TOP 40 câu Trắc nghiệm Ôn tập Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian (có đáp án 2024) - Toán 12

Trắc nghiệm Toán 12 Bài: Ôn tập Chương 3 - Phương pháp tọa độ trong không gian

Câu 1. Cho điểm G(1;1;2) là trọng tâm tam giác ABC với $A\left(2;1;3\right),B\left(2;2;1\right)$. Chọn kết luận đúng về điểm C.

A. $C\in Oy$

B. $C\in \left(Oxz\right)$

C. $C\in Oz$

D. $C\in \left(Oyz\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi $C\left(x;y;z\right)$

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên

$\left\{\begin{array}{c}1=\frac{2+2+x}{3}\\ 1=\frac{1+2+y}{3}\\ 2=\frac{3+1+z}{3}\end{array}\right.$

$\iff \{\begin{array}{c}x=-1\\ y=0\\ z=2\end{array}$

$\Rightarrow C(-1;0;2)$

Do đó $C\in \left(Oxz\right)$

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$, cho hai vec tơ $\overrightarrow{a}=\left(2;-1;4\right),$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{k}$.Tính

A. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-11$

B. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-13$

C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=5$

D. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-10$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{b}=\left(1;0;-3\right)$

Khi đó, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.1+\left(-1\right).0+4.\left(-3\right)$

$=-10$

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=2+3t\\ z=5-t\end{array}\right.\left(t\in R\right)$. Véc tơ nào dưới đây là vec tơ chỉ phương của d?

A. $\overrightarrow{u_1}=\left(0;3;-1\right)$

B. $\overrightarrow{u_2}=\left(1;3;-1\right)$

C. $\overrightarrow{u_3}=\left(1;-3;-1\right)$

D. $\overrightarrow{u_4}=\left(1;2;5\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=2+3t\\ z=5-t\end{array}\right.\left(t\in R\right)$ nhận vec tơ $\overrightarrow{u_1}=\left(0;3;-1\right)$ làm VTCP.

Câu 4. Cho hai vec tơ $\overrightarrow{u}\left(-2;3;1\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(1;1;1\right)$. Khi đó số thực $m=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ thỏa mãn:

A. $m=0$

B. $m\in \left(0;2\right)$

C. $m\in \left(-2;0\right)$

D. $m\in \left(1;3\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $m=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-2.1+3.1+1.1=2$

$\Rightarrow m\in \left(1;3\right)$

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$. Tọa độ điểm M là:

A. $M\left(1;2;0\right)$

B. $M\left(2;1;0\right)$

C. $M\left(2;0;1\right)$

D. $M\left(0;2;1\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ nên $M\left(2;1;0\right)$

Câu 6. Hình chiếu của điểm $M\left(1;-1;0\right)$ lên trục Oz là:

A. $N\left(-1;-1;0\right)$

B. $N\left(1;-1;0\right)$

C. $N\left(-1;1;0\right)$

D. $N\left(0;0;0\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Vì chiếu điểm M lên trục Oz nên giữ nguyên z và cho x = y = 0. Do đó ta được hình chiếu của điểm $M\left(1;-1;0\right)$ lên trục Oz là $N\left(0;0;0\right)$

Câu 7. Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $A\left(1;3;-2\right)$ và song song với mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+3z+4=0$ là:

A. $2x-y+3z+7=0$

B. $2x+y-3z+7=0$

C. $2x+y+3z+7=0$

D. $2x-y+3z-7=0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+3z+4=0$ có dạng:

$\left(Q\right):2x-y+3z+D=0,\left(D\ne 4\right)$

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm $A\left(1;3;-2\right)$ ta có: $2.1-3+3.\left(-2\right)+D=0$

$\iff D=7\ne 4\left(tm\right)$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(Q\right):2x-y+3z+7=0$

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{2}$ vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $\left(P\right):x+y+z=0$

B. $\left(\beta \right):x+y-z=0$

C. $\left(\alpha \right):x+y+2z=0$

D. $\left(Q\right):x+y-2z=0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$\Delta \perp \left(P\right)\Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta }}$ cùng phương với $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}$

Ta có VTCP của $\Delta :\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(1;1;2\right)$, VTPT của $\left(\alpha \right):\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}=\left(1;1;2\right)$

Suy ra $\overrightarrow{u_{\Delta }}$ cùng phương với $\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}$

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho điểm $A\left(2;-3;5\right)$. Tọa độ điểm A’ là đối xứng của điểm A qua trục Oz là:

A. $\left(2;3;5\right)$

B. $\left(2;-3;-5\right)$

C. $\left(-2;3;5\right)$

D. $\left(-2;-3;5\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hình chiếu của A trên trục Oz là $M\left(0;0;5\right)$

Khi đó m là trung điểm của AA' $\Rightarrow A\text{'}\left(-2;3;5\right)$

Câu 10. Điểm $M\in \left(Oxy\right)$ thì tọa độ điểm M là:

A. $M\left(x;y;0\right)$

B. $M\left(0;x;y\right)$

C. $M\left(0;0;z\right)$

D. $M\left(0;0;1\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Điểm $M\in \left(Oxy\right)$ thì cao độ z = 0. Do đó $M\left(x;y;0\right)$

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{2}$. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng $2\sqrt{2}$ và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tọa độ của điểm I.

A. $I\left(5;2;10\right),I\left(0;-3;0\right)$

B. $I\left(1;-2;2\right),I\left(0;-3;0\right)$

C. $I\left(1;-2;2\right),I\left(5;2;10\right)$

D. $I\left(1;-2;2\right),I\left(-1;2;-2\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Mặt phẳng (Oxz): $y=0.I\in \Delta :\frac{x}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{2}$

$\Rightarrow I(t;-3+t;2t)$

Gọi H là hình chiếu của I lên mặt phẳng (Oxz). R, r lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn giao tuyến.

Theo bài ra ta có: $IH=d\left(I;\text{Ox}z\right)=\sqrt{R^2-r^2}$

$=\sqrt{8-4}=2$

$\iff \frac{\left|-3+t\right|}{1}=2\iff \left[\begin{array}{c}t=1\\ t=5\end{array}\right.$

Với $t=1\Rightarrow I\left(1;-2;2\right),$

Với $t=5\Rightarrow I\left(5;2;10\right)$

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(1;-2;-1\right),B\left(1;0;2\right)$ và $C\left(0;2;1\right)$. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.

A. $x-2y+z-4=0$

B. $x-2y-z+4=0$

C. $x-2y-z-6=0$

D. $x-2y+z+4=0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(-1;2;-1\right)$ là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng, đồng thời mặt phẳng đi qua $A\left(1;-2;-1\right)$ nên mặt phẳng cần tìm là:

$-\left(x-1\right)+2\left(y+2\right)-\left(z+1\right)=0$

$x-2y+z-4=0$

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua điểm $A\left(1;-3;2\right)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+3=0,\left(\beta \right):z-2=0$ có phương trình là:

A. $y+3=0$

B. $y-2=0$

C. $2y-3=0$

D. $2x-3=0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

(P) có vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left[\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}},\overrightarrow{n_{\left(\beta \right)}}\right]=\left(0;-1;0\right)$ và qua $A\left(1;-3;2\right)$

$\Rightarrow \left(P\right):y+3=0$

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu

vuông góc của $A\left(2;-1;1\right)$ lên các trục Ox, Oy, Oz. Mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (MNP) có phương trình là:

A. $x-2y+2z-2=0$

B. $x-2y+2z-6=0$

C. $x-2y-4=0$

D. $x+2z-4=0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $M\left(2;0;0\right),N\left(0;-1;0\right),P\left(0;0;1\right)$

$\Rightarrow \left(MNP\right):\frac{x}{2}-\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1$

$\iff x-2y+2z-2=0$

Mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (MNP) có phương trình là: $1\left(x-2\right)-2\left(y+1\right)+2\left(z-1\right)=0$

$\iff x-2y+2z-6=0$

Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left(1;0;2\right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $M\in \left(Oxz\right)$

B. $M\in \left(Oyz\right)$

C. $M\in Oy$

D. $M\in \left(Oxy\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Điểm $M\left(1;0;2\right)\in \left(Oxz\right)$

Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left(1;2;3\right)$. Hình chiếu vuông góc của M trên (Oxz) là điểm nào sau đây.

A. $K\left(0;2;3\right)$

B. $H\left(1;2;0\right)$

C. $F\left(0;2;0\right)$

D. $E\left(1;0;3\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hình chiếu vuông góc của $M\left(1;2;3\right)$ trên (Oxz) là điểm $E\left(1;0;3\right)$

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(\beta \right):x+y-2z-1=0$. Giao tuyến của $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ đi qua điểm nào trong các điểm sau:

A. $A\left(2;1;1\right)$

B. $C\left(1;2;1\right)$

C. $D\left(2;1;0\right)$

D. $B\left(0;1;0\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có vec tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u}\left(1;1;2\right)$

Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\beta \right):x+y-2z-1=0$ là $\overrightarrow{n}\left(1;1;-2\right)$

Vì $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(\beta \right):x+y-2z-1=0$ nên $\left(\alpha \right)$ có một vec tơ pháp tuyến là:

$\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right]=\left(-4;4;0\right)$

$=4(1;-1;0)=4.\overrightarrow{a}$

Gọi $d=\left(\alpha \right)\cap \left(\beta \right)$, suy ra d có vec tơ chỉ phương là

$\overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{n}\right]=\left(2;2;2\right)=2\left(1;1;1\right)$

Giao điểm của đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(\beta \right):x+y-2z-1=0$ là $I\left(3;2;2\right)$

Suy ra phương trình đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=3+t\\ y=2+t\\ z=2+t\end{array}\right.$

Vậy $A\left(2;1;1\right)\in d$

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$ và $d{}_2:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{-1}$

A. $\left(P\right):2x-2z+1=0$

B. $\left(P\right):2y-2z+1=0$

C. $\left(P\right):2x-2y+1=0$

D. $\left(P\right):2y-2z-1=0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$d_1$ đi qua điểm $A\left(2;0;0\right)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_1}=\left(-1;1;1\right)$

$d_2$ đi qua điểm $B\left(0;1;2\right)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_2}=\left(2;-1;-1\right)$

Vì (P) song song với hai đường thẳng $d_1,d_2$ nên VTPT của (P) là:

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right]=\left(0;1;-1\right)$

Khi đó (P) có dạng: $y-z+D=0$

$\Rightarrow$ Loại đáp án A, C

Lại có (P) cách đều $d_1,d_2$ nên (P) đi qua trung điểm $M\left(0;\frac{1}{2};1\right)$ của AB.

Do đó $\left(P\right):2y-2z+1=0$

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chắn các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho $H\left(3;-4;2\right)$ là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là:

A. $2x-3y+4z-26=0$

B. $x-3y+2z-17=0$

C. $4x+2y-3z+2=0$

D. $3x-4y+2z-29=0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi CK, AM là hai đường cao của tam giác ABC.

Suy ra $M=AM\cap CK$

Ta có: $\left.\begin{array}{c}AB\perp \left(OKC\right)\Rightarrow AB\perp OH\\ BC\perp \left(AOM\right)\Rightarrow BC\perp OH\end{array}\right\}$

$\Rightarrow OH\perp \left(ABC\right)$

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm H và nhận $\overrightarrow{OH}$ làm một VTPT.

Nên mặt phẳng (ABC) có phương trình : $3x-4y+2z-29=0$

Câu 20. Tọa độ trọng tâm tam giác AOB với $A\left(1;2;-1\right),B\left(2;1;0\right)$ là:

A. $\left(1;1;-1\right)$

B. $\left(-1;1;-1\right)$

C. $\left(1;1;-\frac{1}{3}\right)$

D. $\left(3;3;-1\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Do $A\left(1;2;-1\right),B\left(2;1;0\right),O\left(0;0;0\right)$ nên tọa độ trọng tâm tam giác là

$\left(\frac{1+2+0}{3};\frac{2+1+0}{3};\frac{-1+0+0}{3}\right)$

$=(1;1;-\frac{1}{3})$

Câu 21. Trong không gian, với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(2;-1;0\right),B\left(-1;2;-2\right)$ và $C\left(3;0;-4\right)$. Viết phương trình đường trung tuyến đỉnh A của tam giác ABC.

A. $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-3}$

B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{3}$

C. $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{-3}$

D. $\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi $M\left(1;1;-3\right)$ là trung điểm của cạnh BC, ta có $\overrightarrow{AM}=\left(-1;2;-3\right)=-1\left(1;-2;3\right)$ là VTCP của đường thẳng nên AM: $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{3}$

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left(-2;3;1\right),B\left(5;6;2\right)$. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M. Tính tỉ số $\frac{AM}{BM}$

A. $\frac{AM}{BM}=\frac{1}{2}$

B. $\frac{AM}{BM}=2$

C. $\frac{AM}{BM}=\frac{1}{3}$

D. $\frac{AM}{BM}=3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$M\in \left(Oxz\right)\Rightarrow M\left(x;0;z\right)$

$\overrightarrow{AB}=\left(7;3;1\right)\Rightarrow AB=\sqrt{59}$

$\overrightarrow{AM}=\left(x+2;-3;z-1\right)$ và A,B,M thẳng hàng

$\overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{AB}\left(k\in R\right)$

