Lý thuyết Phân số với tử và mẫu là số nguyên đơn giản – Toán lớp 6 Cánh diều

A. Lý thuyết Toán 6 Bài 1: Phân số với tử và mẫu là số nguyên đơn giản - Cánh diều

1. Khái niệm phân số

Kết quả của phép chia số nguyên a cho số nguyên b khác 0 có thể viết dưới dạng$\frac{a}{b}.$

Ta gọi $\frac{a}{b}.$ là phân số.

Phân số $\frac{a}{b}.$ đọc là: a phần b, a là tử số (còn gọi tắt là tử), b là mẫu số (còn gọi tắt là mẫu).

Ví dụ 1. Kết quả của phép chia 5 cho 12 có thể viết dưới dạng  $\frac{5}{12}.$

Ta gọi $\frac{5}{12}.$ là phân số và đọc là năm phần mười hai; trong đó 5 là tử số, 12 là mẫu số.

Chú ý: Mọi số nguyên a có thể viết dưới dạng phân số là $\frac{a}{1}.$ 

Ví dụ 2. Số ‒2 có thể viết dưới dạng phân số là $\frac{-2}{1}.$ 

Số 30 có thể viết dưới dạng phân số là $\frac{30}{1}.$  

2. Phân số bằng nhau

Khái niệm hai phân số bằng nhau: Hai phân số được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng biểu diễn một giá trị.

Quy tắc bằng nhau của hai phân số:

Xét hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$.

Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thì a.d = b.c. Ngược lại, nếu a.d = b.c thì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

Ví dụ 3. Hai phân số trong mỗi trường hợp sau có bằng nhau không?

a) $\frac{-1}{3}$ và $\frac{-3}{9}$;

b) $\frac{-4}{-10}$ và $\frac{-6}{15}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{-1}{3}$ và $\frac{-3}{9}$

Ta so sánh hai tích (‒1).9 và 3.(‒3)

(‒1).9 = ‒9 và 3.(‒3) = ‒9

Do đó (‒1).9 = 3.(‒3).

Suy ra $\frac{-1}{3}=\frac{-3}{9}$.

Vậy $\frac{-1}{3}=\frac{-3}{9}$.

b) $\frac{-4}{-10}$và $\frac{-6}{15}$

Ta so sánh hai tích (‒4).15 và (‒10).(‒6)

(‒4).15 = ‒60 và (‒10).(‒6) = 60

Do đó (‒1).9 ≠ 3.(‒3).

Vậy hai phân số $\frac{-4}{-10}$ và $\frac{-6}{15}$ không bằng nhau.

Suy ra $\frac{-1}{3}=\frac{-3}{9}$.

Vậy $\frac{-1}{3}=\frac{-3}{9}$.

Chú ý: Với a, b là hai số nguyên và b ≠ 0, ta luôn có: $\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}$ và $\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}$.

Ví dụ 4. $\frac{3}{-2}=\frac{-3}{2};\frac{-4}{-10}=\frac{4}{10}.$   

3. Tính chất cơ bản của phân số

a) Tính chất cơ bản

- Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

$\frac{a}{b}=\frac{a.m}{b.m}$ với $m\in \mathbb{Z}$, m ≠ 0.

- Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

$\frac{a}{b}=\frac{a:n}{b:n}$ với m $\in$ ƯC(a, b).

Ví dụ 5.

a)  $\frac{1}{2}=\frac{1.2}{2.2}=\frac{2}{4};\frac{1}{2}=\frac{1.\left(-3\right)}{2.\left(-3\right)}=\frac{-3}{-6}$;

b) $\frac{-6}{12}=\frac{\left(-6\right):3}{12:3}=\frac{-2}{4};\frac{6}{-12}=\frac{6:\left(-6\right)}{\left(-12\right):\left(-6\right)}=\frac{-1}{2}$.

Chú ý: Mỗi phân số đều đưa được về một phân số bằng nó và có mẫu là số dương.

