Lý thuyết Nguyên hàm – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Nguyên hàm

1. Khái niệm nguyên hàm

● Định nghĩa: Kí hiệu K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của ℝ.

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng hàm số F(x) = $\frac{x^4}{4}+x$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ + 1 trên ℝ.

Hướng dẫn giải

Ta có F'(x) = ${\left(\frac{x^4}{4}+x\right)}^{\text{'}}=x^3+1$ = f(x) với mọi x ∈ ℝ.

Vậy hàm số F(x) = $\frac{x^4}{4}+x$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ + 1 trên ℝ.

● Định lí: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:

+ Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K;

+ Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là hằng số. Ta gọi F(x) + C, C ∈ ℝ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu $\int f\left(x\right)dx$ và viết

$\int f\left(x\right)dx$ = F(x) + C.

Chú ý: Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), kí hiệu là dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ 2. Tìm $\int \cos xdx$ trên ℝ.

Hướng dẫn giải

Vì (sin x)' = cos x với mọi x thuộc ℝ nên F(x) = sin x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.

Vậy $\int \cos xdx$ = sin x + C trên ℝ.

Chú ý:

+ Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ khoảng K thì được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của hàm số đó.

+ Từ định nghĩa nguyên hàm, ta có: $\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C$.

2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

2.1. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa

• $\int 0dx=C$;

• $\int 1dx=x+C$ ;

• $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ (α ≠ – 1).

Chú ý: Người ta thường viết $\int dx$ thay cho $\int 1dx$.

Ví dụ 3. Tìm:

a) $\int x^{8}dx$;

b) $\int x^{\sqrt{3}}dx$;

c) $\int \frac{1}{x^5}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int x^{8}dx$$=\frac{1}{9}{x}^9+C$.

b) $\int x^{\sqrt{3}}dx$$=\frac{x^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}+C$.

c) $\int \frac{1}{x^5}dx$$=\int x^{-5}dx=\frac{x^{-5+1}}{-5+1}+C=\frac{x^{-4}}{-4}+C=\frac{-1}{4x^4}+C$.

2.2. Nguyên hàm của hàm số y = $\frac{1}{x}$

• Ta có: $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$.

Ví dụ 4. Cho hàm số f(x) = với x ≠ 0.

Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(3) = 1.

Hướng dẫn giải

Ta có $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$ nên F(x) = ln|x| + C (x ≠ 0).

Do F(3) = 1 nên ln|3| + C = 1 hay C = 1 – ln3.

Vậy F(x) = ln|x| + 1 – ln3 (x ≠ 0).

2.3. Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác

• $\int \cos xdx=\sin x+C$ ;

• $\int \sin xdx=-\cos x+C$ ;

• $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$ ;

• $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$ .

Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin x thỏa mãn

F(0) + $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$ = 0.

Hướng dẫn giải

Vì $\int \sin xdx=-\cos x+C$ nên F(x) = – cos x + C.

Do F(0) + $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$ = 0 nên (– cos 0 + C) + (– cos$\frac{\pi }{2}$ + C) = 0, suy ra C = $\frac{1}{2}$.

Vậy F(x) = – cos x + $\frac{1}{2}$.

2.4. Nguyên hàm của hàm số mũ

• $\int e^{x}dx=e^x+C$ ;

• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ (a > 0, a ≠ 1).

Ví dụ 6. Tìm:

a) $\int 4^{x}dx$ ;

b) $\int e^{3x}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int 4^{x}dx$$=\frac{4^x}{\ln 4}+C$ .

b) $\int e^{3x}dx$$=\int {\left(e^3\right)}^{x}dx=\frac{{\left(e^3\right)}^x}{\ln \left(e^3\right)}+C=\frac{e^{3x}}{3}+C$ .

3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

• Tính chất 1. Nguyên hàm của tích một số với một hàm số

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, ta có:

$\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$, với k ∈ ℝ, k ≠ 0.

Ví dụ 7. Tìm:

a) $\int \frac{4}{9x}dx$ ;

b) $\int 5\sin xdx$.

Hướng dẫn giải

a) $\int \frac{4}{9x}dx$$=\frac{4}{9}\int \frac{1}{x}dx=\frac{4}{9}\ln \left|x\right|+C$ .

b) $\int 5\sin xdx$$=5\int \sin xdx=-5\cos x+C$ .

• Tính chất 2. Nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số

Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên K, ta có:

• $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

• $\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$.

Ví dụ 8. Tìm $\int \left(4x^3-4x+5\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int \left(4x^3-4x+5\right)dx$$=4\int x^{3}dx-4\int xdx+5\int dx$

= x4 – 2x2 + 5x + C.

B. Bài tập Nguyên hàm

Bài 1. $\int {\cot }^{2}xdx$ bằng:

A. sin x – x + C.

B. – cot x – x + C.

C. tan x + x + C.

D. – cos x – x + C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int {\cot }^{2}xdx$$=\int \left(\frac{1}{{\sin }^{2}x}-1\right)dx$$=\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx-\int dx$ = – cot x – x + C.

Bài 2. $\int e^{2x+1}dx$ bằng:

A. e^{2x + 1} + C.

B. e^2x + C.

C. $\frac{e^{2x+1}}{\ln 2}+C$.

D. $\frac{e^{2x+1}}{2}+C$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\int e^{2x+1}dx=e\int {\left(e^2\right)}^{x}dx=e\cdot \frac{{\left(e^2\right)}^x}{\ln e^2}+C=\frac{e^{2x+1}}{2}+C$.

Bài 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x² + 4x³ + $\frac{1}{x}$, biết F(1) = 3.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int \left(3x^2+4x^3+\frac{1}{x}\right)dx=3\int x^{2}dx+4\int x^{3}dx+\int \frac{1}{x}dx$ = x³ + x⁴ + ln|x| + C.

Vì F(1) = 3 nên 1³ + 1⁴ + ln|1| + C = 3, suy ra C = 1.

Vậy F(x) = x³ + x⁴ + ln|x| + 1.

Bài 4. Tìm:

a) $\int \frac{2}{x^5}dx$;

b) $\int \left(x^{\frac{3}{7}}+5x^4\right)dx$;

c)$\int \frac{4}{-9x}dx$;

d) $\int \frac{3x^3-2}{x}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \frac{2}{x^5}dx$$=2\int x^{-5}dx=2\cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1}+C=-\frac{1}{2x^4}+C$ .

b) $\int \left(x^{\frac{3}{7}}+5x^4\right)dx$$=\int x^{\frac{3}{7}}dx+5\int x^{4}dx=\frac{x^{\frac{3}{7}+1}}{\frac{3}{7}+1}+5\cdot \frac{x^5}{5}+C=\frac{7}{10}{x}^{\frac{10}{7}}+x^5+C$.

c) $\int \frac{4}{-9x}dx$$=-\frac{4}{9}\int \frac{1}{x}dx=-\frac{4}{9}\ln \left|x\right|+C$.

d) $\int \frac{3x^3-2}{x}dx$$=\int \left(3x^2-\frac{2}{x}\right)dx=3\int x^{2}dx-2\int \frac{1}{x}dx=x^3-2\ln \left|x\right|+C$ .

Bài 5. Tìm:

a) $\int \left(7\cos x-9\sin x\right)dx$;

b) $\int \left(3+2{\cot }^{2}x\right)dx$ ;

c) $\int 3^{2x-6}dx$ ;

d) $\int \left(\frac{1}{3^x}+e^{3x+2}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(7\cos x-9\sin x\right)dx$$=7\int \cos xdx-9\int \sin xdx$= 7sin x – 9 ∙ (– cos x) + C

= 7sin x + 9cos x + C.

b) $\int \left(3+2{\cot }^{2}x\right)dx$$=\int \left[1+2\left(1+{\cot }^{2}x\right)\right]dx$$=\int \left(1+2\cdot \frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$

$=\int dx+2\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=x-2\cot x+C$.

c) $\int 3^{2x-6}dx$$=\frac{1}{3^6}\int {\left(3^2\right)}^{x}dx=\frac{1}{3^6}\cdot \frac{{\left(3^2\right)}^x}{\ln 3^2}+C=\frac{3^{2x-6}}{2\ln 3}+C$.

d) $\int \left(\frac{1}{3^x}+e^{3x+2}\right)dx$$=\int {\left(\frac{1}{3}\right)}^{x}dx+e^2\int {\left(e^3\right)}^{x}dx$$=\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^x}{\ln \frac{1}{3}}+e^2\cdot \frac{{\left(e^3\right)}^x}{\ln e^3}+C$

$=\frac{-1}{3^x\ln 3}+\frac{e^{3x+2}}{3}+C$ .

