TOP 40 câu Trắc nghiệm Nguyên hàm (có đáp án 2024) - Toán 12

Bộ 40 câu hỏi trắc nghiệm Toán lớp 12 Bài 1: Nguyên hàm có đáp án đầy đủ các mức độ giúp các em ôn trắc nghiệm Toán 12 Bài 1.

1 1,438 22/12/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Bài giảng Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Câu 1. Tính $\int \frac{d x}{\sqrt{1 - x}}$ thu được kết quả là:

A. $\frac{C}{\sqrt{1 - x}}$

B. $- 2 \sqrt{1 - x} + C$

C. $\frac{2}{\sqrt{1 - x}} + C$

D. $\sqrt{1 - x} + C$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\int \frac{d x}{\sqrt{1 - x}} = - 2 \sqrt{1 - x} + C$

Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ là:

A. $\frac{1}{3} (x^{2} + 2) \sqrt{1 - x^{2}} + C$

B. $- \frac{1}{3} (x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}} + C$

C. $\frac{1}{3} (x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}} + C$

D. $- \frac{1}{3} (x^{2} + 2) \sqrt{1 - x^{2}} + C$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có : $I = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Đặt $t = \sqrt{1 - x^{2}}$

$\Rightarrow t^{2} = 1 - x^{2}$

$\Rightarrow - t d t = x d x$

Khi đó: $I = - \int \frac{(1 - t^{2})}{t} t d t$

$= \int (t^{2} - 1) d t = \frac{t^{3}}{3} - t + C$

Thay $t = \sqrt{1 - x^{2}}$ ta được $I = \frac{{(\sqrt{1 - x^{2}})}^{3}}{3} - \sqrt{1 - x^{2}} + C$

$= - \frac{1}{3} (x^{2} + 2) \sqrt{1 - x^{2}} + C$

Câu 3. Tính $F (x) = \int \frac{d x}{x \sqrt{2 \ln x + 1}}$

A. $F (x) = 2 \sqrt{2 \ln x + 1} + C$

B. $F (x) = \sqrt{2 \ln x + 1} + C$

C. $F (x) = \frac{1}{4} \sqrt{2 \ln x + 1} + C$

D. $F (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 \ln x + 1} + C$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $F (x) = \int d (\sqrt{2 \ln x + 1}) = \sqrt{2 \ln x + 1} + C$

Câu 4. Nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$ là

A. $\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} - \ln |x| + C$

B. $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \ln x + C$

C. $\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + \ln |x| + C$

D. $\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \ln x + C$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $\int (x^{3} - 3 x + \frac{1}{x}) d x$

$= \frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + \ln |x| + C$

Câu 5. Nguyên hàm của hàm số $y = \sqrt{3 x - 1}$ trên $(\frac{1}{3}; + \infty)$ là:

A. $\sqrt{\frac{3}{2} x^{2} - x + C}$

B. $\frac{2}{9} \sqrt{{(3 x - 1)}^{3}} + C$

C. $\sqrt{\frac{3}{2} x^{2} - x} + C$

D. $\frac{1}{9} \sqrt{{(3 x - 1)}^{3}} + C$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\int \sqrt{3 x - 1} . d x$

$= \frac{1}{3} . \frac{2}{1 + 2} \sqrt{{(3 x - 1)}^{3}} + C$

$= \frac{2}{9} \sqrt{{(3 x - 1)}^{3}} + C$

Câu 6. Tính $F (x) = \int \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x$

A. $F (x) = \ln |x^{4} - 1| + C$

B. $F (x) = \frac{1}{4} \ln |x^{4} - 1| + C$

C. $F (x) = \frac{1}{2} \ln |x^{4} - 1| + C$

D. $F (x) = \frac{1}{3} \ln |x^{4} - 1| + C$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\int \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x$

$= \frac{1}{4} \int \frac{d (x^{4} - 1)}{x^{4} - 1}$

$= \frac{1}{4} \ln |x^{4} - 1| + C$

Câu 7. Một nguyên hàm của hàm số $y = \sin 3 x$

A. $- \frac{1}{3} c os 3 x$

B. $- 3 c os 3 x$

C. $3 c os 3 x$

D. $\frac{1}{3} c os 3 x$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

$\int \sin 3 x d x = - \frac{1}{3} \cos 3 x + C$

Câu 8. Cho hàm số $f (x) = \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$ . Khi đó:

A. $\int f (x) d x = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{5}{x} + C$

B. $\int f (x) d x = 2 x^{3} - \frac{5}{x} + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{5}{x} + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{2 x^{3}}{3} + 5 \ln x^{2} + C$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $\int \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}} d x$

$= \int (\frac{5}{x^{2}} + 2 x^{2}) d x$

$= \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{5}{x} + C$

Câu 9. Một nguyên hàm của hàm số: $f (x) = x \sqrt{1 + x^{2}}$ là:

A. $F (x) = \frac{1}{3} {(\sqrt{1 + x^{2}})}^{3}$

B. $F (x) = \frac{1}{3} {(\sqrt{1 + x^{2}})}^{2}$

C. $F (x) = \frac{x^{2}}{2} {(\sqrt{1 + x^{2}})}^{2}$

D. $F (x) = \frac{1}{2} {(\sqrt{1 + x^{2}})}^{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có : $I = \int x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Đặt $t = \sqrt{1 + x^{2}}$

$\Rightarrow t^{2} = 1 + x^{2}$

$\Rightarrow t d t = x d x$

Khi đó: $I = \int t . t d t = \frac{t^{3}}{3} + C$

Thay $t = \sqrt{1 + x^{2}}$ ta được $I = \frac{{(\sqrt{1 + x^{2}})}^{3}}{3} + C$

Câu 10. Họ các nguyên hàm của hàm số $y = \sin 2 x$ là:

A. $- \cos 2 x + C$

B. $- \frac{1}{2} \cos 2 x + C$

C. $\cos 2 x + C$

D. $\frac{1}{2} \cos 2 x + C$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\int \sin 2 x d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$

Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện: $f (x) = 2 x - 3 \cos x, F (\frac{π}{2}) = 3$

A. $F (x) = x^{2} - 3 \sin x + 6 + \frac{π^{2}}{4}$

B. $F (x) = x^{2} - 3 \sin x - \frac{π^{2}}{4}$

C. $F (x) = x^{2} - 3 \sin x + \frac{π^{2}}{4}$

D. $F (x) = x^{2} - 3 \sin x + 6 - \frac{π^{2}}{4}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $F (x) = \int (2 x - 3 \cos x) d x$

$= x^{2} - 3 \sin x + C$

$F (\frac{π}{2}) = 3$

$\Leftrightarrow {(\frac{π}{2})}^{2} - 3 \sin \frac{π}{2} + C = 3$

$\Leftrightarrow C = 6 - \frac{π^{2}}{4}$

Vậy $F (x) = x^{2} - 3 \sin x + 6 - \frac{π^{2}}{4}$

Câu 12. Một nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = 2 x + \frac{1}{\sin^{2} x}$ thỏa mãn $F (\frac{π}{4}) = - 1$ là:

A. $F (x) = - c ot x + x^{2} - \frac{π^{2}}{16}$

B. $F (x) = c ot x - x^{2} + \frac{π^{2}}{16}$

C. $F (x) = - c ot x + x^{2}$

D. $F (x) = - c ot x + x^{2} - \frac{π^{2}}{16}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $F (x) = \int (2 x + \frac{1}{\sin^{2} x}) d x$

$= x^{2} - \cot x + C$

$F (\frac{π}{4}) = - 1$

$\Leftrightarrow {(\frac{π}{4})}^{2} - \cot \frac{π}{4} + C = - 1$

$\Leftrightarrow C = \frac{π^{2}}{16}$

Vậy $F (x) = - c ot x + x^{2} - \frac{π^{2}}{16}$

Câu 13. Cho hàm số $f (x) = \cos 3 x . \cos x$ . Một nguyên hàm của hàm số f(x) bằng 0 khi $x = 0$ là:

A. $3 \sin 3 x + \sin x$

B. $\frac{\sin 4 x}{8} + \frac{\sin 2 x}{4}$

C. $\frac{\sin 4 x}{2} + \frac{\sin 2 x}{4}$

D. $\frac{\cos 4 x}{8} + \frac{\cos 2 x}{4}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $F (x) = \int \cos 3 x . \cos . d x$

$= \frac{1}{2} \int (\cos 2 x + c o s 4 x) d x$

$= \frac{1}{8} \sin 4 x + \frac{1}{4} \sin 2 x + C$

Vậy $F (x) = \frac{\cos 4 x}{8} + \frac{\cos 2 x}{4}$

Câu 14: Nguyên hàm $\int [\sin^{2} (3 x + 1) + \cos x] d x$ là:

A. $\frac{1}{2} x - 3 \sin (6 x + 2) + \sin x + C$ .

B. $x - 3 \sin (6 x + 2) + \sin x + C$ .

C. $\frac{1}{2} x - 3 \sin (3 x + 1) + \sin x + C$ .

D. $\frac{1}{2} x - 3 \sin (6 x + 2) - \sin x + C$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

$\int [\sin^{2} (3 x + 1) + \cos x] d x$

$= \int [\frac{1 - \cos (6 x + 2)}{2} + \cos x] d x$

$= \int [\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (6 x + 2) + \cos x] d x$

$= \frac{1}{2} x - 3 \sin (6 x + 2) + \sin x + C$

Câu 15: Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{x + 1} - \frac{1}{x^{2}}$ . Nguyên hàm của $f (x)$ biết $F (3) = 6$ là:

A. $F (x) = \frac{2}{3} \sqrt{{(x + 1)}^{3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{3}$ .

B. $F (x) = \frac{2}{3} \sqrt{{(x + 1)}^{3}} + \frac{1}{x} + \frac{1}{3}$ .

C. $F (x) = \frac{2}{3} \sqrt{{(x + 1)}^{3}} - \frac{1}{x} - \frac{1}{3}$ .

D. $F (x) = \frac{2}{3} \sqrt{{(x + 1)}^{3}} + \frac{1}{x} - \frac{1}{3}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\int (\sqrt{x + 1} - \frac{1}{x^{2}}) d x$

$= \frac{2}{3} \sqrt{{(x + 1)}^{3}} + \frac{1}{x} + C$

Theo đề bài, ta lại có: $F (3) = 6$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3} \sqrt{{(3 + 1)}^{3}} + \frac{1}{3} + C = 6$

$\Leftrightarrow C = \frac{1}{3}$

$F (x) = \frac{2}{3} \sqrt{{(x + 1)}^{3}} + \frac{1}{x} + \frac{1}{3}$

Câu 16: Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 x^{3} + 2 (m - 1) x + m + 5$ , với m là tham số thực. Một nguyên hàm của f(x) biết rằng $F (1) = 8$ và $F (0) = 1$ là:

A. $F (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 6 x + 1$

B. $F (x) = x^{4} + 6 x + 1$ .

C. $F (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 1$ .

D. Đáp án A và B.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$\int [4 x^{3} + 2 (m - 1) x + m + 5] d x$

$= x^{4} + (m - 1) x^{2} + (m + 5) x + C$

Lại có:

$\{\begin{cases} F (0) = 1 \\ F (1) = 8 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} C = 1 \\ 1 + m - 1 + m + 5 + C = 8 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} C = 1 \\ m = 1 \end{cases}$

Vậy $F (x) = x^{4} + 6 x + 1$ .

Câu 17: Nguyên hàm của $\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$ là:

A. $\ln |t| + C$ , với $t = x^{2} + 1$

B. $- \ln |t| + C$ , với $t = x^{2} + 1$

C. $\frac{1}{2} \ln |t| + C$ , với $t = x^{2} + 1$ .

D. $- \frac{1}{2} \ln |t| + C$ , với $t = x^{2} + 1$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt $t = x^{2} + 1 \Rightarrow d t = 2 x d x$

$\Rightarrow \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x = ...$

$= \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t = \frac{1}{2} \ln |t| + C$

Câu 18: Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của $\int (\sin^{3} x + \cos^{3} x) d x$ ?