Ví dụ 6.  $\frac{6}{-12}=\frac{-6}{12}=\frac{\left(-6\right):6}{12:6}=\frac{-1}{2};$ $\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}$ (với $a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N}*$).

b) Rút gọn về phân số tối giản

Dựa vào tính chất cơ bản của phân số, để rút gọn phân số với tử và mẫu là số nguyên về phân số tối giản ta thường làm như sau:

Bước 1: Tìm ƯCLN của tử và mẫu sau khi đã bỏ dấu “– “ (nếu có)

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất (ƯCLN) vừa tìm được, ta có phân số tối giản cần tìm.

Ví dụ 7. Rút gọn mỗi phân số sau về phân số tối giản có mẫu số là số dương.

a) $\frac{-12}{27}$;

b) $\frac{36}{-42}.$ 

Hướng dẫn giải

a) $\frac{-12}{27}$

Ta có ƯCLN(12, 27) = 3. Do đó $\frac{-12}{27}=\frac{\left(-12\right):3}{27:3}=\frac{-4}{9}$.

b) $\frac{36}{-42}.$ 

Ta có ƯCLN(36, 42) = 6. Do đó $\frac{36}{-42}=\frac{36:6}{\left(-42\right):6}=\frac{6}{-7}=\frac{-6}{7}.$

c) Quy đồng mẫu nhiều phân số

Để quy đồng nhiều phân số, ta thường làm như sau:

Bước 1: Viết các phân số đã cho dưới dạng phân số có mẫu dương. Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu dương đó để làm mẫu số chung.

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu, bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu.

Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số ở Bước 1 với thừa số phụ tương ứng.

Ví dụ 8. Quy đồng mẫu những phân số sau:

a) $\frac{-5}{6}$ và $\frac{3}{5}$;

b) $\frac{-5}{-12}$; $\frac{-1}{6}$  và `$\frac{5}{-18}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\frac{-5}{6}$ và $\frac{3}{5}$;

BCNN(6, 5) = 30.

Ta có: 30 : 6 = 5 và 30 : 5 = 6.

Vậy  $\frac{-5}{6}=\frac{\left(-5\right).5}{6.5}=\frac{-25}{30}$ và $\frac{3}{5}=\frac{3.6}{5.6}=\frac{18}{30}$.

b) $\frac{-5}{-12}$; $\frac{-1}{6}$  và $\frac{5}{-18}$.

Ta có $\frac{-5}{-12}=\frac{5}{12}$ và $\frac{5}{-18}=\frac{-5}{18}$.

BCNN(6, 12, 18) = 36.

Mà 36 : 6 = 6; 36 : 12 = 3 và 36 : 18 = 2.

Vậy $\frac{-1}{6}=\frac{\left(-1\right).6}{6.6}=\frac{-6}{36};$$\frac{-5}{-12}=\frac{5}{12}=\frac{5.3}{12.3}=\frac{15}{36}$ và $\frac{5}{-18}=\frac{-5}{18}=\frac{\left(-5\right).2}{18.2}=\frac{-10}{36}.$

Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết và đọc phân số sau đó rút gọn về phân số tối giản trong mỗi trường hợp sau:

a) Tử số là 12 và mẫu số là ‒2;

b) Tử số là ‒202 và mẫu số là ‒303.

Hướng dẫn giải:

a) Phân số có tử số là 12 và mẫu số là ‒2 viết là: $\frac{12}{-2}$; đọc là mười hai phần âm hai.

Rút gọn phân số: Ta có $\frac{12}{-2}=\frac{-12}{2}$

ƯCLN(12, 2) = 2.

Do đó $\frac{12}{-2}=\frac{-12}{2}=\frac{\left(-12\right):2}{2:2}=\frac{-6}{1}=-6.$

b) Phân số có tử số là ‒202 và mẫu số là ‒303 viết là: $\frac{-202}{-303}$; đọc là âm hai trăm linh hai phần âm ba trăm linh ba.

