Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ– Toán lớp 12 Kết nối tri thức
Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.
Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ- Kết nối tri thức
A. Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ
Nếu = (x1; y1; z1) và = (x2; y2; z2) thì
+ = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2);
− = (x1 − x2; y1 − y2; z1 − z2);
m = (mx1; my1; mz1) với m ∈ ℝ.
Nhận xét: Hai vectơ = (x1; y1; z1), = (x2; y2; z2) ( ≠ 0) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực m sao cho
Ví dụ 1:
a) Cho = (2; 1; 0), = (0; 5; −2), = (4; 0; 3).
Tìm tọa độ của vectơ 2 − 3 + 4 .
b) Cho ba điểm A(−1; −3; −2), B(2; 3; 4), C(3; 5; 6). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Lời giải
a) Ta có: 2 = (4; 2; 0); 3 = (0; 15; −6); 4 = (16; 0; 12) nên
2 − 3 = (4; −13; 6)
Do đó 2 − 3 + 4 = (20; −13; 18).
b) Ta có: = (3; 6; 6) = 3(1; 2; 2); = (4; 8; 8) = 4(1; 2; 2).
Nhận thấy: = ⇒ Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác
• Cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB). Nếu M(xM; yM; zM) là trung điểm đoạn thẳng AB thì
xM = ; yM = ; zM = .
• Cho tam giác ABC có A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), C(xC; yC; zC). Nếu G(xG; yG; zG) là trọng tâm tam giác ABC thì
xG = ; yG = ; zG = .
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(2; 4; 3), B(−1; 4; 2), C(5; 1; 4). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng BC và trọng tâm G của tam giác ABC.
Lời giải
Do I(xI; yI; zI) là trung điểm của đoạn thẳng BC nên
xI = = 2; yI = = ; zI = = 3.
Vậy I(2;; 3).
Do G(xG; yG; zG) là trọng tâm tam giác ABC nên
xG = = 2; yG == 3; zG = = 3.
Vậy G(2; 3; 3).
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Nếu = (x1; y1; z1), = (x2; y2; z2) thì . = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2.
Nhận xét:
a) Nếu (x; y; z) thì | | = = .
b) Nếu A(x1; y1; z1) và B(x2; y2; z2) thì
AB = | | = .
c) Với hai vectơ = (x1; y1; z1) và = (x2; y2; z2) khác vectơ , ta có:
• và vuông góc với nhau khi và chỉ khi x1.x2 + y1.y2 + z1.z2 = 0.
• cos( , ) = = .
Ví dụ 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2; 3; 0), B(4; 2; 1), C(2; −1; 1).
a) Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng.
b) Tính chu vi của tam giác ABC.
c) Tính cos .
Lời giải
a) Ta có: = (2; −1; 1), = (0; −4; 1).
Suy ra = (2; −1; 1) ≠ k = (0; −4k; k) với mọi k ∈ ℝ.
Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Ta có: AB = = .
AC = = .
BC = = .
Vậy chu vi của tam giác ABC bằng + + .
c) Ta có:
cos = cos( , ) = = = = .
4. Cách tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước
• Ta có định lí sau:
Cho hai vectơ = (x1; y1; z1) và = (x2; y2; z2) không cùng phương.
Khi đó, vectơ = (y1z2 – y2z1; z1x2 – z2x1; x1y2 – y2x1) vuông góc với cả hai vectơ và .
Nhận xét:
• Vectơ trong định lí trên còn được gọi là tích có hướng của hai vectơ và , kí hiệu là = [ , ].
• Để thuận tiện trong cách viết, ta quy ước: = ad – bc, với a, b, c, d là các số thực.
Khi đó, hai vectơ = (x1; y1; z1) và = (x2; y2; z2) ta có:
[ , ] = = (y1z2 – y2z1; z1x2 – z2x1; x1y2 – y2x1).
• Hai vectơ , không cùng phương khi và chỉ khi vectơ = [ , ] ≠ .
Ví dụ 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ = (2; 3; 1) và = (1; 0; 3).
Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ khác vuông góc với cả hai vectơ và .
Lời giải
Ta có:
[ , ] = = (9; −5; −3).
Chọn = (9; −5; −3).
Theo định lí trên, vectơ vuông góc với cả hai vectơ và
B. Bài tập Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho = (2; 0; −2); = (3; 4; −1). cos( , ) là:
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: cos( , ) = = = .
Bài 2:
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho tam giác ABC có A(2; −1; 1), B(1; −1; 2) và C(3; 0; 2).
a) Tìm tọa độ của vectơ = − 2 .
b) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
Lời giải
a) Ta có = (−1; 0; 1),
= (1; 1; 1) ⇒ 2 = (2; 2; 2).
= − 2 = ( −1 − 2; 0 – 2; 1 – 2) = (−3; −2; −1).
Vậy = (−3; −2; −1).
b) Ta có: . = −1.1 + 0.1 + 1.1 = 0.
⇒ vuông góc với .
Vậy tam giác ABC vuông tại A.
Bài 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ = (−2; 3; 1) và = (1; 2; 3).
Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ khác vuông góc với cả hai vectơ và .
Lời giải
Ta có: [ , ] = = (7; 7; −7).
Chọn = (7; 7; −7).
Khi đó, vectơ vuông góc với cả hai vectơ và .
Bài 4: Một vật có trọng lượng 360 N được treo bằng ba sợi dây cáp không dãn có chiều dài bằng nhau, mỗi dây cáp có một đầu được gắn tại một trong các điểm P(−2; 0; 0), Q(1; ; 0), R(1; − ; 0) còn đầu kia gắn với vật tại điểm S(0; 0;−2) như hình dưới. Gọi F1, F2; F3 lần lượt là lực căng trên các sợi dây cáp RS, QS và PS. Tìm tọa độ của các lực .
Lời giải
Theo giả thiết, ta có các điểm:
S(0; 0; −2), P(−2; 0; 0), Q(1; ; 0), R(1;- ; 0).
Khi đó: = )-2; 0; 2), , .
Suy ra:
Lại có: , ; .
Vì nên tam giác PQR đều. Do đó, .
Vậy tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho:
Ta có: = c = (c; −c ; 2c).
= c = (c; c ; 2c).
= c = (−2c; 0; 2c).
Suy ra = (0; 0; 6c).
Mặt khác, ta có: , trong đó = (0; 0; −360) là trọng lực của vật.
Suy ra 6c = −360 thì c = −60.
Vậy tọa độ của các lực là:
; ; .
Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho = (2; 3; −2); = (3; 1; −1). Tọa độ của vectơ − 2 là:
A. (−4; 1; 0).
B. (4; 1; 0).
C. (6; 5; −4).
D. (6; −5; 4).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: = (2; 3; −2); 2 = (6; 2; −2).
Vậy − 2 = (2 – 6; 3 – 2; −2 – (−2)) = (−4; 1; 0).
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn 12 Chân trời sáng tạo (hay nhất)
- Văn mẫu 12 - Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 12 - Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 12 - Friends Global
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh lớp 12 Friends Global đầy đủ nhất
- Trọn bộ Ngữ pháp Tiếng Anh lớp 12 Friends Global đầy đủ nhất
- Giải sbt Tiếng Anh 12 – Friends Global
- Giải sgk Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Công nghệ 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo