Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M. Kí hiệu $M=\underset{D}{\max }f\left(x\right)$

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m. Kí hiệu $m=\underset{D}{\min }f\left(x\right)$

Chú ý:

- Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) (mà không cho rõ tập hợp D) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó.

- Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = −x³ + 3x + 1 trên khoảng (0; +∞).

Hướng dẫn giải

Ta có y' = −3x² + 3; y' = 0 $\iff$ x = −1 (loại) hoặc x = 1 (nhận).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\max }f\left(x\right)=f\left(1\right)=3$ và hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

* Các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 1: Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(a); f(x₁); f(x₂); …; f(x_n); f(b).

Bước 3: Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: $M=\underset{\left(a;b\right)}{\max }f\left(x\right);m=\underset{\left(a;b\right)}{\min }f\left(x\right)$

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+3}{x-1}$ trên đọan [2; 4].

Hướng dẫn giải

Với x $\in$ [2; 4]

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x\left(x-1\right)-\left(x^2+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{{\left(x-1\right)}^2}$

Có f'(x) = 0 $\iff$ x² – 2x – 3 = 0 $\iff$ x = −1 (loại) hoặc x = 3 (nhận).

Có f(2) = 7; f(3) = 6; f(4) = $\frac{19}{3}$

$\underset{\left[2;4\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(2\right)=7;\underset{\left[2;4\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(3\right)=6$

B. Bài tập Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 1. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt{3-2x-x^2}$ là

A.1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: 3 – 2x – x² ≥ 0 $\iff$ −3 ≤ x ≤ 1.

Có $y^{\text{'}}=\frac{-x-1}{\sqrt{3-2x-x^2}};$ y' = 0 $\iff$ −x – 1 = 0 $\iff$ x = −1 (nhận).

Có f(−3) = 0; f(−1) = 2; f(1) = 0.

Vậy $\underset{\left[-3;1\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(-1\right)=2$

Bài 2.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{-x^2-4}{x}$ trên đoạn $\left[\frac{3}{2}; 4\right]$

Hướng dẫn giải

Trên đoạn $\left[\frac{3}{2}; 4\right]$, có $y^{\text{'}}=\frac{-2x^2-\left(-x^2-4\right)}{x^2}=\frac{-x^2+4}{x^2}$

y' = 0 $\iff$ −x² + 4 = 0 $\iff$ x = −2 (loại) hoặc x = 2 (nhận).

Có $f\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{25}{6}$; f(2) = −4; f(4) = −5.

Vậy $\underset{\left[\frac{3}{2};4\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(2\right)=-4;\underset{\left[\frac{3}{2};4\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(4\right)=-5$

Bài 3.Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [−2; 3] có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−2; 3]. Giá trị của 2m – 3M bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị ta có: $m=\underset{\left[-2;3\right]}{\min }f\left(x\right)=-3;M=\underset{\left[-2;3\right]}{\max }f\left(x\right)=4$

Do đó 2m – 3M = 2.(−3) – 3.4 = −18.

Bài 4.Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8 giờ sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức: $h\left(t\right)=-\frac{1}{3}{t}^3+5t^2+24t\left(t>0\right)\text{.}$ Biết rằng cần phải thông báo cho các hộ dân phải di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 giờ. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước lúc mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $h\left(t\right)=-\frac{1}{3}{t}^3+5t^2+24t\left(t>0\right)$

Có h'(t) = −t² + 10t + 24; h'(t) = 0 $\iff$ t = −2 (loại) hoặc t = 12 (nhận).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để mực nước dâng cao nhất thì phải mất 12 giờ. Do đó phải thông báo cho người dân di dời vào 15 giờ chiều cùng ngày.

Bài 5. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x³ – 3x² + 3 trên đoạn [1; 3]. Giá trị M + m bằng

A. 8.

B. 2.

C. 4.

D. 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Trên đoạn [1; 3], có y' = 3x² – 6x; y' = 0 $\iff$ x = 0 (loại) hoặc x = 2 (nhận).

Có f(1) = 1; f(2) = −1; f(3) = 3.

Do đó $M=\underset{\left[1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=3;m=\underset{\left[1;3\right]}{\min }f\left(x\right)=-1$

Vậy M + m = 3 + (−1) = 2.