Rút gọn phân số: Ta có $\frac{-202}{-303}=\frac{202}{303}.$

ƯCLN(202, 303) = 101.

Do đó $\frac{-202}{-303}=\frac{202}{303}=\frac{202:101}{303:101}=\frac{2}{3}.$

Bài 2. Các cặp phân số trong mỗi trường hợp sau có bằng nhau không? Nếu không bằng nhau hãy quy đồng hai phân số đó:

a) $\frac{-6}{7}$ và $\frac{-7}{6};$  

b) $\frac{-1}{4}$ và $\frac{11}{-44}.$ 

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{-6}{7}$ và $\frac{-7}{6};$  

Ta có:(‒6).6 = ‒36 và (‒7).7 = ‒49

Nên (‒6).6 ≠ (‒7).7

Do đó hai phân số $\frac{-6}{7}$ và $\frac{-7}{6}$ không bằng nhau.

Quy đồng mẫu số hai phân số: $\frac{-6}{7}$ và $\frac{-7}{6}$

BCNN(7, 6) = 42

Lại có 42: 7 = 6 và 42 : 6 = 7

Do đó: $\frac{-6}{7}=\frac{\left(-6\right).6}{7.6}=\frac{-36}{42}$ và  $\frac{-7}{6}=\frac{\left(-7\right).7}{6.7}=\frac{-49}{42}.$

Vậy $\frac{-6}{7}=\frac{-36}{42}$ và $\frac{-7}{6}=\frac{-49}{42}.$

b) Ta có $\frac{11}{-44}=\frac{11:\left(-11\right)}{\left(-44\right):\left(-11\right)}=\frac{-1}{4}$.

Do đó $\frac{-1}{4}=\frac{11}{-44}.$ 

Bài 3. Tìm số nguyên x, biết:

a) $\frac{3}{x}=\frac{-18}{24}$;

b) $\frac{25}{30}=\frac{2x+3}{6}$ 

Hướng dẫn giải

a) Vì $\frac{3}{x}=\frac{-18}{24}$

Suy ra 3.24 = x. (–18)

x. (–18) = 3.24

x. (–18) = 72

x = 72 :  (–18)

x = –4.

Vậy x = –4.

b) $\frac{25}{30}=\frac{2x+3}{6}$ 

Suy ra 30.(2x + 3) = 25.6

30.2x + 30.3 = 150

60x + 90 = 150

60x = 150 – 90

60x = 60

x = 60 : 60

x = 1.

Vậy x = 1.

Bài 4. Viết tất cả các phân số bằng phân số $\frac{20}{-36}$ mà mẫu số là số tự nhiên có hai chữ số.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{20}{-36}=\frac{-20}{36}$

Ta rút gọn phân số về phân số tối giản:ƯCLN(20, 36) = 4.

$\frac{20}{-36}=\frac{-20}{36}=\frac{\left(-20\right):4}{36:4}=\frac{-5}{9}$

Suy ra $\frac{-5}{9}=\frac{\left(-5\right).2}{9.2}=\frac{-10}{18}$.

Vậy phân số $\frac{20}{-36}$ bằng phân số có mẫu là số tự nhiên có hai chữ số là $\frac{-10}{18}.$

B. Trắc nghiệm Phân số với tử và mẫu là số nguyên đơn giản (Cánh diều 2023) có đáp án

Câu 1. Viết phân số năm phần tám

A. $\frac{5}{8}$

B. $\frac{8}{-5}$

C. $\frac{-5}{8}$

D. – 5,8

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Phân số âm năm phần tám được viết là $\frac{-5}{8}$

Câu 2. Phần tô màu trong hình sau biểu diễn phân số nào?

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{5}{8}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Quan sát hình vẽ ta thấy nếu chia hình tròn làm 4  phần thì phần tô màu chiếm 3  phần.

