Lý thuyết Tập hợp các số nguyên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

A. Lý thuyết Toán 6 Bài 2: Tập hợp các số nguyên – Cánh diều

I. Tập hợp $\mathbb{Z}$ các số nguyên

+ Số tự nhiên khác 0 còn được gọi là số nguyên dương.

+ Các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương tạo thành tập hợp các số nguyên.

+ Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là $\mathbb{Z}$

Ví dụ:

+ Các số nguyên dương: 4, 6, 10 000, …

+ Tập hợp các số nguyên $\mathbb{Z}$ = {…, – 2, – 1, 0, 1, 2, …}

Chú ý:

+ Số 0 không phải số nguyên âm, cũng không phải số nguyên dương.

+ Các số nguyên dương 1, 2, 3,... đều mang dấu “+" nên còn được viết là + 1, + 2, + 3,...

II. Biểu diễn số nguyên trên trục số

Ta có thể biểu diễn số nguyên trên trục số. Có hai loại trục số:

1. Trục số nằm ngang

Trên trục số nằm ngang, điểm biểu diễn số nguyên âm nằm bên trái điểm 0, điểm biểu diễn số nguyên dương nằm bên phải điểm 0.

2. Trục số thẳng đứng

Trên trục số thẳng đứng, điểm biểu diễn số nguyên âm nằm phía dưới điểm 0, điểm biểu diễn số nguyên dương nằm phía trên điểm 0.

Chú ý: Khi nói “trục số” mà không nói gì thêm, ta hiểu là nói về trục số nằm ngang.

III. Số đối của một số nguyên

+ Trên trục số, hai số nguyên (phân biệt) có điểm biểu diễn nằm về hai phía của gốc 0 và cách đều gốc 0 được gọi là hai số đối nhau.

+ Số đối của 0 là 0.

Ví dụ:

– 4 và 4 là hai số đối nhau.

– 4 là số đối của 4 và 4 là số đối của – 4.

IV. So sánh các số nguyên

1. So sánh hai số nguyên

+ Trên trục số nằm ngang, nếu điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b.

+ Trên trục số thẳng đứng, nếu điểm a nằm phía dưới điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b.

+ Nếu a nhỏ hơn b thì ta viết là a < b hoặc b > a.

Ví dụ:

Điểm – 10 nằm bến trái điểm – 5 nên – 10 < – 5

Điểm 2 nằm bên phải điểm 0 nên 2 > 0.

Chú ý:

+ Số nguyên dương luôn lớn hơn 0. Số nguyên âm luôn nhỏ hơn 0.

+ Nếu a < b và b < c thì a < c

Ví dụ: – 2 < 0 và 0 < 5 thì – 2 < 5.

2. Cách so sánh hai số nguyên

2.1 So sánh hai số nguyên khác dấu

Số nguyên âm luôn nhỏ hơn số nguyên dương.

Ví dụ: – 7 là số nguyên âm và 5 là số nguyên dương nên – 7 < 5.

2.2 So sánh hai số nguyên cùng dấu

+ So sánh hai số nguyên dương: Đã biết ở chương I.

+ So sánh hai số nguyên âm:

Để so sánh hai số nguyên âm, ta làm như sau:

Bước 1. Bỏ dấu “–” trước cả hai số âm

Bước 2. Trong hai số nguyên dương nhận được, số nào nhỏ hơn thì số nguyên âm ban đầu (trước khi bỏ dấu “–”) sẽ lớn hơn.

Ví dụ: So sánh – 216 và – 309.

Bỏ dấu “–” trước các số – 216 và – 309, ta được các số lần lượt là 216 và 309.

Do 216 < 309 nên – 216 > – 309.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết các số sau theo thứ tự giảm dần: – 154, – 618, – 219, 58.

Lời giải:

+ Vì số nguyên dương luôn lớn hơn số nguyên âm, nên trong các số đã cho ta có 58 là số lớn nhất.

+ Ta so sánh các số nguyên âm: – 154, – 618, – 219

Bỏ dấu “–” trước các số – 154, – 618, – 219 ta được các số lần lượt là 154, 618, 219.

Do 154 < 219 < 618 nên – 154 > – 219 > – 618

Do đó ta có: 58 > – 154 > – 219 > – 618.

Vậy sắp xếp các số đã cho theo thứ tự giảm dần ta được: 58, – 154, – 219, – 618.

Bài 2. Chọn kí hiệu "$\in$”, "$\notin$" thích hợp cho $\boxed{?}$:

a) $-3\boxed{?}\mathbb{Z};$

b) 0 $\boxed{?}\mathbb{Z};$

c) 4 $\boxed{?}\mathbb{Z};$

d) $-2\boxed{?}\mathbb{N}.$

Lời giải:

a) Ta có số – 3 là số nguyên âm nên nó thuộc tập hợp các số nguyên.

Do đó ta viết $-3\boxed{\in }\mathbb{Z}.$

b) Ta có số 0 là số nguyên nên nó thuộc tập hợp các số nguyên.

Do đó ta viết 0 $\boxed{\in }\mathbb{Z}.$

c) Ta có số 4 là số nguyên dương nên nó cũng thuộc tập hợp các số nguyên.

Do đó ta viết 4 $\boxed{\in }\mathbb{Z}.$

d) Ta có số – 2 là số nguyên âm nên nó không phải là số tự nhiên hay – 2 không thuộc tập hợp các số tự nhiên.

Do đó ta viết $-2\boxed{\notin }\mathbb{N}.$

Bài 3. So sánh các cặp số sau: 3 và 5; – 1 và – 3; – 5 và 2; 5 và – 3.

Lời giải:

Ta có thể so sánh các cặp số trên bằng một trong các cách sau:

Cách 1.

Biểu diễn các số đã cho lên trục số ta được:

+) Ta thấy điểm 3 nằm bên trái điểm 5 nên 3 < 5.

+) Điểm – 3 nằm bên trái điểm – 1 nên – 3 < – 1 hay – 1 > – 3.

+) Điểm – 5 nằm bên trái điểm 2 nên – 5 < 2.

+) Điểm – 3 nằm bên trái điểm 5 nên – 3 < 5 hay 5 > – 3.

Cách 2.

+) Ta có: 3 < 5 (so sánh hai số tự nhiên)

+) So sánh – 1 và – 3

Bỏ dấu “–” trước các số – 1 và – 3 ta được các số lần lượt là 1 và 3.

Do 1 < 3 nên – 1 > – 3.

+) So sánh – 5 và 2

Vì – 5 là số nguyên âm và 2 là số nguyên dương nên – 5 < 2.

+) So sánh 5 và – 3

Vì 5 là số nguyên dương và – 3 là số nguyên âm nên 5 > – 3.

B. Trắc nghiệm Tập hợp các số nguyên (Cánh diều 2023) có đáp án

I. Nhận biết

Câu 1: Tập hợp các số nguyên kí hiệu là:

A. $\mathbb{N}$

B. ${\mathbb{N}}^{*}$

C. $\mathbb{Z}$

D. ${\mathbb{Z}}^{*}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Theo phần lý thuyết, ta đã biết tập hợp các số nguyên kí hiệu là $\mathbb{Z}$.

Câu 2: Chọn câu đúng.

A. Số 0 không phải là số nguyên

B. Số 0 là số nguyên âm

C. Số 0 là số nguyên dương

D. Số 0 là số nguyên

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Theo lý thuyết: Số 0 là số nguyên và số 0 không phải số nguyên âm cũng không phải số nguyên dương. Vậy đáp án A, B, C sai và D đúng.

Câu 3: Phát biểu nào sau đây đúng?

A. $-10\in \mathbb{N}$

B. $-10\in \mathbb{Z}$

C. $-10\notin \mathbb{Z}$

D. $-10\in {\mathbb{N}}^{*}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: – 10 là số nguyên và không phải là số tự nhiên nên $-10\in \mathbb{Z}$,$-10\notin \mathbb{N}$, $-10\notin {\mathbb{N}}^{*}$ .

Câu 4: Chọn câu sai?

A. $\mathbb{Z}$ = {0; 1; 2; 3; ….} 

B. $\mathbb{Z}$ = {….; - 3; - 2; - 1; 0}

C. $\mathbb{Z}$ = {...; -2; -1; 0; 1; 2; ...}     

D. $\mathbb{Z}$ = {...; -2; -1; 1; 2; ...}

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: tập hợp các số nguyên $\mathbb{Z}$ = {...; -2; -1; 0; 1; 2; ...} nên C đúng và A, B, D sai.

Câu 5: Chọn câu đúng:

A. $-6\in \mathbb{N}$  

B. $9\notin \mathbb{N}$

C. $-9\in \mathbb{N}$

D. $-19\in Z$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

+ Vì – 6 là số nguyên âm, không phải số tự nhiên nên $-6\notin \mathbb{N}$, do đó A sai.

+ Vì 9 là số tự nhiên nên $9\in \mathbb{N}$, do đó B sai.

+ Vì – 9 là số nguyên âm, không phải số tự nhiên nên $-9\notin \mathbb{N}$, do đó C sai.

+ Vì -19 là số nguyên âm nên $-19\in \mathbb{Z}$, do đó D đúng.

 II. Thông hiểu

Câu 1: Điểm cách -1 ba đơn vị theo chiều âm là:

A. 3     

B. -3     

C. -4     

D. 4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Điểm cách -1 ba đơn vị theo chiều âm là điểm nằm bên trái -1 và cách điểm -1 ba đơn vị.

Điểm nằm bên trái điểm -1 và cách điểm -1 ba đơn vị là điểm -4

Nên điểm cách -1 ba đơn vị theo chiều âm là -4.

Câu 2: Điền vào chỗ trống trong câu sau: Nếu – 2 điốp biểu diễn độ cận thị thì + 2 điốp biểu diễn …

A. độ cận thị

B. độ viễn thị

C. độ loạn thị

D. độ bình thường

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Vì – 2 và + 2 là hai số đối nhau, mà – 2 điốp biểu thị độ cận thị thì + 2 điốp biểu diễn độ viễn thị

Câu 3: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Nếu + 50 000 đồng biểu diễn số tiền có 50 000 đồng, thì – 50 000 đồng biểu diễn số tiền cho vay là 50 000 đồng.

B. Số 0 là số nguyên dương.

C. Số đối của số 0 là số 0.

D. Số 0 là số nguyên âm.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Nếu + 50 000 đồng biểu diễn số tiền có 50 000 đồng, thì – 50 000 đồng biểu diễn số tiền nợ là 50 000 đồng. Vậy A sai

Số 0 không là số nguyên âm, không là số nguyên dương. Do đó, B và D sai

Số đối của số 0 là số 0. Do đó, C đúng

Câu 4: Số đối của 8 là:

A. – 8

B. 0

C. 8

D. 16

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có số đối của 8 là – 8.

Câu 5: Cho tập hợp A = {-2; 0; 3; 6} . Tập hợp B gồm các phần tử là số đối của các phần tử trong tập hợp A là:

A. B = {-2; 0; -3; -6}

B. B = {2; 0; 3; 6}

C. B = {-6; -3; 0; 2}

D. B = {-2; 0; 3; 6}

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: số đối của – 2 là 2, số đối của 0 là 0, số đối của 3 là – 3 , số đối của 6 là – 6.

Do đó, tập hợp B là: B = {-6; -3; 0; 2}.

Câu 6: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu + 10 000 đồng biểu diễn số tiền có 10 000 đồng, thì – 10 000 đồng biểu diễn số tiền nợ 10 000 đồng.

B. Nếu -15°C biểu diễn 15 độ dưới 0°C thì +15°C biểu diễn 15 độ trên 0°C

C. Nếu +5 bước biểu diễn 5 bước về phía trước thì – 5 bước biểu diễn 5 bước về phía sau.

D. Nếu – 27m biểu diễn độ sâu là 27m dưới mực nước biển thì + 27m biểu diễn độ cao 27m tính từ mặt đất.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

Nếu – 27m biểu diễn độ sâu là 27m dưới mực nước biển thì + 27m biểu diễn độ cao 27m trên mực nước biển. Vậy đáp án D sai.

III. Vận dụng

Câu 1: Cho các số: 8; 15; – 25;  – 56; 0. Sắp xếp các số đã cho theo thứ tự tăng dần ta được:

A. 8; 15; – 25; – 56; 0

B. 0; 8; 15; – 25; – 56

C. – 56; – 25; 15; 8; 0

D. – 56 ; – 25; 0; 8; 15

Hiển thị đáp án  

Đáp án: S

Giải thích:

+ Ta có: 8 và 15 là các số nguyên dương nên 0 < 8 < 15  (1)

+ Lại có các số – 25; – 56 là số nguyên âm nên – 25 < 0; – 56 < 0

 Ta so sánh hai số – 25 và – 56 bằng cách bỏ dấu trừ ở trước các số đó, ta được 25 và 56.

Do 25 < 56 nên – 25 > – 56.

Do đó: – 56 < – 25 < 0 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra – 56 < – 25 < 0 < 8 < 15.

Vậy xếp các số đã cho theo thứ tự tăng dần ta được: – 56 ; – 25; 0; 8; 15

Câu 2: Cho E = { − 4; 2; 0; − 1; 7; − 2020}. Viết tập hợp D gồm các phần tử thuộc E và là số nguyên âm.

A. D = { − 4; 2; − 1}

B. D = { −4 ; − 1; − 2020} 

C. D = { − 1; 7; 2020}

D. D = { 2; 0; 7}

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có E = { −4; 2; 0; −1; 7; −2020} có các số nguyên âm là − 4; − 1; − 2020. Nên tập hợp D = { − 4; − 1; − 2020}.

Câu 3: Điểm - 3 cách điểm 4 theo chiều dương bao nhiêu đơn vị?

A. 7

B. 2

C. 9

D. 5

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Quan sát trục số ta thấy điểm – 3 cách điểm 4 theo chiều dương là 7 khoảng hay chính là 7 đơn vị.

Câu 4: Có bao nhiêu số nguyên nằm giữa – 4 và 5 là:

A. 6

B. 5

C. 8

D. 7

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Các số nguyên nằm giữa −4 và 5 là: −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4.

Vậy có 8 số thỏa mãn điều kiện đề bài

Câu 5: Trên trục số điểm A cách gốc 5 đơn vị về phía bên trái, điểm B cách điểm A là 4 đơn vị về phía bên phải. Hỏi điểm B cách gốc bao nhiêu đơn vị?

A. 3

B. 5

C. 2

D. 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Quan sát trục số ta thấy:
Điểm cách gốc 5 đơn vị vế phía bên trái là điểm −5 nên điểm A biểu diễn số: −5
Điểm B cách điểm −5 (hay điểm A) bốn đơn vị về phía bên phải là: −1

Điểm −1 cách gốc là 1 đơn vị.

Nên điểm B cách gốc 1 đơn vị

Câu 6: Chọn câu đúng :

A. -9 ϵ Z

B. -10 ϵN

C. 6 ϵ Z

D. -5 ϵ N

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Câu 7: Chọn câu sai :

A. Đối số của 3 là -3

B. -4 <-3

C. -12>0

D. -3+3=0

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Câu 8: Cho E = {− 4; 2; 0; − 1; 7; − 2020}. Viết tập hợp D gồm các phần tử thuộc E và là số nguyên âm.

A. D = {−4 ; − 1; − 2020}

B. D = {− 4; 2; − 1}

C. D = {− 1; 7; 2020}

D. D = {2; 0; 7}

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Câu 9: Cho tập hợp A = {-2; 0; 3; 6} . Tập hợp B gồm các phần tử là số đối của các phần tử trong tập hợp A là:

A. B = {-6; -3; 0; 2}

B. B = {2; 0; 3; 6}

C. B = {-2; 0; -3; -6}

D. B = {-2; 0; 3; 6}

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Câu 10: Cho các số: 8; 15; – 25; – 56; 0. Sắp xếp các số đã cho theo thứ tự tăng dần ta được:

A. 8; 15; – 25; – 56; 0

B. – 56 ; – 25; 0; 8; 15

C. – 56; – 25; 15; 8; 0

D. 0; 8; 15; – 25; – 56

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Câu 11: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu – 27m biểu diễn độ sâu là 27m dưới mực nước biển thì + 27m biểu diễn độ cao 27m tính từ mặt đất.

B. Nếu -15°C biểu diễn 15 độ dưới 0°C thì +15°C biểu diễn 15 độ trên 0°C

C. Nếu +5 bước biểu diễn 5 bước về phía trước thì – 5 bước biểu diễn 5 bước về phía sau.

D. Nếu + 10 000 đồng biểu diễn số tiền có 10 000 đồng, thì – 10 000 đồng biểu diễn số tiền nợ 10 000 đồng.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Câu 12: Hãy cho biết có bao nhiêu số nguyên nằm giữa - 4 và 5?

A. 6

B. 8

C. 5

D. 7

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Câu 13: Trên trục số điểm A cách gốc 4 đơn vị về phía bên trái, điểm B cách gốc 1 đơn vị về phía bên phải. Hỏi điểm A cách điểm B bao nhiêu đơn vị?

A. 5

B. 3

C. 2

D. 4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Câu 14: Cho tập hợp A = {-2; 0; 3; 6} . Tập hợp B gồm các phần tử là số đối của các phần tử trong tập hợp A là:

A. B = {-6; -3; 0; 2}

B. B = {2; 0; 3; 6}

C. B = {-2; 0; -3; -6}

D. B = {-2; 0; 3; 6}

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Câu 15: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Nếu + 50 000 đồng biểu diễn số tiền có 50 000 đồng, thì – 50 000 đồng biểu diễn số tiền cho vay là 50 000 đồng.

B. Số đối của số 0 là số 0.

C. Số 0 là số nguyên dương.

D. Số 0 là số nguyên âm.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 6 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3: Phép cộng các số nguyên tố

Lý thuyết Bài 4: Phép trừ số nguyên. Quy tắc dấu ngoặc

Lý thuyết Bài 5: Phép nhân các số nguyên

Lý thuyết Bài 6: Phép chia hết hai số nguyên. Quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên

Lý thuyết Tổng hợp lý thuyết Chương 2