$= {(2 x - y + 1)}^{3} + 10$

Thay 2x - y = 9 vào biểu thức A ta có $A = {(9 + 1)}^{3} + 10 = 1010$

Câu 14. Giá trị của biểu thức $Q = a^{3} - b^{3}$ biết a - b = 4 và ab = -3 là

A. Q = 100

B. Q = 64

C. Q = 28

D. Q = 36

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có

${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b)$

$\Rightarrow a^{3} - b^{3} = {(a - b)}^{3} + 3 a b (a - b)$

$\Leftrightarrow Q = {(a - b)}^{3} + 3 a b (a - b)$

Thay a – b = 4 và ab = − 3 vào Q ta có

$Q = {(a - b)}^{3} + 3 a b (a - b)$

$= 4^{3} + 3. (- 3) .4$

= 64 - 36 = 28

Câu 15. Cho a + b + c = 0 . Giá trị của biểu thức $B = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$

A. B = 0

B. B = 1

C. B = – 1

D. Không xác định được.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Từ giả thiết a + b + c = 0, ta có a + b = -c.

Suy ra (a + b)³ = (-c)³

$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = - c^{3}$

$a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b) = - c^{3}$

$a^{3} + b^{3} + 3 a b (- c) = - c^{3}$

$a^{3} + b^{3} - 3 a b c = - c^{3}$

$a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c .$

Vậy $B = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = 0.$

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu 1. Cho biểu thức $P = {(x - 1)}^{3} + 3 {(x - 1)}^{2} (x + 1) + 3 (x - 1) {(x + 1)}^{2} + {(x + 1)}^{3}$

a) Thu gọn được biểu thức $P = 6 x^{3}$

b) Giá trị biểu thức P tại x = 2 bằng 64

c) Với đa thức $B = - 8 x^{3} + 5$ thì biểu thức P + B không phụ thuộc vào giá trị của biến.

d) Có hai giá trị của x để $P = 0.$

Hiển thị đáp án

a) Sai.

Ta có: $P = {(x - 1)}^{3} + 3 {(x - 1)}^{2} (x + 1) + 3 (x - 1) {(x + 1)}^{2} + {(x + 1)}^{3}$ $= {(x - 1 + x + 1)}^{3} = {(2 x)}^{3} = 8 x^{3}$

b) Đúng.

Thay x = 2 vào P ta có: $P = 8 \cdot 2^{3} = 8 \cdot 8 = 64.$

c) Đúng.

Ta có: $P + B = 8 x^{3} - 8 x^{3} + 5 = 5.$

Do đó, giá trị của biểu thức P + B không phụ thuộc vào giá trị của biến.

d) Sai.

Để P = 0 thì $8 x^{3} = 0$ nên x = 0. Do đó, có một giá trị của x để P = 0

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Khi rút gọn biểu thức ${(1 + 2 x)}^{3} + {(2 x - 1)}^{3}$ ta thu được một đa thức có bao nhiêu hạng tử?

Hiển thị đáp án

Đáp án: 2

${(1 + 2 x)}^{3} + {(2 x - 1)}^{3}$

$= 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} \cdot 2 x + 3 \cdot 1 \cdot {(2 x)}^{2} + {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{3} - 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 2 x \cdot 1^{2} - 1^{3}$

$= 1 + 6 x + 12 x^{2} + 8 x^{3} + 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1$

$= (1 - 1) + (6 x + 6 x) + (12 x^{2} - 12 x^{2}) + (8 x^{3} + 8 x^{3})$

$= 12 x + 16 x^{3}$

Do đó, đa thức thu được sau khi rút gọn có hai hạng tử.

Câu 2. Với giá trị nào của x thì ${(2 x - 3)}^{3} - 4 x (2 x^{2} - 9 x + 3) = 57 ?$

Hiển thị đáp án

Đáp án: 2

${(2 x - 3)}^{3} - 4 x (2 x^{2} - 9 x + 3) = 57$

${(2 x)}^{3} - 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot 3 + 3 \cdot 2 x \cdot 3^{2} - 3^{3} - (8 x^{3} - 36 x^{2} + 12 x) = 57$

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 54 x - 27 - 8 x^{3} + 36 x^{2} - 12 x = 57$

$(8 x^{3} - 8 x^{3}) + (36 x^{2} - 36 x^{2}) + (54 x - 12 x) = 57 + 27$

$42 x = 84$

x = 2

Vậy giá trị thỏa mãn của x bằng 2.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương

Lý thuyết Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử

Lý thuyết Bài 10: Tứ giác

Lý thuyết Bài 11: Hình thang cân

Lý thuyết Bài 12: Hình bình hành

Xem thêm tài liệu Toán lớp 8:

Trắc nghiệm Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu lớp 8

Giải Toán 7Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

Giải SBT Toán 7 Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

Giáo án Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

Giáo án điện tử Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

1 2,232 06/08/2026

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3