Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes– Toán lớp 12 Kết nối tri thức
Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.
Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes- Kết nối tri thức
A. Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes
1. Công thức xác suất toàn phần
Công thức xác suất toàn phần:
Cho hai biến cố A, B với 0 < P(B) < 1, ta có:
P(A) = P(A B) + P(A ) = P(B) ∙ P(A | B) + P( ) ∙ P(A | ).
Ví dụ 1. Một công ty thời trang có hai chi nhánh cùng sản xuất một loại áo thời trang, trong đó có 45% áo thời trang ở chi nhánh I và 55% áo thời trang ở chi nhánh II. Tại chi nhánh I có 70% áo chất lượng cao và tại chi nhánh II có 80% áo chất lượng cao (kích thước và hình dạng bề ngoài của các áo là như nhau). Chọn ngẫu nhiên 1 áo thời trang. Xác suất chọn được áo chất lượng cao là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Xét các biến cố:
A: “Chọn được áo chất lượng cao”;
B: “Chọn được áo ở chi nhánh I”;
: “Chọn được áo ở chi nhánh II”.
Từ giả thiết, ta có:
P(B) = 0,45; P(A | B) = 0,7; P( ) = 0,55; P(A | ) = 0,8.
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P( ) ∙ P(A | ) = 0,45 ∙ 0,7 + 0,55 ∙ 0,8 = 0,755.
Vậy xác suất chọn được áo chất lượng cao là 0,755.
Ví dụ 2. Trong trò chơi hái hoa có thưởng của lớp 12H, thầy giáo treo 20 bông hoa trên cành cây, trong đó có 6 bông hoa chứa phiếu có thưởng. Bạn Linh hái bông hoa đầu tiên, sau đó bạn Hùng hái bông hoa thứ hai.
a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên.
b) Từ đó, tính xác suất bạn Hùng hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng.
Hướng dẫn giải
Xét hai biến cố:
A: “Bông hoa bạn Hùng hái được chứa phiếu có thưởng”;
B: “Bông hoa bạn Linh hái được chứa phiếu có thưởng”,
Khi đó, ta có:
P(B) = ; P( ) = 1 – P(B) = ;
P(A | B) = , P(A | ) = .
a) Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là:
b) Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P( ) ∙ P(A | ) = .
Vậy xác suất bạn Hùng hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng là = 0,3.
2. Công thức Bayes
Công thức Bayes:
Với hai biến cố A, B mà P(A) > 0, P(B) > 0, ta có:
.
Nhận xét: Cho hai biến cố A, B với P(A) > 0, 0 < P(B) < 1. Do
P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P( ) ∙ P(A | )
nên công thức Bayes còn có dạng: .
Ví dụ 3. Cho hai biến cố A, B sao cho P(A) = 0,4; P(B) = 0,8; P(A | B) = 0,2.
Tính P(B | A).
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
.
Ví dụ 4. Từ một hộp có 70 quả bóng trắng và 80 quả bóng đen. Người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một và rút hai lần. Tính xác suất để lần đầu rút được quả bóng trắng biết lần thứ hai cũng rút được quả bóng trắng.
Hướng dẫn giải
Xét các biến cố:
A: “Lần đầu rút được quả bóng trắng”.
B: “Lần thứ hai rút được quả bóng trắng”.
Ta cần tính P(A | B).
Theo đề bài, ta có: ; .
Suy ra ; .
Do đó P(B) = P(A) ∙ P(B | A) + P( ) ∙ P(B | ) .
Suy ra
B. Bài tập Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes
Bài 1. Nếu hai biến cố A và B thỏa mãn P(A) = 0,8; P(B) = 0,3; P(A | B) = 0,7 thì P(B | A) bằng
A. 0,26.
B. 0,2.
C. 0,2625.
D. 0,5.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
= 0,2625.
Bài 2. Tại một địa phương có 1 000 người cao tuổi, bao gồm 460 nam và 540 nữ. Trong nhóm người cao tuổi nam và nữ lần lượt có 40% và 55% bị bệnh tiểu đường. Chọn ngẫu nhiên một người. Xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Xét các biến cố:
A: “Chọn được người không bị bệnh tiểu đường”;
B: “Chọn được người cao tuổi là nam”;
: “Chọn được người cao tuổi là nữ”.
Từ giả thiết, ta có: P(B) = ; P(A | B) = 1 – 0,4 = 0,6;
; P(A | ) = 1 – 0,55 = 0,45.
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P( ) ∙ P(A | ) = 0,46 ∙ 0,6 + 0,54 ∙ 0,45 = 0,519.
Vậy xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là 0,519.
Bài 3. Có hai chiếc hộp, hộp I có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đen, hộp II có 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp II.
a) Tính xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng.
b) Giả sử viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng. Tính xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I.
Hướng dẫn giải
a) Xét các biến cố:
A: “Lấy được viên bi màu trắng từ hộp II”.
B: “Lấy được viên vi màu trắng từ hộp I bỏ sang hộp II”.
: “Lấy được viên bi màu đen từ hộp I bỏ sang hộp II”.
Theo giả thiết, ta có: ;
; .
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P( ) ∙ P(A | ) = .
Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng là .
b) Gọi N là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi thuộc hộp I”. Khi đó ta cần tính P(N | A).
Ta có: P(N) = ; . Ta có P(A | N) là xác suất để lấy được viên bi màu trắng từ hộp II, biết rằng viên bi đó thuộc hộp I, ta xét các trường hợp sau:
● Viên bi được lấy từ hộp I bỏ sang hộp II có màu đen. Khi đó xác suất lấy được viên bi trắng thuộc hộp I bằng 0.
● Viên bi được lấy từ hộp I bỏ sang hộp II có màu trắng. Khi đó xác suất lấy được viên bi màu trắng thuộc hộp I bằng .
Do đó, P(A | N) = 0 + = . Theo công thức Bayes, ta có:
.
Vậy xác suất viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi thuộc hộp I, biết rằng viên bi đó màu trắng, là .
Bài 4. Một loại linh kiện do hai nhà máy số I, số II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: 2%; 5%. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn 90 sản phẩm của nhà máy số I và 110 sản phẩm của nhà máy số II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó.
a) Tính xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt.
b) Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao hơn?
Hướng dẫn giải
a) Xét hai biến cố:
A: “Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện tốt”;
B: “Linh kiện được lấy ra từ lô hàng do nhà máy I sản xuất”.
: “Linh kiện được lấy ra từ lô hàng do nhà máy II sản xuất”.
Vì lô linh kiện để lẫn lộn 90 sản phẩm của nhà máy số I và 110 sản phẩm của nhà máy số II nên P(B) = , suy ra .
Vì tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: 2%; 5% nên tỉ lệ thành phẩm (linh kiện tốt) của các nhà máy I, II lần lượt là 98%; 95%.
Do đó P(A | B) = 0,98 và P(A | ) = 0,95.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt là:
P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P( ) ∙ P(A | ) = 0,45 ∙ 0,98 + 0,55 ∙ 0,95 = 0,9635.
b) Xét biến cố C: “Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện phế phẩm”.
Khi đó, ta có C = . Suy ra P(C) = P( ) = 1 – P(A) = 1 – 0,9635 = 0,0365.
Theo bài ra ta có: P(C | B) = 2% = 0,02.
Do đó, nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy I sản xuất là: P(B | C) = .
Nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất là: P( | C) = 1 – P(B | C) = .
Vì nên nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn.
Bài 5. Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(B) = 0,3; P(A | B) = 0,4; thì P(A) bằng
A. 0,259.
B. 0,295.
C. 0,7.
D. 0,95.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì P(B) = 0,3 suy ra P( ) = 1 – P(B) = 1 – 0,3 = 0,7.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P( ) ∙ P(A | ) = 0,3 ∙ 0,4 + 0,7 ∙ 0,25 = 0,295.
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn 12 Chân trời sáng tạo (hay nhất)
- Văn mẫu 12 - Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 12 - Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 12 - Friends Global
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh lớp 12 Friends Global đầy đủ nhất
- Trọn bộ Ngữ pháp Tiếng Anh lớp 12 Friends Global đầy đủ nhất
- Giải sbt Tiếng Anh 12 – Friends Global
- Giải sgk Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Công nghệ 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo