Lý thuyết Tích phân– Toán lớp 12 Kết nối tri thức

Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 3: Tích phân chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.

1 92 16/08/2024

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Tích phân- Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Tích phân

1. Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Chú ý:

+ Kí hiệu ${F (x)|}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ và đọc là F(x) thế cận từ a đến b.

Vậy $\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x)|}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ .

Gọi: $\int_{a}^{b}$ là dấu tích phân; a là cận dưới, b là cận trên; f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

+ Ta quy ước: $\int_{a}^{a} f (x) d x = 0; \int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$ .

+ Tích phân của hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t$ .

Ví dụ 1. Tính:

a) $\int_{2}^{3} 2 x d x$ ;

b) $\int_{1}^{2} e^{x} d x$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int_{2}^{3} 2 x d x$ $= {x^{2}|}_{2}^{3}$ = 3² – 2² = 5.

b) $\int_{1}^{2} e^{x} d x$ $= {e^{x}|}_{1}^{2}$ = e² – e¹ = e² – e.

2. Tính chất của tích phân

● Tính chất 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

$\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ (k là hằng số).

Ví dụ 2. Cho $\int_{- 2}^{2} f (x) d x = - 3$ . Tính $\int_{- 2}^{2} 5 f (x) d x$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int_{- 2}^{2} 5 f (x) d x = 5 \int_{- 2}^{2} f (x) d x = 5 \cdot (- 3) = - 15$ .

● Tính chất 2: Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

$\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ ;

$\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

Ví dụ 3. Tính $\int_{0}^{2} (x^{2} + x - 1) d x$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int_{0}^{2} (x^{2} + x - 1) d x = \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} x d x - \int_{0}^{2} 1 d x$ $= {\frac{x^{3}}{3}|}_{0}^{2} + {\frac{x^{2}}{2}|}_{0}^{2} - {x|}_{0}^{2}$

$= (\frac{8}{3} - 0) + (\frac{4}{2} - 0) - (2 - 0) = \frac{8}{3}$ .

● Tính chất 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử c là số thực tùy ý thuộc đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ .

Ví dụ 4. Tính $\int_{0}^{2} |x - 1| d x$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int_{0}^{2} |x - 1| d x$ $= \int_{0}^{1} |x - 1| d x + \int_{1}^{2} |x - 1| d x$ $= \int_{0}^{1} (1 - x) d x + \int_{1}^{2} (x - 1) d x$

$= {(x - \frac{x^{2}}{2})|}_{0}^{1} + {(\frac{x^{2}}{2} - x)|}_{1}^{2}$ $= [(1 - \frac{1}{2}) - 0] + [(\frac{4}{2} - 2) - (\frac{1}{2} - 1)]$ = 1.

3. Tích phân của một số hàm số sơ cấp

3.1. Tích phân của hàm số lũy thừa

Với α ≠ – 1, ta có: $\int_{a}^{b} x^{α} d x = {\frac{x^{α + 1}}{α + 1}|}_{a}^{b} = \frac{b^{α + 1} - a^{α + 1}}{α + 1}$ .

Ví dụ 5. Tính:

a) $\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} d x$ ;

b) $\int_{1}^{2} x^{\sqrt{3}} d x$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} d x$ $= {x^{4}|}_{- 1}^{1}$ = 1⁴ – (– 1)⁴ = 0.

b) $\int_{1}^{2} x^{\sqrt{3}} d x$ $= {\frac{x^{\sqrt{3} + 1}}{\sqrt{3} + 1}|}_{1}^{2} = \frac{2^{\sqrt{3} + 1} - 1^{\sqrt{3} + 1}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2^{\sqrt{3} + 1} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ .

3.2. Tích phân của hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$

Với hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\int_{a}^{b} \frac{1}{x} d x = {\ln |x||}_{a}^{b} = \ln |b| - \ln |a|$ .