$\iff \{\begin{array}{c}x+2=7k\\ -3=3k\\ z-1=k\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=-9\\ -1=k\\ z=0\end{array}$

$\Rightarrow M(-9;0;0)$

$\overrightarrow{BM}=\left(-14;-6;-2\right)$

$\Rightarrow BM=\sqrt{236}=2\sqrt{59}$

$\overrightarrow{AM}=\left(-7;-3;-1\right)$

$\Rightarrow AM=\sqrt{59}$

$\Rightarrow \frac{AM}{BM}=\frac{1}{2}$

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $x-y+3z-1=0$ và $3x-7z+2=0$. Một vec tơ chỉ phương của $\Delta$ là:

A. $\overrightarrow{u}=\left(7;16;3\right)$

B. $\overrightarrow{u}=\left(7;0;-3\right)$

C. $\overrightarrow{u}=\left(-4;1;-3\right)$

D. $\overrightarrow{u}=\left(0;-16;3\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hai mặt phẳng đã cho có VTPT lần lượt là:

$\overrightarrow{n_1}=\left(1;-1;3\right),\overrightarrow{n_2}=\left(3;0;-7\right)$

$\Delta$ có VTCP là: $\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right]=\left(7;16;3\right)$

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm $I\left(1;2;-1\right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left(P\right):x-2y-2z-8=0$

A. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=3$

B. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=3$

C. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$

D. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=9$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi mặt cầu cần tìm là (S).

Ta có (S) là mặt cầu có tâm $I\left(1;2;-1\right)$ và bán kính R

Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng $\left(P\right):x-2y-2z-8=0$ nên ta có:

$R=d\left(I;\left(P\right)\right)$

$=\frac{|1-2.2-2.\left(-1\right)-8|}{\sqrt{1^2+{(-2)}^2+{(-2)}^2}}=3$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vec tơ $\overrightarrow{a}\left(1;-2;0\right)$ và $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}$. Tìm tọa độ của vec tơ $\overrightarrow{b}$

A. $\overrightarrow{b}=\left(2;4;2\right)$

B. $\overrightarrow{b}=\left(2;-4;0\right)$

C. $\overrightarrow{b}=\left(3;0;2\right)$

D. $\overrightarrow{b}=\left(2;4;0\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}=\left(2;-4;0\right)$

Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-y+2z+1=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$. Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ bằng:

A. $30°$

B. $60°$

C. $150°$

D. $120°$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}=\left(1;-1;2\right),\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(1;2;-1\right)$.

Suy ra $\sin \beta =\frac{\left|1-2-2\right|}{\sqrt{6}\sqrt{6}}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \beta =30°$

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):2x+y=0$. Trong bốn mặt phẳng sau, mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng (P)?

A. $\left(P_1\right):x-2y+z-1=0$

B. $\left(P_3\right):2x-y+z-1=0$

C. $\left(P_2\right):x-y+z-1=0$

D. $\left(P_4\right):-2x-y=0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $\overrightarrow{n_P}=\left(2;1;0\right)$

Đáp án A: $\overrightarrow{n_{P_1}}=\left(1;-2;1\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_{P_1}}=0$ hay $\left(P\right)\perp \left(P_1\right)$

Dễ dàng kiểm tra được các đáp án B, C, D đều không thỏa.

Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left(1;1;2\right)$, mặt phẳng (P) qua M cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (A, B, C có tọa độ dương). Gọi $V_{OABC}$ là thể tích tứ diện OABC. Khi (P) thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của $V_{OABC}$

A. $\min V_{OABC}=\frac{9}{2}$

B. $\min V_{OABC}=18$

C. $\min V_{OABC}=9$

D. $\min V_{OABC}=\frac{32}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Giả sử $A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right),$

$C(0;0;c)(a,b,c>0)$

Mặt phẳng $\left(P\right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Do $M\in \left(P\right)$ nên $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}=1\ge 3\sqrt[3]{\frac{2}{abc}}$

$\Rightarrow abc\ge 54$

$V_{OABC}=\frac{1}{6}abc\ge 9$. Vậy $\min V_{OABC}=9$

Câu 29. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left(2;3;0\right),B\left(0;-\sqrt{2},0\right)$, $M\left(\frac{2}{5};-\sqrt{2};-\frac{2}{5}\right)$ và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=t\\ y=0\\ z=2-t\end{array}\right.$. Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất thì độ dài CM bằng

A. $2\sqrt{3}$

B. 4

C. 2

D. $\frac{2\sqrt{6}}{5}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Do AB có độ dài không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi AC + CB nhỏ nhất.

Vì $C\in d\Rightarrow C\left(t;0;2-t\right)$

Đặt $\overrightarrow{u}=\left(\sqrt{2}t-2\sqrt{2};3\right),\overrightarrow{v}=\left(\sqrt{2}t-\sqrt{2};2\right)$ áp dụng bất đẳng thức $\left|\overrightarrow{u}\right|+\left|\overrightarrow{v}\right|\ge \left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+6x-4z+9-m^2=0$. Gọi T là tập các giá trị của m để mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz). Tích các giá trị của m trong T bằng:

A. – 5

B. 5

C. 0

D. 4

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+6x-4z+9-m^2=0$

Có tâm $I\left(-3;0;2\right)$ và bán kính $R=\sqrt{m^2+4}$

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là

$x=0\Rightarrow d\left(I;\left(Oyz\right)\right)=\frac{\left|-3\right|}{1}=3$

$\Rightarrow R=\sqrt{m^2+4}=3$

$\iff m=\pm \sqrt{5}$

Tích các giá trị của m là $\sqrt{5}.\left(-\sqrt{5}\right)=-5$

Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho vectơ a→ = (2; 1; -2) . Tìm tọa độ của các vectơ b→ cùng phương với vectơ a→ và có độ dài bằng 6.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

Mặt khác hai vectơ này cùng phương nên ta có:

Từ đó ta suy ra

Vậy đáp án cần tìm là C.

Lưu ý. Đáp án D là sai, do sai lầm trong tính độ dài của vectơ a→ :

Mà hai vectơ này cùng phương nên ta có:

Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ

Với những giá trị nào của m thì sin(a→, b→) đạt giá trị lớn nhất

A. m=1

B. m=1 hoặc m=-8

C. m=-8

D. Không tồn tại m thỏa mãn.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Với mọi cặp vectơ

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay hai vectơ này vuông góc. Điều đó tương đương với điều kiện :

Chọn B.

Nếu chúng ta suy nghĩ sai là: ‘‘ sin(a→, b→) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi góc giữa hai vectơ đó lớn nhất ’’ thì khi đó góc giữa hai vectơ bằng 180^o , do đó tồn tại số k âm sao cho :

Hệ này vô nghiệm và dẫn đến ta chọn đáp án là D.

Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABDC với A(0;0;0), B(1;-2;3), D(3;1;-4). Tọa độ của điểm C là:

A. (4;-1;-1)

B. (2;3;-7)

C. (3/2; 1/2; -2)

D. (-2;-3;7)

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Vì ABDC là hình bình hành nên ta có:

Vậy đáp án đúng là B.

Lưu ý. Đáp án A sai do nhầm giải thiết ABCD là hình bình hành.

Đáp án C xuất phát từ việc vận dụng sai quy tắc hình bình hành

Đáp án D xuất phát từ sai lầm cho rằng: AC→ = DB

Câu 34. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích

Câu 35. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2;0), B(-4;5;3), C(3;-10;-6). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

A. (0;-1;-1)

B. (0;-3;-3)

C.(0;-2;-2)

D. Đáp án khác

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 36. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→ = (x₁, y₁, z₁), 2→ = (x₂, y₂, z₂) thay đổi. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 37. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;3;-1), B(1;3;2), G(2;-3;-1) là trọng tâm của tam giác ABC. Tọa độ của điểm C là:

A. (3;-15;-4)

B. (-1;-9;-2)

C. (-3;15;4)

D. (1;9;2)

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ

Tọa độ của vectơ

A. (4;3;9)

B. (4;3;21)

C. (2;-1;10)

D. (4;-1;10)

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 39. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:

(x - 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 25

Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

A. I(1; -2; -3); R = 25

B. I(-1; 2; 3); R = 5

C. I(-1; 2; 3); R = 25

D. I(1; -2; -3); R = 5

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 40. Cho mặt cầu (S) có phương trình: x² + y² + z² - 2x + 4y - 6z - 2 = 0 . Điểm M(m; -2; 3) nằm trong mặt cầu khi và chỉ khi:

A. m=6

B. m > -3

C. -3 < m < 5

D. m < 5

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3),

M nằm trong mặt cầu (S) khi và chỉ khi: IM < R nên

Các câu hỏi trắc nghiệm Toán lớp 12 có đáp án, chọn lọc khác:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án

Trắc nghiệm Ôn tập Chương 2 - Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu có đáp án

Trắc nghiệm Hệ tọa độ trong không gian có đáp án

Trắc nghiệm Phương trình mặt phẳng có đáp án

Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án