TOP 40 câu Trắc nghiệm Ôn tập Chương 3 (có đáp án 2024) - Toán 12

Trắc nghiệm Toán 12 Bài: Ôn tập Chương 3 - Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Câu 1. Cho $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sin 2x}{1+\cos x}$ thỏa mãn $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$. Tính $F\left(0\right)$.

A. $F\left(0\right)=2\ln 2+2$.

B. $F\left(0\right)=2\ln 2$.

C. $F\left(0\right)=\ln 2$.

D. $F\left(0\right)=2\ln 2-2$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$f\left(x\right)=\frac{\sin 2x}{1+\cos x}$

$=\frac{2\sin x.\cos x}{1+\cos x}$

Đặt $u=1+\cos x$$\Rightarrow \text{d}u=-\sin x\text{d}x$ và $\cos x=u-1$.

Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=(x+1).\sin 2x$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x+1\\ \text{d}v=\sin 2x\text{d}x\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\text{d}u=\text{d}x\\ v=-\frac{1}{2}\text{cos2}x\end{array}\right.$

Khi đó:

Câu 3. Cho hàm số $f\left(x\right)$ có $\underset{0}{\overset{9}{\int }}f\left(x\right)dx=9$. Tính $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(3x\right)dx$.

A. $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(3x\right)dx=3$.

B. $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(3x\right)dx=27$.

C. $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(3x\right)dx=-3$.

D. $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(3x\right)dx=1$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đặt $t=3x$ $\Rightarrow dt=3dx$

$\Rightarrow dx=\frac{1}{3}dt$.

Đổi cận $x=0\Rightarrow t=0$

$x=3\Rightarrow t=9$

$\Rightarrow \underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(3x\right)dx=\frac{1}{3}\underset{0}{\overset{9}{\int }}f\left(t\right)dt$

$=\frac{1}{3}\underset{0}{\overset{9}{\int }}f\left(x\right)dx=3$

Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\int \frac{\text{d}x}{x}=\ln x+C$.

B. $\int x^{\alpha }\text{d}x=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C,\alpha \ne -1$.

C. $\int a^x\text{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$.

D. $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}\text{d}x=\tan x+C$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $\int \frac{\text{d}x}{x}=\ln \left|x\right|+C$ nên đáp án A sai.

Câu 5. Tính $I=\int 2x\sqrt{x^2+1}\text{d}x$ bằng cách đặt $u=\sqrt{x^2+1}$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $I=2\int \sqrt{u}\text{d}u$.

B. $I=\int u\text{d}u$.

C. $I=\int u^2\text{d}u$.

D. $I=2\int u^2\text{d}u$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đặt $u=\sqrt{x^2+1}$

$\Rightarrow u^2=x^2+1$

$\Rightarrow 2u\text{d}u=2x\text{d}x$.

$\Rightarrow I=\int 2u.u.\text{d}u$

$=2\int u^2\text{d}u$

Câu 6. Cho $I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}|x-2|\text{d}x$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $I=\left|\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x-2\right)\text{d}x\right|$.

B. $I=-\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x-2\right)\text{d}x+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x-2\right)\text{d}x$.

C. $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x-2\right)\text{d}x+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x-2\right)\text{d}x$.

D. $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x-2\right)\text{d}x-\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x-2\right)\text{d}x$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\left|x-2\right|=\left\{\begin{array}{l}x-2,x\ge 2\\ -\left(x-2\right),x<2\end{array}\right.$

Suy ra: $I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}|x-2|\text{d}x$

$=-\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x-2\right)\text{d}x+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x-2\right)\text{d}x$.

Vậy $I=-\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x-2\right)\text{d}x+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x-2\right)\text{d}x$

Câu 7. Hàm số $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. $f\left(x\right)=3x^2+\cos x$.

B. $f\left(x\right)=x^2+\sin x$.

C. $f\left(x\right)=x^2-\sin x$.

D. $f\left(x\right)=\frac{x^4}{12}+\sin x$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)

$\Rightarrow F^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right)$

Ta có $F^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{x^3}{3}-\cos x\right)}^{\text{'}}$

$=x^2+\sin x$

Câu 8. Tìm $\int {\left(2x+1\right)}^5\text{d}x$ ta được

A. $\frac{1}{12}{\left(2x+1\right)}^6+C$.

B. $\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^5+C$.

C. ${\left(2x+1\right)}^4+C$.

D. $5{\left(2x+1\right)}^4+C$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $\int {\left(2x+1\right)}^5\text{d}x=\frac{1}{2}\int {\left(2x+1\right)}^5\text{d}\left(2x+1\right)$

$=\frac{{\left(2x+1\right)}^6}{12}+C$

Câu 9. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2-3x+\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$ là

A. $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+\ln \left|x\right|+C$.

B. $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+\frac{1}{x^2}+C$.

C. $x^3-3x^2+\ln x+C$.

D. $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}-\ln \left|x\right|+C$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $\int f\left(x\right)\text{d}x=\int \left(x^2-3x+\frac{1}{x}\right)\text{d}x$

$=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+\ln \left|x\right|+C$

Câu 10. Nguyên hàm $F\left(x\right)$ của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x^4+3}{x^2}$, $x\ne 0$ là

A. $F\left(x\right)=\frac{2x^3}{3}+\frac{3}{x}+C$.

B. $F\left(x\right)=-3x^3-\frac{3}{x}+C$.

C. $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-\frac{3}{x}+C$.

D. $F\left(x\right)=\frac{2x^3}{3}-\frac{3}{x}+C$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $\int \left(\frac{2x^4+3}{x^2}\right)\text{d}x=\int \left(2x^2+\frac{3}{x^2}\right)\text{d}x$

$=\frac{2x^3}{3}-\frac{3}{x}+C$

Câu 11. Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^2-x+1}dx=\frac{\pi a}{b\sqrt{3}}$. Với là các số nguyên và $\frac{a}{b}$ tối giản. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A. $a+b>10$.

B. $a+b<5$.

C. $a+b<6$.

D. $a+b>8$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^2-x+1}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}dx$

Đặt $x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan t$ .

$\Rightarrow dx=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt$

Đổi cận $x=0\Rightarrow t=-\frac{\pi }{6}$

$x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}$

$\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^2-x+1}dx$

$=\underset{-\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}\frac{1}{\frac{3}{4}(ta{n}^{2}t+1)}\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt$

$=\underset{-\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}\frac{1}{\frac{3}{4}(ta{n}^{2}t+1)}\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt$

$={\left.\frac{2}{\sqrt{3}}t\right|}_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}=\frac{2\pi }{3\sqrt{3}}$

$\Rightarrow a=2,b=3$

Câu 12. Cho đồ thị hàm số như hình vẽ bên.

Diện tích S của hình phẳng phần tô đậm trong hình được tính theo công thức nào sau đây?

A. $S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$.

B. $S=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$.

C. $S=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{3}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$.

D. $S=\underset{0}{\overset{-2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Theo hình vẽ, ta có $S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x$

$=-\underset{-2}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$

$=\underset{0}{\overset{-2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$.

Câu 13. Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=x^3,y=2-x$ và trục hoành Ox (như hình vẽ) được tính bởi công thức nào dưới đây?

A. $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^3\text{d}x+\underset{1}{\overset{2}{\int }}(x-2)\text{d}x$.

B. $S=\left|\underset{0}{\overset{2}{\int }}(x^3+x-2)\text{d}x\right|$.

C. $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^3-(2-x)\right|\text{d}x$.

D. $S=\frac{1}{2}+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^3\text{d}x$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Xét các phương trình hoành độ giao điểm

+) $x^3=2-x$

$\iff x^3+x-2=0\iff x=1.$

+) $x^3=0\iff x=0$

+) $2-x=0\iff x=2.$

Dựa vào hình vẽ, ta có

$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^3\text{d}x+\underset{1}{\overset{2}{\int }}(2-x)\text{d}x$

$=\frac{1}{2}+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^3\text{d}x.$

Câu 14. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=1$ và $x=3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $(1\le x\le 3)$ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và $\sqrt{3x^2-2}$.

A. $V=\frac{124\pi }{3}$.

B. $V=\left(32+2\sqrt{15}\right)\pi$.

C. $V=32+2\sqrt{15}$.

D. $V=\frac{124}{3}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Diện tích thiết diện (hình chữ nhật) là $S\left(x\right)=3x\sqrt{3x^2-2}$.

Suy ra thể tích cần tính

$V=\underset{1}{\overset{3}{\int }}S\left(x\right)\text{d}x=\underset{1}{\overset{3}{\int }}3x\sqrt{3x^2-2}\text{d}x$

$=\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{3}{\int }}\sqrt{3x^2-2}\text{d}\left(3x^2-2\right)$

$=\frac{1}{3}{(3x^2-2)}^{\frac{3}{2}}{|}_1^3=\frac{124}{3}.$

Câu 15. Tìm $\int \sin 3x\text{\hspace{0.17em}d}x$.

A. $\frac{1}{3}\cos 3x+C.$

B. $-\frac{1}{3}\cos 3x+C.$

C. $-\cos 3x+C.$

D. $cos3x+C.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$\int \sin 3x.\text{\hspace{0.17em}d}x=\frac{1}{3}\int \sin 3x\text{\hspace{0.17em}d}\left(3x\right)$

$=\frac{-1}{3}c\text{os}3x+C$

Câu 16. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2x-1}$. Biết $F\left(1\right)=2$. Giá trị của là $F\left(\frac{e+1}{2}\right)$

A. $\frac{3}{2}$.

B. 3.

C. $-\frac{3}{2}$.

D. $\frac{5}{2}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$\int f\left(x\right)\text{d}x=\int \frac{1}{2x-1}\text{d}x$

$=\frac{1}{2}\ln \left|2x-1\right|+C\left(C\in ℝ\right)$

$F\left(1\right)=2\Rightarrow C=2$. Vậy $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln \left|2x-1\right|+2$

Do đó, $F\left(\frac{e+1}{2}\right)=\frac{5}{2}$.

Câu 17. Giả sử là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K. Khẳng định nào sau đây sai?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=0$

Câu 18. Cho các số thực $a,b\left(a<b\right)$. Nếu hàm số $y=F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ thì

A. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=F\left(a\right)-F\left(b\right)$.

B. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}F\left(x\right)\text{d}x=f\left(a\right)-f\left(b\right)$.

C. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}F\left(x\right)\text{d}x=f\left(a\right)-f\left(b\right)$.

D. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Theo giả thiết $y=F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ nên ta có $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)\left|{}_a^b\right.$ $=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Câu 19. Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $\left[0;1\right]$ thỏa mãn $f\left(x\right)+xf\left(x^2\right)=2x^2+1$. Giá trị $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng

A. $\frac{5}{3}$.

B. $\frac{10}{9}$.

C. $\frac{5}{9}$.

D. $\frac{10}{3}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Theo đề $f\left(x\right)+xf\left(x^2\right)=2x^2+1$

Xét $A=\underset{0}{\overset{1}{\int }}xf\left(x^2\right).dx$. Đặt $t=x^2\Rightarrow dt=2x.dx$

Đổi cận:

x	0	1
t	0	1

$\Rightarrow A=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right).dt$ $=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right).dx$

Từ đó:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right).dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}xf\left(x^2\right).dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(2x^2+1\right).dx$

$\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right).dx+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right).dx=\frac{5}{3}$

$\iff \frac{3}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right).dx=\frac{5}{3}$

$\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right).dx=\frac{10}{9}$

Câu 20. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=2x-x^2$ và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành.

A. $V=\frac{16\pi }{15}$.

B. $V=\frac{11\pi }{15}$.

C. $V=\frac{12\pi }{15}$.

D. $V=\frac{4\pi }{15}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Phương trình hoành độ giao điểm:

$2x-x^2=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2.\end{array}\right.$

Thể tích cần tính là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2x-x^2\right)}^2\text{d}x$

$=\pi \left(\frac{4x^3}{3}-x^4+\frac{x^5}{5}\right){|}_0^2$

$=\frac{16\pi }{15}.$

Câu 21. Để tính $\int x\ln \left(2+x\right)\text{d}x$ theo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta đặt

A. $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(x+2\right)\\ \text{d}v=x\text{d}x\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}u=x\ln \left(x+2\right)\\ \text{d}v=\ln \left(x+2\right)\text{d}x\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ \text{d}v=\ln \left(x+2\right)\text{d}x\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(x+2\right)\\ \text{d}v=\text{d}x\end{array}\right.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(x+2\right)\\ \text{d}v=x\text{d}x\end{array}\right.$

Câu 22. Cho hàm số f(x) liên tục trên R, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b\left(a<b\right)$ được tính theo công thức

A. $S=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x$.

B. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x$.

C. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$.

D. $S=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$, $\left(a<b\right)$ được tính theo công thức $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x$.

Câu 23. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\left[3;4\right]$. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=3$, $x=4$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức

A. $V=\pi \underset{3}{\overset{4}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x$.

B. $V={\pi }^2\underset{3}{\overset{4}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x$.

C. $V=\underset{3}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$.

D. $V=\underset{3}{\overset{4}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là: $V=\pi \underset{3}{\overset{4}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x$

Câu 24. Hàm số $f\left(x\right)=x\sqrt{x+1}$ có một nguyên hàm là $F\left(x\right)$. Nếu $F\left(0\right)=2$ thì $F\left(3\right)$ bằng

A. $\frac{146}{15}$.

B. $\frac{116}{15}$.

C. $\frac{886}{105}$.

D. $\frac{105}{886}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đặt $t=\sqrt{x+1}$

$\Rightarrow x=t^2-1$$\Rightarrow 2t\text{d}t=\text{d}x$.

$\int x\sqrt{x+1}\text{d}x=\int \left(2t^4-2t^2\right)\text{d}t$

$=\frac{2}{5}{t}^5-\frac{2}{3}{t}^3+C$

$=\frac{2}{5}{\left(\sqrt{x+1}\right)}^5-\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x+1}\right)}^3+C.$

Vì $F\left(0\right)=2$ nên $C=\frac{34}{15}$.

Vậy $F\left(3\right)=\frac{2}{5}{.2}^5-\frac{2}{3}{.2}^3+\frac{34}{15}$

$=\frac{146}{15}$.

Câu 25. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$. Hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ trên đoạn $\left[-2;1\right]$ và lần lượt bằng 9 và 12. Cho $f\left(1\right)=3.$ Giá trị của biểu thức $f\left(-2\right)+f\left(4\right)$ bằng

A. 21

B. 9

C. 3

D. -3

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Từ đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0$ trên mỗi đoạn $\left[-2;1\right]$ và $\left[1;4\right].$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox với đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ trên đoạn $\left[-2;1\right]$ là:

$S_1=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|f^{\text{'}}\left(x\right)\right|\text{d}x$

$=-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=f\left(-2\right)-f\left(1\right)$

$\Rightarrow f\left(-2\right)-f\left(1\right)=9$

$\Rightarrow f\left(-2\right)=9+f\left(1\right)=12.$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox với đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ trên đoạn [1;4] là

$S_2=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|f^{\text{'}}\left(x\right)\right|\text{d}x$

$=-\underset{1}{\overset{4}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=f\left(1\right)-f\left(4\right)$

$\Rightarrow f\left(1\right)-f\left(4\right)=12$

$\Rightarrow f\left(4\right)=f\left(1\right)-12=-9.$

Vậy $f\left(-2\right)+f\left(4\right)=12-9=3$

Câu 26. Cho tích phân $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{\ln x+e^{\ln x}}{x}\text{d}x=e^a-b$, giá trị của a + 2b bằng

A. 3.

B. $\frac{3}{2}$.

C. $\frac{5}{2}$.

D. 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đặt $t=\ln x\Rightarrow \text{d}t=\frac{1}{x}\text{d}x$

Đổi cận $x=1\Rightarrow t=0$

$x=e\Rightarrow t=1$

Ta có $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(t+e^t)\text{d}t=e-\frac{1}{2}$. Suy ra a = 1 và $b=\frac{1}{2}$. Tính được a + 2b = 2.

Câu 27. Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên R và $f\left(x\right)+f(-x)={\cos }^{4}x$ $\forall x\in R$. Giá trị của biểu thức $I=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ là

A. $\frac{3\pi }{8}$.

B. $\frac{3\pi }{16}$.

C. $\frac{5\pi }{8}$.

D. $\frac{5\pi }{16}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đặt $x=-t\Rightarrow \text{d}x=-\text{d}t$.

Đổi cận $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=-\frac{\pi }{2}$

$x=-\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$

Ta có $I=\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{-\frac{\pi }{2}}{\int }}f(-t)\text{d}(-t)$

$=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f(-t)\text{d}t$$=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f(-x)\text{d}x$

$\Rightarrow 2\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left[f\left(x\right)+f(-x)\right]\text{d}x$

$=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{4}x\text{d}x$

$=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{8}\cos 4x)\text{d}x$

$=\frac{3\pi }{8}$

$\Rightarrow I=\frac{3\pi }{16}$

Câu 28. Cho hàm số đa thức bậc ba $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\text{ (}a\ne 0\text{)}$ có đồ thị như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và trục hoành.

A. 6

B. $\frac{19}{4}$

C. $\frac{27}{4}$

D. 8

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ cắt và tiếp xúc trục hoành lần lượt tại tại điểm (-2;0) và (1;0) nên hàm số có dạng $y=f\left(x\right)=a(x+2){(x-1)}^2$

$=a(x^3-3x+2)$

Mặt khác đồ thị hàm số lại đi qua điểm (-1;4) nên ta có $a=1$.

Vậy $y=f\left(x\right)=x^3-3x+2$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và trục hoành là:

$S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|x^3-3x+2\right|\text{d}x=\frac{27}{4}$

Câu 29. Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao $BC=6m$, chiều dài $CD=12m$ (hình vẽ bên). Cho biết $MNEF$ là hình chữ nhật có $MN=4m$; cung có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/$m^2$. Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

A. 20.400.000 đồng.

B. 20.600.000 đồng.

C. 20.800.000 đồng.

D. 21.200.000 đồng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi O là trung điểm MN. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Khi đó, ta có phương trình đường parabol đỉnh $I(0;6)$ và đi qua hai điểm $C\left(6;0\right),D\left(-6;0\right)$ là $\left(P\right):y=6=\frac{1}{6}{x}^2$

Diện tích bức tranh là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol (P) trục Ox và hai đường thẳng $x=-2,x=2$ . Khi đó

$S=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|6-\frac{1}{6}{x}^2\right|\text{d}x$

$=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(6-\frac{1}{6}{x}^2\right)\text{d}x$

$=\frac{208}{9}\left(m^2\right)$

Vậy, số tiền công ty X cần dùng để làm bức tranh là

$T=\mathrm{900.000.}\frac{208}{9}$

$=\mathrm{20.800.000}$(đồng)

Câu 30. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết $AB=3$cm, $OH=4$ cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó.

A. $\frac{140}{3}c{m}^2$

B. $\frac{160}{3}c{m}^2$.

C. $\frac{14}{3}c{m}^2$.

D. $50c{m}^2.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho O là gốc tọa độ, OH thuộc Oy, Ox vuông góc với OH tại O chiều dương hướng từ A đến B. Khi đó ta có $B\left(\frac{5}{2};4\right)$. Giả sử parabol (P) đi qua $O,A,B$ nhận O làm đỉnh có dạng: $y=a{x}^2+bx+c$

Dễ dàng ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}O\in \left(P\right)\\ \frac{-b}{2a}=0\\ B\in \left(P\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}c=0\\ b=0\\ a=\frac{16}{25}\end{array}\right.$

Do đó: $y=\frac{16}{25}{x}^2$.

Gọi diện tích hình phẳng giới hạn các đường $y=\frac{16}{25}{x}^2,y=4,$$x=\frac{-5}{2},x=\frac{5}{2}$ là $S_1$

Khi đó ta có: $S_1=\underset{-2,5}{\overset{2,5}{\int }}\left(4-\frac{16}{25}{x}^2\right)\text{d}x$

$={\left.\left(4x-\frac{16}{75}{x}^3\right)\right|}_{-2.5}^{2,5}=\frac{40}{3}$

Do đó diện tích hình hoa văn là: $S={10}^2-\frac{40}{3}.4$

$=\frac{140}{3}\left(c{m}^2\right).$

Câu 31.

A. I = x².sinx + x.cosx - 2sinx + C

B. I = x².sinx + 2x.cosx - 2sinx + C

C. I = x.sinx + 2x.cosx + C

D. I = 2x.cosx + sinx + C

Câu 32. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-x$ và đồ thị hàm số $y=x-x^2$

Câu 33. Tích phân với α ∈ [0; π] là:

A. αcosα - sinα

B. αcosα + sinα

C. -αcosα + sinα

D. -αcosα - sinα

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:

Câu 34. Sau chiến tranh thế giới thứ hai, tốc độ sinh ở cả nước phương Tây tăng rất nhanh. Giả sử rằng tốc độ sinh được cho bởi: b(t) = 5 + 2t, 0 ≤ t ≤ 10 , ( ở đó t số năm tính từ khi chiến tranh kết thúc, b(t) tính theo đơn vị triệu người). Tìm khoảng thời gian T sao cho số lượng trẻ được sinh ra là 14 triệu kể từ khi kết thức chiến tranh.

Câu 35. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = (x - 6)² và y = 6x - x² là:

A. 9

B. 9/2

C. 0

D. Kết quả khác.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Phương trình hoành độ giao điểm:

Câu 36. Một vật chuyển động với vận tốc

Quãng đường vật đi được sau 4s xấp xỉ bằng:

A. 11m

B. 12m

C. 13m

D. 14m.

Câu 37. Biết nguyên hàm của f(x) là . Vậy f(x) là:

A. 1/x²

B. -1/x²

C. ln|x|

D. -ln|x|

Câu 38. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + 10(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây , kể từ lúc bắt đầu đạp phanh .Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A.0,2m

B.2m

C.10m

D.20m.

Câu 39. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x} - x$ và trục hoành.

Câu 40. Tính tích phân

A. π/12

B. π²/12

C. 1/12

D. Một đáp án khác

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Các câu hỏi trắc nghiệm Toán lớp 12 có đáp án, chọn lọc khác:

Trắc nghiệm Số phức có đáp án

Trắc nghiệm Cộng, trừ và nhân số phức có đáp án

Trắc nghiệm Phép chia số phức có đáp án

Trắc nghiệm Phương trình bậc hai với hệ số thực có đáp án

Trắc nghiệm Ôn tập Chương 4 có đáp án