Lý thuyết Công thức lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức

Với lý thuyết Toán lớp 11 Bài 2: Công thức lượng giác chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 11.

1 4,145 23/07/2024

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác - Kết nối tri thức

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác

A. Lý thuyết Công thức lượng giác

1. Công thức cộng

$\begin{array}{l} \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a s i n b \\ s i n (a - b) = \sin a \cos b - \cos a s i n b \\ \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a s i n b \\ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a s i n b \\ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \end{array}$

2. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l} \sin 2 a = 2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a \\ \tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a} \end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}, \cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l} \cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \end{array}$

Lý thuyết Công thức lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức (ảnh 1)

B. Bài tập Công thức lượng giác

Bài 1. Tính

a) sin Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác biết sin a = $\frac{3}{4}$ và 0 < a < $\frac{π}{2}$ ;

b) cos $\frac{3 π}{8}$ .cos $\frac{π}{8}$ + sin $\frac{3 π}{8}$ .sin $\frac{π}{8}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì 0<a< $\frac{π}{2}$ nên cosa > 0.

Ta có: sin²a + cos²a = 1 ⇒ cos²a = 1 – sin²a = 1- Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác = $\frac{7}{16}$

⇒ cosa = $\frac{\sqrt{7}}{4}$ .

Vậy sin Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác $= \sin a \cos \frac{π}{3} - \cos a \sin \frac{π}{3} = \frac{3}{4} . \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{4} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 - \sqrt{21}}{8}$ .

Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác

Suy ra: $\cos \frac{3 π}{8} . \cos \frac{π}{8} + \sin \frac{3 π}{8} . \sin \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Bài 2. Tính

a) cos(–15°) + cos255°;

b) sin $\frac{13 π}{24}$ sin $\frac{5 π}{24}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

cos(-15^o) + cos255^o = 2.cos $\frac{- 15 ° + 255 °}{2}$ .cos $\frac{- 15 ° - 255 °}{2}$

= 2.cos120^o.cos(135^o) = 2 Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác

Vậy cos(–15°) + cos255° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

b) Ta có:

Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác

Vậy $\sin \frac{13 π}{24} \sin \frac{5 π}{24} = \frac{1 + \sqrt{2}}{4}$ .

Bài 3. Tính sin2a và tan2a biết cos a = $\frac{1}{4}$ và $\frac{3 π}{2}$ <a<2 $π$ .

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{3 π}{2}$ <a<2 $π$ nên sina < 0.

Ta có:

sin²a + cos²a = 1 ⇒ sin²a = 1 – cos²a = 1 - Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác = $\frac{15}{16}$

⇒ sina = $- \frac{\sqrt{15}}{4}$ .

Ta có: sin2a = 2sina cosa = 2. Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác . $\frac{1}{4}$ = $- \frac{\sqrt{15}}{8}$

Ta có: tana = $\frac{\sin a}{\cos a} = - \sqrt{15}$

⇒ $\tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a}$ = Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác = $= \frac{- 2 \sqrt{15}}{- 14} = \frac{\sqrt{15}}{7}$ .

C. Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác

Câu 1. Cho $0 < α, β < \frac{π}{2}$ và thỏa mãn tan $α = \frac{1}{7}$ , tan $β = \frac{3}{4}$ . Góc $α + β$ có giá trị bằng

A. $\frac{π}{3} .$ B. $\frac{π}{4}$ . C. $\frac{π}{6}$ . D. $\frac{π}{2}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α . \tan β} = \frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{7} . \frac{3}{4}} = 1$ suy ra a + b = $\frac{π}{4}$ .

Câu 2. Nếu tan(a+b) = 7, tan(a-b) = 4 thì giá trị đúng của tan2a là

A. $- \frac{11}{27} .$ B. $\frac{11}{27} .$ C. $- \frac{13}{27} .$ D. $\frac{13}{27}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có tan2a = tan[(a+b)+(a-b)] = $\frac{\tan (a + b) + \tan (a - b)}{1 + \tan (a + b) . \tan (a - b)} = \frac{7 + 4}{1 - 7.4} = - \frac{11}{27} .$

Câu 3. Rút gọn biểu thức M = tanx - tany.

A. M = tan(x-y). B. M = $\frac{\sin (x + y)}{\cos x . \cos y} .$

C. M = $\frac{\sin (x - y)}{\cos x . \cos y} .$ D. M = $\frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x . \tan y} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có M = tanx - tany = $\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\cos x \cos y}$

$= \frac{\sin (x - y)}{\cos x \cos y} .$

Câu 4. Giá trị của biểu thức $P = \frac{\sin \frac{5 π}{18} \cos \frac{π}{9} - \sin \frac{π}{9} \cos \frac{5 π}{18}}{\cos \frac{π}{4} \cos \frac{π}{12} - \sin \frac{π}{4} \sin \frac{π}{12}}$ là

A. 1. B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức 12 Bài tập Công thức lượng giác (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 11

Khi đó $\sin \frac{5 π}{18} \cos \frac{π}{9} - \sin \frac{π}{9} \cos \frac{5 π}{18} = \sin (\frac{5 π}{18} - \frac{π}{9}) = \sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2} .$

Và $\cos \frac{π}{4} \cos \frac{π}{12} - \sin \frac{π}{4} \sin \frac{π}{12} = \cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{12}) = \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2} .$

Vậy $P = \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 1.$

Câu 5. Trong $∆$ ABC, nếu $\frac{\sin B}{\sin C}$ = 2cosA thì $∆$ ABC là tam giác có tính chất nào sau đây?

