TOP 40 câu Trắc nghiệm Ứng dụng tích phân (có đáp án 2024) - Toán 12

Đáp án: B

Giải thích:

Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S={\int }_{-3}^{-2}\left|\left(x^2-4\right)-\left(-x^2-2x\right)\right|dx$

$={\int }_{-3}^{-2}\left[\left(x^2-4\right)-\left(-x^2-2x\right)\right]dx$

$={\int }_{-3}^{-2}\left(2x^2+2x-4\right)dx$

$=\left(2\frac{x^3}{3}+2\frac{x^2}{2}-4x\right)\left|\begin{array}{c}-2\\ -3\end{array}\right.=\frac{11}{3}$

Đáp án: D

Giải thích:

Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai số đã cho là:

$x^2-4=-x^2-2x$

$\iff x^2+x-2=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-2\end{array}\right.$

Dựa vào hình vẽ ở câu A. ta có:

$S={\int }_{-2}^1\left|\left(x^2-4\right)-\left(-x-2x\right)\right|dx$

$={\int }_{-2}^1\left[-\left(2x^2+2x-4\right)\right]dx$

$=\left(-2\frac{x^3}{3}-2\frac{x^2}{2}+4x\right)\left|\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}=9\right.$

Đáp án: A

Giải thích:

Diện tích cần tìm $S={\int }_{-2}^1\left|x^3-4x\right|dx$

Ta có: $x^3-4x=x\left(x^2-4\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 2\end{array}\right.$

Ta có bảng xét dấu sau:

Đáp án: C

Giải thích:

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S={\int }_0^1\left|x^4-4x^2+4-x^2\right|dx$

$={\int }_0^1\left|x^4-5x^2+4\right|dx$

Vì $x^4-5x^2+4=\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\ge 0$

$\forall x\in \left[0;1\right]$

Nên

$S={\int }_0^1\left(x^4-5x^2+4\right)dx$

$=\left(\frac{x^5}{5}-\frac{5x^3}{3}+4x\right)\left|\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right.$

$=\frac{1}{5}-\frac{5}{3}+4=\frac{38}{15}$

Đáp án: D

Giải thích:

Hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số $y=x^2+1$ và $y=3-x$ là nghiệm của phương trình $x^2+1=3-x$

$\iff x^2+x-2=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy diện tích cần tìm là:

$S={\int }_{-2}^1\left|\left(x^2+1\right)-\left(3-x\right)\right|dx$

$={\int }_{-2}^1\left|x^2+x-2\right|dx$

$=-{\int }_{-2}^1\left(x^2+x-2\right)dx$

$=-\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x\right)\left|\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right.$

$=\frac{9}{2}$

Đáp án: A

Giải thích:

Tung độ giao điểm của đường cong $x=y^3$ và đường thẳng $x=8$ là nghiệm của phương trình $y^3=8\iff y=2$. Vậy diện tích cần tìm là:

$S={\int }_1^2\left|y^3-8\right|dy$

$={\int }_1^2\left(y^3-8\right)dy$

$=-\left(\frac{y^4}{4}-8y\right)\left|\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right.$

$=-\left[\left(\frac{16}{4}-16\right)-\left(\frac{1}{4}-8\right)\right]$

$=\frac{17}{4}$

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $y=\sqrt{x}\iff x=y^2\left(y\ge 0\right);$

$y=6-x\iff x=6-y$

Tung độ giao điểm của hai đường thẳng $x=y^2,x=6-y$ là nghiệm của phương trình $y^2=6-y$ $\iff y^2+y-6=0$ $\iff \left[\begin{array}{c}y=-3\left(L\text{ vi y}\ge \text{0}\right)\\ y=2\end{array}\right.$

Vậy diện tích cần tìm là $S={\int }_0^2\left|y^2-\left(6-y\right)\right|dy$

$={\int }_0^2\left|y^2+y-6\right|dy$

$=-{\int }_0^2\left(y^2+y-6\right)dy$

$=-\left(\frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}-6y\right)\left|\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right.$

$=-\left(\frac{8}{3}+\frac{4}{2}-12\right)=\frac{22}{3}$

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $4-x^2=-x+2$

$\iff x^2-x-2=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ x=2\end{array}\right.$

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S={\int }_{-1}^2\left|\left(-x+2\right)-\left(4-x^2\right)\right|dx$

$={\int }_{-1}^2\left|x^2-x-2\right|dx$

$=-{\int }_{-1}^2\left(x^2-x-2\right)dx$

$=-\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x\right)\left|\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right.$

$=-\left[\left(\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4\right)-\left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\right)\right]$

$=\frac{9}{2}$

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(\sqrt{e^x}\right)}^2\text{d}x$

$=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{e}^x\text{d}x$.

Đáp án: A

Giải thích:

$V=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^x\right)}^2\text{dx}$

$=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{2x}\text{dx}$

$={\left.\frac{\pi }{2}{e}^{2x}\right|}_0^1$

$=\frac{\pi }{2}\left(e^2-e^0\right)$

$=\frac{\pi }{2}\left(e^2-1\right)$

Đáp án: A

Giải thích:

Cách 1: Ta có $x^2-1\le 0,\forall x\in \left[-1;1\right]$

Do đó diện tích phần tô đậm là

$S={\int }_{-1}^1\left|x^2-1\right|\text{dx}$

$={\int }_{-1}^1\left(1-x^2\right)\text{dx}$

$={\left.\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_{-1}^1$

$=\frac{4}{3}$

Cách 2: Công thức nhanh tính diện tích $S=\frac{2}{3}Bh$

Áp dụng công thức với $B=2$, $h=1$ ta có:

$S=\frac{2}{3}Bh$

$=\frac{2}{3}\mathrm{.2.1}=\frac{4}{3}$

Đáp án: D

Giải thích:

Diện tích hình (H) là :

$S=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left[f\left(x\right)-\left(x^2+4x\right)\right]\text{d}x$

$=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x-\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(x^2+4x\right)\text{d}x$

$=\frac{4}{3}-\left(\frac{x^3}{3}+2x^2\right)\left|\begin{array}{l}0\\ -2\end{array}\right.$

$=\frac{4}{3}+\frac{{\left(-2\right)}^3}{3}+2{\left(-2\right)}^2=\frac{20}{3}$

Vậy diện tích hình (H) là $S=\frac{20}{3}$.

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

Vậy $\underset{0}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ là giá trị lớn nhất.

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có $v\left(t\right)=15-at$.

Tại thời điểm ô tô dừng hẳn ta có $v\left(t\right)=0\iff 15-at=0$

$\iff t=\frac{15}{a}$

Do ô tô đi được thêm 20m nên ta có:

$\underset{0}{\overset{\frac{15}{a}}{\int }}v\left(t\right)\text{d}t=\underset{0}{\overset{\frac{15}{a}}{\int }}\left(15-at\right)\text{d}t=20$

$\iff {\left.\left(15t-\frac{1}{2}a{t}^2\right)\right|}_0^{\frac{15}{a}}=20$

$\iff 15.\frac{15}{a}-\frac{1}{2}a.\frac{{15}^2}{a^2}=20$

$\iff \frac{225}{a}-\frac{225}{2a}=20$

$\iff a=5,625$

Suy ra $a\in \left(5;6\right)$.

Đáp án: C

Giải thích:

Thời gian từ lúc ô tô hãm phanh đến lúc dừng hẳn là $-3t+15=0\iff t=5.$

Quãng đường ô tô di chuyển được từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là

$S=\underset{0}{\overset{5}{\int }}v\left(t\right)dt$

$=\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left(-3t+15\right)dt$

$=37,5\left(m\right)$

Đáp án: C

Giải thích:

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^2-4x+3$ và trục hoành là nghiệm phương trình $x^2-4x+3=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}\right.$.

Do đó, thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-4x+3$ và trục hoành quay quanh trục Ox là

Đáp án: D

Giải thích:

Dựa vào hình vẽ ta có: $A(-1;0),B\left(3;0\right),C\left(1;4\right)$ thuộc (P) nên ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ a+b+c=4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\\ c=3\end{array}\right.$

$\Rightarrow y=-x^2+2x+3$

Thể tích khối tròn xoay:

$V=\pi \underset{-1}{\overset{3}{\int }}{\left(-x^2+2x+3\right)}^{2}dx$

$=\frac{512\pi }{15}$.

Đáp án: C

Giải thích:

Xét hàm số $y=\sqrt{x}$ ta có $y\text{'}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow y\text{'}\left(4\right)=\frac{1}{4}$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M\left(4;2\right)$ là $y=\frac{1}{4}\left(x-4\right)+2$

$\iff y=\frac{1}{4}x+1$.

Diện tích hình phẳng cần tìm là

$S=S_{OAM}+S_{OMB}$

$=\frac{1}{2}\mathrm{.4.1}+\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{1}{4}x+1-\sqrt{x}\right)dx$

$=\frac{8}{3}$

Đáp án: C

Giải thích:

Đồ thị nửa trên đường tròn $y=\sqrt{20-x^2}$.

Parabol qua gốc tọa độ, nhận trục tung làm trục đối xứng nên phương trình của parabol có dạng $y=a{x}^2$

Vì (P) đi qua $\left(2;4\right)$ nên $\left(P\right):y=x^2$.

Diện tích phần tô đậm: $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(\sqrt{20-x^2}-x^2\right)\text{d}x$

Diện tích phần trồng cỏ:

$\frac{\pi {\left(2\sqrt{5}\right)}^2}{2}-\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(\sqrt{20-x^2}-x^2\right)\text{d}x\approx 19,48$

Từ đó suy ra chi phí trồng cỏ là:

$19,48\times 100.000=\mathrm{1.948.000}$ đồng.

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi I,J lần lượt là tâm của hai đường tròn bán kính 20m, 15m.

Gọi A,B là giao của hai đường tròn.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho Oy trùng IJ và Ox song song với AB và I là gốc tọa độ (như hình vẽ).

Khi đó đường tròn tâm I bán kính $R=20m$ có phương trình $x^2+y^2=400$.

Vì khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30m nên $J\left(0;30\right)$ . Do đó đường tròn tâm $J\left(0;30\right)$ bán kính $R=15m$ có phương trình $x^2+{\left(y-30\right)}^2=225$

Khi đó phần chung của hai đường tròn giới hạn bởi

Diện tích riêng của hai đường tròn là

Vậy số tiền làm mặt sàn sân là gần 202 triệu đồng.

Đáp án: D

Giải thích:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=x^3+2x^2$ và $y=x+2$:

$x^3+2x^2=x+2$

$\iff x^3+2x^2-x-2=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\\ x=-2\end{array}\right.$

Hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=x^3+2x^2$ và $y=x+2$ là phần gạch chéo và được chia thành hai hình $\left(H_1\right)$ và $\left(H_2\right)$ (như hình vẽ).

Thể tích $V_1$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left(H_1\right)$ quanh trục Ox là:

$V_1=\pi \underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left[{\left(x^3+2x^2\right)}^2-{\left(x+2\right)}^2\right]\text{d}x$

Thể tích $V_2$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left(H_2\right)$ quanh trục Ox là:

$V_2=\pi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[{\left(x+2\right)}^2-{\left(x^3+2x^2\right)}^2\right]\text{d}x$

Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là: