Lý thuyết Quan hệ chia hết. Tính chất chia hết chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

A. Lý thuyết Toán 6 Bài 7: Quan hệ chia hết. Tính chất chia hết – Cánh diều

I. Quan hệ chia hết

1. Khái niệm về chia hết

Cho hai số tự nhiên a và b $\left(b\ne 0\right)$.

Nếu có số tự nhiên q sao cho a = b . q thì ta nói a chia hết cho b.

Khi a chia hết cho b, ta nói a là bội của b và b là ước của a.

Ví dụ: 42 = 6 . 7 nên 42 chia hết cho 6.

Khi đó ta gọi 42 là bội của 6 và 6 là ước của 42.

Lưu ý:

+ Nếu số dư trong phép chia a cho b bằng 0 thì a chia hết cho b, kí hiệu là $a⋮b$ .

+ Nếu số dư trong phép chia a cho b khác 0 thì a không chia hết cho b, kí hiệu là $a\cancel{⋮}b$.

Ví dụ:

+ 4 chia hết cho 2, kí hiệu là $4⋮2$

+ 5 không chia hết cho 2, kí hiệu là $5\cancel{⋮}2$

Lưu ý: Với a là số tự nhiên khác 0 thì:

+ a là ước của a;

+ a là bội của a;

+ 0 là bội của a;

+ 1 là ước của a.

Ví dụ:

0 và 7 là hai bội của 7.

1 và 12 là hai ước của 12.

2. Cách tìm bội và ước của một số

2.1 Cách tìm bội của một số

Để tìm các bội của $n\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ ta có thể lần lượt nhân n với 0, 1, 2, 3, …. Khi đó, các kết quả nhận được đều là bội của n.

Ví dụ: Tìm các bội nhỏ hơn 20 của 7.

Lời giải:

Để tìm các bội của 7 ta lần lượt nhân 7 với 0, 1, 2, 3,… ta được 0, 7, 14, 21,…

Các bội của 7 là: 0, 7, 14, 21,…

Mà cần tìm các bội của 7 nhỏ hơn 20 nên các số thỏa mãn yêu cầu là 0, 7, 14.

Vậy các bội nhỏ hơn 20 của 7 là 0, 7, 14. 

2.2 Cách tìm ước của một số

Để tìm các ước của số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có thể lần lượt chia n cho các số tự nhiên từ 1 đến n. Khi đó, các phép chia hết cho ta số chia là ước của n.

Ví dụ: Tìm các ước của 15.

Lời giải:

Thực hiện phép chia số 15 cho lần lượt các số tự nhiên từ 1 đến 15. Các phép chia hết là: 15 : 1 = 15; 15 : 3 = 5; 15 : 5 = 3; 15 : 15 = 1.

Vì vậy, các ước của 15 là 1, 3, 5, 15.

II. Tính chất chia hết

1. Tính chất chia hết của một tổng

Tổng quát: Nếu tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

Cụ thể đối với tổng 2 số hạng:

Nếu  $a⋮m$ và $b⋮m$ thì $\left(a+b\right)⋮m$ .

Khi đó ta có: (a + b) : m = a : m + b : m.

Ví dụ:

+ Ta có: $4⋮2$ và $6⋮2$ thì $\left(4+6\right)⋮2$.

Khi đó: $\left(4+6\right):2=4:2+6:2$.

+ Ta có: $9⋮3$, $12⋮3$ và $27⋮3$ thì $\left(9+12+27\right)⋮3$.

Khi đó: $\left(9+12+27\right):3=9:3+12:3+27:3.$

2. Tính chất chia hết của một hiệu

Tổng quát: Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho cùng một số thì hiệu chia hết cho số đó.

Cụ thể:

Với $a\ge b$:

Nếu $a⋮m$ và $b⋮m$ thì$\left(a-b\right)⋮m$.

Khi đó ta có: (a – b) : m = a : m – b : m.

Ví dụ: Ta có: $2200⋮10$và $120⋮10$ thì $\left(2200-120\right)⋮10$.

Khi đó: $\left(2200-120\right):10=2200:10-120:10$.

3. Tính chất chia hết của một tích

Tổng quát: Nếu một thừa số của tích chia hết cho một số thì tích chia hết cho số đó.

Cụ thể: Nếu $a⋮m$ thì $\left(a.b\right)⋮m$ với mọi số tự nhiên b.

Ví dụ: Ta thấy 50 chia hết cho 5 nên tích 50 . 2016 chia hết cho 5.

Bài tập tự luyện

Bài 1. a) Tìm các bội nhỏ hơn 40 của 9.

b) Tìm tất cả các ước của 25.