A. $3 \cos x . \sin^{2} x - 3 \sin x . \cos^{2} x + C$ .

B. $\frac{3}{2} \sin 2 x (\sin x - \cos x) + C$ .

C. $3 \sqrt{2} \sin 2 x \sin (x - \frac{π}{4}) + C$ .

D. $3 \sqrt{2} \sin x . \cos x . \sin (x - \frac{π}{4}) + C$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$\int (\sin^{3} x + \cos^{3} x) d x$

$= 3 \cos x . \sin^{2} x - 3 \sin x . \cos^{2} x + C$

$= \frac{3}{2} \sin 2 x (\sin x - \cos x) + C$

$= \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sin 2 x \sin (x - \frac{π}{4}) + C$

Câu 19: Với phương pháp đổi biến số $(x \to t)$ , nguyên hàm $\int \frac{\ln 2 x}{x} d x$ bằng:

A. $\frac{1}{2} t^{2} + C$ .

B. $t^{2} + C$ .

C. $2 t^{2} + C$ .

D. $4 t^{2} + C$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đặt $t = \ln 2 x \Rightarrow d t = 2. \frac{1}{2 x} d x$

$\Rightarrow d t = \frac{1}{x} d x$

$\Rightarrow \int \frac{\ln 2 x}{x} d x = ...$

$= \int t d t = \frac{1}{2} t^{2} + C$

Câu 20: Với phương pháp đổi biến số $(x \to t)$ , nguyên hàm $\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$ bằng:

A. $\frac{1}{2} t^{2} + C$ .

B. $\frac{1}{2} t + C$ .

C. $t^{2} + C$ .

D. $t + C$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta đặt : $x = \tan t, t \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$

$\Rightarrow d x = \frac{1}{\cos^{2} t} d t$

$\Rightarrow \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = ...$

$= \int d t = t + C$

Câu 21: Với phương pháp đổi biến số $(x \to t)$ , nguyên hàm $I = \int \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}} d x$ bằng:

A. $\sin t + C$ .

B. $- t + C$ .

C. $- \cos t + C$ .

D. $t + C$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta biến đổi: $I = \int \frac{1}{\sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}} d x$ .

Đặt $x - 1 = 2 \sin t, t \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

$\Rightarrow d x = 2 \cos t d t$

$\Rightarrow I = \int d t = t + C$

Câu 22: Tìm $I = \int \frac{e^{x} (3 x - 2) + \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1)} d x$ ?

A. $I = x + \ln (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1) + C$ .

B. $I = x - \ln (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1) + C$ .

C. $I = \ln (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1) + C$ .

D. $I = \ln (e^{x} . \sqrt{x - 1} - 1) + C$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$I = \int \frac{e^{x} (3 x - 2) + \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1)} d x$

$= \int \frac{\sqrt{x - 1} (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1) + e^{x} (2 x - 1)}{\sqrt{x - 1} (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1)} d x$

Đặt : $t = e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1$

$\Rightarrow d t = (\frac{e^{x}}{2 \sqrt{x - 1}} + e^{x} \sqrt{x - 1}) d x$

$= \frac{e^{x} (2 x - 1)}{2 \sqrt{x - 1}} d x$

Vậy $\Rightarrow I = \int d x + \int \frac{e^{x} (2 x - 1)}{\sqrt{x - 1} (e^{x} \sqrt{x - 1} + 1)} d x$

$= x + \int \frac{1}{t} d t = x + \ln |t| + C$

$= x + \ln (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1) + C$

Câu 23: Tìm $J = \int e^{x} . s i n x d x$ ?

A. $J = \frac{e^{x}}{2} (\cos x - \sin x) + C$ .

B. $J = \frac{e^{x}}{2} (\sin x + \cos x) + C$ .

C. $J = \frac{e^{x}}{2} (\sin x - \cos x) + C$ .

D. $J = \frac{e^{x}}{2} (\sin x + \cos x + 1) + C$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt : $\{\begin{cases} u_{1} = e^{x} \\ d v_{1} = \sin x . d x \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} d u_{1} = e^{x} . d x \\ v_{1} = - \cos x \end{cases}$

$\Rightarrow J = - e^{x} \cos x + \int e^{x} \cos x d x$

$= - e^{x} \cos x + T (T = \int e^{x} . \cos x d x)$

Tính $T = \int e^{x} . \cos x d x$ :

Đặt : $\{\begin{cases} u_{2} = e^{x} \\ d v_{2} = \cos x . d x \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} d u_{2} = e^{x} . d x \\ v_{2} = \sin x \end{cases}$

Câu 24: Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}})$ ?

A. $x^{4} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - 2 x^{2}$ .

B. $(\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - 2 x^{2}$ .

C. $x^{4} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) + 2 x^{2}$

D. $(\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) + 2 x^{2}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đặt : $\{\begin{cases} u = \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) \\ d v = x^{3} d x \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{16 x}{x^{4} - 16} \\ v = \frac{x^{4}}{4} - 4 = \frac{x^{4} - 16}{4} \end{cases}$

$\Rightarrow \int x^{4} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) d x$

$= (\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - \int 4 x d x$

$= (\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - 2 x^{2} + C$

Câu 25: Tìm $I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$ ?

A. $I = \frac{1}{2} (x + \ln |\sin x + \cos x|) + C$ .

B. $I = x + \ln |\sin x + \cos x| + C$

C. $I = x - \ln |\sin x + \cos x| + C$ .

D. $I = \frac{1}{2} (x - \ln |\sin x + \cos x|) + C$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Từ (1);(2) ta có hệ: $\{\begin{cases} I + T = x + C_{1} \\ I - T = - \ln |\sin x + \cos x| + C_{2} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} I = \frac{1}{2} (x - \ln |\sin x + \cos x|) + C \\ T = \frac{1}{2} (x + \ln |\sin x + \cos x|) + C \end{cases}$

Câu 26: Tìm $Q = \int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} d x$ ?

A. $Q = \sqrt{x^{2} - 1} + \ln |x + \sqrt{x^{2} - 1}| + C$ .

B. $Q = \sqrt{x^{2} - 1} - \ln |x + \sqrt{x^{2} - 1}| + C$ .

C. $Q = \ln |x + \sqrt{x^{2} - 1}| - \sqrt{x^{2} - 1} + C$ .

D. Cả đáp án B,C đều đúng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Điều kiện :

$\frac{x - 1}{x + 1} \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x < - 1 \end{array}$

Trường hợp 1 : Nếu $x \geq 1$ thì

$Q = \int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} d x$

$= \int \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

$= \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

$= \sqrt{x^{2} - 1} - \ln |x + \sqrt{x^{2} - 1}| + C$

Trường hợp 2: Nếu $x < - 1$ thì

$Q = \int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} d x$

$= \int \frac{1 - x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

$= \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x - \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

$= \ln |x + \sqrt{x^{2} - 1}| - \sqrt{x^{2} - 1} + C$

Câu 27: Tìm $T = \int \frac{x^{n}}{1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ... + \frac{x^{n}}{n!}} d x$ ?

Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Điều kiện :

$\frac{x - 1}{x + 1} \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x < - 1 \end{array}$

Trường hợp 1 : Nếu $x \geq 1$ thì

$Q = \int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} d x$

$= \int \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

$= \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

$= \sqrt{x^{2} - 1} - \ln |x + \sqrt{x^{2} - 1}| + C$

Trường hợp 2: Nếu $x < - 1$ thì

$Q = \int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} d x$

$= \int \frac{1 - x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

$= \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x - \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

$= \ln |x + \sqrt{x^{2} - 1}| - \sqrt{x^{2} - 1} + C$

Câu 28: Tìm $T = \int \frac{d x}{\sqrt[n]{{(x^{n} + 1)}^{n + 1}}}$ ?

A. $T = {(\frac{1}{x^{n}} + 1)}^{- \frac{1}{n}} + C$

B. $T = {(\frac{1}{x^{n}} + 1)}^{\frac{1}{n}} + C$

C. $T = {(x^{n} + 1)}^{- \frac{1}{n}} + C$

D. $T = {(x^{n} + 1)}^{\frac{1}{n}} + C$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có :

$T = \int \frac{d x}{\sqrt[n]{{(x^{n} + 1)}^{n + 1}}}$

$= \int \frac{d x}{x^{n + 1} . \sqrt[n]{{(\frac{1}{x^{n}} + 1)}^{n + 1}}}$

$= \int \frac{x^{- n - 1}}{{(\frac{1}{x^{n}} + 1)}^{1 + \frac{1}{n}}} d x$

$= \int x^{- n - 1} {(\frac{1}{x^{n}} + 1)}^{- 1 - \frac{1}{n}} d x$

Đặt: $t = \frac{1}{x^{n}} + 1$

$\Rightarrow d t = - \frac{n}{x^{n + 1}} = - n x^{- n - 1}$

$\Rightarrow T = - \frac{1}{n} \int t^{- 1 - \frac{1}{n}} d t$

$= t^{\frac{- 1}{n}} + C$

$= {(\frac{1}{x^{n}} + 1)}^{\frac{- 1}{n}} + C$

Câu 29: Tìm $H = \int \frac{x^{2} d x}{{(x \sin x + \cos x)}^{2}}$ ?

Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có : $H = \int \frac{x^{2}}{{(x \sin x + \cos x)}^{2}} d x$

$= \int \frac{x \cos x}{{(x \sin x + \cos x)}^{2}} . \frac{x}{\cos x} d x$

Đặt

$\{\begin{cases} u = \frac{x}{\cos x} \\ d v = \frac{x \cos x}{{(x \sin x + \cos x)}^{2}} d x \\ = \frac{d (x \sin x + \cos x)}{{(x \sin x + \cos x)}^{2}} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{x \sin x + \cos x}{\cos^{2} x} d x \\ v = - \frac{1}{x \sin x + \cos x} \end{cases}$

$\Rightarrow H = - \frac{x}{\cos x} . \frac{1}{x \sin x + \cos x} + \int \frac{1}{\cos^{2} x} d x$

$= \frac{- x}{\cos x (x \sin x + \cos x)} + \tan x + C$

Câu 30: Tìm $R = \int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}} d x$ ?

A. $R = - \frac{\tan 2 t}{2} + \frac{1}{4} \ln |\frac{1 + \sin 2 t}{1 - \sin 2 t}| + C$ với $t = \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})$ .

B. $R = - \frac{\tan 2 t}{2} - \frac{1}{4} \ln |\frac{1 + \sin 2 t}{1 - \sin 2 t}| + C$ với $t = \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})$ .

C. $R = \frac{\tan 2 t}{2} + \frac{1}{4} \ln |\frac{1 + \sin 2 t}{1 - \sin 2 t}| + C$ với $t = \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})$ .

D. $R = \frac{\tan 2 t}{2} - \frac{1}{4} \ln |\frac{1 + \sin 2 t}{1 - \sin 2 t}| + C$ với $t = \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đặt $x = 2 \cos 2 t$ với $t \in (0; \frac{π}{2})$

Ta có : $\begin{array}{l} d x = - 4 \sin 2 t . d t \end{array}$

$\sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}} = \sqrt{\frac{2 - 2 \sin 2 t}{2 + 2 \cos 2 t}}$

$= \sqrt{\frac{4 \sin^{2} t}{4 \cos^{2} t}} = \frac{\sin t}{\cos t}$

$\Rightarrow R = - \int \frac{1}{4 \cos^{2} 2 t} . \frac{\sin t}{\cos t} . 4 \sin 2 t . d t$

$= - \int \frac{2 \sin^{2} t}{\cos^{2} 2 t} d t$

$= - \int \frac{1 - \cos 2 t}{\cos^{2} 2 t} d t$

$\Leftrightarrow R = - \int \frac{1}{\cos^{2} 2 t} d t + \int \frac{1}{\cos 2 t} d t$

$= - \frac{\tan 2 t}{2} + \frac{1}{4} \ln |\frac{1 + \sin 2 t}{1 - \sin 2 t}| + C$

Câu 31: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào nhận giá trị đúng?