Vậy phân số biểu diễn  phần tô màu là $\frac{3}{4}$

Câu 3. Hãy viết phép chia sau dưới dạng phân số: (-58) : 73

A. $\frac{-58}{73}$

B. $\frac{58}{73}$

C. $\frac{73}{-58}$

D. $\frac{-73}{58}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích: Phép chia (-58) : 73 được viết dưới dạng phân số là $\frac{-58}{73}$

Câu 4. Phân số nào dưới đây bằng với phân số $\frac{-2}{5}$

A. $\frac{4}{10}$

B. $\frac{-6}{15}$

C. $\frac{6}{15}$

D. $\frac{-4}{10}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Trả lời:

Đáp án A: Vì −2.10 ≠ 4.5nên $\frac{-2}{5}\ne \frac{4}{10}$

⇒ A sai.

Đáp án B: Vì (−2).15 = (−6).5=−30  nên −25 = −615

⇒ B đúng.

Đáp án C: (−2).15 ≠ 6.5 nên −25 ≠ 615

⇒ C sai.

Đáp án D: Vì (−2).(−10) ≠ (−4).5 nên −25 ≠ −4 − 10

⇒ D sai.

Câu 5. Tìm số nguyên x biết $\frac{35}{15}=\frac{x}{3}$

A. x = 7

B. x = 5

C. x = 15

D. x = 6

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

$\frac{35}{15}=\frac{x}{3}$

35.3 = 15.x

$\mathrm{x}=\frac{35.3}{15}$

x = 7

Vậy x = 7

Câu 6. Cho tập A={1; −2; 3; 4}. Có bao nhiêu phân số có tử số và mẫu số thuộc A mà có tử số khác mẫu số và tử số trái dấu với mẫu số?

A. 9     

B. 6  

C. 3

D. 12

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Các phân số thỏa mãn bài toán là:

$\frac{1}{-2}; \frac{3}{2}; \frac{4}{-2}; \frac{-2}{1}; \frac{-2}{3}; \frac{-2}{4}$

Vậy có tất cả 6 phân số.

Câu 7. Viết 20 dm² dưới dạng phân số với đơn vị là mét vuông

A. $\frac{100}{20}\left(m^2\right)$

B. $\frac{20}{100}\left(m^2\right)$

C. $\frac{20}{10}\left(m^2\right)$

D. $\frac{20}{1000}\left(m^2\right)$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $20{\mathrm{dm}}^2=\frac{20}{100}\left({\mathrm{m}}^2\right)$

Câu 8. Nhận xét nào sau đây là đúng khi nói về phân số? 

A. Phân số nhỏ hơn số 0 gọi là phân số âm.

B. Phân số lớn hơn số 0 gọi là phân số dương.

C. Phân số âm nhỏ hơn phân số dương.

D. Cả A, B và C đều đúng.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Những nhận xét đúng là:

- Phân số nhỏ hơn số 0 gọi là phân số âm.

- Phân số lớn hơn số 0 gọi là phân số dương.

- Phân số âm nhỏ hơn phân số dương.

Câu 9. Tìm số nguyên x biết rằng $\frac{\mathrm{x}}{3}=\frac{27}{x}$và x < 0.  

A. x = 81

B. x = −81

C. x = −9

D. x = 9

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

$\frac{\mathrm{x}}{3}=\frac{27}{x}$

x.x = 81

x² = 81

Ta có: x = 9 hoặc x = −9

Kết hợp điều kiện x < 0 nên có một giá trị x thỏa mãn là: x = −9

Câu 10. Viết số nguyên a dướu dạng phân số ta được:

A. $\frac{\mathrm{a}}{0}$

B. $\frac{0}{\mathrm{a}}$

C. $\frac{\mathrm{a}}{1}$

D. $\frac{1}{\mathrm{a}}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích: Viết số nguyên aa dưới dạng phân số ta được:  $\frac{\mathrm{a}}{1}$

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 6 sách Cánh diều hay, chi tiết khác: