Lý thuyết Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp– Toán lớp 12 Kết nối tri thức
Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.
Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp- Kết nối tri thức
A. Lý thuyết Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
1. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
1.1. Hàm số luỹ thừa
● Cho số thực α. Hàm số y = xα được gọi là hàm số luỹ thừa.
Ví dụ 1. Các hàm số y = x3; y = x– 2; y = ; y = là những hàm số lũy thừa.
● Tập xác định của hàm số lũy thừa y = xα tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể như sau:
+ Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ;
+ Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ \ {0};
+ Với α không nguyên, tập xác định là (0; + ∞).
● Định lí: Hàm số lũy thừa y = xα (α ∈ ℝ) có đạo hàm với mọi x > 0 và (xα)' = αxα – 1.
1.2. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
Với α ≠ – 1, ta có: .
Ví dụ 2. Tìm:
Hướng dẫn giải
2. Nguyên hàm của hàm số f(x) =
Ta có: .
Ví dụ 3. Tìm:
a) ;
b)
Hướng dẫn giải
a) .
b) .
3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác
Ví dụ 4. Tìm:
Hướng dẫn giải
4. Nguyên hàm của hàm số mũ
Với a > 0, a ≠ 1, ta có: .
Nhận xét: Áp dụng công thức trên, ta có: .
Ví dụ 5. Tìm:
Hướng dẫn giải
B. Bài tập Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Bài 1. bằng:
A. e4x + 1 + C.
B. e4x + C.
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: .
Bài 2. Tìm:
Hướng dẫn giải
Bài 3. Tìm:
Hướng dẫn giải
Bài 4. Một xe ô tô đang chạy với tốc độ 54 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50 m. Người la xe phản ứng một giây sau đó bằng cách đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = – 10t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.
a) Lập công thức biểu diễn hàm số s(t).
b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là bao nhiêu giây?
c) Quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là bao nhiêu mét? Xe ô tô liệu có gặp tai nạn do va chạm với chướng ngại vật trên đường hay không?
Hướng dẫn giải
a) Công thức tính quãng đường s(t) xe ô tô đi được trong t (giây) là một nguyên hàm của hàm v(t). Do nên ta có s(t) = – 5t2 + 20t + C với C là hằng số nào đó. Do s(0) = 0 nên C = 0. Suy ra s(t) = – 5t2 + 20t.
b) Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0, tức là – 10t + 20 = 0 hay t = 2.
Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh cho đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.
c) Ta có: tốc độ 54 km/h cũng là tốc độ 15 m/s.
Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: s(2) = – 5 ∙ 22 + 20 ∙ 2 = 20 (m).
Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: 15 + 20 = 35 (m).
Do 35 < 50 nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường. Vì thế, tai nạn đã không xảy ra đối với xe ô tô đó.
Bài 5. bằng:
A. sin x + C.
B. – sin x + C.
C. cos x + C.
D. – cos x + C.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có .
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn 12 Chân trời sáng tạo (hay nhất)
- Văn mẫu 12 - Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 12 - Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 12 - Friends Global
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh lớp 12 Friends Global đầy đủ nhất
- Trọn bộ Ngữ pháp Tiếng Anh lớp 12 Friends Global đầy đủ nhất
- Giải sbt Tiếng Anh 12 – Friends Global
- Giải sgk Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Tin học 12 - Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Công nghệ 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo