Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

    Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.

    1 276 21/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

    A. Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

    1. Định nghĩa

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

    - Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = M. Kí hiệu M=maxDfx

    - Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = m. Kí hiệu m=minDfx

    Chú ý:

    - Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) (mà không cho rõ tập hợp D) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó.

    - Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

    Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = −x3 + 3x + 1 trên khoảng (0; +∞).

    Hướng dẫn giải

    Ta có y' = −3x2 + 3; y' = 0 ⇔ x = −1 (loại) hoặc x = 1 (nhận).

    Bảng biến thiên

    Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 12) | Chân trời sáng tạo

    Từ bảng biến thiên ta thấy max0;+∞f(x)=f1=3 và hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

    2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

    * Các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b].

    Bước 1: Tìm các điểm x1; x2; …; xn thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

    Bước 2: Tính f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b).

    Bước 3: Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: M=maxa;bf(x);m=mina;bf(x)

    Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số fx=x2+3x−1 trên đọan [2; 4].

    Hướng dẫn giải

    Với x ∈ [2; 4]

    Có f'x=2xx−1−x2+3x−12=x2−2x−3x−12

    Có f'(x) = 0 ⇔ x2 – 2x – 3 = 0 ⇔ x = −1 (loại) hoặc x = 3 (nhận).

    Có f(2) = 7; f(3) = 6; f(4) = 193

    max2;4fx=f2=7;min2;4fx=f3=6

    B. Bài tập Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

    Bài 1. Giá trị lớn nhất của hàm số y=fx=3−2x−x2 là

    A.1.

    B. 2.

    C. 3.

    D. 4.

    Hướng dẫn giải

    Đáp án đúng là: B

    Điều kiện: 3 – 2x – x2 ≥ 0 ⇔ −3 ≤ x ≤ 1.

    Có y'=−x−13−2x−x2; y' = 0 ⇔ −x – 1 = 0 ⇔ x = −1 (nhận).

    Có f(−3) = 0; f(−1) = 2; f(1) = 0.

    Vậy max−3;1fx=f−1=2

    Bài 2.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=fx=−x2−4x trên đoạn 32; 4

    Hướng dẫn giải

    Trên đoạn 32; 4, có y'=−2x2−−x2−4x2=−x2+4x2

    y' = 0 ⇔ −x2 + 4 = 0 ⇔ x = −2 (loại) hoặc x = 2 (nhận).

    Có f32=−256; f(2) = −4; f(4) = −5.

    Vậy max32;4fx=f2=−4;min32;4fx=f4=−5

    Bài 3.Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [−2; 3] có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−2; 3]. Giá trị của 2m – 3M bằng bao nhiêu?

    Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 12) | Chân trời sáng tạo

    Hướng dẫn giải

    Dựa vào đồ thị ta có: m=min−2;3fx=−3;M=max−2;3fx=4

    Do đó 2m – 3M = 2.(−3) – 3.4 = −18.

    Bài 4.Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8 giờ sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức: ht=−13t3+5t2+24tt>0. Biết rằng cần phải thông báo cho các hộ dân phải di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 giờ. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước lúc mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.

    Hướng dẫn giải

    Xét hàm số ht=−13t3+5t2+24tt>0

    Có h'(t) = −t2 + 10t + 24; h'(t) = 0 ⇔ t = −2 (loại) hoặc t = 12 (nhận).

    Bảng biến thiên

    Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 12) | Chân trời sáng tạo

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để mực nước dâng cao nhất thì phải mất 12 giờ. Do đó phải thông báo cho người dân di dời vào 15 giờ chiều cùng ngày.

    Bài 5. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x3 – 3x2 + 3 trên đoạn [1; 3]. Giá trị M + m bằng

    A. 8.

    B. 2.

    C. 4.

    D. 6.

    Hướng dẫn giải

    Đáp án đúng là: B

    Trên đoạn [1; 3], có y' = 3x2 – 6x; y' = 0 ⇔ x = 0 (loại) hoặc x = 2 (nhận).

    Có f(1) = 1; f(2) = −1; f(3) = 3.

    Do đó M=max1;3fx=3;m=min1;3fx=−1

    Vậy M + m = 3 + (−1) = 2.

    Tham khảo các loạt bài Toán 12 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 276 21/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: