Lời giải

 Ta có:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1+\cot x}{1-\cot x}}-{\displaystyle \frac{2+2{\cot }^{2}x}{\left(\tan x-1\right)\left({\tan }^{2}x+1\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}}{1-{\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}}}-{\displaystyle \frac{2+2.{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}}}{\left({\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}-1\right).\left({\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}+1\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sin x+\cos x}{\sin x}}}{{\displaystyle \frac{\sin x-\cos x}{\sin x}}}}-{\displaystyle \frac{2.\left(1+{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}}\right)}{{\displaystyle \frac{\sin x-\cos x}{\cos x}}.{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}}}\\ ={\displaystyle \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}}-{\displaystyle \frac{2.{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}}}{{\displaystyle \frac{\sin x-\cos x}{\cos x}}.{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}}}\\ ={\displaystyle \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}}-{\displaystyle \frac{2}{{\sin }^{2}x}}:{\displaystyle \frac{\sin x-\cos x}{{\cos }^{3}x}}\\ ={\displaystyle \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}}-{\displaystyle \frac{2{\cos }^{3}x}{{\sin }^{2}x.\left(\sin x-\cos x\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x.\left(\sin x+\cos x\right)-2{\cos }^{3}x}{{\sin }^{2}x.\left(\sin x-\cos x\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{\left({\sin }^{3}x-{\sin }^{2}x.\cos x\right)+\left(2{\sin }^{2}x.\cos x-2{\cos }^{3}x\right)}{{\sin }^{2}x.\left(\sin x-\cos x\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x.\left(\sin x-\cos x\right)+2\cos x.\left({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x\right)}{{\sin }^{2}x.\left(\sin x-\cos x\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{\left(\sin x-\cos x\right).\left({\sin }^{2}x+2.\cos x.\left(\sin x+\cos x\right)\right)}{{\sin }^{2}x.\left(\sin x-\cos x\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x+2\cos x.\sin x+2{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}}\\ =1+2.{\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}+2.{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}}\\ =1+2\cot x+2{\cot }^{2}x\end{array}$

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác cơ bản và nâng cao

*Lý thuyết:

1. Công thức lượng giác cơ bản

$$\begin{gathered} 1. \tan \left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)} \\ 2.cot\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)} \\ 3. {\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)=1 \\ 4. \tan \left(x\right).cot\left(x\right)=1 (x\ne k\frac{\mathrm{\pi }}{2}, k\in Z) \\ 5. 1+{\tan }^2\left(x\right)= \frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)} (x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{Z}) \\ 6. 1+{\cot }^2\left(\mathrm{x}\right)= \frac{1}{{\sin }^2\left(\mathrm{x}\right)} (\mathrm{x}\ne \mathrm{k\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{Z}) \end{gathered}$$

2. Công thức cộng lượng giác

$$\begin{gathered} \cos \left(x+y\right)=\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)-\sin \left(x\right)\sin \left(y\right) \\ \cos \left(x-y\right)=\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)+\sin \left(x\right)\sin \left(y\right) \\ \sin \left(x+y\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)+\sin \left(y\right)\cos \left(x\right) \\ \sin \left(x-y\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)-\sin \left(y\right)\cos \left(x\right) \\ \tan \left(x+y\right)=\frac{\tan \left(x\right)+\tan \left(y\right)}{1-\tan \left(x\right)\tan \left(y\right)} \\ \tan \left(x-y\right)=\frac{\tan \left(x\right)-\tan \left(y\right)}{1+\tan \left(x\right)\tan \left(y\right)} \end{gathered}$$

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Cung hơn kém $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

+ cos($\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ + x) = - sinx

+ sin($\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ + x) = cosx

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi

$$\begin{gathered} {\cos }^2\left(x\right)-{\sin }^2\left(x\right)= 2{\cos }^2\left(x\right)-1=1-2{\sin }^2\left(x\right) \\ \sin \left(2x\right)=2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right) \\ \tan \left(2x\right)=\frac{\tan \left(x\right)}{1-{\tan }^2\left(x\right)} \end{gathered}$$

Công thức nhân ba

$$\begin{gathered} \sin \left(3x\right)=3\sin \left(x\right)-4{\sin }^3\left(x\right) \\ \cos \left(3x\right)=4{\cos }^3\left(x\right)-3\cos \left(x\right) \end{gathered}$$

Công thức nhân bốn

$8{\cos }^4\left(a\right)-8{\cos }^2\left(a\right)+1=8{\sin }^4\left(a\right)-8{\sin }^2\left(a\right)+1$

Xem thêm

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác  đầy đủ, chi tiết nhất 

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức ) có đáp án - Toán 11