Lời giải:

Ta thấy rằng

$({\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{x+1-(x-1)}{(x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2}{(x+1{)}^2}}$

Khi đó, ta có

$\int {\displaystyle \frac{(x-1{)}^{2017}}{(x+1{)}^{2019}}}dx=\int {\left({\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}\right)}^{2017}.{\displaystyle \frac{1}{(x+1{)}^2}}dx$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}\int {\left({\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}\right)}^{2017}.{\displaystyle \frac{2}{(x+1{)}^2}}dx$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}\int {\left({\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}\right)}^{2017}.({\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}{)}^{\prime }dx$

Đặt $t={\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}$, khi đó ta có

$dt=({\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}{)}^{\prime }dx$

Vậy nguyên hàm ban đầu trở thành

${\displaystyle \frac{1}{2}}\int t^{2017}dt={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{t^{2018}}{2018}}+c$

$={\displaystyle \frac{t^{2018}}{4036}}+c$

$={\displaystyle \frac{1}{4036}}.{\left({\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}\right)}^{2018}+c$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nguyên hàm

*Lý thuyết:

1. Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R).

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi $x\in K$.

- Định lí 1.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó $F\left(x\right)+C;C\in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: $\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

2. Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

$\int f\text{'}\left(x\right)dx=f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+C$

Ví dụ 3.

$\int \left(\text{}{4}^x\right)\text{'}dx$$\hspace{0.17em}=\int 4^x.\ln 4.dx=4^x+C$

- Tính chất 2.

$\int kf\left(x\right)\text{}dx=k.\int f\left(x\right)\text{}dx$(k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

$\int \left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx$$=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=3x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2\sin x$ trên khoảng $\left(-\infty ;+\text{\hspace{0.17em}}\infty \right)$.

Xem thêm

Lý thuyết Nguyên hàm (mới  + Bài Tập) – Toán 12 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Nguyên hàm (có đáp án ) - Toán 12