Lý thuyết Nguyên hàm– Toán lớp 12 Kết nối tri thức
Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 1: Nguyên hàm chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.
Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm- Kết nối tri thức
A. Lý thuyết Nguyên hàm
1. Khái niệm nguyên hàm
● Định nghĩa: Với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ, ta có:
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
Ví dụ 1. Hàm số F(x) = là nguyên hàm của hàm số nào? Vì sao?
Hướng dẫn giải
Hàm số F(x) = là nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 trên ℝ vì với mọi x ∈ ℝ.
● Định lí:
Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ.
Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:
a) Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.
b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm H(x) của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho H(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.
Ví dụ 2. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.
Hướng dẫn giải
Do (sin x)' = cos x nên sin x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.
Vậy mọi nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x đều có dạng sin x + C, với C là một hằng số.
● Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) trên K được kí hiệu là
.
Nhận xét:
+ Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số. Vì vậy,
.
+ Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Ta có: .
Chú ý: Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu là dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.
Nhận xét: và nếu ta quy ước thì .
Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng .
Hướng dẫn giải
Do nên là một nguyên hàm của hàm số f(x) = kx3 trên ℝ.
Vậy .
2. Tính chất của nguyên hàm
Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ.
Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên K.
● Tính chất 1: với k là hằng số khác 0.
● Tính chất 2:
Ví dụ 4. Tìm .
Hướng dẫn giải
Ta có:
B. Bài tập Nguyên hàm
Bài 1. bằng:
A. – cos x + C.
B. cos x + C.
C. sin x + C.
D. – sin x + C.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: = .
Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) x6;
b) 6x5 + 5x4;
c) sin x – cos x.
Hướng dẫn giải
a) .
b) = x6 + x5 + C.
c)
= – cos x – sin x + C.
Bài 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x2 + 4x3, biết F(0) = 1.
Hướng dẫn giải
Ta có: = x3 + x4 + C.
Vì F(0) = 1 nên 03 + 04 + C = 1, suy ra C = 1.
Vậy F(x) = x3 + x4 + 1.
Bài 4. Một quả bóng được ném lên từ độ cao 20 m với vận tốc được tính bởi công thức v(t) = – 9,8t + 16 (m/s).
a) Viết công thức tính độ cao của quả bóng theo thời gian t.
b) Sau bao nhiêu lâu kể từ khi ném lên thì quả bóng chạm đất?
Hướng dẫn giải
a) Gọi h(t) là độ cao của quả bóng tại thời điểm t (h(t) tính theo mét, t tính theo giây).
Suy ra: h'(t) = v(t), do đó h(t) là một nguyên hàm của v(t).
Ta có: .
Suy ra h(t) = – 4,9t2 + 16t + C.
Mà quả bóng được ném lên từ độ cao 20 m, nghĩa là tại thời điểm t = 0 thì h = 20 hay h(0) = 20. Suy ra C = 20.
Vậy công thức tính độ cao h(t) của quả bóng tại thời điểm t là:
h(t) = – 4,9t2 + 16t + 20.
b) Khi quả bóng chạm đất thì h(t) = 0.
Ta có: – 4,9t2 + 16t + 20 = 0. Giải phương trình ta được t ≈ – 0,96; t ≈ 4,23.
Mà t > 0 nên t ≈ 4,23.
Vậy sau khoảng 4,23 giây kể từ khi được ném lên thì quả bóng chạm đất.
Bài 5. Hàm số F(x) = x2 – x + 1 là một nguyên hàm của hàm số:
A. f(x) = 2x + 1.
B. f(x) = 2x – 1.
C. f(x) = x3 – x2 + x.
D. f(x) = .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: F'(x) = (x2 – x + 1)' = 2x – 1. Suy ra f(x) = F'(x) = 2x – 1 với mọi x thuộc ℝ.
Vậy hàm số F(x) = x2 – x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x – 1 trên ℝ.
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn 12 Chân trời sáng tạo (hay nhất)
- Văn mẫu 12 - Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 12 - Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 12 - Friends Global
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh lớp 12 Friends Global đầy đủ nhất
- Trọn bộ Ngữ pháp Tiếng Anh lớp 12 Friends Global đầy đủ nhất
- Giải sbt Tiếng Anh 12 – Friends Global
- Giải sgk Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Công nghệ 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo