Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết Tích phân– Toán lớp 12 Kết nối tri thức

    Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 3: Tích phân chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.

    1 109 16/08/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Tích phân- Kết nối tri thức

    A. Lý thuyết Tích phân

    1. Định nghĩa tích phân

    Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

    Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là ∫abfxdx.

    Chú ý:

    + Kí hiệu Fxab=Fb−Fa và đọc là F(x) thế cận từ a đến b.

    Vậy ∫abfxdx=Fxab=Fb−Fa .

    Gọi:∫ab là dấu tích phân; a là cận dưới, b là cận trên; f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

    + Ta quy ước: ∫aafxdx=0;   ∫abfxdx=−∫bafxdx .

    + Tích phân của hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là ∫abfxdx=∫abftdt .

    Ví dụ 1. Tính:

    a) ∫232xdx ;

    b) ∫12exdx .

    Hướng dẫn giải

    a) ∫232xdx=x223 = 32 – 22 = 5.

    b) ∫12exdx=ex12 = e2 – e1 = e2 – e.

    2. Tính chất của tích phân

    ● Tính chất 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

    ∫abkfxdx=k∫abfxdx (k là hằng số).

    Ví dụ 2. Cho ∫−22fxdx=−3 . Tính ∫−225fxdx .

    Hướng dẫn giải

    Ta có: ∫−225fxdx=5∫−22fxdx=5⋅−3=−15 .

    ● Tính chất 2: Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

    ∫abfx+gxdx=∫abfxdx+∫abgxdx;

    ∫abfx−gxdx=∫abfxdx−∫abgxdx.

    Ví dụ 3. Tính ∫02x2+x−1dx .

    Hướng dẫn giải

    Ta có: ∫02x2+x−1dx=∫02x2dx+∫02xdx−∫021dx=x3302+x2202−x02

    =83−0+42−0−2−0=83 .

    ● Tính chất 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử c là số thực tùy ý thuộc đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

    ∫abfxdx=∫acfxdx+∫cbfxdx.

    Ví dụ 4. Tính ∫02x−1 dx .

    Hướng dẫn giải

    Ta có:∫02x−1 dx=∫01x−1dx+∫12x−1dx=∫011−xdx+∫12x−1dx

    =x−x2201+x22−x12=1−12−0+42−2−12−1= 1.

    3. Tích phân của một số hàm số sơ cấp

    3.1. Tích phân của hàm số lũy thừa

    Với α ≠ – 1, ta có: ∫abxαdx=xα+1α+1ab=bα+1−aα+1α+1 .

    Ví dụ 5. Tính:

    a) ∫−114x3dx ;

    b) ∫12x3dx .

    Hướng dẫn giải

    a) ∫−114x3dx=x4−11 = 14 – (– 1)4 = 0.

    b) ∫12x3dx=x3+13+112=23+1−13+13+1=23+1−13+1.

    3.2. Tích phân của hàm số f(x) = 1x

    Với hàm số f(x) = 1x liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

    ∫ab1xdx=lnxab=lnb−lna.

    Ví dụ 6. Tính ∫2e65xdx .

    Hướng dẫn giải

    Ta có: =65lnx2e=65lne−ln2=651−ln2 .

    3.3. Tích phân của hàm số lượng giác

    ● ∫absinxdx=−cosxab=−cosb−−cosa=cosa−cosb .

    ● ∫abcosxdx=sinxab=sinb−sina .

    ● Với hàm số f(x) = 1sin2x liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

    ∫ab1sin2xdx=−cotxab=−cotb−−cota=cota−cotb.

    ● Với hàm số f(x) = 1cos2x liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

    ∫ab1cos2xdx=tanxab=tanb−tana.

    Ví dụ 7. Tính:

    a) ∫0π4cosx−sinxdx ;

    b) ∫π6π44sin2x−5cos2xdx .

    Hướng dẫn giải

    Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

    Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

    3.4. Tích phân của hàm số mũ

    Với a > 0, a ≠ 1, ta có: ∫αβaxdx=axlnaαβ=aβ−aαlna .

    Chú ý: Áp dụng công thức trên, ta có: ∫αβexdx=exαβ=eβ−eα .

    Ví dụ 8. Tính:

    a) ∫245xdx ;

    b) ∫012⋅3x+exdx .

    Hướng dẫn giải

    Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

    B. Bài tập Tích phân

    Bài 1. Nếu ∫12fxdx=−3 và ∫23fxdx=5 thì ∫13fxdx bằng:

    A. 8.

    B. 2.

    C. – 8.

    D. – 15.

    Hướng dẫn giải

    Đáp án đúng là: B

    Ta có: ∫13fxdx=∫12fxdx+∫23fxdx=−3+5=2 .

    Bài 2. Cho ∫−22fxdx=3, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 2] và F(– 2) = 5. Tính F(2).

    Hướng dẫn giải

    Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 2] nên ta có:

    ∫−22fxdx=Fx−22=F2−F−2.

    Mà ∫−22fxdx=3 , F(– 2) = 5 nên suy ra F(2) = 3 + 5 = 8.

    Bài 3. Tính:

    Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

    Hướng dẫn giải

    Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

    Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

    Bài 4. Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái ô tô đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = – 5t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được quãng đường bằng bao nhiêu mét?

    Hướng dẫn giải

    Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0, tức là – 5t + 20 = 0 hay t = 4 (giây).

    Quãng đường mà ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là:

    ∫04−5t+20dt=−52t2+20t04=40(m)

    Bài 5. Tích phân ∫12−5x3dx có giá trị bằng:

    Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

    Hướng dẫn giải

    Đáp án đúng là: C

    Ta có: ∫12−5x3dx=−5∫12x−3dx=−5⋅x−2−212=52⋅1x212=52122−112=−158 .

    Tham khảo các loạt bài Toán 12 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 109 16/08/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: