Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết Dãy số – Toán 11 Kết nối tri thức

    Với lý thuyết Toán lớp 11 Bài 5: Dãy số chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 11.

    1 3,466 30/10/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

    Bài giảng Toán 11 Bài 5: Dãy số

    A. Lý thuyết Dãy số

    1. Định nghĩa dãy số

    • Dãy số vô hạn

    Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N∗được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu là u=u(n).

    Ta thường viết unthay cho u(n) và kí hiệu dãy số u=u(n)bởi u(n), do đó dãy số (un)được viết dưới dạng khai triển u1,u2,u3,...,un,...

    Số u1 là số hạng đầu; unlà số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

    *Chú ý: Nếu ∀n∈N∗,un=cthì (un)được gọi là dãy số không đổi.

    • Dãy số hữu hạn

    Mỗi hàm số u xác định trên tập M={1;2;3;...;m},m∈N∗ được gọi là một dãy số hữu hạn.

    Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là u1,u2,u3,...,um.

    Số u1 gọi là số hạng đầu, umlà số hạng cuối.

    2. Cách cho một dãy số

    Một dãy số có thể cho bằng:

    +) Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).

    +) Công thức của số hạng tổng quát.

    +) Phương pháp mô tả.

    +) Phương pháp truy hồi.

    3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

    Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1>un,∀n∈N∗.

    Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1<un,∀n∈N∗.

    Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu ∃ số M sao cho un≤M, ∀n∈N∗.

    Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu ∃ số m sao cho un≥m, ∀n∈N∗.

    Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m≤un≤M,∀n∈N∗.

    Lý thuyết Dãy số – Toán 11 Kết nối tri thức (ảnh 1)

    B. Bài tập Dãy số

    Bài 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số (un), biết:

    a) un = 3n – 1;

    b) un = – 3n + 1.

    Hướng dẫn giải

    a) Ta có: un+1 – un = [3(n + 1) – 1] – (3n – 1) = (3n + 2) – 3n + 1 = 3 > 0, tức là un+1 > un

    Suy ra đây là dãy số tăng.

    b) Ta có: un+1 – un = [–3(n + 1) + 1] – (–3n + 1) = (–3n – 2) + 3n – 1 = – 3 < 0, tức là un+1 < un.

    Suy ra đây là dãy số giảm.

    Bài 2: Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

    a) un = 2n – 1;

    b) un = 2n+22n+3;

    c) un = cos n.

    Hướng dẫn giải

    a) un = 2n – 1 ≥ 1 với ∀n ∈ ℕ*

    Vậy dãy số (un) bị chặn dưới.

    b) Dãy số (un) bị chặn trên, vì un=2n+22n+3=2n+3−12n+3=1−12n+3<1, ∀n ∈ ℕ*.

    Dãy số (un) bị chặn dưới, vì un=2n+22n+3≥0, ∀n ∈ ℕ*.

    Vậy dãy số (un) bị chặn.

    c) Ta có: −1 ≤ cos n ≤ 1 ∀n ∈ ℕ*.

    Vậy dãy số (un) bị chặn.

    Bài 3: Ông An gửi tiết kiệm 50 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 7% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức

    An= 50Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 5: Dãy số.

    a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.

    b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.

    Hướng dẫn giải

    a) Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất là:

    A1= 50Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 5: Dãy số = 50,2917 (triệu đồng).

    Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ hai là:

    A2= 50Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 5: Dãy số = 50,585 (triệu đồng).

    b) 1 năm = 12 tháng

    Số tiền ông An nhận được sau 1 năm là:

    A12= 50Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 5: Dãy số = 53,6145 (triệu đồng).

    Bài 4: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (un) có số hạng tổng quát cho bởi:

    a) u­n = 4n – 2;

    b) un = 3 . 2n + 1.

    Hướng dẫn giải

    a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 2, 6, 10, 14, 18.

    Số hạng thứ 100 của dãy số là: u­100 = 4.100 – 2 = 398.

    b) Năm số hạng đầu của dãy số là: 7, 13, 25, 49, 97.

    Số hạng thứ 100 của dãy số là: u100 = 3 . 2100 + 1.

    Bài 5: Dãy số (un) cho bởi hệ thức truy hồi: u1 = 1, u­n = n . un-1 với n ≥ 2.

    a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

    b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un.

    Hướng dẫn giải

    a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 1, 2, 6, 24, 120.

    b) Ta thấy u1 =1!, u2 = 2!, u3 = 3!, u4 = 4!, u5 = 5!.

    Vậy công thức số hạng tổng quát là un = n!.

    Bài 6: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

    a) Đều chia hết cho 2;

    b) Khi chia cho 3 dư 1.

    Hướng dẫn giải

    a) un = 2n (∀n ∈ ℕ*).

    b) un = 3n + 1 (∀n ∈ ℕ*).

    Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

    Lý thuyết Bài 6: Cấp số cộng

    Lý thuyết Bài 7: Cấp số nhân

    Lý thuyết Bài 8: Mẫu số liệu ghép nhóm

    Lý thuyết Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

    Lý thuyết Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 3,466 30/10/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: