Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

A. Lý thuyết Toán 6 Bài 12: Ước chung và ước chung lớn nhất – Cánh diều

I. Ước chung và ước chung lớn nhất

1. Ước chung:

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC.

Kí hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC(a, b).

Ví dụ: Ta có:

Các ước của 8 là: 1, 2, 4, 8

Các ước của 12 là: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Do đó các ước chung của 8 và 12 là: 1, 2, 4.

Vậy ƯC(8, 12) = {1; 2; 4}.

Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của cả ba số a, b, c.

Ví dụ: Số 14 chia hết cho 7 nên 7 là ước của 14, 21 chia hết cho 7 nên 7 là ước của 21, 49 chia hết cho 7 nên 7 là ước của 49. Vậy 7 là ước chung của ba số 14, 21, 49.

2. Ước chung lớn nhất:

Số lớn nhất trong các ước chung của hai số a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.

Quy ước: Viết tắt ước chung lớn nhất là ƯCLN.

Kí hiệu: ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b).

Ví dụ: Trong các ước chung của 8 và 12 là 1, 2, 4 thì 4 là số lớn nhất nên 4 là ước chung lớn nhất của 8 và 12. Ta viết ƯCLN(8, 12) = 4.

3. Tìm ước chung của hai số khi biết ƯCLN của hai số đó

Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.

Ví dụ: Biết ƯCLN (a, b) = 60. Tìm tất cả các số có hai chữ số là ước chung của a và b.

Lời giải:

Vì ước chung của a và b đều là ước của ƯCLN (a, b) = 60 nên tất cả các số có hai chữ số là ước chung của a và b là: 10, 12, 15, 20, 30, 60.

II. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Các bước tìm ƯCLN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất

Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(54, 90).

+ Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

54 = 2.3³

90 = 2.3².5

Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 3 là 2.

Vậy ƯCLN (54, 90) = 2.3² = 18.

Chú ý:

+ Nếu hai số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.

+ Nếu $a⋮b$ thì ƯCLN(a, b) = b. Chẳng hạn, ƯCLN(48, 16) = 16.

III. Hai số nguyên tố cùng nhau

1. Hai số nguyên tố cùng nhau

Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.

Ví dụ: Hai số 14 và 33 là hai số nguyên tố cùng nhau vì ƯCLN(14, 33) = 1.

2. Phân số tối giản

+ Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ: Ta có: ƯCLN(4, 9) = 1 nên phân số $\frac{4}{9}$ là phân số tối giản. 

+ Ta có thể rút gọn một phân số về phân số tối giản bằng cách chia cả tử và mẫu của phân số đó cho ƯCLN của chúng.

Ví dụ: Rút gọn phân số $\frac{16}{20}$ về phân số tối giản.

Ta có: ƯCLN(16, 20) = 4. Vậy $\frac{16}{20}=\frac{16:4}{20:4}=\frac{4}{5}$ .

Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm ƯCLN(126, 150). Từ đó hãy tìm tất cả các ước chung của 126 và 150.

Lời giải:

+ Ta có:

Do đó: 126 = 2 . 3 . 3 . 7 = 2 . 3² . 7

150 = 2 . 3 . 5 . 5 = 2 . 3 . 5²

Các thừa số nguyên tố chung của 126 và 150 là 2 và 3

Số 2 có số mũ nhỏ nhất là 1; số 3 có số mũ nhỏ nhất là 1.

Do đó: ƯCLN(126, 150) = 2¹ . 3¹ = 2 . 3 = 6

Lại có 6 có các ước là 1; 2; 3; 6.

Ước chung của 126 và 150 là ước của ƯCLN(126, 150) là 1; 2; 3; 6

Hay ƯC(126, 150) = {1; 2; 3; 6}

Vậy ƯCLN(126, 150) = 6; ƯC(126, 150) = {1; 2; 3; 6}.

Bài 2. Rút gọn phân số $\frac{60}{72}$ về phân số tối giản.

Lời giải:

Các phân số được gọi là tối giản khi phân số đó có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau. Vậy để rút gọn các phân số (chưa phải là phân số tối giản) thì ta đi tìm ƯCLN của tử số và mẫu số, rồi lấy cả tử và mẫu chia cho ƯCLN của cả hai thì ta được phân số tối giản.

Rút gọn phân số  $\frac{60}{72}$

Ta có:

Do đó: 60 = 2² . 3 . 5 và 72 = 2³ . 3²

Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3, số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1

Suy ra ƯCLN(60, 72) = 2² . 3¹ = 4 . 3 = 12

Vậy

Bài 3. Một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài là 680 cm và chiều rộng là 480 cm. Người ta muốn lát kín căn phòng đó bằng gạch hình vuông mà không có viên gạch nào bị cắt xén. Hỏi viên gạch đó có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi độ dài của viên gạch hình vuông là x $\left(cm,x\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

Để lát kín căn phòng mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì x phải là ước chung của chiều dài và chiều rộng.

Hay 680 ⋮ x và 480 ⋮ x

Do đó x ∈ ƯC(680, 480)

Để x lớn nhất thì x = ƯCLN(680, 480)

Ta có: 680 = 2³ . 5 . 17; 480 = 2⁵ . 3 . 5

Khi đó: x = ƯCLN(680, 480) = 2³ . 5 = 40.

Vậy để lát kín căn phòng đó mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì độ dài lớn nhất của viên gạch là 40 cm.

B. Trắc nghiệm Ước chung và ước chung lớn nhất (Cánh diều 2023) có đáp án

Câu 1: Số x là ước chung của số a và số b nếu:

A. x vừa là ước của a vừa là ước của b

B. x là ước của a nhưng không là ước của b

C. x là ước của b nhưng không là ước của a

D. x không là ước của cả a và b

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Theo lý thuyết: Số x là ước chung của số a và số b nếu x vừa là ước của a vừa là ước của b.

Câu 2: Chọn khẳng định đúng:

A. Mọi số tự nhiên đều có ước chung với nhau.  

B. Mọi số tự nhiên đều có ước là 0 

C. Số nguyên tố chỉ có đúng 1 ước là chính nó 

D. Hai số nguyên tố khác nhau thì không có ước chung

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

+ Đáp án A: Đáp án này đúng vì mọi số tự nhiên đều có ước chung là 1

+ Đáp án B: Đáp án này sai, vì 0 không là ước của bất kì một số nào cả

+ Đáp án C: Đáp án này sai, vì số nguyên tố có 2 ước là 1 và chính nó

+ Đáp án D: Đáp án này sai, vì 2 số nguyên tố có ước chung là 1

Câu 3: ƯCLN của a và b là:

A. bằng b nếu a chia hết cho b

B. bằng a nếu a chia hết cho b

C. ước chung nhỏ nhất của a và b

D. hiệu của 2 số a và b

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Nếu a chia hết cho b thì b là ước của a.

Mà b cũng là ước của b nên là ước chung của a và b.

Hơn nữa b là ước lớn nhất của b nên ƯCLN (a, b) = b.

Vậy ƯCLN của a và b là bằng b nếu a chia hết cho b.

Câu 4: Chọn câu sai.

A. Ước chung lớn nhất của hai số a và b là số lớn nhất trong các ước chung của a và b

B. Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng

C. Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1

D. Ước chung lớn nhất của hai số a và b là số bé nhất trong các ước chung của a và b

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Theo lý thuyết, ta có:

+ Ước chung lớn nhất của hai số a và b là số lớn nhất trong các ước chung của a và b

+ Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng

+ Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1

Vậy đáp án A, B, C đúng và D sai.

Câu 5: Điền từ thích hợp vào chỗ chấm.

Nếu a $⋮$ 7 và b $⋮$ 7 thì 7 là ………. của a và b.

A. ước chung lớn nhất

B. ước chung

C. bội

D. bội chung

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Nếu a $⋮$ 7 thì 7 là ước của a, b $⋮$ 7 thì 7 là ước của b, vậy 7 là ước chung của a và b.

Do đó: Nếu a $⋮$ 7 và b $⋮$ 7 thì 7 là ước chung của a và b.

Câu 6: Điền từ thích hợp vào chỗ chấm.

Nếu 19 là số lớn nhất sao cho a $⋮$ 19 và b $⋮$ 19 thì 19 là ………. của a và b.

A. ước chung

B. ước chung lớn nhất

C. bội chung

D. bội chung lớn nhất

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Nếu a $⋮$ 19 thì 19 là ước của a, b $⋮$19 thì 19 là ước của b, vậy 19 là ước chung của a và b.

Hơn nữa, 19 lại là số lớn nhất thỏa mãn a $⋮$ 19 và b $⋮$ 19 nên 19 là ước chung lớn nhất của a và b.

Do đó: Nếu 19 là số lớn nhất sao cho a $⋮$ 19 và b $⋮$ 19 thì 19 là ước chung lớn nhất của a và b.

Câu 7: Cho các bước sau, sắp xếp theo thứ tự để được cách tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

1. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

2. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

3. Lấy tích các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm

4. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất

A. 1 – 2 – 3 – 4

B. 2 – 3 – 4 – 1

C. 2 – 1 – 4 – 3

D. 1 – 4 – 3 – 2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Theo lý thuyết: cách tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

Bước 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất

Bước 4: Lấy tích các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.

Vậy ta sắp xếp theo thứ tự 2 – 1 – 4 – 3.

Câu 8: Viết tập hợp các ước chung của 9 và 15.

A. ƯC(9, 15) = {1; 3}     

B. ƯC(9, 15) = {0; 3}     

C. ƯC(9, 15) = {1; 5}     

D. ƯC(9, 15) = {1; 3; 9}

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

Các ước của 9 là: 1, 3, 9.

Các ước của 15 là: 1, 3, 5, 15.

Do đó các ước chung của 9 và 15 là: 1, 3.

Vậy tập hợp các ước chung của 9 và 15 là: ƯC(9, 15) = {1; 3}.

Câu 9: Ước chung lớn nhất của 9 và 15 là:

A. 15

B. 9

C. 3

D. 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Các ước của 9 là: 1, 3, 9.

Các ước của 15 là: 1, 3, 5, 15.

Do đó các ước chung của 9 và 15 là: 1, 3.

Ta thấy 3 là số lớn nhất trong các ước chung của 9 và 15.

Vậy ƯCLN(9, 15) = 3.

Câu 10: Tìm ƯCLN(16, 32, 112)?

A. 4     

B. 8     

C. 16     

D. 32

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: 32 ⁝ 16; 112 ⁝ 16.

Vậy ƯCLN(16, 32, 112) = 16.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 6 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 13: Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Lý thuyết Tổng hợp lý thuyết Chương 1

Lý thuyết Bài 1: Số nguyên âm

Lý thuyết Bài 2: Tập hợp các số nguyên

Lý thuyết Bài 3: Phép cộng các số nguyên tố