TOP 40 câu Trắc nghiệm Khái niệm về thể tích của khối đa diện (có đáp án 2024) - Toán 12

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Bài giảng Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Câu 1. Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có dộ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

A. $\frac{a^3}{6}$

B. $\frac{a^3}{3}$

C. $\frac{a^3}{4}$

D. $\frac{a^3}{8}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

$S_{\Delta BCD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{2}{a}^2$

$V_{S.BCD}=\frac{1}{3}SA.S_{BCD}$

$=\frac{1}{3}a.\frac{1}{2}{a}^2=\frac{a^3}{6}$

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, cạnh bên SC = 3a và SC vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABC bằng:

A. $\frac{3a^3}{2}$

B. $a^3$

C. $\frac{a^3}{2}$

D. $3a^3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}A{B}^2=\frac{1}{2}{a}^2$

$\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SC.S_{ABC}$

$=\frac{1}{3}.3a.\frac{1}{2}{a}^2=\frac{1}{2}{a}^3$

Câu 3. Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:

A. $V=Sh$

B. $V=\frac{1}{2}Sh$

C. $V=\frac{1}{3}Sh$

D. $V=\frac{1}{6}Sh$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Công thức tính thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}Sh$

Câu 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng V. Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’. Thể tích khối đa diện có các đỉnh M, P, Q, E, F, N bằng:

A. $\frac{V}{4}$

B. $\frac{V}{2}$

C. $\frac{V}{6}$

D. $\frac{V}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đặc biệt hóa, coi ABCD.A’B’C’D’ là khối lập phương cạnh bằng 1

$\Rightarrow V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=1=V$

Dễ thấy PQEFNM là khối bát diện đều cạnh

$QE=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy

$V_{PQEFNM}=\frac{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^3\sqrt{2}}{3}=\frac{1}{6}=\frac{V}{6}$

Câu 5. Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Khi đó:

A. $\frac{V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA\text{'}}{SA}+\frac{SB\text{'}}{SB}+\frac{SC\text{'}}{SC}$

B. $\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}=\frac{SA\text{'}}{SA}.\frac{SB\text{'}}{SB}.\frac{SC\text{'}}{SC}$

C. $\frac{V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA\text{'}}{SA}=\frac{SB\text{'}}{SB}=\frac{SC\text{'}}{SC}$

D. $\frac{V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA\text{'}}{SA}.\frac{SB\text{'}}{SB}.\frac{SC\text{'}}{SC}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Nếu A’, B’, C’ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC của hình chóp tam giác S.ABC thì:

$\frac{V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA\text{'}}{SA}.\frac{SB\text{'}}{SB}.\frac{SC\text{'}}{SC}$

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

A. $a^3$

B. $3a^3$

C. $\frac{a^3}{3}$

D. $2a^3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Thể tích khối chóp đã cho là:

$V_{SABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}$

$=\frac{1}{3}.3a.a^2=a^3$

Câu 7. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại C, $A\text{'}C=a\sqrt{5},BC=a,\widehat{ACB}=45°$. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:

A. $a^3\sqrt{3}$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\Delta ABC$ cân tại C

$\Rightarrow AC=BC=a$

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.BC.\sin C$

$=\frac{1}{2}.a.a.sin45°$

$=\frac{1}{2}{a}^2.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}$

Áp dụng định lí Pitago cho $\Delta AA\text{'}C$ vuông tại A ta có:

$AA\text{'}=\sqrt{A\text{'}{C}^2-A{C}^2}$

$=\sqrt{5a^2-a^2}=2a$

$\Rightarrow V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=AA\text{'}.S_{ABC}$

$=2a.\frac{a^2\sqrt{2}}{4}=\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

Câu 8. Nếu khối chóp OABC thỏa mãn $OA=a,OB=b,OC=c$ và $OA\perp OB,OB\perp OC,OC\perp OA$ thì có thể tích là:

A. abc

B. $\frac{abc}{3}$

C. $\frac{abc}{2}$

D. $\frac{abc}{6}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Thể tích khối đa diện OABC là:

$V_{OABC}=\frac{1}{6}abc$

Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy. Biết $SA=BC=a$, thể tích khối chóp S.ABC bằng:

A. $\frac{a^3}{6}$

B. $\frac{a^3}{12}$

C. $\frac{a^3}{24}$

D. $\frac{a^3}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có tam giác ABC vuông cân tại A và

$BC=a\Rightarrow AB=AC=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Khi đó:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC$