Ví dụ 6. Tính $\int_{2}^{e} \frac{6}{5 x} d x$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $= \frac{6}{5} {\ln |x||}_{2}^{e} = \frac{6}{5} (\ln |e| - \ln |2|) = \frac{6}{5} (1 - \ln 2)$ .

3.3. Tích phân của hàm số lượng giác

● $\int_{a}^{b} \sin x d x = {- \cos x|}_{a}^{b} = - \cos b - (- \cos a) = \cos a - \cos b$ .

● $\int_{a}^{b} \cos x d x = {\sin x|}_{a}^{b} = \sin b - \sin a$ .

● Với hàm số f(x) = $\frac{1}{\sin^{2} x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\int_{a}^{b} \frac{1}{\sin^{2} x} d x = {- \cot x|}_{a}^{b} = - \cot b - (- \cot a) = \cot a - \cot b$ .

● Với hàm số f(x) = $\frac{1}{\cos^{2} x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\int_{a}^{b} \frac{1}{\cos^{2} x} d x = {\tan x|}_{a}^{b} = \tan b - \tan a$ .

Ví dụ 7. Tính:

a) $\int_{0}^{\frac{π}{4}} (\cos x - \sin x) d x$ ;

b) $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} (\frac{4}{\sin^{2} x} - \frac{5}{\cos^{2} x}) d x$ .

Hướng dẫn giải

Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

3.4. Tích phân của hàm số mũ

Với a > 0, a ≠ 1, ta có: $\int_{α}^{β} a^{x} d x = {\frac{a^{x}}{\ln a}|}_{α}^{β} = \frac{a^{β} - a^{α}}{\ln a}$ .

Chú ý: Áp dụng công thức trên, ta có: $\int_{α}^{β} e^{x} d x = {e^{x}|}_{α}^{β} = e^{β} - e^{α}$ .

Ví dụ 8. Tính:

a) $\int_{2}^{4} 5^{x} d x$ ;

b) $\int_{0}^{1} (2 \cdot 3^{x} + e^{x}) d x$ .

Hướng dẫn giải

Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

B. Bài tập Tích phân

Bài 1. Nếu $\int_{1}^{2} f (x) d x = - 3$ và $\int_{2}^{3} f (x) d x = 5$ thì $\int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng:

A. 8.

B. 2.

C. – 8.

D. – 15.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int_{1}^{3} f (x) d x$ $= \int_{1}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{3} f (x) d x = (- 3) + 5 = 2$ .

Bài 2. Cho $\int_{- 2}^{2} f (x) d x = 3$ , F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 2] và F(– 2) = 5. Tính F(2).

Hướng dẫn giải

Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 2] nên ta có:

$\int_{- 2}^{2} f (x) d x = {F (x)|}_{- 2}^{2} = F (2) - F (- 2)$ .

Mà $\int_{- 2}^{2} f (x) d x = 3$ , F(– 2) = 5 nên suy ra F(2) = 3 + 5 = 8.

Bài 3. Tính:

Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Hướng dẫn giải

Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Bài 4. Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái ô tô đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = – 5t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được quãng đường bằng bao nhiêu mét?

Hướng dẫn giải

Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0, tức là – 5t + 20 = 0 hay t = 4 (giây).

Quãng đường mà ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là:

$\int_{0}^{4} (- 5 t + 20) d t = {(- \frac{5}{2} t^{2} + 20 t)|}_{0}^{4} = 40$ (m)

Bài 5. Tích phân $\int_{1}^{2} \frac{- 5}{x^{3}} d x$ có giá trị bằng:

Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int_{1}^{2} \frac{- 5}{x^{3}} d x$ $= - 5 \int_{1}^{2} x^{- 3} d x = {- 5 \cdot \frac{x^{- 2}}{- 2}|}_{1}^{2} = {\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}|}_{1}^{2}$ $= \frac{5}{2} (\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{1^{2}}) = - \frac{15}{8}$ .

1 92 16/08/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3