TOP 40 câu Trắc nghiệm Mặt cầu (có đáp án 2024) - Toán 12

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC.$ Trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ cắt SC tại O.

Ta có $\left\{\begin{array}{c}OA=OB=OC\\ OC=OS\end{array}\right.$

$\Rightarrow OA=OB=OC=OS.$

Vậy O là tâm mặt cầu qua các điểm S, A, B, C.

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi O là trung điểm của AC.

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}AB\perp BC\Rightarrow OA=OC=OB\\ AJ=JC\Rightarrow OA=OC=OJ\end{array}\right.$

Từ $\left\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right.$

$\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\iff BC\perp AI.$

Mà $AI\perp SB$

$\Rightarrow AI\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AI\perp IC$

$\Rightarrow OA=OC=OI$

$\Rightarrow OA=OB=OC=OI=OJ.$

Vậy O là tâm mặt cầu cần tìm.

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Ta có $\left\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right.$

$\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AI.$

$AI\perp SB\Rightarrow AI\perp \left(SBC\right)$

$\Rightarrow AI\perp IC\Rightarrow OA=OC=OI.$

Tương tự $OA=OC=OK.$

Mà $AJ\perp SC\Rightarrow OA=OC=OJ$

$\Rightarrow OA=OB=OC$

$=OD=OI=OJ=OK$

$\Rightarrow O$ là tâm mặt cầu cần tìm.

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi O là trung điểm của CD.

Ta có $OA=OB=OC=OD$

$=R=\frac{1}{2}CD.$

Cạnh $CD=\sqrt{A{D}^2+A{C}^2}$

$=\sqrt{A{D}^2+A{B}^2+B{C}^2}$

$=5a\sqrt{2}$

$R=5a\sqrt{2}.$

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $\{\begin{array}{c}SA\perp SB\\ SA\perp SC\end{array}\Rightarrow SA\perp \left(SBC\right).$

Kí hiệu các điểm như hình vẽ với OP là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC và OK là trung trực của SA thì O là tâm mặt cầu.

Ta có $R=OS=\sqrt{O{P}^2+S{P}^2}.$

$OP=SK=\frac{SA}{2}=\frac{a}{2};$

$SP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2}$

$R=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $\left\{\begin{array}{c}SA\perp SB\\ SA\perp SC\end{array}\right.\Rightarrow SA\perp \left(SBC\right).$

Kí hiệu các điểm như hình vẽ với OP là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC và OK là trung trực của SA thì O là tâm mặt cầu.

Ta có $R=OS=\sqrt{O{P}^2+S{P}^2}.$

$OP=SK=\frac{SA}{2}=a;$

$SP=\frac{1}{2}BC$

$=\frac{1}{2}\sqrt{S{B}^2+S{C}^2}$

$=a\sqrt{5}$

$R=a\sqrt{6}.$

Đáp án: C

Giải thích:

Kí hiệu các điểm như hình vẽ với OP là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và OK là trung trực của SA thì O là tâm mặt cầu.

Ta có $R=OA=\sqrt{O{P}^2+A{P}^2}$

$OP=AK=\frac{SA}{2}=\sqrt{14};$

$AP=\frac{1}{2}BC$

$=\frac{1}{2}\sqrt{3^2+4^2}=\frac{5}{2}$

$\Rightarrow R=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{243}{2}\pi .$

Đáp án: D

Giải thích:

Đặt $R_1=R_{ABCD};$

$R_2=R_{SAB},$

$AB=\left(SAB\right)\cap \left(ABC\right)$

Tam giác ABDC là hình vuông cạnh bằng 2a nên

$R_1=\frac{AC}{2}=\frac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}.$

Tam giác SAB vuông cân tại S nên

$R_2=\frac{AB}{2}=a.$

Do $\left(SAB\right)\perp \left(ABC\right)$

nên $r=R_{S.ABC}$

$=\sqrt{R_1^2+R_2^2-\frac{A{B}^2}{4}}=a\sqrt{2}.$

Đáp án: D

Giải thích:

Do $SA\perp \left(ABCD\right)$

$\Rightarrow \left(\widehat{SC;\left(ABCD\right)}\right)=\widehat{SCA}={45}^0.$

Ta có:

$AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=a\sqrt{5}$

$\Rightarrow SA=AC\tan {45}^0=a\sqrt{5}.$

Lại có: $R_d=R_{ABCD}=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$

Do $SA\perp \left(ABCD\right)$

$\Rightarrow R=\sqrt{\frac{S{A}^2}{4}+R_d^2}$

$=\frac{a\sqrt{10}}{2}.$

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{5\sqrt{10}\pi a^3}{3}.$

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi H là trung điểm của AB.

Do $SA=SB\Rightarrow SH\perp AB.$

Ta có: $S{B}^2+B{C}^2=S{C}^2=5a^2$

$\Rightarrow SB\perp BC$

Mặt khác: $AB\perp BC$

$\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SH$

Suy ra $SH\perp \left(ABC\right),$

đặt $R_1=R_{ABC}=\frac{AC}{2}=a.$

Đặt $R_2=R_{SAB}=\frac{SA.SB.AB}{4S_{SAB}}$

$=\frac{SA.SB.AB}{2.SH.AB}=\frac{SA.SB}{2SH}$

$=\frac{a^2}{SH}$

Trong đó:

$SH=\sqrt{S{B}^2-H{B}^2}$

$=\frac{a\sqrt{7}}{2}$

$\Rightarrow R_2=\frac{2a}{\sqrt{7}}$

Suy ra:

$R_{S.ABC}=\sqrt{R_1^2+R_2^2-\frac{A{B}^2}{4}}$

$=\frac{a\sqrt{259}}{14}.$

Đáp án: D

Đáp án: C

Giải thích:

Chọn C vì cạnh bên đồng phẳng với trục và đáy là tứ giác nội tiếp thì thì hình chóp tứ giác mới có tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt cầu là một đường tròn. Khi đó A, B, C nằm trên đường tròn này, nếu để ý kĩ ta thấy $C{A}^2=A{B}^2+B{C}^2$, do vậy tam giác ABC vuông tại B, tức là AC chính là đường kính của đường tròn này, hay $r=15dm$. Ta có hình vẽ minh họa sau:

Nhìn vào hình vẽ ta thấy:

$d\left(O;\left(P\right)\right)=\sqrt{R^2-r^2}$

$=\sqrt{{17}^2-{15}^2}=8$

Đáp án: B

Giải thích:

Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có cạnh bằng $2\sqrt{3}$

Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có bán kính $r=\frac{AC\text{'}}{2}$

mà $AC\text{'}=2\sqrt{3}.\sqrt{3}$

$\Rightarrow r=\frac{2\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=3$

Vậy $V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi 3^3=36\pi$

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi $I,J,K,H,M,N$ lần lượt là trung trung điểm $AB,BC,CD,DA,AC,BD.$ Theo tính chất hình bình hành ta chứng minh được $IK,JH,MN$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, gọi giao điểm là O.

Vì ABCD là tứ diện đều

$\Rightarrow OI=OJ=OK$

$=OH=OM=ON$

và $OI\perp AB,OK\perp CD,$

$OM\perp AC,ON\perp BC$

$\Rightarrow$ O là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh tứ diện ABCD

Xét hình vuông IJKH cạnh $IH=\frac{a}{2}$

$\Rightarrow OI=\frac{\sqrt{2}}{2}IH=\frac{a\sqrt{2}}{4}=R$

$\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{a^3\pi \sqrt{2}}{24}$ .

Đáp án: A

Giải thích:

Giả sử đường sinh hình nón có độ dài là a. Gọi G là trọng tâm của tam giác thiết diện, do đó G cách đều 3 đỉnh và 3 cạnh của tam giác thiết diện, nên G là tâm của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón, suy ra bán kính R, r của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón, suy ra bán kính R, r của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón lần lượt là $\frac{a\sqrt{3}}{3},\frac{a\sqrt{3}}{6}$. Gọi $V_1$, $V_2$ lần lượt là thể tích của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón. Vậy $\frac{V_1}{V_2}=\frac{R^3}{r^3}=8$.

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi R là bán kính của mặt cầu, khi đó cạnh của hình lập phương là 2R

Ta được: Thể tích hình lập phương là $V_2=8R^3$, thể tích quả bóng là:

$V_1=\frac{4\pi R^3}{3}\Rightarrow \frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi }{6}$

Đáp án: C

Giải thích:

Cho các đỉnh A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ như hình vẽ và gọi M, N là tâm các hình vuông ABB’A’ và ADD’C’

Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương.

Ta có:

$A\text{'}{C}^2=AA{\text{'}}^2+A{C}^2$

$=AA{\text{'}}^2+A{B}^2+A{D}^2$

$=3a^2={3.4}^2$

$\Rightarrow a^2=16\Rightarrow a=4$

$MN=BC=a=4$

$\Rightarrow$ bán kính khối cầu $R=2$

Thể tích khối cầu là:

$V=\frac{4}{3}\pi {.2}^3=\frac{32\pi }{3}$

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi I là trung điểm của SA

Vì tam giác SAB vuông tại B nên $IA=IB=IS$

Vì tam giác SAC vuông tại C nên $IA=IS=IC$

Do đó $IA=IB=IC=IS$ nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

Gọi D là trung điểm của BC ta có D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

$\Rightarrow ID\perp \left(ABC\right)$

$\Rightarrow V_{S.ABC}=2V_{I.ABC}=\frac{2}{3}ID.S_{ABC}$

$\Rightarrow ID=\frac{3V_{S.ABC}}{2S_{ABC}}=\frac{2a^3}{2a^2}=a$

$AD=\frac{1}{2}BC=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

$\Rightarrow AI=\sqrt{A{D}^2+I{D}^2}$

$=\frac{3a}{2}=R$

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$A\text{'}B\text{'}=AB=a$

$B\text{'}C\text{'}=\sqrt{A\text{'}B{\text{'}}^2+A\text{'}C{\text{'}}^2}$

$=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

$B\text{'}C=\sqrt{B\text{'}C{\text{'}}^2+C\text{'}{C}^2}$

$=\sqrt{2a^2+2a^2}=2a$

$A\text{'}C=\sqrt{A\text{'}C{\text{'}}^2+C\text{'}{C}^2}$

$=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow A\text{'}B{\text{'}}^2+A\text{'}{C}^2=a^2+3a^2$

$=4a^2=B\text{'}{C}^2$

$\Rightarrow \Delta A\text{'}B\text{'}C$ vuông tại A’.

Gọi I là trung điểm của B’C thì $IB\text{'}=IC=IA\text{'}$

Mà $\Delta CC\text{'}B\text{'}$ vuông tại C’ nên $IB\text{'}=IC=IC\text{'}$

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CA’B’C’ và bán kính $R=\frac{1}{2}B\text{'}C=a$

$\Rightarrow S=4\pi R^2=4\pi a^2$

Đáp án: C

Giải thích:

Ta thấy: $d\left(I;\left(P\right)\right)=\frac{R}{2}$

$\Rightarrow r=\sqrt{R^2-d_{\left(I;\left(P\right)\right)}^2}=\frac{R\sqrt{3}}{2}$

Khi đó chu vi đường tròn bằng $S=2\pi r=R\sqrt{3}\pi$

Đáp án: B

Giải thích:

Áp dụng công thức ta có:

$R=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}$

$=\frac{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}{2}=\frac{3}{2}$

Đáp án: C

Giải thích:

Thể tích khối cầu có bán kính $r=a$ là:

$V_1=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi a^3$

Thể tích khối cầu có bán kính R = 2a là:

$V_2=\frac{4}{3}\pi R^3$

$=\frac{4}{3}\pi {\left(2a\right)}^3=\frac{32}{3}\pi a^3$

$\Rightarrow \frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi a^3}{\frac{32}{3}\pi a^3}$

$=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi I, J theo thứ tự là tâm mặt cầu (S) và đường tròn (T), A là điểm bất kì thuộc đường tròn (T). Khi đó ta có:

$IJ=3,2\pi .AJ=12\pi$

$\iff AJ=6$

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AIJ ta có:

$AI=\sqrt{A{J}^2+I{J}^2}$

$=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$

$\Rightarrow$ Bán kính của mặt cầu là $R=3\sqrt{5}$

Vậy diện tích mặt cầu (S) là:

$S=4\pi R^2$

$=4\pi .{\left(3\sqrt{5}\right)}^2=180\pi$

Đáp án: A

Giải thích:

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ $AH\perp BC\left(H\in BC\right)$

Lại có $AH\perp BB\text{'}$

(do $BB\perp \left(ABC\right)\Rightarrow AH\perp \left(BCC\text{'}B\text{'}\right)$

$\Rightarrow \left(\widehat{AC;\left(BCC\text{'}B\text{'}\right)}\right)=\widehat{AC\text{'}H}=30°$

Ta có:

$AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=a,$

$AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$AC\text{'}=\frac{AH}{\sin \widehat{AC\text{'}H}}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow CC\text{'}=\sqrt{AC{\text{'}}^2-A{C}^2}=a\sqrt{2}$

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, khi đó $R=\sqrt{r^2+{\frac{h}{4}}^2}$ với $r=\frac{BC}{2}=a$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC và $h=CC\text{'}=a\sqrt{2}$

Do đó $R=\sqrt{a^2+{\frac{a}{2}}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

$\Rightarrow S=4\pi R^2=4\pi .\frac{6a^2}{4}$

$=6\pi a^2$

Đáp án: C

Giải thích:

Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình hộp:

$R=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}$

$=\frac{\sqrt{a^2+4a^2+9a^2}}{2}$

$=\frac{a\sqrt{14}}{2}$

Thể tích khối cầu: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

$=\frac{4}{3}\pi .{\left(\frac{a\sqrt{14}}{2}\right)}^3$

$=\frac{7\sqrt{14}\pi a^3}{3}$

Đáp án: B

Giải thích:

Áp dụng các công thức trong tứ diện đều cạnh a

Bán kính mặt cầu nội tiếp $r=\frac{a\sqrt{6}}{12}=2$

$\Rightarrow a=4\sqrt{6}$

Thể tích tứ diện đều đó là:

$V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

$=\frac{{\left(4\sqrt{6}\right)}^3\sqrt{2}}{12}=64\sqrt{3}$

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi $I_1,I_2,I_3$ là tâm của các hình cầu M, N, P là các tiếp điểm của các hình cầu (như hình vẽ), H, K, F là tiếp ba hình cầu với mặt phẳng (P)

Xét mặt phẳng $\left(I_1{I}_{2}KH\right)$ có:

$HK=\sqrt{I_1{I_2}^2-{\left(I_{2}K-I_{1}H\right)}^2}$

$\sqrt{{\left(R_1+R_2\right)}^2-{\left(R_1-R_2\right)}^2}$

$=\sqrt{4R_1{R}_2}=2\Rightarrow R_1{R}_2=1$

Tương tự: $R_1{R}_3=\frac{9}{4},R_2{R}_3=4$

$\Rightarrow R_1{R}_2{R}_3=\sqrt{1.\frac{9}{4}.4}=3$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{R}_1=\frac{3}{4}\\ R_2=\frac{4}{3}\\ R_3=3\end{array}\right.$

Vậy $R_1+R_2+R_3=\frac{3}{4}+\frac{4}{3}+3$

$=\frac{61}{12}$

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó SO ⊥ (ABCD) và SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Từ giả thiết ta có :

=> SO = SA.sin60^o = a√3

Trong mặt phẳng (SAO), đường trung trực của SA cắt SO tại I. Khi đó I cách đều các đỉnh của hình chóp nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Gọi M là trung điểm của SA, khi đó ta có :

Đáp án: C

Giải thích:

Từ giả thiết ta có: SA = 2a; AB = a và AC = a√2 .

Đáp án: D

Giải thích:

Từ vị trí tương đối của một mặt phẳng với mặt cầu

Chọn đáp án D

Đáp án: A

Giải thích:

Từ vị trí tương đối của một đường thẳng và mặt cầu ta có đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) khi và chỉ khi đường thẳng d tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu (S).

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có mặt cầu S(A;r) tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) khi và chỉ khi r = d(A; (SBC)) .

Hạ AH ⊥ SB tại H. Do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB) , suy ra BC ⊥ AH .

Mặt khác AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) hay d(A; (SBC)) = AH Xét tam giác vuông SAB ta có:

Đáp án: B

Giải thích:

Hình hộp chữ nhật đựng được hai quả cầu bán kính 5cm thì độ dài các cạnh ít nhất là 10cm, 10cm, 20cm. Khi đó ta có: S_tp = 2 x 10² + 4 x 10 x 20 = 1000(cm²) .

Đáp án: C

Giải thích:

Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp đó có đáy là một đa giác nội tiếp được đường tròn nên mệnh đề A và B đúng. Hình chps có các cạnh bên bằng nhau có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy nên hình chóp đó có đáy nội tiếp được đường tròn và do đó đáp án C đúng.

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi M,N lần lượt là trung điểm SC, AB

Vì ΔSAB vuông góc tại S nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔSAB .

Trong mặt phẳng (MSN) dựng hình chữ nhật MSNO thì ON là trục đường tròn ngoại tiếp ΔSAB và OM là đường trung trực của đoạn SC trong mặt phẳng (OSC)

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi S(I ;r) là mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với a.

Ta có diện tích của mặt cầu là : S = 4πr³ nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi r đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi tiếp điểm của đường thẳng a và mặt cầu là H và hình chiếu vuông góc hạ từ A lên đường thẳng A là A’. Khi đó ta có :

2r = IA + IH ≥ AH ≥ AA' => r ≥ AA'/2 = 2(cm)

Vậy r đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2cm khi I là trung điểm của AA’.

Khi đó mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất là S = 4π2² = 16π(cm²).

Đáp án: D

Giải thích:

Từ vị trí tương đối của một mặt phẳng và mặt cầu ta có mặt phẳng (P) có điểm chung với mặt cầu (S) khi và chỉ khi mặt phẳng (P) tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu (S)

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Ta có:

góc SAO = 30^o => AO = a√3 => AB = AC = 3a

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi S(A;r) là mặt cầu tâm A cắt đường thẳng SB theo một dây có độ dài a, khi đó ta có:

Gọi H là trung điểm của SB. Do tam giác SAB đều nên AH ⊥ SB hay AH là khoảng cách từ A đến SB. Xét tam giác đều SAB ta có :