A. Cân tại B. B. Cân tại A. C. Cân tại C. D. Vuông tại B.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $\frac{\sin B}{\sin C}$ = 2cosA $\Rightarrow$ sinB = 2sinC.cosA = sin(C+A)+sin(C-A)

Mặt khác A+B+C = $π$ $\Rightarrow$ B = $π$ -(A+C) $\Rightarrow$ sinB = sin(A+C).

Do đó, ta được sin(C-A) = 0 $\Rightarrow$ A = C.

Câu 6. Cho góc $α$ thỏa mãn $\frac{π}{2} < α < π$ và $\sin α = \frac{4}{5}$ . Tính P = sin2( $α$ + $π$ ).

A. P = - $\frac{24}{25}$ . B. P = $\frac{24}{25}$ . C. P = - $\frac{12}{25}$ D. P = $\frac{12}{25}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có P = sin2( $α + π$ ) = sin(2 $α$ +2 $π$ ) = sin2 $α$ = 2sin $α$ cos $α$ .

Từ hệ thức $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , suy ra $\cos α = \pm \sqrt{1 - \sin^{2} α} = \pm \frac{3}{5}$ .

Do $\frac{π}{2} < α < π$ nên ta chọn $\cos α = - \frac{3}{5}$ .

Thay $\sin α = \frac{4}{5}$ và $\cos α = - \frac{3}{5}$ vào P , ta được $P = 2. \frac{4}{5} . (- \frac{3}{5}) = - \frac{24}{25}$ .

Câu 7. Cho x, y là các góc nhọn và dương thỏa mãn cotx = $\frac{3}{4} .$ , coty = $\frac{1}{7} .$ Tổng x+y bằng

A. $\frac{π}{4} .$ B. $\frac{3 π}{4} .$ C. $\frac{π}{3} .$ D. $π$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có cot(x+y) = $\frac{\cot x . \cot y - 1}{\cot x + \cot y} = \frac{\frac{3}{4} . \frac{1}{7} - 1}{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}} = - 1.$

Mặt khác 0<x,y< $\frac{π}{2}$ suy ra 0<x+y< $π$ . Do đó x+y = $\frac{3 π}{4}$ .

Câu 8. Nếu tan $α$ và tan $β$ là hai nghiệm của phương trình x²+px+q = 0 (q $\neq$ 1) thì tan( $α$ + $β$ ) bằng

A. $\frac{p}{q - 1} .$ B. - $\frac{p}{q - 1} .$ C. $\frac{2 p}{1 - q} .$ D. $- \frac{2 p}{1 - q} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Vì tan $α$ , tan $β$ là hai nghiệm của phương trình x²+px+q = 0 nên theo định lí Viet, ta có Khi đó

12 Bài tập Công thức lượng giác (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 11 . Khi đó tan( $α$ + $β$ ) = $\frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} = \frac{p}{q - 1} .$

Câu 9. Nếu $α$ + $β$ + $γ$ = $\frac{π}{2}$ và cot $α$ + cot $γ$ = 2cot $β$ thì cot $α$ .cot $γ$ bằng

A. $\sqrt{3}$ . B. - $\sqrt{3}$ . C. 3. D. -3.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Từ giả thiết, ta có $α + β + γ = \frac{π}{2} \Rightarrow β = \frac{π}{2} - (α + γ) .$

Suy ra $\cot α + \cot γ = 2 \cot β = 2. \cot (\frac{π}{2} - (α + γ))$

$= 2. \tan (α + γ) = 2. \frac{\tan α + \tan γ}{1 - \tan α . \tan γ}$

Mặt khác $\frac{\tan α + \tan γ}{1 - \tan α . \tan γ} = \frac{\frac{1}{\cot α} + \frac{1}{\cot γ}}{1 - \frac{1}{\cot α} . \frac{1}{\cot γ}} = \frac{\cot α + \cot γ}{\cot α . \cot γ - 1}$ nên suy ra

$\cot α + \cot γ = 2. \frac{\cot α + \cot γ}{\cot α . \cot γ - 1} \Leftrightarrow \cot α . \cot γ - 1 = 2 \Leftrightarrow \cot α . \cot γ = 3.$

Câu 10. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. sin(2018a) = 2018sina.cosa.

B. sin(2018a) = 2018sin(1009a).cos(1009a).

C. sin(2018a) = 2sinacosa.

D. sin(2018a) = 2sin(1009a).cos(1009a).

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Áp dụng công thức sin2 $α$ = 2sin $α$ .cos $α$ ta được

sin(2018a) = 2sin(1009a).cos(1009a).

Câu 11. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

A. $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2} .$ B. $\cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2 x}{2} .$

C. $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} .$ D. $\cos 3 x = \cos^{3} x - \sin^{3} x .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có cos3x = 4cos³x - 3cosx.

Câu 12. Công thức nào sau đây đúng?

A. cos3a = 3cosa - 4cos³a. B. cos3a = 4cos³a - 3cosa.

C. cos3a = 3cos³a - 4cosa. D. cos3a = 4cosa - 3cos³a.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3: Hàm số lượng giác

Lý thuyết Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết Bài 5: Dãy số

Lý thuyết Bài 6: Cấp số cộng

Lý thuyết Bài 7: Cấp số nhân

1 4,145 23/07/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3