Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

* Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K.

- Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x₁, x₂ thuộc K mà x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x₁, x₂ thuộc K mà x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂).

- Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải (Hình 1a).

- Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải (Hình 1b).

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), ta thấy:

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).

- Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1).

* Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f(x) đồng biến trên K.

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên K.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = x³ – 3x. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

Hướng dẫn giải

Có y' = 3x² – 3.

Có y' < 0 $\iff$ −1 < x < 1.

Do đó hàm số nghịch biến trên (−1; 1).

Chú ý: Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà chưa cho khoảng K, ta hiểu xét tính đơn điệu của hàm số đó trên tập xác định của nó.

* Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số. Tìm các điểm x thuộc D mà tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

Bước 3: Xét dấu f'(x) và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nếu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của hàm số y = 2x² – x⁴.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có y' = 4x – 4x³; y' = 0 $\iff$ x = −1 hoặc x = 0 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1), nghịch biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞).

Chú ý:

a) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K.

b) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K.

c) Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì hàm số không đổi trên K.

2. Cực trị của hàm số

* Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D và x₀ ∈ D.

- Nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x₀ và (a; b) $\subset$ D sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x $\in$ (a; b)\{x₀} thì x₀ được gọi là một điểm cực đại, f(x₀) được gọi là giá trị cực đại của hàm số y = f(x), kí hiệu y_CĐ.

- Nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x₀ và (a; b) $\subset$ D sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x $\in$ (a; b)\{x₀}, thì x₀ được gọi là một điểm cực tiểu, f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số y = f(x), kí hiệu y_CT.

Chú ý:

a) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (còn gọi là cực trị) của hàm số.

b) Nếu x₀ là một điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số y = f(x) thì ta cũng nói hàm số y = f(x) đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại x₀.

c) Hàm số có thể đạt cực đại và cực tiểu tại nhiều điểm trên D.

d) Nếu x₀ là điểm cực trị của hàm số y = f(x) thì điểm M(x₀; f(x₀)) là một điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x).

Ví dụ 4. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [−2; 2] và có đồ thị như hình vẽ. Tìm điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = f(x).

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

- Điểm cực đại của đồ thị hàm số là (−1; 2).

- Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (1; −2).

* Cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀ và có đạo hàm trên các khoảng (a; x₀) và (x₀; b). Khi đó:

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x $\in$ (a; x₀) và f'(x) > 0 với mọi x $\in$ (x₀; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x₀;

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x $\in$ (a; x₀) và f'(x) < 0 với mọi x $\in$ (x₀; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x₀.

Ví dụ 5. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Hãy tìm cực trị của hàm số y = f(x).

Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT = 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = 5.

* Các bước tìm cực trị của hàm số y = f(x)

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số. Tìm các điểm x thuộc D mà tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4: Từ bảng biến thiên kết luận về cực trị của hàm số.

Ví dụ 6. Tìm cực trị của hàm số y = x³ + 4x² – 3x + 7.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = ℝ.

Có y' = 3x² + 8x – 3; y' = 0 $\iff$ x = −3 hoặc $x=\frac{1}{3}$

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = −3 và y_CĐ = 25.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{1}{3}$ và $y_{CT}=\frac{175}{27}$

Chú ý:

a) Nếu f'(x₀) = 0 và f'(x) không đổi dấu khi x qua điểm x₀ thì hàm số không có cực trị tại x₀.

b) Nếu f'(x) không đổi dấu trên khoảng K thì f(x) không có cực trị trên khoảng đó.

B. Bài tập Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3.

B. Hàm số có hai điểm cực tiểu.

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.

D. Hàm số có 3 điểm cực trị.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = 3.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1; x = 1 và y_CT = 0.

Do đó đáp án C sai.

Bài 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a) y = x⁴ + 4x²;

b) $y=\frac{-x^2+2x-1}{x+2}$

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: D = ℝ.

Có y' = 4x³ + 8x; y' = 0 $\iff$ x = 0.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞; 0).

b) Tập xác định: D = ℝ\{−2}.

Có $y^{\text{'}}=\frac{\left(-2x+2\right)\left(x+2\right)-\left(-x^2+2x-1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{-x^2-4x+5}{{\left(x+2\right)}^2}$

Có y' = 0 $\iff$ −x² – 4x + 5 = 0 $\iff$ x = 1 hoặc x = −5.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −5) và (1; +∞).

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−5; −2) và (−2; 1).

Bài 3.Tìm cực trị của các hàm số sau

a) y = x³ – 6x² + 9x;

b) $y=\frac{2x-2}{x+1}$

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: D = ℝ.

Có y' = 3x² – 12x + 9; y' = 0 $\iff$ x = 1 hoặc x = 3.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1 và y_CĐ = 4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và y_CT = 0.

b) Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Có $y^{\text{'}}=\frac{2\left(x+1\right)-\left(2x-2\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}>0,\forall x\ne -1$

Do đó hàm số luôn đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

Hàm số không có cực trị.

Bài 4. Thể tích nước của một bể bơi sau t phút bơm tính theo công thức $V\left(t\right)=\frac{1}{100}\left(30t^3-\frac{t^4}{4}\right)$, (0 ≤ t ≤ 90). Tốc độ bơm nước tại thời điểm t được tính bởi f(t) = V'(t). Trong khoảng thời gian nào tốc độ bơm tăng? Trong khoảng thời gian nào tốc độ bơm giảm?

Hướng dẫn giải

Với 0 ≤ t ≤ 90,

Có $f\left(t\right)=V^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{9}{10}{t}^2-\frac{1}{100}{t}^3$

Có $f^{\text{'}}\left(t\right)=V^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)=\frac{9}{5}t-\frac{3}{100}{t}^2$ ; f'(t) = 0 $\iff$ t = 0 hoặc t = 60.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Tốc độ bơm tăng từ phút 0 đến phút 60, tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút 90.

Bài 5. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên (−∞; 1).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−3; +∞).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1).