$=\frac{1}{2}.\frac{a}{\sqrt{2}}.\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a^2}{4}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}$

$=\frac{1}{3}.a.\frac{a^2}{4}=\frac{a^3}{12}$

Câu 10. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

B. Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

D. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật:

$S_{tp}=S_{xq}+2ab=2h\left(a+b\right)+2ab$

Thể tích hình hộp chữ nhật:

V = abh

Thể tích của lăng trụ là:

$V=S_d.h$

Diện tích toàn phần của khối lập phương:

$S_{tp}=6a^2$

Thể tích của khối lập phương:

$V=a^3$

Thể tích khối chóp là:

$V=\frac{1}{3}{S}_d.h$

Do đó các đáp án B, C, D đúng, chỉ có A sai.

Câu 11. Một khối chóp tam giác có cạnh đáy bằng 6, 8, 10. Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với đáy một góc $60°$. Thể tích của khối chóp đó là:

A. 16

B. $8\sqrt{3}$

C. $48\sqrt{3}$

D. $16\sqrt{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Xét tam giác ABC, giả sử

$AB=6,BC=8,AC=10$

ta có: $A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2\left(=100\right)$

nên tam giác ABC vuông tại B (định lí Pitago)

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}\mathrm{.6.8}=24$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) và giả sử SA hợp với đáy góc $60°$

HA là hình chiếu của SA lên (ABC)

$\Rightarrow \left(\widehat{SA;\left(ABC\right)}\right)=\left(\widehat{SA;HA}\right)$

$=\widehat{SAH}=60°$

$\Rightarrow SH=SA.\sin 60°=4.\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{\Delta ABC}$

$=\frac{1}{3}.2\sqrt{3}.24=16\sqrt{3}$

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy, $AB=a,AD=2a$. Góc giữa SB và đáy bằng $45°$. Thể tích khối chóp S.ABC bằng:

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{2a^3}{3}$

C. $\frac{a^3}{3}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $SA\perp \left(ABCD\right)$

$\Rightarrow AB$ là hình chiếu của SB trên (ABCD)

$\Rightarrow \left(\widehat{SB,\left(ABCD\right)}\right)=\left(\widehat{SB,AB}\right)$

$=\widehat{SBA}=45°$

$\Rightarrow \Delta SAB$ vuông cân tại A

$\Rightarrow SA=AB=a$

$\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{ABC}$

$=\frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}{S}_{ABCD}$

$=\frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.a.2a=\frac{a^3}{3}$

Câu 13. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng $4a^3$, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng $a^2$. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAB)

A. 12a

B. 6a

C. 3a

D. 4a

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Vì M là trung điểm của SD nên

$\frac{V_{S.ABM}}{V_{S.ABD}}=\frac{SM}{SD}=\frac{1}{2}$

Mà $\frac{V_{S.ABD}}{V_{S.ABCD}}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ABD}=\frac{1}{2}.4a^3=2a^3$

$\Rightarrow V_{S.ABM}=a^3=\frac{1}{3}.d\left(M;\left(SAB\right)\right).S_{SAB}$

$\iff d\left(M;\left(SAB\right)\right)=\frac{3a^3}{a^2}=3a$

Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có $SA\perp \left(ABCD\right)$. Biết $AC=a\sqrt{2}$, cạnh SC tạo với đáy một góc $60°$ và diện tích tứ giác ABCD là $\frac{3a^2}{2}$. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh SC. Tính thể tích khối chóp H.ABCD.

A. $\frac{a^3\sqrt{6}}{2}$

B. $\frac{a^3\sqrt{6}}{4}$

C. $\frac{a^3\sqrt{6}}{8}$

D. $\frac{3a^3\sqrt{6}}{8}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $SA\perp \left(ABCD\right)$

$\Rightarrow$ AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)

$\Rightarrow \left(\widehat{SC;\left(ABCD\right)}\right)=\left(\widehat{SC;AC}\right)=60°$

$SA\perp \left(ABCD\right)$

$\Rightarrow$ $SA\perp AC$

$\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại A và $\widehat{SCA}=60°$

Xét tam giác vuông SAC có:

$SA=AC.\tan 60=a\sqrt{2}.\sqrt{3}=a\sqrt{6}$;

$SC=\frac{AC}{\cos 60}=\frac{a\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=2a\sqrt{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có:

$A{C}^2=HC.SC$

$\Rightarrow \frac{HC}{SC} =\frac{A{C}^2}{S{C}^2}=\frac{2a^2}{8a^2}=\frac{1}{4}$

Trong (SAC) kẻ

$HK//SA\Rightarrow HK\perp \left(ABCD\right)$

Ta có:

$\frac{HK}{SA}=\frac{HC}{SC}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow HK=\frac{1}{4}SA=\frac{a\sqrt{6}}{4}$

Vậy $V_{H.ABCD}=\frac{1}{3}HK.S_{ABCD}$

$=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{4}.\frac{3a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{8}$

Câu 15. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB = 2a,

AC = 3a, AD = 4a. Thể tích của khối tứ diện đó là:

A. $12a^3$

B. $6a^3$

C. $8a^3$

D. $4a^3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Thể tích khối tứ diện ABCD đã cho là:

$V=\frac{1}{6}AB.AC.AD=\frac{1}{6}.2a.3a.4a=4a^3$

Câu 16. Cho khối chóp có chiều cao bằng 6, diện tích đáy bằng 4. Thể tích khối chóp đã cho bằng:

A. 24

B. 10

C. 12

D. 8

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Thể tích khối chóp đã cho là:

$V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\mathrm{.6.4}=8$

Câu 17. Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là:

A. $V=\frac{1}{3}Sh$

B. $V=\frac{1}{2}Sh$

C. $V=\frac{1}{6}Sh$

D. V = Sh

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là: V = Sh.

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho $\frac{SM}{SA}=k$. Xác định k sao cho mặt phẳng (BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.

A. $k=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$

B. $k=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

C. $k=\frac{-1+\sqrt{2}}{2}$

D. $k=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Vì BC // AD nên mặt phẳng (BMC) cắt (SAD) theo đoạn thẳng $MN//AD\left(N\in SD\right)$

Vì $MN//AD\Rightarrow \frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SD}=k$

$\frac{V_{S.MBC}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SA}=k$

$\Rightarrow V_{S.MBC}=k.V_{S.ABC}=\frac{k}{2}{V}_{S.ABCD}$

$\frac{V_{S.MNC}}{V_{S.ADC}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SD}=k^2$

$\Rightarrow V_{S.MNC}=k^2.V_{S.ADC}=\frac{k^2}{2}{V}_{S.ABCD}$

$\Rightarrow V_{S.MBCN}=V_{S.MBC}+V_{S.MNC}$

$=(\frac{k}{2}+\frac{k^2}{2})V_{S.ABCD}$

Để mặt phẳng (BMNC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau thì:

$\frac{k}{2}+\frac{k^2}{2}=\frac{1}{2}\iff k^2+k-1=0$

$\iff k=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ do k > 0

Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông

cân tại B, biết $SA=AC=2a$. Thể tích khối chóp S.ABC là:

A. $V_{S.ABC}=\frac{2}{3}{a}^3$

B. $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{a}^3$

C. $V_{S.ABC}=2a^3$

D. $V_{S.ABC}=\frac{4}{3}{a}^3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Do $\Delta ABC$ vuông cân tại B có

$AC=2a\Rightarrow AB=BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}BA.BC$

$=\frac{1}{6}.2a.a\sqrt{2}.a\sqrt{2}=\frac{2a^3}{3}$

Câu 20. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh AB = a, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng $45°$. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. $\frac{a^3}{3}$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

C. $\frac{a^3}{6}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi $O=AC\cap BD$ ta có $SO\perp \left(ABCD\right)$

$\Rightarrow \left(\widehat{SA;\left(ABC\right)}\right)=\left(\widehat{SA;\left(ABCD\right)}\right)$

$=\widehat{SAO}=45°$

$\Rightarrow SO=OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}$

$=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.a^2=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3, AC = $a\sqrt{3}$. Tam giác SBC đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC

A. $V=\frac{a^3}{2}$

B. $V=\frac{a^3}{6}$

C. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

D. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Trong mp (SBC) kẻ

$SH\perp BC\left(H\in BC\right)$

$\Rightarrow SH\perp \left(ABC\right)$, H là trung điểm BC.

Xét tam giác vuông ABC có

$BC=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$

$\Rightarrow \Delta SBC$ đều cạnh 2a

$\Rightarrow SH=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a{\sqrt{3}}^3$

$\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{\Delta ABC}$

$=\frac{1}{6}SH.AB.AC=\frac{1}{2}a$

Câu 22. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là tứ giác đều cạnh a, biết rằng $BD\text{'}=a\sqrt{6}$. Thể tích của khối lăng trụ?

A. $a^3\sqrt{2}$

B. $a^3\sqrt{3}$

C. $3a^3$

D. $2a^3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Vì A’B’C’D’ là hình vuông cạnh a nên $B\text{'}D\text{'}=a\sqrt{2}$

$BB\text{'}\perp \left(A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}\right)$

$\Rightarrow BB\text{'}\perp B\text{'}D\text{'}$

$\Rightarrow \Delta BB\text{'}D\text{'}$ vuông tại B'

$\Rightarrow BB\text{'}=\sqrt{BD{\text{'}}^2-B\text{'}D{\text{'}}^2}$

$=\sqrt{6a^2-2a^2}=2a$

Vậy $V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=BB\text{'}.S_{ABCD}$

$=2a.a^2=2a^3$

Câu 23. Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm, biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ. Tính thể tích khối lăng trụ

A. $480c{m}^3$

B. $360c{m}^3$

C. $240c{m}^3$

D. $120c{m}^3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi $O=AC\cap BD$ ta có: OA = 3cm; OB = 4cm.

Xét tam giác vuông OAB có:

$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}$

$=\sqrt{3^2+4^2}=5cm$

Khi đó chu vi đáy bằng

$P=4.5=20=2.AA\text{'}\Rightarrow AA\text{'}=10\left(cm\right)$

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}\mathrm{.6.8}=24\left(c{m}^2\right)$

Vậy $V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=AA\text{'}.S_{ABCD}$

$=10.24=240\left(c{m}^3\right)$

Câu 24. Cho đa diện ABCDEF có AD, BE, CF đôi một song song. $AD\perp \left(ABC\right),AD+BE+CF=5$, diện tích ta giác ABC bằng 10. Thể tích đa diện ABCDEF bằng:

A. 50

B. $\frac{15}{2}$

C. $\frac{50}{3}$

D. $\frac{15}{4}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Chọn $AD=BE=CF=\frac{5}{3}$ thì đa diện hình lăng trụ đứng ABC.DEF có diện tích đáy $S_{ABC}=10$, chiều cao $AD=\frac{5}{3}$

Thể tích $V=S_{ABC}.AD=10.\frac{5}{3}=\frac{50}{3}$

Câu 25. Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$. Mặt phẳng thay đổi chứ BG và cắt AC, AD lần lượt tại M và N. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{V_{ABMN}}{V_{ABCD}}$ là:

A. $\frac{3}{8}$

B. $\frac{4}{9}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{5}{9}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi O là trọng tâm tam giác BCD

$\Rightarrow \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=3\overrightarrow{GO}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GA}=-3\overrightarrow{GO}$

$\Rightarrow \frac{AG}{AO}=\frac{3}{4}$

Trong (ABC) gọi $F=BG\cap AE\left(F\in AE\right)$

Lấy $M\in AC$,

trong (ACD) gọi $N=MF\cap AD\left(N\in AD\right)$,

khi đó ta có mặt phẳng chứ BG cắt AC, AD lần lượt tại M, N chính là (BMN).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AOE, cát tuyến BGF:

$\frac{GA}{GO}.\frac{BO}{BE}.\frac{FE}{FA}=1$

$\Rightarrow 3.\frac{2}{3}.\frac{FE}{FA}=1$

$\Rightarrow \frac{FE}{FA}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{AF}{AE}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow F$ là trọng tâm tam giác ACD

Trong (ACD) kéo dài MN cắt CD tại H.

Đặt $\frac{AM}{AC}=x\left(0<x<1\right)$

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACE, cát tuyến MHF:

$\frac{MA}{MC}.\frac{HC}{HE}.\frac{FE}{FA}=1$

$\Rightarrow \frac{x}{1-x}.\frac{HC}{HE}.\frac{1}{2}=1$

$\Rightarrow \frac{HC}{HE}=\frac{2\left(1-x\right)}{x}$

$\Rightarrow HE=\frac{x}{2\left(1-x\right)}HC$

$\Rightarrow HC+CE=\frac{x}{2\left(1-x\right)}HC$

$\Rightarrow CE=\frac{3x-2}{2\left(1-x\right)}HC$

Ta có:

$HD=HC+2CE$

$=HC+\frac{3x-2}{1-x}HC$

$=\frac{2x-1}{1-x}HC$

$\Rightarrow \frac{HE}{HD}=\frac{x}{2\left(1-x\right)}:\frac{2x-1}{1-x}$

$=\frac{x}{2(2x-1)}$

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AED, cát tuyến MFN:

$\frac{FA}{FE}.\frac{HE}{HD}.\frac{ND}{NA}=1$

$\Rightarrow 2.\frac{x}{2\left(2x-1\right)}.\frac{ND}{NA}=1$

$\Rightarrow \frac{ND}{NA}=\frac{2x-1}{x}\Rightarrow \frac{NA}{ND}=\frac{x}{2x-1}$

$\Rightarrow \frac{NA}{NA+ND}=\frac{x}{x+2x-1}=\frac{x}{3x-1}$

$\Rightarrow \frac{AN}{AD}=\frac{x}{3x-1}$

Khi đó ta có:

$\frac{V_{ABMN}}{V_{ABCD}}=\frac{AM}{AC}.\frac{AN}{AD}$

$= x.\frac{x}{3x-1}=\frac{x^2}{3x-1}\left(x>\frac{1}{3}\right)$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2}{3x-1}\left(x>\frac{1}{3}\right)$

ta có:

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x\left(3x-1\right)-3x^2}{{\left(3x-1\right)}^2}=\frac{3x^2-2x}{{\left(3x-1\right)}^2}$

$f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\left(ktm\right)\\ x=\frac{2}{3}\end{array}\right.$

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy

$\underset{\left(\frac{1}{3};+\infty \right)}{\min }f\left(x\right)=f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{V_{ABMN}}{V_{ABCD}}=\frac{4}{9}$

Câu 26. Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' . V₁ là thể tích của tứ diện A'ABD . Hệ thức nào sau đây là đúng ?

A. V = 6V₁

B. V = 4V₁

C. V = 3V₁

D. V = 2V₁

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 27. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, = 120° và AA' = 7a/2 . Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’.

A. V = 12a³

B. V = 3a³

C. V = 9a³

D. V = 6a³

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 28. Cho khối chóp S.ABC với SA ⊥ SB , SB ⊥ SC , SC ⊥SA . Biết độ dài SA, SB, SC lần lượt là 3, 5, 6. Thể tích của khối chóp đó bằng:

A. 20

B. 10

C. 15

D. 30

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 29. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích S.ABC tăng lên bao nhiêu lần?

A.4 .

B.2 .

C.3 .

D.1/2 .

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần.

⇒ Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần.

Câu 30. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , = 120° biết SA ⊥ (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45°. Tính thể tích khối chóp S.ABC .

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 31.Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA vuông góc với (ABCD) và SA = 2a . Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của DC . Tính thể tích của khối chóp I.OBM .

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA = A, SB = 2, SC = 3, AB = √3, BC = CA = √7 . Tính thể tích V khối chóp S.ABC.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 33. Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 34. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 45°. Thể tích lăng trụ là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Mặt bên ABB’A’ có diện tích bằng a²√3 . Gọi M; N lần lượt là trung điểm của A’B; A’C . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp A’. AMN và A’.ABC .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 36. Cho hình chóp S.ABC có (SAB),(SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với đáy một góc 60° đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính thể tích của khối đa diện A.BMNC

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 37. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = A√2 và đáy là tam giác ABC cân tại A. Biết và BC = 2a. Thể tích khối chóp S.ABC là

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án C

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng cách dựng như hình vẽ.

Câu 38. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = a, AD = a√2; SA ⊥ (ABCD) , góc giữa SC và đáy bằng 60°. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng:

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 39. Cho hình chóp tam giác đều cạnh bằng 3. Tính thể tích hình chóp đó biết chiều cao h = 7

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30°. Thể tích của khối chóp đó bằng:

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Các câu hỏi trắc nghiệm Toán lớp 12 có đáp án, chọn lọc khác:

Trắc nghiệm Ôn tập Chương 1 - Khối đa diện có đáp án

Trắc nghiệm Khái niệm về mặt tròn xoay có đáp án

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án

Trắc nghiệm Ôn tập Chương 2 - Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu có đáp án

Trắc nghiệm Hệ tọa độ trong không gian có đáp án