Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

1. Công thức xác suất toàn phần

Cho hai biến cố A và B với 0 < P(B) < 1. Khi đó

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$) ∙ P(A | $\overline{B}$)

gọi là công thức xác suất toàn phần.

Chú ý: Công thức xác suất toàn phần cũng đúng với biến cố B bất kì.

Ví dụ 1. Giả sử tỉ lệ người dân của địa phương A nghiện thuốc lá là 20%, tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là 70%, trong số người không nghiện thuốc lá là 15%. Chọn ra ngẫu nhiên một người dân của địa phương A, hỏi khả năng người đó bị bệnh phổi là bao nhiêu phần trăm?

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố “Người dân được chọn bị bệnh phổi”; B là biến cố: “Người dân được chọn nghiện thuốc lá”.

Cần tính P(A).

Theo đề, ta có P(B) = 0,2$\Rightarrow P\left(\overline{B}\right)=0,8.$

Lại có tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là 70%, trong số người không nghiện thuốc là là 15% nên P(A | B) = 0,7; $P\left(A|\overline{B}\right)=0,15$.

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$)∙ P(A | $\overline{B}$) = 0,2 ∙ 0,7 + 0,8 ∙ 0,15 = 0,26.

Vậy chọn ngẫu nhiên một người dân của địa phương A thì khả năng người đó bị bệnh phổi là 26%.

2. Công thức Bayes

Giả sử A và B là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn P(A) > 0 và 0 < P(B) < 1. Khi đó,

$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(A|\overline{B}\right)}$.

gọi là công thức Bayes.

Chú ý:

a) Công thức Bayes vẫn đúng với biến cố B bất kì.

b) Với P(A) > 0, công thức P(B | A) = $\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}$ cũng được gọi là công thức Bayes.

Ví dụ 2. Một nhà máy có hai phân xưởng I và II. Phân xưởng I sản xuất 45% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 55% số sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 3% và của phân xưởng II là 2%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.

a) Tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi.

b) Biết rằng sản phẩm được kiểm tra bị lỗi. Hỏi xác suất sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất cao hơn?

Hướng dẫn giải

a) Gọi A là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra bị lỗi” và B là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng I sản xuất”.

Do phân xưởng I sản xuất 45% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 55% số sản phẩm nên P(B) = 0,45 và P($\overline{B}$) = 1 – 0,45 = 0,55.

Do tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 3% và của phân xưởng II là 2% nên

P(A | B) = 0,03 và P(A |$\overline{B}$) = 0,02.

Xác suất để sản phẩm được kiểm tra bị lỗi là

P(A) = P(B) P(A | B) + P($\overline{B}$) P(A |$\overline{B}$) = 0,45 ∙ 0,03 + 0,55 ∙ 0,02 = 0,0245.

b) Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất là P(B | A) = $\frac{P\left(B\right)P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,45\cdot 0,03}{0,0245}=\frac{27}{49}$.

Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất là P($\overline{B}$|A) = 1 – P(B | A) = $\frac{22}{49}$.

Do $\frac{27}{49}>\frac{22}{49}$ nên nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất cao hơn sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất.

B. Bài tập Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 1. Nếu hai biến cố A và B thỏa mãn P(B) = 0,6; P(A | B) = 0,7; $P\left(A|\overline{B}\right)=0,3$ thì P(A) bằng

A. 0,4.

B. 0,54.

C. 0,55.

D. 0,5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì P(B) = 0,6 suy ra $P\left(\overline{B}\right)$ = 1 – P(B) = 1 – 0,6 = 0,4.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + $P\left(\overline{B}\right)$ ∙ P(A | $\overline{B}$ ) = 0,6 ∙ 0,7 + 0,4 ∙ 0,3 = 0,54.

Bài 2. Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(A) = 0,5; P(B) = 0,6; P(A | B) = 0,4 thì ta có P(B | A) bằng

A. 0,7.

B. 0,5.

C. 0,48.

D. 0,58.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức Bayes, ta có P(B | A) = $\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,6\cdot 0,4}{0,5}=0,48$.

Bài 3. Một hộp có 80 viên bi, trong đó có 50 viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 60% số viên bi màu đỏ đánh số và 50% số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp. Tính xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số.

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “Viên bi lấy ra là màu đỏ”.

Biến cố B: “Viên bi lấy ra được đánh số”.

Ta cần tính P(B).

Theo đề ta có: $P\left(A\right)=\frac{50}{80}=\frac{5}{8}\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=\frac{3}{8}$;

Ta có $P\left(B|A\right)=0,6$; $P\left(B|\overline{A}\right)=0,5$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left(B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B|\overline{A}\right)$$=\frac{5}{8}\cdot 0,6+\frac{3}{8}\cdot 0,5=\frac{9}{16}$ = 0,5625.

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là 0,5625

Bài 4. Tỉ lệ người dân đã tiêm phòng vaccine phòng bệnh A ở một địa phương là 75%. Trong số những người đã tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh A là 4%; trong số những người chưa tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh A là 18%. Chọn ngẫu nhiên một người ở địa phương đó.

a) Tính xác suất người được chọn mắc bệnh A.

b) Biết rằng người được chọn mắc bệnh A. Tính xác suất người đó chưa tiêm vaccine phòng bệnh A.

Hướng dẫn giải

a) Gọi B là biến cố “Người được chọn đã tiêm phòng”, khi đó $\overline{B}$ là biến cố “Người được chọn chưa tiêm phòng”.

Ta có P(B) = 0,75 và P($\overline{B}$) = 1 – P(B) = 1 – 0,75 = 0,25.

Gọi H là biến cố “Người được chọn mắc bệnh A”.

Ta có P(H | B) = 0,04 và P(H | $\overline{B}$ ) = 0,18.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(H) = P(B) ∙ P(H | B) + P($\overline{B}$) ∙ P(H | $\overline{B}$ ) = 0,75 ∙ 0,04 + 0,25 ∙ 0,18 = 0,075.

b) Ta cần tính P( $\overline{B}$ | H). Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$P\left(\overline{B}|H\right)=\frac{P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(H|\overline{B}\right)}{P\left(H\right)}=\frac{0,25\cdot 0,18}{0,075}=0,6$.

Bài 5. Một công ty có 60% nhân viên là nữ. Tỉ lệ nhân viên nữ và tỉ lệ nhân viên nam mua bảo hiểm nhân thọ lần lượt là 8% và 5%. Chọn ngẫu nhiên một nhân viên của công ty.

a) Tính xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ.

b) Biết rằng nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ. Tính xác suất nhân viên đó là nam.

Hướng dẫn giải

a) Gọi A là biến cố “Nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ”, B là biến cố “Nhân viên được chọn là nữ”, suy ra $\overline{B}$ là biến cố “Nhân viên được chọn là nam”.

Ta có P(B) = 0,6 và P($\overline{B}$) = 1 – 0,6 = 0,4.

Từ giả thiết ta có: P(A | B) = 0,08 và P(A | $\overline{B}$ ) = 0,05.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B) ∙ P(A | B) + P($\overline{B}$) ∙ P(A | $\overline{B}$ ) = 0,6 ∙ 0,08 + 0,4 ∙ 0,05 = 0,068.

b) Ta cần tính P($\overline{B}$ | A ). Áp dụng công thức Bayes, ta có:

P($\overline{B}$ | A ) = $\frac{P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(A|\overline{B}\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,4\cdot 0,05}{0,068}=\frac{5}{17}$.

Trắc nghiệm: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

I. Nhận biết

Câu 1. Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng $0<P\left(B\right)<1,$ xác suất của biến cố A được tính theo công thức nào sau đây?

A. $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right).$

B. $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(B|\overline{A}\right).$

C. $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(A|\overline{B}\right).$

D. $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right).$

Câu 2. Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng $0<P\left(B\right)$, xác suất để biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức nào dưới đây?

A. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right)}{P\left(B\right)}.$

B. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}.$

C. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right)}.$

D. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(B\right)}{P\left(A\right)}.$

Câu 3. Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng $P\left(A\right)>0$ và $0<P\left(B\right)<1.$ Xác suất của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra được tính theo công thức nào?

A. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}.$

B. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}.$

C. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}.$

D. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}.$

Câu 4. Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn $P\left(A\right)=\mathrm{0,3,}P\left(B\right)=\mathrm{0,6}$ và $P\left(A|B\right)=\mathrm{0,4}$ thì $P\left(B|A\right)$ bằng

A. 0,5

B. 0,6

C. 0,8

D. 0,2.

Câu 5. Cho hai biến cố A, B với $P\left(B\right)=\mathrm{0,6};P\left(A|B\right)=\mathrm{0,7}$ và $P\left(A|\overline{B}\right)=\mathrm{0,4.}$ Khi đó, $P\left(A\right)$ bằng

A. 0,7

B. 0,4

C. 0,58.

D. 0,52.

II. Thông hiểu

Câu 6. Cho hai biến cố A, B với $P\left(B\right)=\mathrm{0,8};P\left(A|B\right)=\mathrm{0,7}$ và $P\left(A|\overline{B}\right)=\mathrm{0,45.}$ Tính $P\left(A\right)$

A. 0,25

B. 0,65

C. 0,55

D. 0,5.

Câu 7. Cho hai biến cố A, B với $P\left(B\right)=\mathrm{0,3};P\left(A\right)=\mathrm{0,4}$ và $P\left(A|B\right)=\mathrm{0,25.}$ Khi đó, $P\left(B|A\right)$ bằng

A. 0,1875.

B. 0,48

C. 0,333.

D. 0,95.

Câu 8. Một trường liên cấp có 3 khối gồm khối tiểu học, khối THCS và khối THPT. Tỉ lệ học sinh mỗi khối như sau: Khối tiểu học chiếm 25%, khối THCS chiếm 45%, khối THPT chiếm 30%. Xác suất học sinh tham gia ngoại khóa ở các khối tương ứng 30% khối tiểu học, 50% khối THCS, 40% khối THPT. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường. tính xác suất để học sinh được chọn tham gia hoạt động ngoại khóa.

A. 0,42.

B. 0,24.

C. 0,3

D. 0,25.

Câu 9. Một công ty du lịch bố trí chỗ cho đoàn khách tại ba khách sạn A, B, C theo tỉ lệ 20%, 50%, 30%. Tỉ lệ hỏng điều hòa ở khách sạn lần lượt là 5%, 4% và 8%. Tính xác suất để một khách nghỉ ở phòng điều hòa bị hỏng.

A. $\frac{2}{500}.$

B. $\frac{27}{500}.$

C. $\frac{7}{500}.$

D. $\frac{23}{500}.$

III. Vận dụng

Câu 10. Một chiếc hộp có 80 viên bi, trong đó 50 viên màu đỏ, 30 viên màu vàng ; các viên có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 60% số viên bi màu đỏ đánh số và 50% viên bi màu vàng đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Khi đó:

a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là 30.

b) Số viên bi màu vàng không đánh số là 15.

c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên vi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là $\frac{3}{5}.$

d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là $\frac{7}{16}.$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. 1.

B. 2.

C. 3

D. 4.