Lời giải:

 a) Để tìm các bội của 9, ta lần lượt nhân 9 với các số 0, 1, 2, 3, 4, 5,… được 0, 9, 18, 27, 36, 45,…

Các bội của 9 là 0, 9, 18, 27, 36, 45,…

Vì cần tìm các bội nhỏ hơn 40 của 9 nên các số thỏa mãn yêu cầu là: 0, 9, 18, 27, 36.

Vậy các bội nhỏ hơn 40 của 9 là: 0, 9, 18, 27, 36.

b) Để tìm các ước của 25, ta thực hiện phép chia 25 cho các số tự nhiên từ 1 đến 25. Các phép chia hết là: 25 : 1 = 25; 25 : 5 = 5; 25 : 25 = 1

Vậy các ước của 25 là 1, 5 và 25.

Bài 2. Không tính giá trị biểu thức, hãy giải thích tại sao A = 36 . 234 + 217 . 24 – 54 . 13 chia hết cho 6.

Lời giải:

Ta có: 36 : 6 = 6; 24 : 6 = 4;   54 : 6 = 9.

Nên các số 36; 24; 54 đều là các số chia hết cho 6, áp dụng tính chất chia hết của một tích ta có:

36 . 234;     217 . 24;     54 . 13 đều là các tích chia hết cho 6.

Khi đó: A = 36 . 234 + 217 . 24 – 54 . 13 chia hết cho 6.

(Theo tính chất chia hết của một tổng và tính chất chia hết của một hiệu).

B. Trắc nghiệm Quan hệ chia hết. Tính chất chia hết (Cánh diều 2023) có đáp án

I. Nhận biết

Câu 1: Chọn đáp án sai. Khi số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b (với b ≠ 0), ta nói:

A. a là bội của b

B. b là ước của a

C. b là bội của a

D. Tồn tại một số tự nhiên q để a = b . q

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Với a, b là hai số tự nhiên, b ≠ 0.

Nếu có số tự nhiên q sao cho a = b . q thì ta nói a chia hết cho b, khi đó a là bội của b và b là ước của a.

Vậy đáp án A, B, D đúng và C là sai.

Câu 2: Trong các số sau, số nào là ước của 12?

A. 5     

B. 8     

C. 12     

D. 24

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: 12 chia hết cho 12 nên 12 cũng là một ước của chính nó.

Lại có 12 không chia hết cho các số 5, 8, 24 nên các số này không là ước của 12.

Câu 3: Chọn câu sai. Nếu a chia hết cho 4 và b chia hết cho 4 thì

A. tổng a + b cũng chia hết cho 4

B. hiệu a – b cũng chia hết cho 4

C. tích a . m cũng chia hết cho 4 với mọi số tự nhiên m

D. tổng a + b không chia hết cho 4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Theo tính chất chia hết của một tổng, một hiệu và một tích thì các đáp án A, B, C là đúng và đáp án D là sai.

Câu 4: Số nào sau đây là một bội của 7?

A. 12

B. 1

C. 49

D. 23

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Nhận thấy các số 12, 1, 23 không chia hết cho 7 nên các số này không thể là bội của 7.

Lại có 49 : 7 = 7 nên 49 chia hết cho 7, do đó 49 là một bội của 7.

Câu 5: Chọn câu đúng nhất. Với a là số tự nhiên khác 0 thì:

A. a là ước của a

B. a là bội của a

C. 0 là bội của a

D. Cả 3 câu trên đều đúng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Với a là một số tự nhiên khác 0 thì ta có:

+ a là ước của a (vì a : a = 1 nên a chia hết cho a)

+ a là bội của a (vì a chia hết cho a)

+ 0 là bội của a (vì 0 : a = 0 nên 0 chia hết cho a)

Vậy cả ba đáp án A, B, C đều đúng.

Câu 6: Cho các số sau: 0, 8, 10, 17, 32. Có bao nhiêu số là bội của 4 trong các số trên.

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Nhận thấy các số 0, 8, 32 đều chia hết cho 4 nên 0, 8, 32 đều là các bội của 4.

Vậy trong các số đã cho, có 3 số là bội của 4.

Câu 7: Tổng nào sau đây chia hết cho 7.

A. 49 + 70     

B. 14 + 51     

C. 7 + 134     

D. 10 + 16

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Theo tính chất chia hết của một tổng: Ta có 49 chia hết cho 7 và 70 chia hết cho 7 nên 49 + 70 chia hết cho 7.

Câu 8: Nếu $m⋮4$ và $n⋮4$ thì m + n chia hết cho

A. 4

B. 8

C. 12

D. 16

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Vì $m⋮4$ và $n⋮4$ nên theo tính chất chia hết của một tổng, ta có m + n chia hết cho 4.

Câu 9: Với a là một số tự nhiên bất kì thì số 15a luôn chia hết cho:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Nhận thấy: 15 : 3 = 5 nên 15 chia hết cho 3 nên theo tính chất chia hết của một tích, ta có 15a luôn chia hết cho 3 với a là một số tự nhiên bất kì. Do đó đáp án B đúng.

Nếu ta lấy a = 1 thì 15a = 15 . 1 = 15 không chia hết cho 2, 4, 6 nên các đáp án A, C, D sai.

Câu 10: Nếu $h⋮7$ và $k⋮7$ với h > k thì hiệu h – k chia hết cho:

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta có

Với h > k, nếu $h⋮7$ và $k⋮7$ thì h – k chia hết cho 7.

II. Thông hiểu

Câu 1: Nếu x ⁝ 2  và y ⁝ 4 thì tổng x + y chia hết cho?

A. 2     

B. 4     

C. 8     

D. Không xác định

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: y ⁝ 4  nên suy ra y ⁝ 2  (vì 4 chia hết cho 2)

Khi đó ta có:

x ⁝ 2 và y ⁝ 2 nên suy ra (x + y) ⁝ 2  (theo tính chất chia hết của một tổng).

Câu 2: Viết tập hợp A tất cả các bội của 3 trong các số sau: 4; 18; 75; 124; 185; 258.

A. A = {4; 75; 124}     

B. A = {18; 124; 258}     

C. A = {75; 124; 258}     

D. A = {18; 75; 258}

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Trong các số đã cho, ta thấy: 18 : 3 = 6, 75 : 3 = 25, 258 : 3 = 86.

Do đó ta có: 18 ⁝ 3, 75 ⁝ 3, 258 ⁝ 3 nên 18; 75; 258 là các bội của 3.

Vậy ta viết tập hợp A là: A = {18; 75; 258}.

Câu 3: Chọn câu sai trong các câu sau:

A. 49 + 105 + 399 chia hết cho 7

B. 84 + 48 + 120 không chia hết cho 8

C. 18 + 54 + 12 chia hết cho 9

D. 18 + 54 + 15 không chia hết cho 9

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: 18 ⁝ 9; 54 ⁝ 9; 12 không chia hết 9.

Nên (18 + 54 + 12) không chia hết 9.

Đáp án C sai.

Câu 4: Có tổng M = 75 + 120 + x. Với giá trị nào của x dưới dây thì M ⁝ 3?

A. x = 7     

B. x = 5     

C. x = 4     

D. x = 12

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: 75 ⁝  3; 120 ⁝  3. Vậy để M ⁝  3 thì x ⁝  3

Trong bốn đáp án ta thấy chỉ có x = 12 thỏa mãn điều kiện.

Do đó giá trị cần tìm là x = 12.

Câu 5: Tập hợp tất cả các số có hai chữ số là bội của 25 là:

A. {0; 25; 50; 75; 100}

B. {25; 50; 75}

C. {0; 25; 50; 75}

D. {25; 50; 75; 100}

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Để tìm các bội của 25, ta lần lượt lấy 25 nhân với 0, 1, 2, 3, 4…

Ta được các bội của 25 là 0, 25, 50, 75, 100,…

Vậy tập hợp các số có hai chữ số là bội của 25 là {25; 50; 75}.

Câu 6: Tìm tập hợp các bội của 6 trong các số sau: 6; 15; 24; 30; 40.

A. {15; 24}     

B. {24; 30}     

C. {15; 24; 30}     

D. {6; 24; 30}

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Trong các số đã cho,

Ta thấy: 6 ⁝  6; 24 ⁝  6; 30 ⁝  6 nên 6; 24; 30 là các bội của 6.

Vậy tập hợp các bội của 6 trong các số đã cho là {6; 24; 30}.

Câu 7: Viết tập hợp H các ước lớn hơn 10 của 50.

A. H = {25; 50}

B. H = {25, 50}

C. H = {1; 2; 5; 10; 25; 50}

D. H = {10; 25; 50}

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Trước tiên, ta tìm các ước của 50, để tìm được các ước của 50, ta lần lượt chia 50 cho các số tự nhiên từ 1 đến 50, các phép chia hết là:

50 : 1 = 50, 50 : 2 = 25, 50 : 5 = 10, 50 : 10 = 5, 50 : 25 = 2, 50 : 50 = 1.

Do đó, các ước của 50 là: 1, 2, 5, 10, 25, 50.

Vậy các ước lớn hơn 10 của 50 là: 25 và 50.

Do đó ta viết tập hợp H như sau: H = {25; 50}.

III. Vận dụng

Câu 1: Tập hợp các số tự nhiên x thỏa mãn 6 ⁝ (x – 2) là:

A. {1; 2; 3; 6}

B. {3; 6}

C. {5; 8}

D. {3; 4; 5; 8}

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì 6 ⁝ (x – 2) nên x – 2 là ước của 6.

Mà các ước của 6 là: 1, 2, 3, 6.

Nên ta có các trường hợp sau:

• TH1: x – 2 = 1

  Suy ra x = 1 + 2 = 3 (t/m)

• TH2: x – 2 = 2

 Suy ra x = 2 + 2 = 4 (t/m)

• TH3: x – 2 = 3

 Suy ra x = 3 + 2 = 5 (t/m)

• TH4: x – 2 = 6

 Suy ra x = 6 + 2 = 8 (t/m)

Vậy tập hợp các số tự nhiên x thỏa mãn yêu cầu bài toán là: {3; 4; 5; 8}.

Câu 2: Viết tập hợp A các số tự nhiên n sao cho n + 5 là ước của 12.

A. A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

B. A = {1; 7}

C. A = {1; 2; 3; 4; 6}

D. A = {1; 2; 3; 4}

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Vì n là số tự nhiên và n + 5 là ước của 12 nên n + 5 > 5

Ta tìm được các ước của 12 là: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Mà n + 5 là ước của 12 và n + 5 > 5 nên n + 5 chỉ có thể bằng 6 hoặc bằng 12.

Nên ta có 2 trường hợp sau:

• TH1: n + 5 = 6

Suy ra n = 6 – 5 = 1 (t/m)

• TH2: n + 5 = 12

Suy ra n = 12 – 5 = 7 (t/m)

Vậy n = 1, n = 7, do đó ta viết tập hợp A = {1; 7}.

Câu 3: Khi chia số tự nhiên a cho 12, ta được số dư là 8. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a chia hết cho 6

B. a chia hết cho 4

C. a chia hết cho 3

D. Cả A, B, C đều đúng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Số tự nhiên a chia cho 12 được số dư là 8 nên a = 12k + 8 (với $k\in \mathbb{N}$)

Ta có: 12 : 4 = 3, 8 : 4 = 2 nên 12 và 8 đều chia hết cho 4.

Do đó: 12k cũng chia hết cho 4 (theo tính chất chia hết của một tích)

Khi đó 12k + 8 chia hết cho 4 (theo tính chất chia hết của một tổng)

Vậy a chia hết cho 4.

Câu 4: Tìm số tự nhiên x, biết x là bội của 10 và 70 < x < 90.

A. x = 70

B. x = 80

C. x = 85

D. x = 90

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Vì x là bội của 10 nên x chia hết cho 10.

Lại có 70 < x < 90, nên x là số tự nhiên lớn hơn 70 và nhỏ hơn 90, là các số từ 71 đến 89, trong đó, ta thấy chỉ có số 80 chia hết cho 10 vì 80 : 10 = 8.

Vậy x = 80.

Câu 5: Nếu x⋮15 và y⋮20 thì hiệu x - y chia hết cho số nào trong các đáp án sau:

A. 13

B. 3

C. 5

D. 15

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Câu 6: Phát biểu nào sau đây là sai :

A. Tích của 23. 32 không chia hết cho 3 vì không có hạng tử nào chia hết cho 3

B. Kết quả của phép tính 32+45:5 là 41

C. Kết quả của phép tính 29-15:3 là 22

D. A và B đúng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Câu 7: Kết quả của phép chia (49 - 21) : 7 là :

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Câu 8: Chọn câu sai trong các câu sau:

A. 24+56+108 không chia hết cho 8

B. 33+87+42 chia hết cho 3

C. 46+184 chia hết cho 23

D. 30+95 không chia hết cho 15

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Câu 9: Số nào không phải là bội của 15 ?

A. 30

B. 45

C. 90

D. 100

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Câu 10: Cho A = 24 + 199 + x với x∈N. Tìm điều kiện của x để A⋮4.

A. x⋮4

B. x chia cho 4 dư 3

C. x chia cho 4 dư 1

D. x chia cho 4 dư 2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Câu 11: Có bao nhiêu số tự nhiên n để (n + 7) chia hết cho (n + 2)?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Câu 12: Chọn câu sai. Nếu a chia hết cho 4 và b chia hết cho 4 thì

A. tổng a + b cũng chia hết cho 4

B. hiệu a – b cũng chia hết cho 4

C. tổng a + b không chia hết cho 4

D. tích a . m cũng chia hết cho 4 với mọi số tự nhiên m

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Câu 13: Có bao nhiêu số tự nhiên n để (n+9)⋮(n+5)?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Câu 14: Cho x, y ⋲ Z. Nếu (5x + 46y) ⋮ 16 thì x + 6y chia hết cho:

A. 16

B. 46

C. 6

D. 5

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 6 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 8: Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5

Lý thuyết Bài 9: Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9

Lý thuyết Bài 10: Số nguyên tố. Hợp số

Lý thuyết Bài 11: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Lý thuyết Bài 12: Ước chung và ước chung lớn nhất