Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Giới hạn của dãy số

    Với lý thuyết Toán lớp 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 11.

    1 1,853 30/10/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Lý thuyết Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số - Kết nối tri thức

    Bài giảng Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

    A. Lý thuyết Giới hạn của dãy số

    1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

    Ta nói dãy số (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limn→+∞⁡un=0 hay un→0 khi n→+∞.

    Ta nói dãy số (un) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu limn→+∞⁡(un−a)=0, kí hiệu limn→+∞⁡un=a hay un→a khi n→+∞.

    * Chú ý: Nếu un=c (c là hằng số) thì limn→+∞⁡un=c

    2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

    a, Nếu limn→+∞⁡un=a,limn→+∞⁡vn=b thì

    limn→+∞⁡(un±vn)=a±b

    limn→+∞⁡(un.vn)=a.b

    limn→+∞⁡(unvn)=ab(b≠0)

    b, Nếu un≥0 thì với mọi n và limn→+∞⁡un=a thì a≥0 và limn→+∞⁡un=a.

    3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

    S=u11−q(|q|<1)

    4. Giới hạn vô cực của dãy số

    Dãy số (un) được gọi là có giới hạn +∞khi n→+∞nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limx→+∞⁡un=+∞ hay un→+∞ khi n→+∞.

    Dãy số (un) được gọi là có giới hạn −∞ khi n→+∞ nếu limx→+∞⁡(−un)=+∞, kí hiệu limx→+∞⁡un=−∞ hay un→−∞ khi n→+∞.

    *Quy tắc:

    Nếu limx→+∞⁡un=a và limx→+∞⁡vn=+∞(hoặclimx→+∞⁡vn=−∞) thì limn→+∞⁡(unvn)=0.

    Nếu limx→+∞⁡un=a>0 và limx→+∞⁡vn=0,∀n thì limn→+∞⁡(unvn)=+∞.

    Nếu limx→+∞⁡vn=a>0 và limx→+∞⁡un=+∞ thì limn→+∞⁡(un.vn)=+∞.

    Giới hạn của dãy số (ảnh 1)

    B. Bài tập Giới hạn của dãy số

    Bài 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 3; – 1;Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số

    Hướng dẫn giải

    un là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = −13.

    Tổng của cấp số nhân này là: S = u11−q = 31+13=94.

    Bài 2: Tìm các giới hạn sau:

    a) limn→+∞(2n3-3n+2);

    b) limn→+∞2n+1n−2;

    c) Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số

    Hướng dẫn giải

    a)limn→+∞(2n3-3n+2) = limn→+∞Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số = +∞

    Vì limn→+∞n3=+∞ và Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số = 2.

    b) limn→+∞2n+1n−2=limn→+∞2+1n1−2n= 2.

    c) Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số

    =limn→+∞4+3n+1n29−6n+1n2=49

    Bài 3: Cho hai dãy số không âm (un) và (vn) với limn→+∞un=3 và limn→+∞vn=5. Tìm giới hạn của: limn→+∞vn2vn−un.

    Hướng dẫn giải

    Ta có: limn→+∞vn=5, do đó limn→+∞vn2=limn→+∞(vn . un) = 5.5 = 25.

    limn→+∞(vn - un) = 5-3 = 2.

    Vậy limn→+∞vn2vn−un = 252.

    Bài 4: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng các số hạng bằng 56, tổng bình phương các số hạng bằng 448. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là bao nhiêu?

    Hướng dẫn giải

    Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số

    ⇒u12⋅11−q2=448

    ⇒ Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số

    Suy ra: q = 34.

    Ta tìm được: u1 = 14.

    Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

    Lý thuyết Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song

    Lý thuyết Bài 13: Hai mặt phẳng song song

    Lý thuyết Bài 14: Phép chiếu song song

    Lý thuyết Bài 16: Giới hạn của hàm số

    Lý thuyết Bài 17: Hàm số liên tục

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,853 30/10/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: