TOP 40 câu Trắc nghiệm Nguyên hàm (có đáp án 2024) - Toán 12

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x}}=-2\sqrt{1-x}+C$

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có : $I=\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}dx$

Đặt $t=\sqrt{1-x^2}$

$\Rightarrow t^2=1-x^2$

$\Rightarrow -tdt=xdx$

Khi đó: $I=-\int \frac{(1-t^2)}{t}tdt$

$=\int (t^2-1)dt=\frac{t^3}{3}-t+C$

Thay $t=\sqrt{1-x^2}$ ta được $I=\frac{{\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^3}{3}-\sqrt{1-x^2}+C$

$=-\frac{1}{3}\left(x^2+2\right)\sqrt{1-x^2}+C$

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $F\left(x\right)=\int d\left(\sqrt{2\ln x+1}\right)=\sqrt{2\ln x+1}+C$

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $\int \left(x^3-3\text{x}+\frac{1}{x}\right)dx$

$=\frac{x^4}{4}-\frac{3{\text{x}}^2}{2}+\ln \left|x\right|+C$

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\int \sqrt{3x-1}.dx$

$=\frac{1}{3}.\frac{2}{1+2}\sqrt{{\left(3x-1\right)}^3}+C$

$=\frac{2}{9}\sqrt{{\left(3x-1\right)}^3}+C$

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\int \frac{x^3}{x^4-1}dx$

$=\frac{1}{4}\int \frac{d(x^4-1)}{x^4-1}$

$=\frac{1}{4}\ln \left|x^4-1\right|+C$

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

$\int \sin 3xdx=-\frac{1}{3}\cos 3x+C$

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $\int \frac{5+2x^4}{x^2}dx$

$=\int \left(\frac{5}{x^2}+2x^2\right)dx$

$=\frac{2x^3}{3}-\frac{5}{x}+C$

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có : $I=\int x\sqrt{1+x^2}dx$

Đặt $t=\sqrt{1+x^2}$

$\Rightarrow t^2=1+x^2$

$\Rightarrow tdt=xdx$

Khi đó: $I=\int t.tdt=\frac{t^3}{3}+C$

Thay $t=\sqrt{1+x^2}$ ta được $I=\frac{{\left(\sqrt{1+x^2}\right)}^3}{3}+C$

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\int \sin 2xdx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $F\left(x\right)=\int \left(2x-3\cos x\right)dx$

$=x^2-3\sin x+C$

$F\left(\frac{\pi }{2}\right)=3$

$\iff {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2-3\sin \frac{\pi }{2}+C=3$

$\iff C=6-\frac{{\pi }^2}{4}$

Vậy $F\left(x\right)=x^2-3\sin x+6-\frac{{\pi }^2}{4}$

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $F\left(x\right)=\int \left(2x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$

$=x^2-\cot x+ C$

$F\left(\frac{\pi }{4}\right)=-1$

$\iff {\left(\frac{\pi }{4}\right)}^2-\cot \frac{\pi }{4}+C=-1$

$\iff C=\frac{{\pi }^2}{16}$

Vậy $F\left(x\right)=-c\text{ot}x+x^2-\frac{{\pi }^2}{16}$

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $F\left(x\right)=\int \cos 3x.\cos .dx$

$=\frac{1}{2}\int \left(\cos 2x+cos4x\right)dx$

$=\frac{1}{8}\sin 4x+\frac{1}{4}\sin 2x+C$

Vậy $F\left(x\right)=\frac{\cos 4x}{8}+\frac{\cos 2x}{4}$

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

$\int \left[{\sin }^2\left(3x+1\right)+\cos x\right]dx$

$=\int \left[\frac{1-\cos \left(6x+2\right)}{2}+\cos x\right]dx$

$=\int \left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos \left(6x+2\right)+\cos x\right]dx$

$=\frac{1}{2}x-3\sin \left(6x+2\right)+\sin x+C$

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\int \left(\sqrt{x+1}-\frac{1}{x^2}\right)dx$

$=\frac{2}{3}\sqrt{{\left(x+1\right)}^3}+\frac{1}{x}+C$

Theo đề bài, ta lại có: $F\left(3\right)=6$

$\iff \frac{2}{3}\sqrt{{\left(3+1\right)}^3}+\frac{1}{3}+C=6$

$\iff C=\frac{1}{3}$

$F\left(x\right)=\frac{2}{3}\sqrt{{\left(x+1\right)}^3}+\frac{1}{x}+\frac{1}{3}$

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$\int \left[4x^3+2\left(m-1\right)x+m+5\right]dx$

$=x^4+\left(m-1\right)x^2+\left(m+5\right)x+C$

Lại có:

$\left\{\begin{array}{l}F\left(0\right)=1\\ F\left(1\right)=8\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}C=1\\ 1+m-1+m+5+C=8\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}C=1\\ m=1\end{array}\right.$

Vậy $F\left(x\right)=x^4+6x+1$.

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt $t=x^2+1\Rightarrow dt=2xdx$

$\Rightarrow \int \frac{x}{x^2+1}dx=\mathrm{...}$

$=\frac{1}{2}\int \frac{1}{t}dt=\frac{1}{2}\ln \left|t\right|+C$

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$\int \left({\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x\right)dx$

$=3\cos x.{\sin }^{2}x-3\sin x.{\cos }^{2}x+C$

$=\frac{3}{2}\sin 2x\left(\sin x-\cos x\right)+C$

$=\frac{3\sqrt{2}}{2}\sin 2x\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+C$

Đáp án: A

Giải thích:

Đặt $t=\ln 2x\Rightarrow dt=2.\frac{1}{2x}dx$

$\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx$

$\Rightarrow \int \frac{\ln 2x}{x}dx=\mathrm{...}$

$=\int tdt=\frac{1}{2}{t}^2+C$

Đáp án: D

Giải thích:

Ta đặt : $x=\tan t,t\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$

$\Rightarrow dx=\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt$

$\Rightarrow \int \frac{1}{x^2+1}dx=\mathrm{...}$

$=\int dt=t+C$

Đáp án: D

Giải thích:

Ta biến đổi: $I=\int \frac{1}{\sqrt{4-{\left(x-1\right)}^2}}dx$.

Đặt $x-1=2\sin t,t\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$

$\Rightarrow dx=2\cos tdt$

$\Rightarrow I=\int dt=t+C$

Đáp án: A

Giải thích:

$I=\int \frac{e^x\left(3x-2\right)+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}\left(e^x.\sqrt{x-1}+1\right)}dx$

$=\int \frac{\sqrt{x-1}\left(e^x.\sqrt{x-1}+1\right)+e^x\left(2x-1\right)}{\sqrt{x-1}\left(e^x.\sqrt{x-1}+1\right)}dx$

Đặt : $t=e^x.\sqrt{x-1}+1$

$\Rightarrow dt=\left(\frac{e^x}{2\sqrt{x-1}}+e^x\sqrt{x-1}\right)dx$

$=\frac{e^x\left(2x-1\right)}{2\sqrt{x-1}}dx$

Vậy $\Rightarrow I=\int dx+\int \frac{e^x\left(2x-1\right)}{\sqrt{x-1}\left(e^x\sqrt{x-1}+1\right)}dx$

$=x+\int \frac{1}{t}dt=x+\ln \left|t\right|+C$

$=x+\ln \left(e^x.\sqrt{x-1}+1\right)+C$

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt : $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=e^x\\ d{v}_1=\sin x.dx\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}d{u}_1=e^x.dx\\ v_1=-\cos x\end{array}\right.$

$\Rightarrow J=-e^x\cos x+\int e^x\cos xdx$

$=-e^x\cos x+T\left(T=\int e^x.\cos xdx\right)$

Tính $T=\int e^x.\cos xdx$ :

Đặt : $\left\{\begin{array}{l}{u}_2=e^x\\ d{v}_2=\cos x.dx\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}d{u}_2=e^x.dx\\ v_2=\sin x\end{array}\right.$

Đáp án: B

Giải thích:

Đặt : $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(\frac{4-x^2}{4+x^2}\right)\\ dv=x^{3}dx\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{16x}{x^4-16}\\ v=\frac{x^4}{4}-4=\frac{x^4-16}{4}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \int x^4\ln \left(\frac{4-x^2}{4+x^2}\right)dx$

$=\left(\frac{x^4-16}{4}\right)\ln \left(\frac{4-x^2}{4+x^2}\right)-\int 4xdx$

$=\left(\frac{x^4-16}{4}\right)\ln \left(\frac{4-x^2}{4+x^2}\right)-2x^2+C$

Đáp án: D

Giải thích:

Từ (1);(2) ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}I+T=x+C_1\\ I-T=-\ln \left|\sin x+\cos x\right|+C_2\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}I=\frac{1}{2}\left(x-\ln \left|\sin x+\cos x\right|\right)+C\\ T=\frac{1}{2}\left(x+\ln \left|\sin x+\cos x\right|\right)+C\end{array}\right.$

Đáp án: D

Giải thích:

Điều kiện :

$\frac{x-1}{x+1}\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x\ge 1\\ x<-1\end{array}\right.$

Trường hợp 1 : Nếu $x\ge 1$ thì

$Q=\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$

$=\int \frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}dx$

$=\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx-\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx$

$=\sqrt{x^2-1}-\ln \left|x+\sqrt{x^2-1}\right|+C$

Trường hợp 2: Nếu $x<-1$ thì

$Q=\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$

$=\int \frac{1-x}{\sqrt{x^2-1}}dx$

$=\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx-\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx$

$=\ln \left|x+\sqrt{x^2-1}\right|-\sqrt{x^2-1}+C$

Đáp án: D

Giải thích:

Điều kiện :

$\frac{x-1}{x+1}\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x\ge 1\\ x<-1\end{array}\right.$

Trường hợp 1 : Nếu $x\ge 1$ thì

$Q=\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$

$=\int \frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}dx$

$=\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx-\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx$

$=\sqrt{x^2-1}-\ln \left|x+\sqrt{x^2-1}\right|+C$

Trường hợp 2: Nếu $x<-1$ thì

$Q=\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$

$=\int \frac{1-x}{\sqrt{x^2-1}}dx$

$=\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx-\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx$

$=\ln \left|x+\sqrt{x^2-1}\right|-\sqrt{x^2-1}+C$

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có :

$T=\int \frac{dx}{\sqrt[n]{{\left(x^n+1\right)}^{n+1}}}$

$=\int \frac{dx}{x^{n+1}.\sqrt[n]{{\left(\frac{1}{x^n}+1\right)}^{n+1}}}$

$=\int \frac{x^{-n-1}}{{\left(\frac{1}{x^n}+1\right)}^{1+\frac{1}{n}}}dx$

$=\int x^{-n-1}{\left(\frac{1}{x^n}+1\right)}^{-1-\frac{1}{n}}dx$

Đặt: $t=\frac{1}{x^n}+1$

$\Rightarrow dt=-\frac{n}{x^{n+1}}=-n{x}^{-n-1}$

$\Rightarrow T=-\frac{1}{n}\int t^{-1-\frac{1}{n}}dt$

$=t^{\frac{-1}{n}}+C$

$={\left(\frac{1}{x^n}+1\right)}^{\frac{-1}{n}}+C$

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có : $H=\int \frac{x^2}{{\left(x\sin x+\cos x\right)}^2}dx$