A. Hàm số y = 1/x có nguyên hàm trên (-∞; +∞).

B. 3x² là một số nguyên hàm của x³ trên (-∞; +∞).

C. Hàm số y = |x| có nguyên hàm trên (-∞;+∞).

D. 1/x + C là họ nguyên hàm của ln⁡x trên (0;+∞).

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên

hàm trên K. Vì y = |x| liên tục trên R nên có nguyên hàm trên R .

Phương án A sai vì y=1/x không xác định tại x=0 ∈ (-∞;+∞).

Phương án B sai vì 3x² là đạo hàm của x³.

Phương án D sai vì 1/x là đạo hàm của ln⁡x trên (0; +∞).

Vậy chọn đáp án C.

Câu 32: Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của f(x)=2x-sin⁡2x ?

A. x² + (1/2).cos⁡2x

B. x² + cos² x

C. x² - sin²x

D. x² + cos⁡2x .

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

∫(2x-sin⁡2x)dx=2∫xdx-∫sin⁡2xdx

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

D không phải là nguyên hàm của f(x). Vậy chọn đáp án D.

Câu 33: Tìm nguyên hàm của Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Với x ∈ (0; +∞) ta có Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Vậy chọn đáp án C.

Câu 34: Tìm I = ∫x.e^3xdx

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 35:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đặt u = e^x + 1 ⇒ u' = e^x. Ta có

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 36: Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) = cosxsinx

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Sử dụng phương pháp biến đổi số ta có:

Đặt u = cosx thì u’ = -sinx và ∫sinxcosxdx = -∫u.u'dx = -∫udu

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Vậy chọn đáp án D.

Câu 37: Tìm I=∫(3x2- x + 1)exdx

A. I = (3x² - 7x +8)e^x + C

B. I = (3x² - 7x)e^x + C

C. I = (3x² - 7x +8) + e^x + C

D. I = (3x² - 7x + 3)e^x + C

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ta có:

Đặt u = 3x² - x + 1 và dv = e^xdx ta có du = (6x - 1)dx và v = e^x . Do đó:

∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - ∫(6x - 1)e^xdx

Đặt u₁ = 6x - 1; dv₁ = e^xdx Ta có: du₁ = 6dx và v₁ = e^x .

Do đó ∫(6x - 1)e^xdx = (6x - 1)e^x - 6∫e^xdx = (6x - 1)e^x - 6e^x + C

Từ đó suy ra

∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - (6x - 7)e^x + C = (3x² - 7x + 8)e^x + C

Vậy chọn đáp án A.

Câu 38:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 39: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Vận tốc của vật sau 10 giây xấp xỉ bằng

A. 10m/s

B. 11m/s

C. 12m/s

D. 13m/s.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Vận tốc của vật bằng

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

với t = 0 ta có v(0)= C = 6 nên phương trình vận tốc của chuyển động là :

v(t) = 3ln(t + 1) + 6 (m/s)

khi đó v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13 (m/s) .

Câu 40: Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx .

A. I = sin(4x + 2) + C

B. I = - sin(4x + 3) + C

C. I = (1/4).sin(4x + 3) + C

D. I = 4sin(4x + 3) + C

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt u = 4x + 3

⇒ du = 4dx ⇒ dx = 1/4 du và cos(4x+3)dx được viết thành

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Các câu hỏi trắc nghiệm Toán lớp 12 có đáp án, chọn lọc khác:

Trắc nghiệm Tích phân có đáp án

Trắc nghiệm Ứng dụng tích phân có đáp án

Trắc nghiệm Ôn tập Chương 3 - Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng có đáp án

Trắc nghiệm Số phức có đáp án

Trắc nghiệm Cộng, trừ và nhân số phức có đáp án

1 1,438 22/12/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3