Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11 Kết nối tri thức

Với lý thuyết Toán lớp 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 11.

1 3,607 23/07/2024


Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản - Kết nối tri thức

Bài giảng Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

A. Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản

1. Khái niệm phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết f(x)=0g(x)=0

*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.

2. Phương trình sinx=m

Phương trình sinx=m có nghiệm khi và chỉ khi |m|1.

Khi |m|1sẽ tồn tại duy nhất α[π2;π2] thoả mãn sinα=m. Khi đó:

sinx=msinx=sinα [x=α+k2πx=πα+k2π(kZ)

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc αđược cho bằng đơn vị độ thì sinx=sinαo[x=αo+k360ox=180oαo+k360o(kZ)

b, Một số trường hợp đặc biệt

sinx=0x=kπ,kZ.sinx=1x=π2+k2π,kZ.sinx=1x=π2+k2π,kZ.

3. Phương trình cosx=m

Phương trình cosx=mcó nghiệm khi và chỉ khi |m|1.

Khi |m|1sẽ tồn tại duy nhất α[0;π] thoả mãn cosα=m. Khi đó:

cosx=mcosx=cosα [x=α+k2πx=α+k2π(kZ)

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc αđược cho bằng đơn vị độ thì cosx=cosαo[x=αo+k360ox=αo+k360o(kZ)

b, Một số trường hợp đặc biệt

cosx=0x=π2+kπ,kZ.cosx=1x=k2π,kZ.cosx=1x=π+k2π,kZ.

4. Phương trình tanx=m

Phương trình tanx=mcó nghiệm với mọi m.

Với mọi mR, tồn tại duy nhất α(π2;π2) thoả mãn tanα=m. Khi đó:

tanx=mtanx=tanαx=α+kπ,kZ.

*Chú ý: Nếu số đo của góc αđược cho bằng đơn vị độ thì

tanx=tanαox=αo+k180o,kZ.

5. Phương trình cotx=m

Phương trình cotx=mcó nghiệm với mọi m.

Với mọi mR, tồn tại duy nhất α(0;π) thoả mãn cotα=m. Khi đó:

cotx=mcotx=cotαx=α+kπ,kZ.

*Chú ý: Nếu số đo của góc αđược cho bằng đơn vị độ thì

cotx=cotαox=αo+k180o,kZ.

6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó

Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).

Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT MODE 3 (CASIO FX 570VN).

Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT MODE 4 (CASIO FX 570VN).

Bước 2. Tìm số đo góc.

Khi biết SIN, COS, TANG của góc αta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc α

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11 Kết nối tri thức (ảnh 1)

B. Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) sin x + cos 2x = 0;

b) cos2x = – cos 5x.

Hướng dẫn giải

a) Ta có sin x + cos 2x = 0

⇔ sin x + 1 – 2sin2 x = 0

⇔ – 2sin2 x + sin x + 1 = 0

Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

+ Với sin x = 1 ta có: sinx = 1 ⇔ x=π2+k2π,(k).

+ Với sin x = 12 , ta có: sin x = 12 Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Vậy x=π6+k2π,x=7π6+k2π,x=π2+k2π,(k).

b) Ta có cos2x = – cos 5x ⇔ cos2x = cosπ5x

Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) sin x = 32 ;

b) cot (2x – 3) = cotπ7 .

Hướng dẫn giải

a) sin x = 32

⇔ sinx = sinLý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

b) cot (2x – 3) = cotπ7

⇔ 2x – 3 = π7+kπ

⇔ x = π+2114+kπ2 (k ∈ ℤ).

C. Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Câu 1. Tập nghiệm của phương trình sin2x = sinx là

12 Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 11

Đáp án đúng là: B

Ta có sin2x = sinx 12 Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 11

Câu 2. Phương trình sin2x = cosx có nghiệm là

12 Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 11

Đáp án đúng là: A

sin2x = cosx sin2x = sinπ2x12 Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 11

Câu 3. Giải phương trình 3tan2x - 3 = 0.

A. x=π3+kπ2k.   B. x=π3+kπk.

C. x=π6+kπ2k.   D. x=π6+kπk.

Đáp án đúng là: C

3tan2x - 3 = 0 tan2x = 3 2x = π3+kπx=π6+kπ2k.

Câu 4. Phương trình lượng giác 3cot - 3 = 0 có nghiệm là:

A. x=π6+kπk.   B. x=π3+kπk.

C. x=π3+k2πk.   D. Vô nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Ta có 3cotx - 3 = 0 cotx = 33 cotx = cotπ3x=π3+kπ,k.

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cosx - m = 0 vô nghiệm.

A. m;11;+.   B. m1;+.

C. m[-1;1].             D. m;1.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cosx = a.

- Phương trình có nghiệm khi |a|1.

- Phương trình vô nghiệm khi |a|>1.

Phương trình cosx - m = 0 cosx = m.

Do đó, phương trình cosx = m vô nghiệm |m|>112 Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 11

Câu 6. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos(sinx) = 1 trên [0;2π] bằng:

A. 0.   B. π.   C. 2π.   D. 3π.

Đáp án đúng là: B

Ta có x[0;2π] sinx[-1;1]

Khi đó: cos(sinx) = 1sinx = k2π (k) với -1k2π1 k = 0.

Phương trình trở thành sinx = 0 x = mπ12 Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 11

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos(sinx) = 1 trên [0;2π] bằng π.

Câu 7. Số nghiệm của phương trình sinx+π4=22 trên đoạn [0;π] là:

A. 4.   B. 1.   C. 2.   D. 3.

Đáp án đúng là: C

Đặt x+π4=α. Khi đó ta có phương trình sinα=22.

12 Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 11

Xét đường thẳng y=22 và đồ thị hàm số y = sina trên đoạn [0;π]:

Từ đồ thị hàm số trên ta thấy đường thẳng y=22 cắt đồ thị số y = sina trên đoạn [0;π] tại hai điểm có hoành độ lần lượt là α1=π4α2=3π4.

x+π4=α, khi đó ta sẽ tìm được 2 giá trị x là x1 = 0 và x2=π2.

Câu 8. Giá trị m để phương trình 5sinx - m = tan2x(sinx - 1) có đúng 3 nghiệm thuộc π;π2

A. 1<m52.   B. 0<m5.   C. 0m112.   D. -1<m6.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện cosx0xπ2+kπk.

Ta có: 5sinx - m = tan2x(sinx - 1)5sinx - m = sin2x1sinx1+sinx(sinx-1)

6sin2x - (m-5)sinx - m = 0

Đặt t = sinx => t(-1;1)

PT trở thành 6t2 - (m-5)t - m = 0 (1)

YCBT PT (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa 1<t1<0t2<1

12 Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 11

Câu 9. Nghiệm của phương trình sinx = -1là:

A. x = -π2+kπ (k).   B. x = -π2+k2π (k).

C. x = kπ (k)  . D. x = 3π2+kπ (k).

Đáp án đúng là: B

sinx = -1 x = -π2+k2π, k.

Câu 10. Nghiệm của phương trình cosx = 1là:

A. x = kπ (k).   B. x = π2+k2π (k).

C. x = k2π (k).   D. x = π2+kπ (k).

Đáp án đúng là: C

cosx = 1 x = k2π, k.

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sinx = m có nghiệm.

A. m1.   B. m-1.   C. -1m1.   D. m-1.

Đáp án đúng là: C

Với mọi x, ta luôn có -1m1.

Do đó, phương trình sinx = m có nghiệm khi và chỉ khi -1m1.

Câu 12. Nghiệm của phương trình 3+3tanx = 0 là:

A. x=π3+kπk.   B. x=π2+k2πk.

C. x=π6+kπk.   D. x=π2+kπk.

Đáp án đúng là: C

3 + 3tanx = 0 tanx = -33 x = -π6+kπk.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 5: Dãy số

Lý thuyết Bài 6: Cấp số cộng

Lý thuyết Bài 7: Cấp số nhân

Lý thuyết Bài 8: Mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

1 3,607 23/07/2024


Xem thêm các chương trình khác: