Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vectơ và tích của một số với một vectơ

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$ và số thực k. Khi đó:

+) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3\right)$ ;

+) $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3\right)$ ;

+) $k\overrightarrow{a}=\left(k{a}_1;k{a}_2;k{a}_3\right)$.

Nhận xét: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$ , $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ . Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho $\left\{\begin{array}{l}{a}_1=k{b}_1\\ a_2=k{b}_2\\ a_3=k{b}_3\end{array}\right.$.

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;2;3\right)$ và $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{k}$. Tính tọa độ vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{b}=\left(2;0;-4\right)$ .

Khi đó $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$= (1 – 2; 2 – 0; 3 + 4) = (−1; 2; 7).

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$ được xác định bởi công thức $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$.

Nhận xét:

+) $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}\right)$ ;

+) $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ ;

+) $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}\right)$.

Ví dụ 2. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;2;7\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(3;-5;-8\right)$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{1.3+2.\left(-5\right)+7.\left(-8\right)}{\sqrt{1^2+2^2+7^2}.\sqrt{3^2+{\left(-5\right)}^2+{\left(-8\right)}^2}}=\frac{-63}{\sqrt{54}.\sqrt{98}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Suy ra $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=150°$ .

3. Vận dụng

• Xác định tọa độ của vectơ khi biết tọa độ điểm đầu và điểm cuối

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B). Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)$ .

Nhận xét: $AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2+{\left(z_B-z_A\right)}^2}$ .

Ví dụ 3. a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; 0) và B(−3; 0; 4). Tính độ dài AB.

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; −1) và B(3; −1; 5). Tìm tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MB}$ .

Hướng dẫn giải

a) Có $AB=\sqrt{{\left(-3-1\right)}^2+{\left(0+2\right)}^2+{\left(4-0\right)}^2}=6$ .

b) Gọi M(x; y; z). Khi đó $\overrightarrow{MA}=\left(1-x;3-y;-1-z\right)$ và $\overrightarrow{MB}=\left(3-x;-1-y;5-z\right)$ .

Có $\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MB}$$\iff \left\{\begin{array}{l}1-x=3\left(3-x\right)\\ 3-y=3\left(-1-y\right)\\ -1-z=3\left(5-z\right)\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}2x=8\\ 2y=-6\\ 2z=16\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=-3\\ z=8\end{array}\right.$ .

Vậy M(4; −3; 8).

• Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Trong không gian Oxyz:

+) Cho hai điểm A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$ .

+) Cho tam giác ABC có A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$ .

Ví dụ 4. a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(3; −2; 3), I (1; 0; 4). Tìm tọa độ điểm N sao cho I là trung điểm của đoạn MN.

b) Trong không gian cho ba điểm A(5; −2; 0), B(−2; 3; 0) và C(0; 2; 3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a) Vì I là trung điểm của đoạn MN nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_N=2x_I-x_M\\ y_N=2y_I-y_M\\ z_N=2z_I-z_M\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_N=2.1-3\\ y_N=2.0+2\\ z_N=2.4-3\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_N=-1\\ y_N=2\\ z_N=5\end{array}\right.$.

Vậy N(−1; 2; 5).

b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

$G\left(\frac{5-2+0}{3};\frac{-2+3+2}{3};\frac{0+0+3}{3}\right)$ hay G(1; 1; 1).

B. Bài tập Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục Ox.

A. (2; 0; 0).

B. (1; 0; 0).

C. (3; 0; 0).

D. (0; 2; 3).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tọa độ hình chiếu M lên trục Ox là (1; 0; 0).

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(-1;3;-2\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(2;5;-1\right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}$.

A. $\overrightarrow{a}=\left(-8;9;-1\right)$ .

B. $\overrightarrow{a}=\left(-8;-9;1\right)$ .

C. $\overrightarrow{a}=\left(8;-9;-1\right)$ .

D. $\overrightarrow{a}=\left(-8;-9;-1\right)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow{u}=\left(-1;3;-2\right)$$\Rightarrow 2\overrightarrow{u}=\left(-2;6;-4\right)$ ; $\overrightarrow{v}=\left(2;5;-1\right)\Rightarrow 3\overrightarrow{v}=\left(6;15;-3\right)$ .

$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}$ = (−2 – 6; 6 – 15; −4 + 3) = (−8; −9; −1).

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) và D(2; 2; 2). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính độ dài MN.

Hướng dẫn giải

Vì M là trung điểm của AB nên $M\left(\frac{2+0}{2};\frac{0+2}{2};\frac{0+0}{2}\right)$ hay M(1; 1; 0).

Vì N là trung điểm của CD nên $N\left(\frac{2+0}{2};\frac{0+2}{2};\frac{2+2}{2}\right)$ hay N(1; 1; 2).

Ta có $MN=\sqrt{{\left(1-1\right)}^2+{\left(1-1\right)}^2+{\left(2-0\right)}^2}=2$ .

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 1), B(5; 1; −2), C(7; 9; 1). Tính độ dài đường phân giác trong AD của góc A.

Hướng dẫn giải

Có $AB=\sqrt{{\left(5-1\right)}^2+{\left(1-1\right)}^2+{\left(-2-1\right)}^2}=5$; $AC=\sqrt{{\left(7-1\right)}^2+{\left(9-1\right)}^2+{\left(1-1\right)}^2}=10$ .

Vì AD là đường phân giác trong của góc A nên $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$ mà D nằm giữa B, C nên $\overrightarrow{DC}=-2\overrightarrow{DB}$ .

Gọi D(x; y; z). Khi đó $\overrightarrow{DC}=\left(7-x;9-y;1-z\right)$ > và $\overrightarrow{DB}=\left(5-x;1-y;-2-z\right)$ .

Vì $\overrightarrow{DC}=-2\overrightarrow{DB}$ nên $\left\{\begin{array}{l}7-x=-2\left(5-x\right)\\ 9-y=-2\left(1-y\right)\\ 1-z=-2\left(-2-z\right)\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{17}{3}\\ y=\frac{11}{3}\\ z=-1\end{array}\right.$ . Suy ra $D\left(\frac{17}{3};\frac{11}{3};-1\right)$.

Do đó $AD=\sqrt{{\left(\frac{17}{3}-1\right)}^2+{\left(\frac{11}{3}-1\right)}^2+{\left(-1-1\right)}^2}=\frac{2\sqrt{74}}{3}$ .

Bài 5. Một công ty công nghệ đang phát triển một hệ thống định vị 3D để theo dõi các máy bay không người lái (drone) trong một khu vực cụ thể. Hệ thống này sử dụng ba trạm quan sát đặt tại các vị trí cố định để theo dõi vị trí của drone trong không gian Oxyz. Các trạm quan sát có tọa độ như sau: Trạm O₁: O₁(0; 0; 0), trạm O₂: O₂(10; 0; 0) và trạm O₃: O₃(0; 10; 0). Biết drone đang ở vị trí D(5; 5; 10).

a) Tính khoảng cách từ mỗi trạm quan sát đến drone.

b) Tính góc giữa các vectơ từ O₁ đến drone và từ O₂ đến drone.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $O_{1}D=\sqrt{5^2+5^2+{10}^2}=5\sqrt{6}$ .

$O_{2}D=\sqrt{{\left(5-10\right)}^2+5^2+{10}^2}=5\sqrt{6}$.

$O_{3}D=\sqrt{5^2+{\left(5-10\right)}^2+{10}^2}=5\sqrt{6}$.

b) Có $\overrightarrow{O_{1}D}=\left(5;5;10\right)$, $\overrightarrow{O_{2}D}=\left(-5;5;10\right)$.

Do đó $\cos \left(\overrightarrow{O_{1}D},\overrightarrow{O_{2}D}\right)=\frac{\overrightarrow{O_{1}D}.\overrightarrow{O_{2}D}}{\left|\overrightarrow{O_{1}D}\right|.\left|\overrightarrow{O_{2}D}\right|}$$=\frac{5.\left(-5\right)+5.5+10.10}{5\sqrt{6}.5\sqrt{6}}=\frac{100}{150}=\frac{2}{3}$ .

Suy ra $\left(\overrightarrow{O_{1}D},\overrightarrow{O_{2}D}\right)\approx 48,2°$

Trắc nghiệm: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

I. Nhận biết

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(-2;6;2\right)$. Vectơ $\frac{3}{2}\overrightarrow{a}$ có tọa độ là

A. $\left(-6;9;6\right).$

B. $\left(-3;9;3\right).$

C. $\left(6;9;6\right).$

D. $\left(-3;6;3\right).$

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M\left(1;-2;2\right)$ và $N\left(1;0;4\right)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng MN là

A. $\left(1;-1;3\right).$

B. $\left(0;2;2\right).$

C. $\left(2;-2;6\right).$

D. $\left(1;0;3\right).$

Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;-2;3\right)$. Vectơ nào sau đây cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}$?

A. $\overrightarrow{a}=\left(2;4;6\right).$

B. $\overrightarrow{b}=\left(-3;6;-9\right).$

C. $\overrightarrow{c}=\left(\frac{1}{2};-2;\frac{3}{2}\right).$

D. $\overrightarrow{d}=\left(-1;-2;-3\right).$

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(3;2;-5\right), B\left(1;2;4\right)$, $C\left(2;5;-2\right)$. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A. $\left(6;9-3\right).$

B. $\left(2;3;-1\right).$

C. $\left(2;3;1\right).$

D. $\left(6;9;3\right).$

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;2;3\right), \overrightarrow{b}=\left(4;5;6\right)$. Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ là

A. $\left(5;7;9\right).$

B. $\left(3;7;9\right).$

C. $\left(5;3;9\right).$

D. $\left(3;5;9\right).$

II. Thông hiểu

Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;2;3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(4;-5;6\right)$. Vectơ $2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}$ cùng phương với vectơ nào?

A. $\overrightarrow{c}=\left(4;-10;18\right).$

B. $\overrightarrow{c}=\left(-10;19;-12\right).$

C. $\overrightarrow{c}=\left(-10;-11;-12\right).$

D. $\overrightarrow{c}=\left(-4;-10;18\right).$

Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left(0;2;1\right)$ và $B\left(3;-2;1\right)$. Độ dài đoạn thẳng AB bằng

A. 5

B. 3

C. 9

D. 25

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(3;0;1\right)$ và $\overrightarrow{c}=\left(1;1;0\right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ là

A. $\left(5;3;-9\right).$

B. $\left(1;-2;1\right)$

C. $\left(-3;-7;-9\right).$

D. $\left(-1;-2;1\right)$

Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(0;1;-1\right), B\left(1;2;0\right), \left(m;n;0\right)$. Giá trị m, n sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng:

A. $m=\mathrm{1,}n=1.$

B. $m=\mathrm{1,}n=2.$

C. $m=\mathrm{2,}n=1.$

D. $m=\mathrm{2,}n=2.$

III. Vận dụng

Câu 10. Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz, một đội gồm ba drone giao hàng A, B, C đang có tọa độ là $A\left(1;1;1\right), B\left(5;7;9\right), C\left(9;11;4\right)$. Gọi $d_1,d_2,d_3$ lần lượt là khoảng cách của mỗi cặp drone giao hàng trên. Tính $d_1+d_2+d_3$. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 31

B. 32

C. 25

D. 5