$=\int \frac{x\cos x}{{\left(x\sin x+\cos x\right)}^2}.\frac{x}{\cos x}dx$

Đặt

$\left\{\begin{array}{l}u=\frac{x}{\cos x}\\ dv=\frac{x\cos x}{{\left(x\sin x+\cos x\right)}^2}dx\\ =\frac{d\left(x\sin x+\cos x\right)}{{\left(x\sin x+\cos x\right)}^2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{x\sin x+\cos x}{{\cos }^{2}x}dx\\ v=-\frac{1}{x\sin x+\cos x}\end{array}\right.$

$\Rightarrow H=-\frac{x}{\cos x}.\frac{1}{x\sin x+\cos x}+\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$

$=\frac{-x}{\cos x\left(x\sin x+\cos x\right)}+\tan x+C$

Đáp án: A

Giải thích:

Đặt $x=2\cos 2t$ với $t\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Ta có : $\begin{array}{l}dx=-4\sin 2t.dt\end{array}$

$\sqrt{\frac{2-x}{2+x}}=\sqrt{\frac{2-2\sin 2t}{2+2\cos 2t}}$

$=\sqrt{\frac{4{\sin }^{2}t}{4{\cos }^{2}t}}=\frac{\sin t}{\cos t}$

$\Rightarrow R=-\int \frac{1}{4{\cos }^{2}2t}.\frac{\sin t}{\cos t}.4\sin 2t.dt$

$=-\int \frac{2{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}2t}dt$

$=-\int \frac{1-\cos 2t}{{\cos }^{2}2t}dt$

$\iff R=-\int \frac{1}{{\cos }^{2}2t}dt+\int \frac{1}{\cos 2t}dt$

$=-\frac{\tan 2t}{2}+\frac{1}{4}\ln \left|\frac{1+\sin 2t}{1-\sin 2t}\right|+C$

Đáp án: C

Giải thích:

Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên

hàm trên K. Vì y = |x| liên tục trên R nên có nguyên hàm trên R .

Phương án A sai vì y=1/x không xác định tại x=0 ∈ (-∞;+∞).

Phương án B sai vì 3x² là đạo hàm của x³.

Phương án D sai vì 1/x là đạo hàm của ln⁡x trên (0; +∞).

Vậy chọn đáp án C.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

∫(2x-sin⁡2x)dx=2∫xdx-∫sin⁡2xdx

D không phải là nguyên hàm của f(x). Vậy chọn đáp án D.

Đáp án: C

Giải thích:

Với x ∈ (0; +∞) ta có

Vậy chọn đáp án C.

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án: D

Giải thích:

Đặt u = e^x + 1 ⇒ u' = e^x. Ta có

Đáp án: D

Giải thích:

Sử dụng phương pháp biến đổi số ta có:

Đặt u = cosx thì u’ = -sinx và ∫sinxcosxdx = -∫u.u'dx = -∫udu

Vậy chọn đáp án D.

Đáp án: A

Giải thích:

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ta có:

Đặt u = 3x² - x + 1 và dv = e^xdx ta có du = (6x - 1)dx và v = e^x . Do đó:

∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - ∫(6x - 1)e^xdx

Đặt u₁ = 6x - 1; dv₁ = e^xdx Ta có: du₁ = 6dx và v₁ = e^x .

Do đó ∫(6x - 1)e^xdx = (6x - 1)e^x - 6∫e^xdx = (6x - 1)e^x - 6e^x + C

Từ đó suy ra

∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - (6x - 7)e^x + C = (3x² - 7x + 8)e^x + C

Vậy chọn đáp án A.

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án: D

Giải thích:

Vận tốc của vật bằng

với t = 0 ta có v(0)= C = 6 nên phương trình vận tốc của chuyển động là :

v(t) = 3ln(t + 1) + 6 (m/s)

khi đó v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13 (m/s) .

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt u = 4x + 3

⇒ du = 4dx ⇒ dx = 1/4 du và cos(4x+3)dx được viết thành