Bài 6. Một ô tô đang di chuyển với tốc độ 20 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = 20 – 4t (m/s) (0 ≤ t ≤ 5). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đó đi được sau 3 giây là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Công thức tính quãng đường s(t) của ô tô đi được trong t (giây) kể từ khi hãm phanh là một nguyên hàm của hàm số v(t).

Do $\int \left(20-4t\right)dx=20t-2t^2+C$ nên ta có s(t) = 20t – 2t² + C với C là hằng số nào đó. Do s(0) = 0 nên C = 0. Suy ra s(t) = 20t – 2t².

Vậy quãng đường ô tô đó đi được sau 3 giây kể từ khi hãm phanh là:

s(3) = 20 ∙ 3 – 2 ∙ 3² = 42 (m).

Trắc nghiệm: Nguyên hàm

I. Nhận biết

Câu 1. Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên khoảng $K$ nếu

A. $F^{\text{'}}\left(x\right)=-f\left(x\right),\forall x\in K.$

B. $f^{\text{'}}\left(x\right)=F\left(x\right),\forall x\in K.$

C. $F^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right),\forall x\in K.$

D. $f^{\text{'}}\left(x\right)=F\left(x\right),\forall x\in K.$

Câu 2. Cho $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right),\int g\left(x\right)dx=G\left(x\right)$. Khi đó, $I=\int \left[2g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx$ bằng

A. $2F\left(x\right)+G\left(x\right).$

B. $2F\left(x\right)-G\left(x\right).$

C. $2G\left(x\right)-F\left(x\right).$

D. $F\left(x\right)-2G\left(x\right).$

Câu 3. $\int x^{5}dx$ bằng

A. $5x^4+C.$

B. $\frac{x^6}{6}+C.$

C. $x^4+C.$

D. $-\frac{x^6}{6}+C.$

Câu 4. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\cos x$ bằng

A. $\int \cos xdx=\sin x+C.$

B. $\int \cos xdx=\frac{\sin x}{2}+C.$

C. $\int \cos xdx=-\sin x+C.$

D. $\int \cos xdx=\frac{{\cos }^{2}x}{2}+C.$

Câu 5. Cho hai hàm số $f\left(x\right),g\left(x\right)$ là hàm số liên tục, có $F\left(x\right),G\left(x\right)$ lần lượt là nguyên hàm của $f\left(x\right),g\left(x\right)$. Xét các mệnh đề sau:

(I). $F\left(x\right)+G\left(x\right)$là một nguyên hàm của $f\left(x\right)+g\left(x\right).$

(II). $kF\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $kf\left(x\right)$ với $k\ne 0.$

(III). $F\left(x\right).G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right).g\left(x\right)$

Các mệnh đề đúng là

A. (I) và (II).

B. (II) và (III).

C. (I) và (III).

D. Cả ba mệnh đề.

II. Thông hiểu

Câu 6. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\cos 3x$ bằng

A. $\int \cos 3xdx=3\sin 3x+C.$

B. $\int \cos 3xdx=\frac{\sin 3x}{3}+C.$

C. $\int \cos 3xdx=-3\sin 3x+C.$

D. $\int \cos 3xdx=-\frac{\sin 3x}{3}+C.$

Câu 7. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2-3x+\frac{1}{x}$ là

A. $2x-3-\frac{1}{x^2}+C.$

B. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln \left|x\right|+C.$

C. $\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}{x}^2+\ln x+C.$

D. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln x+C.$

Câu 8. Hàm số $F\left(x\right)=2\sin x-3\cos x+1$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. $f\left(x\right)=2\sin x-3\cos x.$

B. $f\left(x\right)=-2\cos x+3\sin x.$

C. $f\left(x\right)=2\cos x+3\sin x.$

D. $f\left(x\right)=-2\cos x-3\sin x.$

Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^{3x}\left(1-3e^{-5x}\right)$

A. $\frac{1}{3}{e}^{3x}+\frac{3}{2}{e}^{-2x}+C.$

B. $\frac{1}{3}{e}^{3x}-\frac{3}{2}{e}^{-2x}+C.$

C. $e^{3x}-3e^{-2x}+C.$

D. $e^{3x}+6e^{-2x}+C.$

III. Vận dụng

Câu 10. Một vật chuyển động với gia tốc $a\left(t\right)=3t^2+t\left(m/s^2\right)$. Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s). Vận tốc của vật đó sau hai giây là.

A. 8 (m/s)

B. 12 (m/s)

C. 10 (m/s)

D. 16 (m/s)